페르마틴 뢰프

Per Martin-Löf
페르마틴 뢰프
2004년 페르마틴 뢰프
태어난 (1942-05-08) 1942년 5월 8일 (81세)
스웨덴 [1]스톡홀름
국적.스웨덴의
시민권스웨덴
모교스톡홀름 대학교
유명한랜덤시퀀스
정확한 테스트
반복구조
충분한 통계량
기대극대화법
마르틴-뢰프 유형론
마르틴 뢰프 무작위성
상
과학경력
필드컴퓨터 사이언스
논리
수학통계학
철학
기관스톡홀름 대학교
시카고 대학교
아르후스 대학교
박사지도교수Andrei N. Kolmogorov

에릭 뤼트거 마틴 뢰프(/l ɒ프/; 스웨덴어:ˈ ǎʈːɪ ˈ뢰 ː프(, 1942년 5월 8일 ~ )는 스웨덴의 논리학자, 철학자, 수학 통계학자입니다. 그는 확률, 통계학, 수학 논리학, 컴퓨터 과학의 기초에 대한 그의 연구로 국제적으로 유명합니다. 1970년대 후반부터 마르틴 뢰프의 출판물은 주로 논리학이었습니다. 철학적 논리학에서 마르틴 뢰프는 브렌타노, 프레게, 후설의 작업에서 부분적으로 영감을 받아 논리적 결과와 판단의 철학과 씨름했습니다. 마르틴-뢰프는 수학 논리학에서 직관주의 유형 이론을 수학의 건설적 기초로 개발하는 데 적극적이었고, 마르틴-뢰프의 유형 이론 연구는 컴퓨터 과학에 영향을 미쳤습니다.[4]

2009년 은퇴할 때까지 [5]페르 마르틴 뢰프는 스톡홀름 대학교에서 수학과 철학을 위한 공동 석좌를 맡았습니다.[6]

그의 형 안데르스 마르틴 뢰프는 현재 스톡홀름 대학교의 수학 통계학 명예 교수입니다. 그 두 형제는 확률과 통계학 연구에 협력해 왔습니다. 앤더스와 페르마틴 뢰프의 연구는 특히 지수 가족, 결측 데이터에 대한 기대-최대화 방법 및 모델 선택과 관련된 통계 이론에 영향을 미쳤습니다.[7]

페르 마르틴 뢰프는 1970년 스톡홀름 대학교에서 안드레이 콜모고로프 밑에서 박사학위를 받았습니다.[8]

마틴 뢰프(Martin-Löf)는 열성적인 조류 관찰자입니다. 그의 첫 과학 출판물은 반지를 낀 새들의 사망률에 관한 것이었습니다.[9]

임의성과 콜모고로프 복잡도

주 기사: 알고리즘적으로 난수열
참고 항목: 콜모고로프 복잡도 및 알고리즘 정보 이론

1964년과 1965년에 마틴 뢰프는 모스크바에서 안드레이 N. 콜모고로프의 지도 아래 공부했습니다. 그는 1966년에 임의의 수열에 대한 최초의 적절한 정의를 제공한 임의의 수열의 정의라는 글을 썼습니다.[10]

Richard von Mises와 같은 초기 연구자들은 임의성 검사의 개념을 공식화하여 임의성 검사를 모두 통과한 것으로 정의하려고 시도했지만, 임의성 검사의 정확한 개념은 모호하게 남아 있었습니다. 마틴 뢰프의 핵심 통찰력은 계산 이론을 사용하여 무작위성에 대한 테스트의 개념을 공식적으로 정의하는 것이었습니다. 이것은 확률의 무작위성 개념과 대조됩니다. 그 이론에서 표본 공간의 어떤 특정 요소도 무작위하다고 말할 수 없습니다.

마르틴-뢰프 무작위성은 압축, 무작위성 테스트 및 도박 측면에서 원래 정의와 거의 유사하지 않은 많은 동등한 특성을 인정하는 것으로 나타났습니다. 그러나 각각은 무작위 시퀀스가 가져야 하는 우리의 직관적인 속성 개념을 만족시킵니다. 무작위 시퀀스는 압축할 수 없고, 무작위성에 대한 통계적 테스트를 통과해야 하며, 그것들에 베팅하여 돈을 버는 것은 불가능해야 합니다. 마르틴-뢰프 무작위성에 대한 이러한 여러 정의의 존재와 다양한 계산 모델에서의 이러한 정의의 안정성은 마르틴-뢰프 무작위성이 마르틴-뢰프의 특정 모델의 사고가 아니라 수학의 기본 속성이라는 증거를 제공합니다. 마르틴-뢰프 무작위성의 정의가 "정확하게" 무작위성의 직관적인 개념을 포착한다는 이 논문은 "마르틴-뢰프-차이틴 논문"이라고 불렸습니다. 이것은 교회-튜링 논문과 다소 유사합니다.[11]

마르틴-뢰프의 연구에 따르면, 알고리즘 정보 이론은 임의의 문자열을 임의의 컴퓨터 프로그램에서 생성할 수 없는 문자열(차이틴-콜모고로프 무작위성), 즉 콜모고로프 복잡도가 적어도 문자열의 길이인 문자열로 정의합니다. 이는 통계학에서 사용하는 용어와는 다른 의미입니다. 통계적 무작위성은 문자열을 생성하는 과정(예: 각 비트를 생성하기 위해 동전을 뒤집으면 문자열이 무작위로 생성됨)을 의미하는 반면, 알고리즘 무작위성은 문자열 자체를 의미합니다. 알고리즘 정보 이론은 사용되는 계산 모델에 상대적으로 불변하는 방식으로 랜덤과 비랜덤 문자열을 분리합니다.

알고리즘적으로 임의적인 수열은 무한히 많은 문자의 수열로, 모든 접두사(아마도 유한한 수의 예외를 제외하고)는 알고리즘적으로 "가까운" 문자열입니다(그들의 길이는 그들의 콜모고로프 복잡도의 상수 내에 있음).

수학통계학

마르틴 뢰프(Per Martin-Löf)는 (스웨덴 전통에서) 확률 이론과 통계를 포함하는 수학 통계학에서 중요한 연구를 수행했습니다.

조류 관찰과 성 결정

더 던린 (캘리드리스 알피나)
참고 항목: 새 관찰, 새 울음소리, 표식 및 포획, 조류학

페르 마틴 뢰프는 젊은 시절부터 새를 관찰하기 시작했고 지금도 열정적인 새 관찰자로 남아 있습니다.[12] 10대 때, 그는 스웨덴 동물학 저널에 새 울음소리의 데이터를 사용하여 새의 사망률을 추정하는 기사를 실었습니다. 이 논문은 곧 유수의 국제 학술지에 인용되었고, 이 논문은 계속 인용되고 있습니다.[9][13]

조류의 생물학과 통계학에서 데이터가 누락되는 문제가 몇 가지 있습니다. 마틴 뢰프(Martin-Löf)의 첫 번째 논문에서는 포획-재포획 방법을 사용하여 던린 종의 폐사율을 추정하는 문제에 대해 논의했습니다. 인간에게는 극히 어려운 새의 생물학적 성을 판별하는 문제는 마르틴-뢰프의 통계적 모델에 관한 강의에서 가장 먼저 나타난 사례 중 하나입니다.

대수적 구조에 대한 확률

참고 항목: 확률 분포, 조화 분석, Haar 측도, Laplace 변환 및 반군

마르틴 뢰프는 스톡홀름 대학교에서 울프 그레난더의 학생으로 대수적 구조, 특히 반군에 대한 확률에 관한 라이선스 논문을 썼습니다.[14][15][16]

통계모형

참고 항목: 지수가족 및 통계모형

마르틴 뢰프는 통계 이론에 대한 혁신적인 접근법을 개발했습니다. 콜모고로프는 논문 "난수의 표에서"에서 무한수열의 제한적 성질의 빈도 확률 개념이 유한 표본만을 고려하는 통계학의 기초를 제공하지 못하는 것을 관찰했습니다.[17] 마르틴 뢰프가 통계학에서 한 일의 대부분은 통계학의 유한 표본 기반을 제공하는 것이었습니다.

모델 선택 및 가설 검정

두 성분 가우스 혼합 모델에 대한 전자파 알고리즘의 Old Faith 데이터 세트에 대한 단계
참고 항목: 모형 선택, 충분한 통계량, 가설 검정 및 정확 검정

1970년대에, 페르마틴 뢰프는 통계 이론에 중요한 기여를 하였고, 특히 롤프 선드버그, 토마스 회글룬드, 슈테판 라우릿젠을 포함한 스칸디나비아 통계학자들에 의해 더 많은 연구에 영감을 주었습니다. 이 연구에서 마르틴-뢰프(Martin-Löf)의 세미그룹에 대한 확률 측정에 대한 이전 연구는 "반복적 구조"라는 개념과 하나의 매개변수 지수 패밀리를 특성화하는 충분한 통계의 새로운 처리로 이어졌습니다. 그는 유한 표본 원리를 사용하여 중첩 통계 모델에 대한 범주 이론적 접근 방식을 제공했습니다. 마틴 뢰프 이전(및 이후)에는 카이-제곱 가설 검정을 사용하여 그러한 중첩 모델을 테스트하는 경우가 많았는데, 그 정당성은 점근적(그리고 실제 문제와는 무관하며 항상 유한 표본을 가지고 있습니다)입니다.[17]

지수가족에 대한 기대최적화 방법

참고 항목: 결측 데이터 및 기대 최대화 방법

Martin-Löf의 학생인 Rolf Sundberg는 지수 가족의 데이터, 특히 누락된 데이터를 사용하여 추정을 위한 기대-최대화(EM) 방법에 대한 상세한 분석을 개발했습니다. 선드버그는 후에 선드버그 공식으로 알려진 공식을 마르틴 뢰프 형제, 페르와 안데르스의 이전 원고에 공을 돌립니다.[18][19][20][21] 이러한 많은 결과는 1976년 아서 P의 기대 극대화(EM) 방법에 관한 논문을 통해 국제 과학계에 도달했습니다. 영국 왕립 통계학회가 후원하는 유력 국제 학술지에 게재된 뎀스터, 난 레어드, 도널드 루빈.[22]

논리

프란츠 브렌타노

철학논리학

참고 항목: 논리적 결과, 수반성, 분석철학, 대륙철학, 직관주의, 현상학(철학)

철학적 논리학에서 페르마틴-뢰프는 논리적 결과론, 판단 등에 관한 논문을 발표했습니다. 그는 특히 프란츠 브렌타노, 고틀롭 프레게, 에드먼드 후설의 독일어 저술 등 중앙유럽의 철학적 전통에 관심을 가져왔습니다.

유형론

주 기사: 유형론
참고 항목: 직관주의 유형이론, 증명이론적 의미론, 종속형

마틴 뢰프는 수십 년 동안 수학 논리학에서 일해 왔습니다.

1968년부터 1969년까지 시카고 대학교에서 조교수로 일하며 윌리엄 앨빈 하워드를 만나 커리-하워드 통신과 관련된 문제를 논의했습니다. 마르틴 뢰프의 유형 이론에 대한 최초의 논문 초안은 1971년으로 거슬러 올라갑니다. 이 예측 이론은 지라드의 계 F를 일반화했습니다. 그러나 이 시스템은 지라드가 F 시스템의 일관성 없는 확장인 U 시스템을 연구할 때 발견한 지라드의 역설 때문에 일관성이 없는 것으로 밝혀졌습니다. 이 경험은 페르마틴-뢰프가 유형 이론의 철학적 기초, 그의 의미 설명, 증명 이론적 의미론의 한 형태를 발전시켰으며, 이는 그의 1984년 서지폴리스 책에서 제시된 것처럼 예측 유형 이론을 정당화하고, 점점 더 많은 철학적 텍스트로 확장되었습니다. 논리 상수의 의미와 논리 법칙의 정당성에 대한 그의 영향력과 같은 것입니다.

Nordström et al.이 1990년에 책에서 제시한 유형 이론은 확장된 반면, 유형 이론은 그의 후기 아이디어에 크게 영향을 받았으며, 집중적이고 컴퓨터에서 구현하기에 더 적합했습니다.

마르틴-뢰프의 직관주의 유형 이론은 종속형의 개념을 발전시켰고, 구성의 미적분학과 논리적 틀 LF의 발전에 직접적인 영향을 미쳤습니다. NuPRL, 레고, Coq, ALF, Agda, Twelf, Epigram, Idris와 같은 많은 인기 있는 컴퓨터 기반 증명 시스템은 유형 이론에 기반을 두고 있습니다.

상

마르틴 [6]뢰프는 스웨덴 왕립 과학[23] 아카데미와 유럽 과학 아카데미의 회원입니다.

참고 항목

메모들

  1. ^ The International Who's Who: 1996-97, Europa Publications, 1996, 1020쪽: "Martin-Löf, Per Erik Rutger".
  2. ^ HOTT는 수학의 기초를 제공합니까? James Ladyman 지음 (영국 브리스톨 대학)
  3. ^ 유형과 테스트에 관한 Peter Dybjer – 유형 이론 팟캐스트
  4. ^ 예를 참조하십시오. Nordström, Bengt; Petersson, Kent; Smith, Jan M. (1990), Programming in Martin-Löf 's Type Theory: An Introduction (PDF), Oxford University Press.
  5. ^ 수학의 철학과 기초: 인식론적 측면과 존재론적 측면. Wayback Machine에서 그의 은퇴를 기념하여 Per Martin-Löf에게 헌정된 컨퍼런스 2014-02-02. 2009년 5월 5일 ~ 8일, 웁살라, 스웨덴 고등연구소. 2014-01-26 회수.
  6. ^ a b 구성원 프로필, Academy Europaea, 2014-01-26 검색.
  7. ^ 자세한 내용은 이 기사의 #통계 모델 섹션을 참조하십시오.
  8. ^ "Per Martin-Löf". The Mathematics Genealogy Project. Retrieved 4 October 2022.
  9. ^ a b 마틴 뢰프 (1961).
  10. ^ Martin-Löf, Per (1966). "The definition of random sequences". Information and Control. 9 (6): 602–619. doi:10.1016/S0019-9958(66)80018-9.
  11. ^ Jean-Paul Delahaye, 임의성, 예측 불가능성과 질서의 부재, 확률철학, p. 145–167, 1993년 봄.
  12. ^ 조지 A. 바너드, "Gone Birdwatching", New Scientist, 1999년 12월 4일, 잡지 2215호.
  13. ^ S. M. Taylor (1966). "Recent Quantitative Work on British Bird Populations. A Review". Journal of the Royal Statistical Society, Series D. 16 (2): 119–170. doi:10.2307/2986734. JSTOR 2986734.
  14. ^ 마틴 뢰프, P. 국소적으로 콤팩트한 군에서의 연속성 정리. 티어. Verojatnost. i Primenen. 10 1965 367–371.
  15. ^ 마틴 뢰프, 이산형 준군에 대한 확률 이론. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. 게비에테 4 1965 78–102
  16. ^ Nitis Mukhopadhyay. 울프 그레넌더와의 대화. 통계. Sci. 21권, 3번 (2006), 404–426
  17. ^ a b Kolmogorov, Andrei N. (1963). "On Tables of Random Numbers". Sankhyā Ser. A. 25: 369–375.
  18. ^ 롤프 선드버그 1971년 지수 패밀리 변수의 함수를 관찰할 때 생성되는 분포에 대한 최대 가능성 이론 및 응용. 스톡홀름 대학교 수학통계연구소 논문.
  19. ^ 1963년 앤더스 마틴 뢰프 "Utvärdering avlivslangderi subnanosekundsområdet" (1나노초 이하의 시간 길이를 기준으로 한 수명 평가) ("Sundberg formula")
  20. ^ 1966년 페르 마틴 뢰프. 통계 역학의 관점에서 본 통계. 강의 노트, Aarhus 대학의 수학 연구소("Sundberg formula").
  21. ^ 1970년, 페르 마틴 뢰프. Statistika Modeler(통계 모델): 1969-1970 (1969-1970 학년도 세미나의 주), 롤프 선드버그의 도움을 받아 안텍닝가르 프랑 세미나에 참가했습니다. 스톡홀름 대학교 ("Sundberg formula")
  22. ^ Dempster, A.P.; Laird, N.M.; Rubin, D.B. (1977). "Maximum Likelihood from Incomplete Data via the EM Algorithm". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 39 (1): 1–38. JSTOR 2984875. MR 0501537.
  23. ^ "The Royal Swedish Academy of Sciences: Per Martin-Löf". Archived from the original on 2020-09-22. Retrieved 2009-05-01.

참고문헌

조류 관찰 및 누락 데이터

  • Martin-Löf, P. (1961). "Mortality rate calculations on ringed birds with special reference to the Dunlin Calidris alpina". Arkiv för Zoologi (Zoology Files), Kungliga Svenska Vetenskapsakademien (The Royal Swedish Academy of Sciences) Serie 2. Band 13 (21).

확률적 기초

  • 페르 마틴 뢰프. "랜덤 시퀀스의 정의" 정보 및 통제, 9(6): 602–619, 1966.
  • Li, Ming and Vitányi, Paul, Kolmogorov Complexity 소개와 그 응용, Springer, 1997. 소개장 전문.

Ulf Grenander를 따르는 대수적 구조에 대한 확률

  • Grenander, Ulf. 대수적 구조에 대한 확률. (전재)
  • 마틴 뢰프, P. 국소적으로 콤팩트한 군에서의 연속성 정리. 티어. Verojatnost. i Primenen. 10 1965 367–371.
  • 마틴 뢰프, 페르 이산형 준군에 대한 확률 이론. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. 게비에테 4 1965 78–102
  • Nitis Mukhopadhyay. "울프 그레넌더와의 대화" 통계. Sci. 21권, 3번 (2006), 404–426

통계기초

  • 1963년 앤더스 마틴 뢰프 "Utvärdering avlivslängderi subnanosekundsomrdetdet" (1나노초 이하의 시간 길이에서의 수명 평가) ("Sundberg formula, 1971년 Sundberg formula)
  • 1966년 페르 마틴 뢰프. 통계 역학의 관점에서 본 통계. Aarhus 대학, 수학 연구소 강의 노트("Sundberg formula", 1971년 Sundberg에 따르면, Sundberg 공식은 Anders Martin-Löf에게 인정됨)
  • 1970년, 페르 마틴 뢰프. Statistika Modeler(통계 모델): 1969-1970 (1969-1970 학년도 세미나의 주), 롤프 선드버그의 도움을 받아 안텍닝가르 프랑 세미나에 참가했습니다. 스톡홀름 대학교.
  • Martin-Löf, P. "정확한 테스트, 신뢰 영역 및 추정치", A의 토론. W. F. 에드워즈, G. A. 바나드, D. A. 스프롯, O. 반도르프-닐슨, D. 바수와 G. 라쉬. 통계 추론의 기초 질문에 관한 회의 절차 (Aarhus, 1973), pp. 121–138. 회고록, 1번, 학과. 오레트. 통계, 인스트. 수학, 유니브. 아르후스, 아르후스, 1974.
  • 마르틴-뢰프, P. 반복적인 구조와 통계학과 통계역학에서 표준분포와 미시정규분포 사이의 관계. D. R. Cox와 G. Rasch의 토론과 저자의 답변으로. 통계 추론의 기초 질문에 관한 회의 절차 (Aarhus, 1973), pp. 271–294. 회고록, 1번, 학과. 오레트. 통계, 인스트. 수학, 유니브. 아르후스, 아르후스, 1974.
  • 마틴 뢰프, P. 중복성의 개념과 통계적 가설과 관측 데이터 집합 사이의 편차의 정량적 척도로서의 사용. F의 토론과 함께. Abildgård, A. P. Dempster, D. Basu, D. R. Cox, A. W. F. Edwards, D. A. Sprott, G. A. Barnard, O. Barndorff-Nielsen, J. D. Kalbfleisch와 G. Rasch, 그리고 저자의 답변. 통계 추론의 기초 질문에 관한 회의 절차 (Aarhus, 1973), 1-42쪽. 회고록, 1번, 학과. 오레트. 통계, 인스트. 수학, 유니브. 아르후스, 아르후스, 1974.
  • Martin-Löf, Per 중복성의 개념과 통계적 가설과 관측 데이터 집합 사이의 불일치의 정량적 척도로서의 사용. 스캔. J. 통계1(1974), 제1호, 제3-18.
  • 스베르드럽, 얼링. "전력이 없는 테스트" 스캔들. J. 통계 2(1975), 제3호, 158–160.
  • 마틴 뢰프, 에를링 스베르드루프의 대표적인 기사에 대한 응답: "힘 없는 시험(스캔드). J. 통계 2(1975), 제3호, 158–160). 스캔. J. 통계 2(1975), 3번, 161–165.
  • 스베르드럽, 얼링. "무동력 테스트(스캔들)"에 다시 참여합니다. J. 통계 2(1975), 161–165) by P. 마틴 뢰프. 스캔. J. 통계 제4호(1977), 제3호, 136-138호
  • 마틴 뢰프, P. 정확한 테스트, 신뢰 영역 및 추정치. 확률 및 통계의 기초. II. Synthese 36 (1977), No. 2, 195–206.
  • 롤프 선드버그 1971년 지수 패밀리 변수의 함수를 관찰할 때 생성되는 분포에 대한 최대 가능성 이론 및 응용. 스톡홀름 대학교 수학통계연구소 논문.
  • 선드버그, 롤프. 지수 가족의 불완전한 데이터에 대한 최대 가능성 이론. 스캔. J. 통계1(1974), 제2호, 49-58.
  • Sundberg, Rolf 지수 가족의 불완전한 데이터에 대한 우도 방정식의 해를 구하는 반복 방법. 씨. 통계.—Simulation Comput. B5 (1976), no. 1, 55—64.
  • Sundberg, Rolf 다차원 분할 테이블에 대한 분해 가능(또는 마르코프 유형) 모델에 대한 몇 가지 결과: 한계 분포 및 검정 분할. 스캔. J. 통계2(1975), 제2호, 71-79.
  • 호글룬드, 토마스. 정확한 추정치 — 통계적 추정 방법입니다. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 29 (1974), 257—271.
  • 라우릿젠, 스티븐 L. 익스트림 가족과 충분한 통계 시스템. 통계학 강의 노트, 49. 스프링어-베를락, 뉴욕, 1988. 16+268pp. ISBN 0-387-96872-5

수학, 논리학, 컴퓨터 과학의 기초

외부 링크