더핑 방정식

게오르크 더핑(1861–1944)의 이름을 딴 더핑 방정식(또는 더핑 오실레이터)은 특정 감쇠 및 구동 오실레이터를 모델링하는 데 사용되는 비선형 2차 차등식이다. 이 방정식은 다음과 같다.

${\ddotyle {\dot}+\dot{x}+\dot{x}+\dot x+\ftx^{3}=\cos(\omega t)\,},}$

여기서 (iii) ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ $x{\displaystyle }$= x${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle x=x(t)}$은 시간 $t{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle t,}$ $x$${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\$은 시간과 관련하여$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ x$}$의 첫 번째 파생 $모델$이며, x$\$ {\$dot{x}$은 두 번째 시간 간격이다. ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle$ x$,}$가속. 숫자$$ $\Delta {\displaystyle }$, ${\$$displaystyle \delta ,}$ $\alpha$${\displaystyle }$, ${\displaystyle \alpha ,}$ $\beta$${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $\$$beta$ $,},$$$$\Omega$이$상수$를 $부여$한다.

이 방정식은 단순한 조화 운동(사례 $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle \Delta }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \beta =\delta =0}$에 해당)$$보다 더 복잡한 전위를 가진 감쇠된 오실레이터의 움직임을 기술하고 있다. 예를 들어 물리적 측면에서 봄의 강성이 Hoke의 법칙을 정확히 따르지 않는 탄성 진자를 모델링한다.

더핑 방정식은 혼란스러운 행동을 보이는 역동적인 시스템의 한 예다. 또한 더핑 시스템은 주파수 응답에 주파수 이력 거동의 일종인 점프 공명 현상을 나타낸다.

매개변수

위 방정식의 매개변수는 다음과 같다.

• ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \delta }$이(가) 댐핑 양을 제어하며$$,
• ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 선형 강성을 제어하며$$,
• ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$은(는) 복원력에서 비선형성의 양을 제어한다$$. $\beta {\displaystyle }$= 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \beta =0,}$ 더핑$$ 방정식은 감쇠되고 구동되는 단순 고조파 오실레이터를 설명한다.
• ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) 주기적 추진력의 진폭이며, ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$= 0 $[\displaystyle \gamma =0}$인 경우 시스템은$$ 추진력이 없으며,
• ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega}$은(는) 주기적인 구동력의 각도 주파수다.

더핑 방정식은 비선형 스프링과 선형 댐퍼에 부착된 질량의 진동을 설명하는 것으로 볼 수 있다. 비선형 스프링이 제공하는 복원력은 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ +${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \alpha$ x$+\beta$ x$^{3}$이다.$}$

> ${\displaystyle \alpha >0}$과 > 0 ${\displaystyle \beta >0}$일 때 봄을 경화 스프링이라고 한다. 반대로 < ${\displaystyle \beta <0}$의 경우 연화 스프링(아직 > ${\displaystyle \alpha >0})$이다. 따라서 형용사는 일반적으로 더핑 방정식과 관련하여 β ${\displaystyle \beta$ $$}(및$$$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha })$^[1]의 값에 따라 사용된다.

매개 변수의Duffing 방정식의 번호 2로 스케일링(버킹검 π 그 중의 특정점에서의 도함수의 일치하여)을 통해, 예를 들어 여행){\displaystyle)}과 시간 t{\displaystyle지}[2]τ)tα{\displaystyle\tau =t{\sqrt{\alpha}:}로}와 y)x α/γ,{\displaystyle y=x\alpha /\g 규모를 키울 수 있게 줄여질 수 있다.amm$a ,},$ $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha$}이$$(가) 양이라고$$ 가정한다(다른 스레싱은 파라미터의 범위가 다르거나 연구된 문제의 강조가 다른 경우에 가능하다). 다음:^[3]

${\displaystyle {\ddot {y}}+2\eta \,{\dot {y}}+y+\varepsilon \,y^{3}=\cos(\sigma \tau ),}$ where ${\displaystyle \eta ={\frac {\delta }{2{\sqrt {\alpha }}}},}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\beta \gamma ^{2$$}}{{\cHB ^{3}}}$ 및 and${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\sqrt{\alpha }}{}}$ ${\displaystyle \sigma ={\frac {\omega}{\sqrt{\cH00}}}.$$}$

점들은${\displaystyle }\tau$에 $관하여$ y (${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle$$\tau$$}$의 차이를 나타낸다. ${\displaystyle$ \tau $.}$ 이것은$$ 강제 및 감쇠된 더핑 방정식의 솔루션이 ${\displaystyle }$ 가지 매개변수( ${\displaystyle ,,}${\$displaysty \varepsilon$$$$,},},$$\sigma$ {\$displaystytytytytyle$)의 측면에서$$ 설명될 수 있음을 보여준다.$\chbma }$)와 두 가지 초기 조건(${\displaystyle {예\mathrm{}}_{}}$: y${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$t 0$$) {\$displaystyle y($t_${0$}) 및 $y$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$(${\displaystyle {}_{}}$t ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) {\$dot${\$dot{y}}}(t_${$$0$}})$

해결 방법

일반적으로 더핑 방정식은 정확한 상징적 해결책을 인정하지 않는다. 그러나 다음과 같은 많은 대략적인 방법이 잘 작동한다.

• 푸리에 시리즈의 확장은 임의의 정밀도에 운동 방정식을 제공할 수 있다.
• 더핑(Duffing)$$용어라고도 $하는$ x 3 {\$displaystyle$ x$^{3}}$ 용어는$$ 약칭이 작고 시스템이 동요된 단순 고조파 오실레이터로 처리될 수 있다.
• 프로베니우스 방법은 복잡하지만 실행 가능한 해결책을 제시한다.
• 오일러의 방법, 룬게-쿠타 등 다양한 숫자 방식을 사용할 수 있다.
• 호모토피 분석법(HAM)은 또한 강한 비선형성에 대한 더핑 방정식의 대략적인 해결책을 얻기 위해 보고되었다.^[4][5]

${\displaystyle }$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \delta =0$ 및 Undrived${\displaystyle (}$driven = 0 ${\displaystyle \gamma =0$의 특수한 경우, 자코비의 타원함수를 사용하여 정확한 용액을 구할 수 있다.^[6]

용해되지 않은 발진기에 대한 용액의 경계성

언앰프 오실레이터

$\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \stackrel{}{=}}$${\displaystyle \Delta }$= ${\displaystyle 0}$, ${\$$displaystyle$ $\gamma =\$$dot{x}}$를$$곱하면 다음과 같은 결과를$$ 얻을 수 있다$.$^[7]

${\displaystyle {\cHB{Aligned}&{\dot {x}\왼쪽 \ddot{x}+++++++++++++++++++++++++++^{3}\오른쪽)=0\\\\&\\\\\\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\tfrac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\&\오른쪽 화살표 {\tfrac {1}{1}:{2}}\왼쪽({\dot{x}\오른쪽)^{2}+{{1}{1}{1}{1}:{1}\tfrace x^{2}+{1}{4}}\tfrac {1}{1}}\beta x^{4}=H,\end{igned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

H를 상수로 하여 H 값은 초기 ${\displaystyle \mathrm{조건}}$ $x{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$0${\displaystyle }$) ${\displaystyle x (0)}$ 및$$ $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\x}($0)에 $의해$ 결정된다$.$$}$

H의 대체 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\$는 시스템이 Hamiltonian임을 나타낸다.

${\displaystyle {\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}},}$ ${\displaystyle {\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}}$ with ${\displaystyle \quad H={\tfrac {1}{2}}y^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alp$$ha x^{2}+{\tfrac {1}{1}{4}\cHB x^{4}.$$}$

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) 모두 양수이면$$ 용액은 다음과 같이 제한된다.^[7]

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{H}}$ /${\displaystyle \sqrt{\alpha }}$ ${\$x$\leq {\sqrt${${\displaystyle \sqrt{\mathrm{2H}}}$$/\alpha }}$ 및$$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\displaystyle \le }$ 2 ${\displaystyle H,}$ ${\dot {x} \leq {\sqrt$ {$2$}$H}},}$

해밀턴 H가 긍정적이고

감쇠 발진기

마찬가지로, 감쇠된 오실레이터의 경우,^[8]

${\displaystyle {\cHB{Aligned}&#{\dot{x}\왼쪽 \ddot{x}+\\\dot{x}+\\\\dot{x}\not}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\dot}\\\\\\\\\\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\tfrac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\\&\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\leq 0,\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathrm{댐핑}}$의 경우$$$\Delta {\displaystyle }$ 0 {\$displaystyle \q \$geq 0} $이후부터$입니다. 감쇠된 더핑 오실레이터를 강제하지 않으면 안정된 평형점에 도달하게 된다. 안정적이고 불안정한 평형점은 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ +${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \alpha$ x$+\beta$ x$^{3}=0.}$ > 0 ${\displaystyle \alpha >0}$이면 안정평형은 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystystylem$ x$=0.$$}$ If ${\displaystyle \alpha <0}$ and ${\displaystyle \beta >0}$ the stable equilibria are at ${\displaystyle x=+{\sqrt {-\alpha /\beta }}}$ and ${\displaystyle x=-{\sqrt {-\alpha /\beta }}.$$}$

주파수 응답

입방 비선형성을 갖는 강제 더핑 오실레이터는 다음과 같은 일반적인 미분 방정식으로 설명된다.

${\ddot}{\dot}+\dot{x}+\dot{x}+\dot x+\properties x^{3}=\pos \cos(\omega t)}$

이 오실레이터의 주파수 응답은 주어진 $\Omega {\displaystyle }$ 주파수에서 방정식의 정상 상태 응답(${\displaystyle 예}$: x${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle x(t$의 진폭 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$을(를${\displaystyle )}$ $설명$하고$$있다. {\$displaystyle$ \$beta$=$0$ ${\displaystyle \$$bea$ = 0$,}$의 선형 오실레이터의 주파수 응답은 al.너무 직선적이군 단, 0이 아닌 입방계수 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$의 경우 주파수 응답이 비선형 상태가 된다$.$ 더핑 오실레이터는 비선형성 유형에 따라 경화, 연화 또는 혼합 경화-연화 주파수 응답을 보일 수 있다. 어쨌든 호모토피 분석법이나 고조파 밸런스를 이용하면 다음과 같은 형태로 주파수 응답 방정식을 도출할 수 있다.^[9][5]

${\displaystyle \left[\omega^{2}-\frac -{3}{4}\beflac z^{2}\right)^{2}+\좌측(\beak \omega \right)^{2}\z^{2}=\beffect ^{2}.}$

더핑 방정식의 파라미터에 대해, 위의 대수 방정식은 주어진 흥분 주파수에서$$ 정상 상태 진동 $진폭{\displaystyle }$ z ${\displaystyle$ z$}$을 제공한다.

주파수 응답의 유도

조화 균형 방법을 사용하여 더핑 방정식의 대략적인 용액을 구한다.[9] ${\displaystyle x=a\,\cos(\omega t)+b\,\sin(\omega t)=z\,\cos(\omega t-\phi ),}$ with ${\displaystyle z^{2}=a^{2}+b^{2}}$ and ${\displaystyle \tan \phi ={\frac {b}{a}}.$$}$ 더핑 방정식의 적용으로 다음이 발생한다. ${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}-\gamma \right)\,\cos \left(\omega \,t\right)\\&#\left(-\omega ^{2}\,b-\omega \,\b-\b-\no,\a+{3}}\,\b^{3}+\,\b+{3}}\,\b+{3}}\,\cH00\,\cH00(\a^{2}, trig), 오른쪽).\\&+\left({\tfrac {1}{4}}\,\beta \,a^{3}-{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}\right)\,\cos \left(3\,\omega \,t\right)+\left({\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b-{\tfrac {1}{4}}\,\beta \,b^{3}\right)\,\sin \left(3\,\omega \,t\right)=0.\end{정렬}}}$ $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Omega }$,$${\$displaystyle 3\omega ,}$에서 초화학을 무시하면 ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle \Omega }$t )$${\$displaystyle \cos(\omega$ t$)}$과 sin${\displaystyle \{}$ ( ${\displaystyle \Omega }$ t${\displaystyle )}${\$displaysty \sin(\omega$ t$)}$ 앞의 두 용어는 0이어야$$ 한다. 결과적으로. ${\displaystyle {\begin{aligned}&-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}=\gamma \qquad {\text{and}}\\&-\omega ^{2}\,b-\omega \,\delta \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,b^{3}+\alpha \,b+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b=0.\end{정렬}}}$ 두 방정식을 모두 제곱하고 진폭 주파수 응답에 리드를 추가하는 방법: ${\displaystyle \left[\omega^{2}-\frac -{3}{4}\beflac z^{2}\우측)^{2}+\좌측(\beak \omega \right)^{2}\,z^{2}=\noque ^{2},},}$ 상술한 바와 같이

점프스

매개 변수의Duffing 방정식의 특정 범위의 경우 주파수 ω지 않는 강화 봄 발진기(α 을의 경우, 주파수 응답 것 더 이상 일가 함수{\displaystyle \omega.};0{\displaystyle \alpha>0}과 충분한 긍정적인 β>β 댁+>0{\displaystyle \beta>\be.분명 _{c+}>0}) 주파수 응답은 고주파 측 및 연화 스프링 오실레이터(> 0 ${\displaystyle \alpha$ >0} 및 <β c -< ${\displaystyle$\ \ $\beta$ \$c-$}<$0})$에 대한 저주파 측으로 돌출된다. 하단 돌출부(즉, 주파수 응답 그림의 점선 부분)는 불안정하며 지속적인 시간 동안 실현될 수 없다. 결과적으로 점프 현상은 다음과 같이 나타난다.

• 각도 주파수 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$이(가) 천천히$$ 증가하면(다른 파라미터가 고정된 경우), 응답 진폭 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$이(가) A에서 B로 갑자기 감소하고$$,
• 주파수 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$이(가) 천천히 감소하면 C에서 진폭이 D까지 상승하고 그 후 주파수 응답의 상부 분기를 따른다.

점프 A~B와 C~D가 일치하지 않기 때문에 주파수 스위프 방향에 따라 시스템이 이력(hysteresis)을 나타낸다.^[9]

예

더핑 방정식의 시계열 및 위상 초상화의 대표적인 예로서, 시대별 분기를 통한 하위조화학의 외관, 그리고 혼란스러운 행동을 보여주는 것이 아래 그림에 나와 있다. 강제 진폭은 $\gamma {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.20}$ ${\displaystyle \gamma =0.20}$에서 $\gamma {\displaystyle }$= 0${\displaystyle .65}$로 증가한다${\displaystyle \mathrm{.}}$$\displaystyle$$\cHB =0.65.$$}$ 다른$$ 파라미터는 $\alpha {\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \alpha$=-$1$${\displaystyle ,\}}$ ${\displaystyle \mathrm{\beta <img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash alpha\; =-1,\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/32fe3d7e2292fb04af978d83817907039497ba91"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:8.204ex;\; height:2.509ex;">}}$ = + 1${\displaystyle ,}${\$displaystyle \beta$=+$1,}$ $\Delta$${\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle 0.3}${\$displaystyle \delta =0.$3$$}, ${\displaystyle \mathrm{\Omega }=}$ 1.2${\displaystyle \mathrm{.}}${\$displaystystyledown \ome =$ 1.2$}$의 값을 갖는다.$$ 초기$$ 조건은 ${\displaystyle \mathrm{x}}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle x(0)=1},$ $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$˙${\displaystyle }$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle {\$x}(0$)=0$. {\$dot{\$$x}}}=$0.$}$ 위상 초상화의 빨간색$$ 점은 때때로 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$이며, 이는$$ $기간{\displaystyle }$ T${\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle \Omega }$.$${\$displaystyle T=2\pi$/\$omega$.}의 정수 배수임.

참조

횡대로

역사적

기타

외부 링크

• Scholarpedia의 더핑 오실레이터
• MathWorld 페이지
• Pchelintsev, A.N.; Ahmad, S. (2020). "Solution of the Duffing equation by the power series method" (PDF). Transactions of TSTU. 26 (1): 118–123.