아노소프 차동형성

수학에서, 특히 역동적인 시스템과 기하학적 위상 분야에서, 다지관 M의 아노소프 지도는 M에서 그 자체로, 다소 분명하게 "확장"과 "연장"의 국지적 방향을 표시한 특정한 형태의 지도화다. 아노소프 시스템은 Axiom A 시스템의 특별한 경우다.

아노소프의 차이점형식은 드미트리 빅토로비치 아노소프에 의해 소개되었는데, 그는 그들의 행동이 적절한 의미의 제네릭(전혀 존재할 때)에 있음을 증명했다.^[1]

개요

밀접하게 관련된 세 가지 정의를 구별해야 한다.

• M의 서로 다른 지도 f가 접선 번들에 쌍곡선 구조를 가지고 있다면, 그것은 아노소프 지도라고 불린다. 그 예로는 베르누이 지도와 아놀드의 고양이 지도가 있다.
• 지도가 차이점형이라면 아노소프 차이점형이라고 한다.
• 다지관의 유량이 탄젠트 번들을 기하급수적으로 수축하고 있는 서브 번들 하나와 기하급수적으로 팽창하고 있는 서브 번들 하나, 그리고 세 번째, 비확장, 비계약형 1차원 서브 번들(흐름 방향에 의해 확장됨)으로 쪼개면 그 흐름을 아노소프 흐름이라고 한다.

아노소프 차이점프주의의 고전적인 예는 아놀드의 고양이 지도다.

아노소프는 아노소프 차이점형식이 구조적으로 안정적이며 C¹ 위상과의 매핑(흐름)의 열린 부분집합을 형성한다는 것을 증명했다.

모든 다지체가 아노소프 차이점형성을 인정하는 것은 아니다. 예를 들어, 구에는 그러한 차이점형식이 없다. 콤팩트한 다지관의 가장 간단한 예는 토리(tori)이다. 그들은 계량 1의 고유값이 없는 이소형성인 소위 선형 아노소프 차이점형식을 인정한다. 토러스 위에 놓인 다른 아노소프 차이점형성은 위상학적으로 이런 종류의 하나와 결합되어 있다는 것이 증명되었다.

아노소프 차이점을 인정하는 다지관의 분류 문제는 매우 어려운 것으로 드러났고, 2012년^[update] 현재도 답이 없다. 알려진 유일한 예는 인라닐 다지관이며, 그것들만이 유일한 것으로 추측된다.

Transitability에 대한 충분한 조건은 모든 포인트가 뒤틀리지 않는다는 것이다: $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Oomega (f)=M$

또한 모든 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 볼륨 보존$$ 아노소프 차이점형성이 에고다이컬인지는 알 수 없다. 아노소프는 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{2}$가정 하에$$ 그것을 증명했다. 그것은$$ ${\displaystyle {또한\mathrm{}}^{}}$C ${\displaystyle 1^{}}$ +$$α {\$displaystyle C^{$1+\$alpha}}}$ 볼륨 보존 아노소프 차이점 유형에도 적용된다.

For ${\displaystyle C^{2}}$ transitive Anosov diffeomorphism ${\displaystyle f\colon M\to M}$ there exists a unique SRB measure (the acronym stands for Sinai, Ruelle and Bowen) ${\displaystyle \mu _{f}}$ supported on ${\displaystyle M}$ such that its basin ${\displaystyle B(\mu$$_{f}}$은(는) 전체 볼륨이며, 여기서

${\displaystyle B(\mu _{f}=\왼쪽\{x\in M:{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\delta _{f^{k}x}\mu _{f}\right\}.}$

Riemann 표면에서 아노소프가 흐른다(접선 번들).

예를 들어, 이 절에서는 음의 곡률의 리만 표면의 접선 다발에서 아노소프 흐름의 사례를 전개한다. 이 흐름은 쌍곡 기하학의 푸앵카레 반평면 모델의 접선다발에서의 흐름의 관점에서 이해할 수 있다. 음의 곡률의 리만 표면은 푸치안 모델, 즉 상부 하프 평면과 푸치안 그룹의 인용구로 정의할 수 있다. For the following, let H be the upper half-plane; let Γ be a Fuchsian group; let M = H/Γ be a Riemann surface of negative curvature as the quotient of "M" by the action of the group Γ, and let ${\displaystyle T^{1}M}$ be the tangent bundle of unit-length vectors on the manifold M, and let ${\displaystyle T^{1}H}$ be H에 있는 단위 길이 벡터의 접선 번들. 표면에 있는 단위 길이 벡터 번들이 복합 선다발의 주요 번들임을 유의한다.

리 벡터 필드

하나는 T ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{1}H}$가 Lie 그룹 PSL(2,R)과 이형성이라는 것을$$ 주목하는 것으로 시작한다. 이 그룹은 상부 하프 평면의 방향 유지 등위계 그룹이다. PSL(2,R)의 Lie 대수학은 sl(2,R)이며 행렬로 표현된다.

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\\\end{pmatrix}}\qquad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

대수학을 가지고 있는

${\displaystyle [J,X]=X\qquad [J,Y]=-Y\qquad [X,Y]=2J}$

지수 지도

${\displaystyle g_{t}=\exp(tJ)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}^{*}=\exp(tX)={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}=\exp(tY)={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\\\end{pmatrix}}}$

define right-invariant flows on the manifold of ${\displaystyle T^{1}H=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$, and likewise on ${\displaystyle T^{1}M}$. Defining ${\displaystyle P=T^{1}H}$ and ${\displaystyle Q=T^{1}M}$, these flows define vector fields on P 벡터가 TP와 TQ에 있는 Q. 이것들은 리 그룹 다지관의 일반적인 리 벡터 장일 뿐이며, 위의 프레젠테이션은 리 벡터 장에 대한 표준 설명이다.

아노소프 흐름

아노소프 흐름과의 연결은 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$가 P와 Q의 지오데틱 흐름이라는 것을 깨달음에서 비롯된다. 그룹 요소의 작용에 따라 (정의상) 좌측 불변성이 되는 리 벡터 필드는 지질 흐름의$$ 특정 요소 ${\displaystyle g_{}}$ ${\$에 따라 이러한 필드가 불변성이 되도록 한다. 즉, 공간 TP와 TQ는 3개의 1차원 공간, 즉 서브번들(subbundle)로 나뉘는데, 각각은 지오데틱 흐름 하에서는 불변이다. 마지막 단계는 한 하위 분절의 벡터 필드가 확장(그리고 기하급수적으로 확장), 다른 분절의 벡터 필드는 변경되지 않으며, 제3의 수축(그리고 기하급수적으로 확장됨)에 있는 것을 알아보는 것이다.

더 정확히 말하면 접선 번들 TQ는 직접 합으로 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}}$

또는, $지점{\displaystyle }$ g${\displaystyle e}$ e${\displaystyle }$= ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle g\cdot e=q\in Q$에서 직접 합계

${\displaystyle T_{Q}Q=E_{q}^{+}\oplus E_{q}^{0}\oplus E_{q}^{-}}$

각각 리 대수 생성기 Y, J, X에 해당하며, 원점 e에서 지점 q까지 그룹 요소 g의 좌측 작용으로 운반된다. $즉{\displaystyle {}_{}^{}}$, E ${\displaystyle e_{}^{}}$+${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ e ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle E_{e}^{+}=Y,$$E_{e}^{0}=J}$ 및$$ ${\displaystyle E_{}^{}}$-${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{e}^{-}=X}$. 이러한 공간은 각각 하위 분절이며, 지오데틱 흐름의 작용, $즉{\displaystyle }$ g =${\displaystyle {}_{}}$ = g ${\displaystyle t_{}}$ ${\$의 작용에 따라 보존(불변)된다$.$

${\displaystyle {}_{}}$ 지점 Q에서 T Q ${\displaystyle T_{Q}Q}$의 벡터 길이를 비교하려면 메트릭이 필요하다. $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathrm{l}}$( 2${\displaystyle }$,${\displaystyle R\mathbb{}}$ )$${\$displaystyle T_{e}P=sl(2,\mathb {R}$ )}의 내측 제품은 P의 왼쪽-인바리안 리만 메트릭으로 확장되며$$, 따라서 Q의 리만 메트릭스로 확장된다. 벡터 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {Eq}_{}^{}}$+ ${\$의 길이는 g ${\displaystyle t_{}}$ ${\$의 작용에 따라 exp(t)로 기하급수적으로 확장된다$.$ 벡터 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle q_{}^{}}$- ${\$의 길이는 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$의 작용에 따라 exp(-t)로 기하급수적으로 축소된다$.$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\$ E_${q}^{$0}}의 벡터는 변경되지 않는다$.$ 이것은 그룹 요소들이 어떻게 통근하는지 살펴봄으로써 알 수 있다. 지오데스의 흐름은 불변하지만

${\displaystyle g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}}}$

하지만 다른 두 명은 움츠리고 팽창했다.

${\displaystyle g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\expos)}^{*}g_{s}}}}$

그리고

${\displaystyle g_{s}h_{t}=h_{t\exp(s)g_{s}}}}}$

여기서 우리는 ${\displaystyle {Eq}_{}^{}}$+ ${\$의 접선 벡터가$$ ${\displaystyle t_{}}$에 관해서$,$ $설정{\displaystyle {}_{}}$ t = ${\displaystyle 0}$${\$$displaystyle$ $h_{t$$\}$의 파생 $모델$에${\displaystyle }$의해 $주어진다는$ 것을 $상기$한다.

아노소프 흐름의 기하학적 해석

상단 하프 평면의 점$$ $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z=i}$에 작용하는 경우 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 점 z${\displaystyle }$= ${\displaystyle i}$ ${\displaysty z=i}$를 통과하는 상단 하프 평면의 지오데틱에 해당한다$.$ 작용은 상반면에 있는 SL(2,R)의 표준 뫼비우스 변환 작용이므로 다음과 같다.

${\displaystyle g_{t}\cdot i={\pmatrix}\exp(t/2)\exp(t)\exp(t)\exp(t)\end{pmatrix}\cdot i=i\exp(t)}$

일반 지오데틱은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\cdot i\exp(t)={\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}}}}}}}}$

${\displaystyle a}$, b, c, ${\displaystyle d}$ real이 $있고{\displaystyle }$d -${\displaystyle b}$ = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle ad-bc=1$ ${\displaystyle {curve}_{}^{}}$ $h{\displaystyle {}_{}^{}}$ t t$display${\$displaystyle$ h_${$t}^{*}}, h ${\displaystyle t_{}}${\$displaystyle h_{t}}}$의 곡선을 호로사이클이라고 한다$$. 호로시클은 상반면에 있는 호로권의 정상 벡터의 움직임에 해당한다.

참고 항목

• 에고다이컬 흐름
• 모스-스마일 시스템
• 사이비 아노소프 지도

메모들

참조

• "Y-system,U-system, C-system", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 앤서니 매닝(Anthony Manning, Geodesic and Horocycle of Geodsic and Horocycle)은 일정한 음의 곡률의 표면에 흐른다(1991)는 팀 베드포드(Tim Bedford), 마이클 킨(Michael Keine)과 캐롤라인 시리즈(Caroline Series)의 3장으로 등장한다. 옥스퍼드 대학 출판부, 옥스퍼드 대학 출판부 (1991년). ISBN 0-19-853390-X (SL(2,R)의 아노소프 흐름에 대한 설명서를 제공한다.)
• 이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 허가된 플래닛매스(PlanetMath)의 아노소프 차이점형성 자료가 통합되어 있다.
• 수나다 토시카즈, 리만 표면에 자석이 흐른다, 프로크. 카이스트 수학. 작업장(1993) 93–108.