간격 교환 변환

수학에서 구간 교환 변환은^[1] 원의 회전을 일반화하는 일종의 역동적인 시스템이다. 위상공간은 단위간격으로 구성되며, 그 간격을 여러 개의 하위간격으로 절단한 다음 이러한 하위간격을 허용함으로써 변환이 작용한다. 그것들은 폴리곤 당구 연구와 지역 보존 흐름에서 자연스럽게 발생한다.

형식 정의

Let ${\displaystyle n>0}$ and let ${\displaystyle \pi }$ be a permutation on ${\displaystyle 1,\dots ,n}$. Consider a vector ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$ of positive real numbers (the widths of the subintervals), satisfying

$\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\ida _{i}=1.}$

지도 T ${\displaystyle {\pi }_{}}$ ,${\displaystyle {\lambda }_{}}$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }:[$${\displaystyle 0,}$$1]\rightarrow [0,$$],}}},$ "$pi,\lambda )"$를 다음과 같이$$ 정의한다$.{\displaystyle }$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le n}$ ${\displaystyle 1\leq$ i$\leq n}$의 경우

${\displaystyle a_{i}=\sum _{1\leq j<i}\boda _{j}\data _{j}\text{and}}}\sum _{1\leq j<pi (i)}\pi ^{-1(j)}}}}}}}}$

$그런{\displaystyle }$ 다음 x ${\displaystyle \in }$[ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$에 대해 정의하십시오$.$

${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }(x)=x-a_{i}+a'_{i}}}}}$

$x$ ${\displaystyle x}$이(가) 하위 interval${\displaystyle }$[${\displaystyle a_{}{}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$)에 있는$$ 경우$,$ {\$displaystyle$ [a_{$i},a_{i$}+\$data _{i$ Thus ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ acts on each subinterval of the form ${\displaystyle [a_{i},a_{i}+\lambda _{i})}$ by a translation, and it rearranges these subintervals so that the subinterval at position ${\displaystyle i}$ is moved to position ${\displaystyle$$\pi (i)}$.

특성.

임의의 간격 교환 변환 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$ ,${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$은(는) 르베그 측정 자체를 보존하기 위해$$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]$의 편향이다. 한정된 수의 점을 제외하고 연속적이다.

간격 교환 변환 T ${\displaystyle {\pi }_{}}$ ,${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$의 역행은 다시 간격 교환 변환이다$$. In fact, it is the transformation ${\displaystyle T_{\pi ^{-1},\lambda '}}$ where ${\displaystyle \lambda '_{i}=\lambda _{\pi ^{-1}(i)}}$ for all ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$.

$만약{\displaystyle }$n = ${\displaystyle 2}${\$displaystyle n=$2$$}, ${\displaystyle =}$= (${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle \pi$ = $(12)}($주기 표기법에서) 구간의 끝을 결합하여 원을 만든다면, $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}}$λ , ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\${\pi ,\$lambda$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}은 원 회전일 뿐이다. 그러면 Weyl 등분포 정리는 길이 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\$}가$$ 비합리적이라면 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$, ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$은(는) 고유하게 에고 주장한다. 대략적으로 말하면$,{\displaystyle }$ 이것은 [ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]}$의 점의 궤도가 균일하게 분포되어 있음을$$ 의미한다. 한편 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\$}가 합리적이라면$$ 간격의 각 지점은 주기적이며, 기간은 $period{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}의 분모($$최저 용어로 표기)이다.

만약 n;2{\displaystyle n>2}, 그리고π{\displaystyle \pi}가 제공입니다. 특정non-degeneracy 조건 있는 속임수){1,…, km그리고 4.9초 만}{\displaystyle\pi(){1,\dots ,k\})=\{1,\dots ,k\}}) 깊은 정리(즉 없는 정수 0<>k<>n{\displaystyle 0<, k<, n}가 π({1,…, k은}).M의 jecture킨과 윌리엄 A의 독립적 재산.Veech[2]와 하워드 Masur[3]λ{\lambda\displaystyle}단위로 거의 모든 선택 사항에 대해서}{(t1,…, 터 n):나는 1정도∑ t}{\displaystyle\와 같이{(t_{1},\dots{n,t_}):\sum t_{나는}=1\ simplex}은시면서 교류 변환 Tπ,({\displaystyle T_{\pi ,\lambda}}다시 독특한 에르고 드적인 것이라고 주장합니다.. 그러나 $n{\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle n\geq$ 4$}$의 경우 (${\displaystyle }$$also{\displaystyle {}_{}}$ , ${\displaystyle \lambda )}$ ${\displaystyle (\pi ,\lambda )}$의 선택 사항도 존재하므로$$$$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {,}_{}}$ , , , ${\displaystyle {\lambda }_{}}${\$displaystyty T_{\pi$,\$lambda$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}은(으(으(으(으$$)은(으(으(으)는 이러한 경우에도 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\pi ,}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$, λ$,$ {\$displaystyle T_{\pi,\lambda }}}$의 에고딕 불변성 측정의 수는 유한하며$$, $기껏해야{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$이다$.$

인터벌 맵은 위상학적 엔트로피가 0이다.^[4]

주행 기록계

디아디드 주행 기록계는 계산 가능한 간격 수의 간격 교환 변환으로 이해할 수 있다. 디아디드 주행 기록계는 가장 쉽게 변환으로 기록된다.

${\displaystyle T\left(1,\dots,1,0,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots,0,1,b_{k+1},b_{k+1},\dots \rig)}$

칸토어 공간${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1{}^{\}}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}^{}}$ . ${\displaystyle \{0,$1\}^{\$mathb${N$}}}}$에 정의된 칸토어 공간으로부터 단위 간격까지의 표준 매핑은 다음과 같다.

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{1},b_{2},\cdots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{n=0}}}\infit }b_{n2}^{-n-1}$

이 지도는 칸토어의 표준 베르누이 측정치를 단위 간격의 르베그 측정에 매핑한다는 점에서 칸토어 설정에서 단위 간격까지의 측정치 동형성을 보존하는 것이다. 주행 기록계 및 주행 기록계 첫 번째 세 개의 이차계의 시각화가 오른쪽에 나타난다.

상위 치수

2차원 및 고차원 일반화에는 폴리곤 교환, 다면 교환, 조각상 등각류가 포함된다.^[5]

참고 항목

• 주행 기록계

메모들

참조

• Artur Avila 및 Giovanni Forni, 간격 교환 변환 및 변환 흐름에 대한 약한 혼합, arXiv:math/0406326v1, https://arxiv.org/abs/math.DS/0406326