기대치

통계에 관한 시리즈의 일부
확률론
확률 악리 결정론 시스템. 부정론 랜덤성
확률 공간 샘플 공간 이벤트 종합적인 이벤트 초급 이벤트 상호 배타성 결과 싱글턴 실험. 베르누이 재판 확률 분포 베르누이 분포 이항 분포 정규 분포 확률 측도 랜덤 변수 베르누이 과정 연속 또는 이산 기대치 마르코프 연쇄 관측치 랜덤 워크 확률 과정
보충 이벤트 결합 확률 한계 확률 조건부 확률
인디펜던스 조건부 독립성 확률의 법칙 대수의 법칙 베이즈 정리 불의 부등식
벤도 트리 다이어그램
v t

확률론에서 기대치(기대, 기대, 수학적 기대, 평균, 평균 또는 첫 번째 순간이라고도 함)는 가중 평균의 일반화입니다.비공식적으로 기대값은 랜덤 변수의 독립적으로 선택된 많은 결과의 산술 평균입니다.

결과의 수가 유한한 랜덤 변수의 기대값은 가능한 모든 결과의 가중 평균이다.가능한 결과의 연속체의 경우, 기대치는 통합에 의해 정의됩니다.측정이론에 의해 제공되는 확률의 공리적인 기초에서 기대는 르베그 적분에 의해 주어진다.

랜덤 변수 X의 예상값은 E(X), E[X] 또는 EX로 나타나며, E는 E $또는{\displaystyle \mathbb{}}$E로 스타일화됩니다$.\displaystyle \mathbb {E}}$

역사

기대치에 대한 생각은 17세기 중반 게임을 제대로 ^[4]마치기 전에 게임을 끝내야 하는 두 선수 간에 공평하게 판돈을 나누려는 이른바 포인트 문제에 대한 연구에서 비롯되었다.이 문제는 수세기 동안 논의되어 왔다.1654년 프랑스 작가이자 아마추어 수학자인 셰발리에 드 메레가 블레즈 파스칼에게 제안했을 때 많은 상반된 제안과 해결책이 제시되었다.메레는 이 문제를 풀 수 없다며 수학이 현실 세계에 얼마나 결함이 있는지를 보여준다고 주장했다.수학자였던 파스칼은 그 문제를 완전히 풀기로 마음먹었다.

그는 피에르 드 페르마에게 보낸 일련의 유명한 편지에서 그 문제를 논의하기 시작했다.곧, 그들 둘 다 독립적으로 해결책을 생각해 냈다.그들은 다른 계산 방법으로 문제를 풀었지만, 그들의 계산은 같은 기본 원리에 기초했기 때문에 그들의 결과는 같았다.원칙은 미래 이득의 가치는 얻을 수 있는 기회에 정비례해야 한다는 것이다.이 원칙은 두 사람 모두에게 자연스럽게 나타난 것 같았다.그들은 본질적으로 같은 해결책을 찾았다는 사실에 매우 기뻐했고, 이는 그들이 문제를 결정적으로 해결했다고 확신하게 만들었다. 그러나 그들은 그들의 발견을 발표하지 않았다.그들은 파리에 있는 소수의 과학자들끼리만 그것에 ^[5]대해 알렸다.

네덜란드 수학자 크리스티안 호이겐스의 책에서 그는 점의 문제를 고민했고 파스칼과 페르마의 해법과 같은 원리에 기초한 해법을 제시했다.호이겐스는 파리를 방문한 직후인 1657년 확률론에 관한 논문을 발표했다.이 책은 원래의 문제(예: 3명 이상의 참가자에 대한)보다 더 복잡한 상황에서 기대치를 계산하는 방법에 대한 규칙을 추가함으로써 기대의 개념을 확장했고, 확률론의 기초를 다지는 첫 번째 성공적인 시도로 볼 수 있다.

Huygens는 논문의 서문에서 다음과 같이 썼다.

또한 프랑스의 가장 뛰어난 수학자들 중 몇 명은 이런 종류의 미적분에 몰두해 왔기 때문에 아무도 최초의 발명의 영예를 나에게 돌리지 않았다고 한다.이건 내 것이 아니야.그러나 이 숙달들은 서로 풀기 어려운 많은 문제를 제시하며 서로를 시험해 보았지만, 그들의 방법을 숨겨왔다.그 때문에, 나는, 요소로부터 시작해, 이 문제에 대해 스스로 깊이 검토하지 않으면 안 되어, 같은 원리에서 출발했다고 단언할 수 없다.하지만 마침내 나는 많은 경우에 내 답이 그들의 대답과 다르지 않다는 것을 알게 되었다.

--

1655년 프랑스를 방문하는 동안, 호이겐스는 드 메레의 문제에 대해 알게 되었다.1년 후 (1656년) 카르카빈과의 서신 교환으로부터, 그는 그의 방법이 본질적으로 파스칼의 방법과 같다는 것을 깨달았다.그러므로, 그는 1657년 ^[6]그의 책이 출판되기 전에 이 주제에 대한 파스칼의 우선 순위에 대해 알고 있었다.

19세기 중반, 파프누티 체비셰프는 무작위 ^[7]변수의 기대치에 대해 체계적으로 생각한 최초의 사람이 되었다.

어원학

파스칼과 호이겐스 둘 다 현대적인 의미에서 "기대"라는 용어를 사용하지 않았다.특히 Huygens는 다음과 같이 ^[8]쓰고 있다.

어떤 것이든 이길 수 있는 기회나 기대는 공정한 레이에서 동일한 기회와 기대를 획득할 수 있는 금액만큼 가치가 있다는 것입니다.만약 내가 a 또는 b를 기대하며 그것들을 얻을 수 있는 동등한 기회가 있다면, 나의 기대치는 (a+b)/2의 가치가 있다.

100여 년 후인 1814년에 피에르 시몬 라플라스는 기대 가치의 개념이 명확하게 ^[9]정의된 그의 저서 "Théorie analytique des probabilités"를 출판했다.

… 우연 이론에서 이 이점은 그것을 얻을 확률에 의해 희망되는 합계의 곱이다; 그것은 우리가 확률에 비례하여 분할이 이루어진다고 가정할 때 사건의 위험을 무릅쓰기를 원하지 않을 때 생겨야 할 부분합이다.이 구분은 모든 이상한 상황이 제거되었을 때 유일하게 공평한 것이다. 왜냐하면 같은 정도의 확률로 원하는 합계에 대해 동등한 권리를 주기 때문이다.우리는 이 장점을 수학적 희망이라고 부를 것이다.

표기법

기대치를 나타내기 위해 문자 E를 사용한 것은 1901년 ^[10]W. A. Whitworth로 거슬러 올라간다.그 심볼은 그 이후로 영국 작가들에게 인기를 끌고 있다.독일어로 E는 "Erwartungswert", 스페인어로 "Esperanza matematica", 프랑스어로 "Espérance mathématique"^[11]를 나타냅니다.

기대치를 나타내기 위해 "E"를 사용하는 경우 작성자는 다양한 스타일라이제이션을 사용합니다.예상 연산자는 E(오른쪽), E(이탈릭) $또는{\displaystyle \mathbb{}}$ E$($흑판 굵은 글씨)로 스타일화할 수 있으며, E(X), E[X], EX 등 다양한 괄호 표기가 모두 사용됩니다.

또 다른 일반적인 표기법은 μ이지만_X 물리학에서는 ^[12]'X', 'X'_av $및{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 'X$'$ ({$displaystyle${X$})$가 $일반적으로 사용$되며 러시아어 문헌에서는 'M(X)'이 사용됩니다.

정의.

다음에 설명하듯이 컨텍스트에 따라 예상되는 값을 정의하는 방법이 몇 가지 있습니다.가장 단순하고 독창적인 정의는 동전의 플립과 같이 가능한 많은 결과의 경우를 다룬다.무한 급수 이론으로, 이것은 셀 수 없을 정도로 많은 가능한 결과의 경우로 확장될 수 있습니다.또한 (부분적-) 연속 확률 밀도 함수에 의해 지시되는 랜덤 변수의 구별된 경우를 고려하는 것이 매우 일반적이다. 이는 많은 자연적 맥락에서 발생하기 때문이다.이러한 모든 특정 정의는 측정 이론과 르베그 통합의 수학적 도구에 기초한 일반적인 정의의 특별한 경우로 볼 수 있습니다. 르베그 통합은 이러한 다른 맥락에 공리적인 기초와 공통 언어를 제공합니다.

기대치의 정의는 다차원 랜덤 변수, 즉 랜덤 벡터 X의 기대치를 정의하기 위해 확장될 수 있다.성분별로 E[X]_i = E[X_i]로 정의됩니다.마찬가지로 성분 X_ij by E[X]_ij = E[X_ij]로 랜덤 행렬 X의 기대값을 정의할 수 있다.

결과가 매우 많은 랜덤 변수

가능한 결과의 유한 목록₁ x, ..., x를_k 갖는 랜덤 변수 X를 고려하며, 각각은 발생 확률 p₁, ..., p를_k 갖습니다.X의 기대치는 다음과 같이 정의된다^[13].

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=x_{1}p_{2}p_{2}+\cdots +x_{k}p_{k}p_{k}.}$

확률은 p + ⋅⋅ + + p_k = 1을 만족해야₁ 하므로, E[X]를 확률_i p에 의해 주어진 가중치와 함께_i x 값의 가중 평균으로 해석하는 것은 자연스러운 일입니다.

가능한 모든 결과가 적합할 수 있는 특별한 경우(즉₁, p = = = = p_k), 가중 평균은 표준 평균으로 주어진다.일반적인 경우 기대치는 일부 결과가 다른 결과보다 더 가능성이 높다는 사실을 고려한다.

예

• X$(디스플레이 스타일$ X$)$가 공정한 6면 주사위 굴림의 결과를 나타내도록 $합시다{\displaystyle }$.좀 더 구체적으로 말하면, X$(디스플레이 스타일$ X$)$는 토스 후 주사위 윗면에 나타나는 핍의 수입니다.X$({displaystyle$ X$})$에 사용할 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 및 6이며, 이들 값은 모두 다음과 같은 확률로 동일합니다.1/6. X$(\displaystyle$ X$)$의 기대는

$\displaystyle \operatorname {E} [X]=1\cdot {1}{6}+2\cdot {frac {1}{6}+3\cdot {frac {1}{6}+5\cdot {frac {1}+6}{cdot {6}$

$주사위를 n번$ 굴려 결과의 평균(산술 $평균)$을 계산하면$n$이 커짐에 $따라{\displaystyle }$ 평균은 기대치에 수렴할 것이 거의 확실하며 이는 대수의 강력한 법칙으로 알려져 있습니다.

• 룰렛 게임은 가장자리에 38개의 번호가 매겨진 포켓이 있는 작은 공과 바퀴로 구성되어 있다.바퀴가 돌면서, 공은 주머니 중 하나에 가라앉을 때까지 무작위로 튕겨 나갑니다.랜덤 $변수{\displaystyle }$ X$(\displaystyle$ X$)$가 단일 번호에 1달러 베팅("스트레이트 업")의 결과라고 가정합니다.만약 내기가 이기면(아메리칸 룰렛의 1/38 확률로 발생), 보상은 35달러이고 그렇지 않으면 플레이어가 내기에서 진다.이러한 내기로 인한 예상 이익은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \operatorname {E} [,\text{bet},\$1\cdot {frac {37}{38}+$35\cdot {frac {1}{38}=-\${\frac {1}{19}}}.}$

즉, 1달러 내기에서 이길 것으로 예상되는 가치는 -$1/19입니다.따라서 190번의 내기에서 순손실은 약 10달러가 될 것이다.

결과가 셀 수 있을 만큼 많은 랜덤 변수

비공식적으로, 가능한 결과의 계산 가능한 집합이 있는 랜덤 변수의 기대는 모든 가능한 결과의 가중 평균으로 유사하게 정의된다. 여기서 가중치는 각각의 주어진 값을 실현하는 확률에 의해 주어진다.이렇게 말하고 싶다

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i},p_{i}}$

여기서₁ x, x₂, ...는 랜덤 변수 X의 가능한 결과이고₁ p, p₂, ...는 해당 확률입니다.많은 비수학 교과서에서 이것은 이 ^[14]맥락에서 기대치의 완전한 정의로 제시된다.

그러나 무한합계를 갖는 미묘함이 있으므로 위의 공식은 수학적 정의로는 적합하지 않습니다.특히, 수학 분석의 리만 급수 정리는 양의 섬과 음의 섬이 포함된 특정 무한 합계의 값이 그 섬이 주어지는 순서에 따라 달라진다는 것을 보여준다.랜덤 변수의 결과는 자연히 주어진 순서가 없기 때문에 기대치를 정확하게 정의하기가 어렵습니다.

이러한 이유로, 많은 수학 교과서는 위에 주어진 무한합이 절대 수렴하는 경우만 고려하는데, 이것은 무한합이 ^[15]가산수의 순서와는 독립적인 유한수임을 암시한다.무한합이 절대 수렴하지 않는 경우에는 랜덤 변수가 유한한 ^[15]기대치를 가지지 않는다고 말할 수 있다.

예

• $i{\displaystyle {}_{}}$$$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,$…,$ {$displaystyle$ $i$${\displaystyle =}$ 1$$${\displaystyle \frac{\ln }{}}$2 $display$ c$$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}^{}}{}}$ $=$ c i ${\displaystyle 2\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{i^{}}{}}$ （$style$p _ { i } = c2 ^ { $i$} } } ${\displaystyle \mathrm{for<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; p\_\{i\}=\{\backslash tfrac\; \{c\}\{i2^\{i\}\}\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/8b805a3d15a00d768f5b97d32cca178e715d101b"\; style="vertical-align:\; -1.671ex;\; margin-left:\; -0.089ex;\; width:8.007ex;\; height:3.676ex;">}}$ 、 { $display$ $style$ ${\displaystyle i\frac{\mathrm{}}{}}$$=$ 1,$2$, 3, \ $ldots$ { $1{\displaystyle }$ display c1 frac$= frt$ } ）$$。그러면 음이 아닌 랜덤 변수에 대한 직접 정의를 사용하여
  $${\displaystyle \operatorname {E} [X],=\sum _{i}x_{i}p_{i}=1glac\tfrac {c}{c}}+3gl\tfrac {c}{c})+3glac {c}+cdots=,{tfrac}{c}{c}{c}{c}{c}}{c}{c}}{c}}{c}}{c}}}}{c}}}{c}}}}}}}{c}}}}$$

  

밀도를 갖는 랜덤 변수

이제 실수선 위의 함수 f에 의해 주어진 확률 밀도 함수를 갖는 랜덤 변수 X를 생각해 보겠습니다.즉, X가 임의의 오픈인터벌에서 값을 취할 확률은 그 인터벌에 걸친 f의 적분에 의해 주어집니다.X의 기대치는 적분에^[16] 의해 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\infty }{x}개요(x),개요}$

이 정의의 일반적이고 수학적으로 정확한 공식은 측정 이론과 르베그 적분을 사용하며, 절대 연속 랜덤 변수의 대응하는 이론은 다음 절에서 설명된다.많은 공통 분포의 밀도 함수는 분할적으로 연속적이며, 따라서 이 이론은 종종 이 제한된 ^[17]환경에서 개발됩니다.이러한 함수의 경우 표준 리만 적분만 고려하는 것으로 충분하다.이 용어는 많은 다양한 저자에 의해 다르게 사용되지만, 때때로 연속 랜덤 변수는 이 특수한 밀도 클래스에 해당하는 변수로 정의된다.

위의 무한대 경우와 마찬가지로 무한대 적분 영역 때문에 이 식에는 미묘함이 있습니다.이러한 미묘함은 X의 분포가 코시 분포(0, θ)에 의해 주어져 f(x) = (x² + ⁻¹θ²)인 경우에 구체적으로 볼 수 있다.이 경우 다음과 같이 계산하는 것은 간단합니다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}, flac {x}{x}+\pi ^{2}, flac = flac {1}{2}+\pi ^2}\ln {flac {b^2}+\pi ^2}}.}$

a → -b 및 b → does로 표현되는 이 식의 한계는 존재하지 않습니다. a = -b가 되도록 한계를 취하면 한계는 0이고 제약 조건 2a = -b가 취하면 한계는 ln(2)입니다.

이러한 모호성을 피하기 위해 수학 교과서에서는 주어진 적분이 완전히 수렴되어야 하며,^[18] 그렇지 않으면 E[X]가 정의되지 않은 상태로 남겨져야 합니다.그러나 아래에 제시된 측정이론 개념은 보다 일반적인 랜덤 변수 X에 대한 E[X]의 체계적인 정의를 제공하기 위해 사용될 수 있다.

임의의 실수값 랜덤 변수

기대치에 대한 모든 정의는 측정 이론의 언어로 표현될 수 있다.일반적으로 X가 확률 공간(δ, δ, P)에 정의된 실수치 랜덤 변수일 경우, E[X]로 나타나는 X의 기대치는 르베그^[19] 적분으로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{\Omega}X,d\operatorname {P}}$

새롭게 추상화된 상황에도 불구하고, 이 정의는 본질적으로 위에서 주어진 기대치의 가장 단순한 정의와 매우 유사하다.이것은 측정 이론에서 X의 르베그 적분의 값이 ^[20]X의 근사치의 가중 평균을 통해 정의되기 때문이다.게다가, 최종 또는 계산 가능한 많은 값을 갖는 랜덤 변수가 주어진다면, 기대의 르베게 이론은 위에 주어진 합계 공식과 동일하다.그러나 르베게 이론은 확률밀도함수 이론의 범위를 명확히 한다.랜덤 변수 X는 다음 중 하나의 조건이 충족되면 절대 연속이라고 합니다.

• 다음과 같이 실선상에 음이 아닌 측정 가능한 함수 f가 있다.

${\displaystyle {P}}(X\in A)=\int _{A}f(x),dx,}$

적분이 르베그인 모든 보렐 집합 A에 대해.

• X의 누적 분포 함수는 절대적으로 연속적입니다.
• 르베그 측정값이 0인 보렐 실수의 집합 A에 대해, X가 A에서 평가될 확률도 0과 같다.
• 임의의 양수 θ에 대하여 양수 θ가 존재한다.A가 르베그 측정값 θ보다 작은 보렐 세트인 경우, A에서 X가 평가될 확률은 θ보다 작다.

이러한 조건은 모두 동일하지만, ^[21]확립하는 것은 그다지 중요하지 않습니다.이 정의에서 f는 X의 확률 밀도 함수(르베게 측정값에 상대적)라고 합니다.르베그 ^[22]통합을 위한 변수 변경 공식에 따르면, 무의식적인 통계학자의 ^[23]법칙과 결합하면 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \operatorname {E} [X]\equiv \int _{\Omega }X,d\operatorname {P} =\int _{\mathbb {R} }param(x),param}$

어떤 절대 연속 랜덤 변수 X에 대해서도 마찬가지입니다.따라서 연속 랜덤 변수에 대한 위의 논의는 모든 부분 연속 함수가 측정 가능하다는 사실 때문에 일반적인 르베게 이론의 특별한 경우이다.

무한 기대치

위에서 정의한 예상값은 자동으로 유한수입니다.그러나 많은 경우 기대값 ± µ를 고려할 수 있는 것이 기본이다.이는 예를 들어 St. St.의 경우 직관적이다. Petersburg 패러독스: 모든 양의 정수에 걸쳐 i에 대해 가능한 결과_i x = 2의ⁱ⁻ⁱ 확률과_i 함께 랜덤 변수를 고려합니다.셀 수 있을 만큼 많은 결과를 가진 랜덤 변수의 경우, 합산 공식에 따르면, 다음과 같이 된다.

기대치는 +θ라고 하는 것은 당연합니다.

그러한 생각의 밑바탕에는 엄격한 수학 이론이 있는데, 이것은 종종 르베그 ^[20]적분의 정의의 일부로 받아들여진다.첫 번째 기본적인 관찰은 위의 정의 중 하나를 따르더라도 음이 아닌 랜덤 변수에는 명확한 기대치가 주어질 수 있다는 것입니다.절대 컨버전스가 실패할 때마다 기대치는 +θ로 정의할 수 있습니다.두 번째 기본적인 관찰은 임의의 랜덤 변수가 음이 아닌 두 랜덤 변수의 차이로 기록될 수 있다는 것입니다.랜덤 변수 X가 주어지면 X = max(X, 0) 및 ⁻ X = -min(X, 0)으로 ⁺ 양의 부분과 음의 부분을 정의할 수 있습니다.이는 음이 아닌 랜덤 변수이며 X = X ⁺ - X임을 ⁻ 직접 확인할 수 있습니다. E[X ⁺]와 E[X ⁻]는 모두 음이 아닌 숫자 또는 +소수로 정의되므로 다음과 같이 정의하는 것이 자연스럽습니다.

이 정의에 따르면 E[X ⁺]와 E[X ⁻]가 둘 다 유한한 경우에만 E[X]가 존재하고 유한하다.X = X ⁺ + X라는 ⁻ 공식 때문에, 이것은 E X가 유한한 경우에만 해당되며, 이는 위의 정의에서 절대 수렴 조건과 같다.따라서, 현재 고려사항은 이전에 고려되지 않은 어떤 경우에도 유한한 기대치를 정의하지 않으며, 무한한 기대치에 대해서만 유용하다.

• 세인트루이스의 경우.Petersburg 패러독스, 하나는 X = 0이므로 ⁻ 원하는 대로 E[X] = +126입니다.
• 랜덤 변수 X가 각 확률 6µ⁻², 6(2µ),⁻² 6(3µ),⁻² 6(4µ),⁻² ...을 갖는 값 1, -2,3, -4, ...을 취한다고 가정합니다.그 후 X는 각 양의 정수 k에 대해 확률 6((2k-1)))⁻²의 값 2k-1을 취하고 나머지 확률과 함께 값 0을 취한다 ⁺.마찬가지로 X는 ⁻ 각 양의 정수 k에 대해 확률 6(2kµ)⁻²의 값 2k를 취하고 나머지 확률과 함께 값 0을 취합니다.음이 아닌 랜덤 변수에 대한 정의를 사용하면 E[X ⁺] = θ 및 E[X ⁻] = -θ 둘 다임을 나타낼 수 있습니다(하파 계열 참조).따라서 이 경우 X의 기대치는 정의되지 않습니다.
• 마찬가지로 위에서 설명한 바와 같이 코시 분포는 기대치를 정의하지 않았습니다.

일반 분포의 기대값

다음 표에는 일반적으로 발생하는 확률 분포의 기대값이 나와 있습니다.세 번째 열은 정의에 의해 즉시 주어진 형태와 그것으로부터 연산을 통해 얻은 단순화된 형태로 기대치를 제공한다.이러한 계산에 대한 자세한 내용은 항상 간단하지는 않지만 표시된 참고 자료에서 확인할 수 있습니다.

분배	표기법	평균 E(X)
베르누이[24]	${\displaystyle X\sim ~b(1,p)}$	${\displaystyle 0\cdot (1-p)+1\cdot p=p}$
이항[25]	${\displaystyle X\sim B(n,p)}$	$\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=np}$
포아송[26]	$\displaystyle X\sim \mathrm {Po} (\lambda )$	${\displaystyle _{i=0}^{\infty}{\frac {-\fracda}\frac ^{i}}{i!}=\squalda }$
기하학[27]	${\displaystyle X\sim \mathrm {Geometric}(p)}$	${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty}ip(1-p)^{i-1}=black {1}{p}}$
통일[28]	${\displaystyle X\sim U(a,b)}$	$\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {x}{b-a}}},context=contextfrac {a+b}{2}}}$
지수[29]	$\displaystyle X\sim \exp(\lambda)}$	$\displaystyle \int _{0}^{\infty}\displayda xe^{-\displayda x},display=displayfrac {1}{\displayda }}$
보통의[30]	${\displaystyle X\sim N(\mu,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi \pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{-(x-\mu)^{2}/2\display ^{2}},display=\mu }$
표준 표준[31]	${\displaystyle X\sim N(0,1)}$	${\displaystyle {1}{\fracrt {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-x^{2}/2},param=0}$
파레토[32]	${\displaystyle X\sim \mathrm {Par} (\alpha,k)}$	$\displaystyle \int _{k}^{\infty}\alpha k^{-\alpha }x^{-\alpha },frac {\alpha -1}&\alpha > 1\\infty & 0\leq \leq 1.\end {cases}.x^{-\alpha }x }$
코시[33]	${\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (x_{0},\gamma)}$	${\displaystyle \frac{1}{}{}_{}^{}\frac{\pi }{}}$ -${\displaystyle {\mathrm{}}_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$(${\displaystyle \frac{x}{}}$ - ${\displaystyle \frac{{}_{}{}^{}{0\mathrm{}}_{}}{}}$ )${\displaystyle \frac{{}^{}{2\mathrm{}}^{}}{}}$ + ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 ${\displaystyle d}$x ( \ $display$style \ $flac${ { \ pi } } \$int _${ - \ $infty$} { \ $frac$ { } { ( x - x _ 0$)^2}$ + \ $flac$^ { $2$}, $flash$}는$$ 정의되어 있지 않습니다.

특성.

아래의 기본 특성(및 굵은 글씨로 표시된 이름)은 르베그 적분의 특성을 복제하거나 바로 뒤따릅니다.문자 "a.s."는 "거의 확실히"를 의미하며, 이는 르베그 적분의 핵심 특성입니다.기본적으로 X${\displaystyle 0}$0 ( \ $displaystyle$X \ $geq$0 )과$$ $같은{\displaystyle }$ 부등식은 확률측정이 상보사건{ < $0 }$ ( \ $displaystyle \ left$ \ {$0$ \ $right$\})에 0 질량을 속할 때 거의 틀림없이 참이라고 말할 수 있습니다.

• 비음성:$X{\displaystyle 0}$0 \ $displaystyle$X \ $geq$ 0$$（ a . s ） 、 $E{\displaystyle \mathrm{}\ge }$ [ ${\displaystyle X}$]${\displaystyle 0}$ 0 \$displaystyle \operatorname${$E$} [ X$$] \ $geq$ 0 $}$。
• 기대의 ^[34]선형성:예상값 연산자 $E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle [}$ [$]({ displaystyle \operatorname${ E } [ \ $cdot$])는$$ 임의의 임의의 $변수{\displaystyle }$X { \ $displaystyle$ $X$ $}$ 및 Y { \ $displaystyle$ Y $\}$에 대해 선형이며, $상수{\displaystyle }$a { \ $displaystyle$ a$\}$는 선형입니다.
  $${\displaystyle {displaystyle {E}\operatorname {E} [X+Y]&=\operatorname {E} [Y],\\\operatorname {E} [AX]&=a] [X]\end} 정렬$$

  

오른쪽이 잘 정의될 때마다.즉, 유한한 수의 랜덤 변수 합계의 기대값은 개별 랜덤 변수의 기대값의 합계이며, 기대값은 곱셈 상수에 따라 선형으로 스케일링됩니다.기호적으로 N$(\displaystyle$ N$)$ 랜덤$$ $변수{\displaystyle {}_{}}$ $(\$${i})$와 ${\displaystyle \mathrm{상수}}$ a$1\leq$ i$\leq$ N$)$의 $경우{\displaystyle }$ E $$ [ $\sum \underset{}{\overset{}{}}$ [ $\underset{}{\overset{}{1}}$ i $\underset{}{\overset{}{=}}$ $\underset{}{\overset{}{}}$ N ${}_{}{}_{}$ $i_{}$ $X_{}$] $\underset{}{\overset{}{=}}$ $\underset{}{\overset{}{1}}$ $i\mathrm{}$ i $=$ 1 $\underset{}{\overset{}{1}}$ I ]가 ${}_{}\mathrm{}$${\displaystyle .}$$t]=\sum$ _${i=1}^{N}a_{i}\operatorname {E}[X_{i$

• 단조:X${\displaystyle y}$ Y$、$ \ $display$X \$$leq Y （ a . s ） both ${\displaystyle \mathrm{both}}$ ${\displaystyle 、}$ E$$、 [ ${\displaystyle X}$$]$ \ $display$ style $\operatorname$${$$E }$ [ $X$$$]와 E ${\displaystyle [}$ [ Y$]$의 $양쪽$이 $존재$하는 $경우{\displaystyle \mathrm{}}$, ${\displaystyle E]}$ [ X$$]${\displaystyle \mathrm{Y}}$ ${\displaystyle ]Y}$if${\displaystyle 。}$
  Z${\displaystyle 0}$ 0$($$a$.s)부터 Z ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle Y}$- $(\$$displaystyle$ Z$=Y-X$$)$에 $대한{\displaystyle }$ 선형성 및 비음성 특성에서 증거가 나옵니다.
• 비퇴보:E ${\displaystyle }$ [ ${\displaystyle X}$] $=$ ${\displaystyle 0}$ { { $displaystyle$ \$operatorname${ E$$} [ X ] $= 0$$$}이면 ${\displaystyle \mathrm{X}}$ $=$0 (a.s.)
• X ${\displaystyle =}$ {$style$ X$=Y$a.s.)이면 E$$ [${\displaystyle X}$ ] ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle [}$ [ $]$ { $display$ \$operatorname {E}$ [X] = \$operatorname {E}$ [$Y]$}. 즉, X와 Y가 다른 확률의 랜덤 변수일 경우,
• 어떤 실수 ${\displaystyle c}$에 $대해$ X $=$$$c {\displaystyle X=c}(${\displaystyle a}$.s.)일 경우${\displaystyle ,}$ E${\displaystyle ]}$ [ X${\displaystyle }$]$$ ${\displaystyle c}$ \ $displaystyle \operatorname {E}$ [X] $=$c$.$ 특히 기대치가 명확한 랜덤 $변수{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$ X${\displaystyle \}}$의 경우 E${\displaystyle =}$ $C$$=\operatorname {E}$ [X$]\}.$ 올바르게 정의된 기대값은 기대값을 정의하는 하나의 숫자, 즉 상수가 있음을 의미합니다.따라서 이 상수의 기대치는 원래 기대치일 뿐입니다.
• 위에서 설명한 공식 X ⁺ = X + X의 ⁻ 결과로서, 삼각 부등식과 함께, 잘 정의된 $임의$의 변수$$X {\$displaystyle$X}에 대해 E${\displaystyle }$ [${\displaystyle X}$ ]${\displaystyle }$≤ ${\displaystyle X}$\$display \operatorname {E$} [$X$] \$leq \operon$ { X$}$ X가 ${\displaystyle 된다\mathrm{}}$.
• 1은_A 사건 A의 지시자 함수를 나타내며, E_A[1]는 사건 A의 확률로 주어진다.이는 위의 표에 계산된 바와 같이 베르누이 랜덤 변수의 기대치를 나타내는 다른 방법에 불과합니다.
• CDF에 관한 공식${\displaystyle :F}$ ( x$$) {$displaystyle F(x$)}가$$ 랜덤 변수 X의 누적 분포 함수인 $경우{\displaystyle }$,

$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x,dF(x),}$$

여기서 양쪽의 값은 잘 정의되거나 동시에 잘 정의되지 않으며 적분은 르베그-스티엘테스의 의미로 취해진다.E[X]의 이 표현에 적용된 부품별 통합의 결과로, 다음과 같이 증명될 수 있다.

$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }(1-F(x)),dx-\int _{-\infty }^{0}F(x),dx,}$$

르베게의 ^[35]의미에서의 적분들과 함께요특별한 경우로서, 음이 아닌 정수 {0, 1, 2, 3, ...}에서 값이 매겨진 임의의 변수 X에 대해 다음과 같은 값을 갖는다.

$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{n=0}^{\infty}\operatorname {P}(X>n),}$$

여기서 P는 기본 확률 측정을 나타냅니다.

• 비증배율:일반적으로 기대치는 곱셈이 아닙니다.$즉{\displaystyle \mathrm{}}$, E ${\displaystyle [}$ [ $]{ display$ \$operatorname {E$}[${\displaystyle \mathrm{XY}}$$$]${\displaystyle \mathrm{e<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{E\}\; [XY]\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="/immutable/placeholder.png"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:\; 6.63ex;\; height:\; 2.843ex;\; object-fit:\; cover;"\; srcset="">}}$ E ${\displaystyle [}$ [ Y$$]{ $display$style \$operatorname {E$} [$XY$ ]\$cdot \opername$ {$Y }$는 반드시 E ${\displaystyle [}$ [ Y${\displaystyle }$]와 $같을{\displaystyle \mathrm{}}$ 필요는 없습니다.${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle }$ [ ${\displaystyle X}$ Y${\displaystyle }$]$=$ ${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle }$ [ ${\displaystyle X}$]$E$ ${\displaystyle }$ [ Y$$]{ $display$style \$operatorname${ $E }$ [ XY ]=\$operatorname { E$ } [ $X$]\$operatorname { E$} [ $Y$${\displaystyle ]}$$$。랜덤 변수가 종속되어 있는 경우 $일반적$으로 E${\displaystyle }$ [ ${\displaystyle \mathrm{X}}$ ${\displaystyle ]}$uality는 버틸 수 있습니다.
• 무의식 통계학자의 법칙:X$({displaystyle$ X$}$에 $확률밀도함수{\displaystyle }$ f$x$가 있는 $경우{\displaystyle }$ X${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$ X$),$ g$displaystyle$ g$(X$의 측정가능함수의 기대값은 f$(\displaystyle$ f$)$와$$g(\$displaystyle$ g$):$^[34]
  $${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]=\int _{\mathbb {R}}g(x)f(x),1909}$$

  
  또한 이 공식은$$g {\$displaystyle$g}가$$ 여러 랜덤 변수의 $함수$이고$$f {\$displaystyle$f}가$$ 이들의 결합 ^[34][36]$밀도$인 다차원 경우에도 적용된다.

불평등

농도 부등식은 랜덤 변수가 큰 값을 가질 가능성을 제어합니다.마르코프 부등식은 가장 잘 알려져 있고 증명하기 쉬운 것 중 하나이다: 음이 아닌 임의의 변수 X와 양수 a에 대하여, 그것은 다음과 같이 기술한다^[37].

만약 X가 유한한 기대치를 갖는 임의의 변수라면, 마르코프 부등식은 체비셰프의 부등식을 얻기 위해 랜덤 변수 X-E[X]에 적용될 수 있다. 여기서 Var는 ^[37]분산입니다.이러한 불평등은 조건부 가정이 거의 완전히 결여되어 있다는 점에서 중요하다.예를 들어, 기대치가 유한한 임의의 변수에 대해 체비셰프 부등식은 결과가 기대치의 두 표준 편차 내에 있을 확률이 최소 75%임을 암시한다.그러나, 특별한 경우, 마르코프 부등식과 체비셰프 부등식은 종종 다른 방법으로 이용할 수 있는 것보다 훨씬 더 약한 정보를 제공한다.예를 들어, 가중치가 없는 주사위의 경우, 체비셰프의 부등식은 1과 6 사이에서 굴릴 확률이 최소 53%라고 말합니다. 실제로,^[38] 확률은 100%입니다.콜모고로프 부등식은 체비셰프 부등식을 랜덤 ^[39]변수 합계의 맥락으로 확장합니다.

다음 세 가지 부등식은 수학적 분석과 확률론에 대한 그것의 적용 분야에서 근본적으로 중요하다.

• 젠슨의 부등식:f: ℝ → be be and a a a a a a expect expect expect expect expect expect expect expect expect expect expect expect그럼^[40].
  $$\displaystyle f(\operatorname {E}(X)\leq \operatorname {E}(f(X))}$$

  

주장의 일부는 f(X)의 음의 부분이 유한한 기대치를 가지고 있기 때문에 오른쪽이 잘 정의되어 있다(아마도 무한하다).f의 볼록성은 두 입력의 가중 평균 출력이 두 출력의 동일한 가중 평균을 과소 추정한다고 표현될 수 있다. 젠센의 부등식은 기대치로 표현되는 완전한 일반 가중 평균 설정까지 이를 확장한다.f(x) = x가 양수 s < t인 특수한 경우, 랴푸노프 부등식을^[41] 구한다.

$$\displaystyle \left(\operatorname {E} X ^{s}\right)^1/s}\leq \left(\operatorname {E} X ^{t}\right)^1/t}.}$$

이것은 또한 쾰더 ^[40]부등식에 의해 증명될 수 있다.측정 이론에서, 이것은 특히 확률 공간의 특별한 경우에 L의^t L^p the L의 포함을^s 증명하는 데 주목할 만하다.

• 쾰더 부등식: p > 1과 q > 1이 p + q ⁻¹ = 1을 만족하는 ⁻¹ 수라면,
  $$\displaystyle \operatorname {E} XY \leq (\operatorname {E} X ^{p})^1/p}(\operatorname {E} Y ^{q})^1/q}.}$$

  

랜덤 변수 X 및 ^[40]Y에 대해 설명합니다.p = q = 2의 특수한 경우를 코시-슈바르츠 부등식이라고 하며, 특히 ^[40]잘 알려져 있다.

• 민코프스키 부등식: 임의의 숫자 p 1 1이 주어지면, E X와 E Y가 모두 유한한 임의의 변수 X와 Y에 대해, E X + Y도 유한하고^[42],
  $${\displaystyle {Bigl (\operatorname {E} X+Y ^{p} {\Bigr}} {1/p} \leq {Bigl (}\operatorname {E} X ^{p} {\Bigr} + {\Bigl (\operatorname {E} Y ^{p}}$$

  

쾰더와 민코프스키 부등식은 일반 측정 공간으로 확장될 수 있으며, 종종 그러한 맥락에서 주어진다.반면에, 젠슨 부등식은 확률 공간의 경우에 특별하다.

랜덤 변수의 수렴에 따른 기대치

${\displaystyle {일반적}_{}}$으로 X ${\displaystyle n_{}}$${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle X_n$${\displaystyle \}}$ \$to$ X $wise{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle \mathrm{if}}$ ${\displaystyle x}$[ X$$] \$displaystyle$ \$operatorname { E$ } \ to \operatorname { $E }$ [ X$$] \ $to$\$displaystyle$$$X_n } \to X$$wise$$ wise wise wise wise wise wise in in $wise{\displaystyle \mathrm{}}$ in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in ${\displaystyle {}_{}}$ in in in따라서 랜덤 변수에 대한 추가 조건이 없으면 한계와 기대치를 바꿀 수 없습니다.이를 확인하려면$$U {$displaystyle$ U$}$를 [${\displaystyle 0,}$ $]$ {$displaystyle [0,1]$ {$displaystyle$[0,1]$$[ 。$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$1${\displaystyle }1{\displaystyle }$n 、 { $displaystyle$n$\geq$ 1, $}$에서 일련의 랜덤 변수를 정의합니다.

${\displaystyle X_{n}=n\cdot\mathbf {1} \left\{U\in \left(0, {\tfrac {1}{n}}\right\})\right\}$

$1{\displaystyle \mathbf{}}${ ${\displaystyle A}$ $}$ {{ $displaystyle$ {$1 }$ \ { $A$\ } } 1$$ 、 $display$ with $with{\displaystyle }$ with A$.$ function 0 、 X ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ { $displaystyle$ X $_${ $n$} \ $to$0 } $wisewisewisewisewisewisewise$ 。$단{\displaystyle \mathrm{}}$, E ${\displaystyle }$ [ ${\displaystyle X_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$]${\displaystyle =}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \mathrm{P}}$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle U0\mathrm{}}$[ 0 , ${\displaystyle \frac{1}{}}$ n${\displaystyle ]}$ ) ${\displaystyle =}$ n${\displaystyle \frac{n}{}}$ 1 $=$ $1${$displaystyle$ \$operatorname$ { E$}$ [ $X _$ { n }$=$n \$cdot$ \ $operatorname$ { P } \$left$ ($U$\ left [ $0$ , 1 n ]) { $fr }$${\displaystyle \lim$$}$

마찬가지로 랜덤${\displaystyle }$변수의 ${\displaystyle {}_{}}$인 시퀀스{ Y${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ : ${\displaystyle n0}$ 0$}$ { $displaystyle$\ { Y$_$ {$n$ :$n$ : n \ $geq$ 0$$\$$} , {\ value is is $is{\displaystyle }$ is is is is is is is is is {\ {\ is 연산자는 ${\$ \ $displaystyle \sigma$} - addive가$$ 아닙니다.

$\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _ {n=0}^{\infty }Y_{n}\right]\neq \sum _{n=0}^{\infty}\operatorname {E}[Y_{n}}$

예를 들어 Y ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 1$$({$displaystyle$ $Y_{0$}= $X_{1})$ $및$ Y ${\displaystyle n_{}}$$$$=$ ${\displaystyle X_{}}$n +${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ - ${\displaystyle {}_{}}$ ({n}= $X_{n+1}-X_{n$})을$$ $x_style$X_{$n}$로 $설정$하면 쉽게 얻을 수 있습니다.

다수의 수렴 결과는 다음과 같이 한계와 기대치를 교환할 수 있는 정확한 조건을 명시합니다.

• 모노톤 수렴 정리:$\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle X_{}}$n : ${\displaystyle n0}$ 0$}$ { $displaystyle$\ { X _ {$n$ :$n$ \ $geq$ 0$$\ ${\displaystyle {}_{}}$ x$$ 0 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}{n}_{}}$ +$$ ( \ $displaystyle$0 \ $leq X$_ { n _ { n$}$ ) $$$q$ 、 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\_}}$$${ n +$1$ （ a . s ${\displaystyle ）}$$variables$ n 0 . more $styleq$ 0$$。그런 다음, 단조 수렴 정리는 ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ n ${\displaystyle \underset{}{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle }$ [ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$] ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle [}$ [ ${\displaystyle X]}$ .$${ $displaystyle \lim$_ {$n}$ \$operatorname {E} =$ \$operatorname {E}$ [$X]$ [X]임을 ${\displaystyle \underset{}{나타냅니다}}$.$}$
  단조 수렴 정리를 사용하면, 기대치가 음이 아닌 랜덤 변수에 대한 가산성을 실제로 만족시킨다는 것을 보여줄 수 있다.특히 { ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {=}_{}^{}}$ ${\$ { $displaystyle$\ { X$_$ { $i$} \ }$_$ { i$$=$0$}^{ \ $infty$}}을$$ 음이 아닌 랜덤 변수로 한다$.{\displaystyle }$단조 수렴 정리로부터 다음과 같이 된다.
  $${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _ {i=0}^{\infty }=\sum _ {i=0}^{\infty}\operatorname {E} [X_{i}]}$$

  
• 파투의 보조군:$\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle X_{}}$ n${\displaystyle {}_{}0}$0 : n${\displaystyle 0}$ 0${\displaystyle }$}$${ $displaystyle$\ { X$_$ { $n$} \ $geq$0 :$n$ \ $geq$ 0$$\ } 은$$ 음이 아닌 랜덤 변수의 시퀀스입니다.파투의 보조군에는 다음과 같이 기술되어 있다.
  $$\displaystyle \operatorname {E} [\liminf _{n}X_{n}\leq \liminf _{n}\operatorname {E} [X_{n}]}$$

  
  결과입니다.$모든$ $n{\displaystyle 0}$0 { $style n$\ $\}$ ${\displaystyle \{\backslash }$ ${\displaystyle {}_{}}$ → X $display$ X _ { n }${\displaystyle }$$}$ [ X${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ } $、$$$ \ $display$style \$operatorname${$E$} [ $X _$ { n } \ $leq$ C$$]를 사용하여$$ X ${\displaystyle {}_{}}$ $display$ X_{ n } \ $style C$로 $합니다{\displaystyle {}_{}}$.
  증명은 X $=$ $\underset{}{lim}$ $\underset{}{inf}$ $X_{}$n { $textstyle$ X$=$ \$liminf$_ {$n}X_{$n}$$ (a.s.)을 관찰하고 Fatou의 보조항원을 적용하는 것이다.
• 지배적 수렴 정리:$\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle X_{}}$n : n${\displaystyle 0}$ 0$}$ { $displaystyle$\ { X$_$ {$n$ : n : $n$\ $geq$ 0$$\ } a$$ 。$X$ n ${\displaystyle {}_{}}$ { $style$ X _ { $n$} \ $to$ X$$${\displaystyle wisewise}$ （ a . s . s . ） 、 X ${\displaystyle n_{}{}_{}y}$ Y ${\displaystyle +}$ +${\$ \ $display X$_ { $n$$$} \$leq$+ \ $infty }$ （ a . s ） 、 [ [[ [ $]<$ $display styleq }$
  • X E Y { $displaystyle \operatorname { E$ }$X \leq \operatorname { E$} [ $Y$]<\$infty$ ;
  • ${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n} =\operatorname {E} [X]}$
  • $\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} X_{n}-X = 0.}$
• 균일한 통합성:${\displaystyle {}_{}}$에 따라서는 시퀀스${\displaystyle }${${\displaystyle {X\_style}_{}}$이(가) 유지되고 있을 때 ${\displaystyle \underset{}{등식}}$ $lim$n E$display$[ X n${\displaystyle {}_{}}$] $= operatorname { E$} [ \ $lim$ _ { $n$] = \ $lim$_ { $n$} $X$$$_ { $n$$}$ style 이(가) $유지$되고 ${\displaystyle \underset{}{있습니다}}$$.$

특성 함수와의 관계

스칼라 랜덤 $변수{\displaystyle }$X의 확률 밀도 $함수{\displaystyle {}_{}}$ f $X$$({display$ style $f_{X})$는 그 특성 함수$$δ$$$$ X({$display$style \$varphi _{X})$와 반전 공식에 의해 관련지어집니다.

${\displaystyle f_{X}(x)=flac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R}}e^{-itx}\varphi _{X}(t),\mathrm {d} t.}$

g${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$)$${$displaystyle$ g$(X)}$ (${\displaystyle 여기}$서${\displaystyle }$g : R ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle$g:{\$mathbb${$R}}\to {mathbb {R}})$의 기대치에 대해 이 반전 공식을 사용하여 구할 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]=parfrac {1}{2\pi }}}\int _{\mathbb {R}g(x)\left[\int _{\mathbb {R} e^{-itx}\varphi _{X}, \mathrm {d} t} 오른쪽,$

$E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle [}$ [${\displaystyle g}$ (${\displaystyle }$X )$]{$ $displaystyle \operatorname${ $E$} [$g$ ( X )$$}가$$ 유한하고 적분 순서가 변경되면 Fubini에 따라 다음과 같이 됩니다.토넬리 정리

${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]=parfrac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R}}G(t)\varphi _{X}(t),\mathrm {d}t,}$

어디에

$\displaystyle G(t)=\int _{\mathbb {R}}g(x)e^{-itx},\mathrm {d}x}$

는 g${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$)의 푸리에 변환입니다$.\$ $displaystyle$ g$(x)$} E$$${\displaystyle [}$[ g (${\displaystyle X}$ )$$] {{$displaystyle \operatorname {E}$ [$g($X$$)]}의 $표현$도 Plancherel 정리로부터 직접 온다$.$

용도 및 응용 프로그램

랜덤 변수에 대한 기대는 다양한 컨텍스트에서 중요한 역할을 합니다.예를 들어, 의사결정 이론에서, 불완전한 정보의 맥락에서 최적의 선택을 하는 대리인은 종종 효용 함수의 기대치를 최대화하는 것으로 가정된다.다른 예로, 사용 가능한 데이터를 기반으로 알 수 없는 모수에 대한 추정치를 찾는 통계에서는 추정치 자체가 랜덤 변수입니다.이러한 설정에서 "좋은" 추정치에 대한 바람직한 기준은 치우침이 없다는 것입니다. 즉, 추정치의 기대값은 기본 모수의 참 값과 동일합니다.

이벤트가 발생하면 1이 되고 그렇지 않으면 0인 지시 함수의 예상을 취함으로써 사건의 확률과 동일한 기대치를 구성할 수 있다.이 관계는 기대치의 속성을 확률의 속성으로 변환하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어 주파수에 의한 확률 추정을 정당화하기 위해 큰 수의 법칙을 사용한다.

X의 거듭제곱의 기대치를 X의 모멘트라고 하며, X의 평균에 대한 모멘트는 X - E의 거듭제곱의 기대치입니다.일부 랜덤 변수의 모멘트는 모멘트 생성 함수를 통해 분포를 지정하는 데 사용할 수 있습니다.

랜덤 변수의 기대값을 경험적으로 추정하기 위해 변수의 관측치를 반복적으로 측정하고 결과의 산술 평균을 계산합니다.기대값이 존재하는 경우 이 절차에서는 치우치지 않은 방식으로 참 기대값을 추정하며 잔차의 제곱합(관측치와 추정치 사이의 제곱 차이의 합)을 최소화하는 특성이 있습니다.큰 숫자의 법칙은 표본의 크기가 커질수록 이 추정치의 분산이 작아진다는 것을 나타냅니다(매우 가벼운 조건하에서).

대부분의 관심량이 기대치 측면에서 기록될 수 있기 때문에(예: P ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle X\mathrm{e}}$ A ) ${\displaystyle =}$ E ${\displaystyle }$ [ ${\displaystyle {1A}_{\mathcal{}}}$](\)와 $같이{\displaystyle \mathrm{}}$ 몬테카를로 방법을 통해 (확률론적) 관심량을 추정하기 위해 통계적 추정과 기계 학습의 일반적인 문제를 포함한 다양한 애플리케이션에서 종종 이용된다.$displaystyle \operatorname {P}({X\in$ {$mathcal$ {A$})=\operatorname${E$}[{\$$mathbf$${1}_{\mathcal$ {A$}}}).$ ${\displaystyle {여기}_{}}$서 $A$는${\style$$}_{\mathcal$ {$A$$}$의 표시기 함수입니다.

고전역학에서 질량의 중심은 기대와 유사한 개념이다.예를 들어, X가 값_i x와 해당 확률이_i p인 이산 랜덤 변수라고 가정합니다.이제 로드를 따라 위치_i x에 중량 p(합계가 1인)를_i 갖는 웨이트리스 로드를 생각해 보겠습니다.로드 밸런스가 유지되는 지점은 E[X]입니다.

기대값은 분산에 대한 계산식을 사용하여 분산을 계산하는 데도 사용할 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {Var}(X)=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}}$

기대치의 매우 중요한 적용 분야는 양자역학 분야이다.양자상태 벡터$$에서 동작하는 양자기계 $연산자{\displaystyle \stackrel{}{}}$ A$^$ ${\$$displaystyle$ $\psi$$\rangle }$의 기대치는${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ A${\displaystyle \stackrel{}{}}$^$$$= display$ A $（$ \ displaystyle $\hat {A}}\rangle$ =\$le$ \$PSI \PSI ）$로 표기한다$.$$\displaystyle {A}}$은(는${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}{\stackrel{}{^}}^{}}$ ${\displaystyle A^{\mathrm{}}}$ ^ 2${\displaystyle }$-${\displaystyle \stackrel{}{}^{}^{}}$ $2$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ \$langle {A} {{2$} \rangle$-$ \$hat$ {A} ^ 2 } = \$langle {$A} {{2} \$rangle {A} ^2$ } = ^2 ^2 }${\displaystyle }$} = . { { ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ the { { { the the the the { the the the { { the the the the the the the

「 」를 참조해 주세요.

• 질량 중심
• 중심 경향
• 체비셰프의 부등식(위치 및 척도 모수의 부등식)
• 조건부 기대
• 기대(일반 용어)
• 기대치(양자역학)
• 총 기대의 법칙—Y가 주어진 X의 조건부 기대값의 기대값은 X의 기대값과 같다.
• 모멘트(수학)
• 비선형 기대치(기대값의 일반화)
• 표본 평균
• 모평균
• Wald's 방정식 - 랜덤 변수 수의 기대값을 계산하는 방정식

레퍼런스

문학.

외부 링크

"Expected Value Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-08-21.