시나이-루엘-보웬 측정치

에고다이 이론의 수학적 규율에서 시나이-루엘-보웬(SRB) 척도는 유사하게 작용하는 불변 척도이지만 에고딕 척도는 아니다.에어로디컬하려면 시간 평균이 거의 모든 초기 상태 $x\in X$ $∈$ $x\in X$ 에 대한 공간 평균과 같아야 하며, 위상 공간은 $X$ $X$ ${\displaystyle x$ $\in$ X $}$ 이어야 한다.^[1]SRB 측정 $[\displaystyle \mu$ $\mu$ 의 경우, 양성 르베그 측정의 $B(\mu )$ 세트 $B(\mu )$ ( $B(\mu )$ ) $B(\mu )$ 에서 초기 상태에 대해 유효하다는 것으로 충분하다.^[2]

SRB 조치와 관련된 초기 아이디어는 야코프 시나이, 데이비드 루엘, 루퍼스 보웬이 아노소프 차동형 및 공리 A 유치자의 덜 일반적인 영역에서 도입하였다.^[3]^[4]^[5]

정의

$T:X\rightarrow X$ : $T:X\rightarrow X$ → $T:X\rightarrow X$ ${\displaystyle T:X\오른쪽 화살표$ X $}$ 을(를) 지도로 한다 $T:X\rightarrow X$ . $X$ $X$ 에 정의된 $\mu$ 측정 $[\displaystyle \mu }$ 은(는) 양성 Lebesgue $U\subset X$ 의 $U\subset X$ $U\subset X$ $V\subset U$ $U\subset X$ X ${\$ $displaystyle$ $U$ $\subset X}$ 과( $와)$ 동일한 Lebesg 측정값이 $V\subset U$ 있는 경우 SRB 측정값이다 $X$ .^[2]^[6]

\lim _{n\오른쪽 화살표 \}{1}{n}\sum _{i=0}^{n}\varphi(T^{i}x)=\int \varphi \,d\mu

$x\in V$ $x\in V$ $x\in V$ V $x\in V$ 및 $x\in V$ 모든 연속 함수 $\varphi :U\rightarrow \mathbb {R}$ : U $\varphi :U\rightarrow \mathbb {R}$ → $\varphi :U\rightarrow \mathbb {R}$ ${\$ : $U\rightarrow \mathb {R}$

SRB 측정 $[\displaystyle \mu }$ 을(를) $X$ ${\displaystyle X$ 에 포함된 더 작은 세트에 대한 Birkhoff의 에고다이컬 정리의 결론을 만족하는 것으로 $\mu$ 볼 수 있다.

SRB 조치의 존재

다음 정리는 SRB 조치의 존재를 위한 충분한 조건을 확립한다.Axiom A 유치자의 경우를 고려하는데, 이는 단순하지만 보다 일반적인 시나리오로 시간이 연장되었다.^[7]

공리로 정리 1:[7]레트 T:X→ X{\displaystyle T:X\rightarrow X} C2{\displaystyle C^{2}}diffeomorphism A어트랙터 A⊂ X{\displaystyle{{A\mathcal}}\subset X}. 가정하라 이것이 끌어당기는 것은 기약, 그것은, 그것이 노조 두가지 서로 다른 세트의 속해 있는 고정 아래 T{\displays.tyl $e T$ 그러면 다음과 같은 동등한 문장으로 특징지어지는 $\mu (X)=1$ ^[a] $\mu (X)=1$ ( X ) = 1 $\mu(X)=1$ 의 독특한 Borelian 측정 $\mu$ $\mu$ 이 있다.

$[\displaystyle \mu }$ 은 $\mu$ (는) SRB 측정값이다.
$[\displaystyle \mu }$ 은(는) 불안정한 다지관과 그 하위매니폴드에 조건화된 절대 연속적인 조치를 가지고 있다 $\mu$ .
$h(T)=\int \log \left \det(DT) _{E^{u}}\right \,d\mu$ , where $h$ is the Kolmogorov–Sinai entropy, $E^{u}$ is the unstable manifold and $D$ is the differential operator.

또한 이러한 조건 $\left(T,X,{\mathcal {B}}(X),\mu \right)$ , $\left(T,X,{\mathcal {B}}(X),\mu \right)$ , B $\left(T,X,{\mathcal {B}}(X),\mu \right)$ ( $\left(T,X,{\mathcal {B}}(X),\mu \right)$ ) , $\left(T,X,{\mathcal {B}}(X),\mu \right)$ ) ${\$ 은 측정 보존 역동적인 시스템이다 $\left(T,X,{\mathcal {B}}(X),\mu \right)$ .

또한항 μ{\displaystyle \mu}주 T나는()){\displaystyle T^{나는}())과 마르코프 연쇄의zero-noise 제한 정상 분포와 같 해}과 동등하다는 .[8]∈ X{\displaystyle Xx\in}는 전이 확률 관련된 즉 각 지점에)그런 것을은 것이 판명되었다. p $P_{\varepsilon }(\cdot \mid x)$ 다음 $P_{\varepsilon }(\cdot \mid x)$ 의 불확실성 양을 측정하는 $\varepsilon$ 소음 수준 $\varepsilon$ ( ${$ x ){\ $displaystyle$ P_ ${\varepsilon$ }(\cdot \ $mid x)$ 의 $P_{\varepsilon }(\cdot \mid x)$ $P_{\varepsilon }(\cdot \mid x)$ $displaystyle \varepsilon }).$

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}P_{\varepsilon }(\cdot \mid x)=\delta _{Tx}(\cdot ),

여기서 $\delta$ $\delta$ 은 $\delta$ Dirac 측정값이다.제로 노이즈 한계는 소음 수준이 0에 근접했을 때 이 마르코프 체인의 정지된 분포다.이것의 중요성은 SRB 측정이 허용 가능한 소음의 양에 대해서는 말할 수 없지만 ^[8]소량의 소음이 존재하는 실제 사례에 대한 "좋은" 근사치라고 수학적으로 기술하고 있다는 점이다.

참고 항목

메모들

^ 만약 그것이 하나로 통합되지 않는다면, 그러한 척도는 무한히 있을 것이고, 각각은 승수 상수를 제외하고 다른 것과 동일할 것이다.

참조

^ Walters, Peter (2000). An Introduction to Ergodic Theory. Springer.
^ ^a ^b Bonatti, C.; Viana, M. (2000). "SRB measures for partially hyperbolic systems whose central direction is mostly contracting". Israel Journal of Mathematics. 115 (1): 157–193. doi:10.1007/BF02810585. S2CID 10139213.
^ Bowen, R. (1975). "Chapter 4. Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms". Lecture Notes in Mathematics. Springer.
^ Ruelle, D. (1976). "A measure associated with axiom A attractors". American Journal of Mathematics. 98 (3): 619–654. doi:10.2307/2373810. JSTOR 2373810.
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^ Metzger, R. J. (2000). "Sinai–Ruelle–Bowen measures for contracting Lorenz maps and flows". Annales de l'Institut Henri Poincaré C. 17 (2): 247–276. Bibcode:2000AIHPC..17..247M. doi:10.1016/S0294-1449(00)00111-6.
^ ^a ^b Young, L. S. (2002). "What are SRB measures, and which dynamical systems have them?". Journal of Statistical Physics. 108 (5–6): 733–754. doi:10.1023/A:1019762724717. S2CID 14403405.
^ ^a ^b Cowieson, W.; Young, L. S. (2005). "SRB measures as zero-noise limits". Ergodic Theory and Dynamical Systems. 25 (4): 1115–1138. doi:10.1017/S0143385704000604. S2CID 15640353.

[8] 만약 그것이 하나로 통합되지 않는다면, 그러한 척도는 무한히 있을 것이고, 각각은 승수 상수를 제외하고 다른 것과 동일할 것이다.

[walters-1] Walters, Peter (2000). An Introduction to Ergodic Theory. Springer.

[bonatti-viana-2] Bonatti, C.; Viana, M. (2000). "SRB measures for partially hyperbolic systems whose central direction is mostly contracting". Israel Journal of Mathematics. 115 (1): 157–193. doi:10.1007/BF02810585. S2CID 10139213.

[3] Bowen, R. (1975). "Chapter 4. Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms". Lecture Notes in Mathematics. Springer.

[4] Ruelle, D. (1976). "A measure associated with axiom A attractors". American Journal of Mathematics. 98 (3): 619–654. doi:10.2307/2373810. JSTOR 2373810.

[5] Sinai, Y. G. (1972). "Gibbs measures in ergodic theory". Russian Mathematical Surveys. 27 (4): 21–69. doi:10.1070/RM1972v027n04ABEH001383.

[metzger-6] Metzger, R. J. (2000). "Sinai–Ruelle–Bowen measures for contracting Lorenz maps and flows". Annales de l'Institut Henri Poincaré C. 17 (2): 247–276. Bibcode:2000AIHPC..17..247M. doi:10.1016/S0294-1449(00)00111-6.

[young-7] Young, L. S. (2002). "What are SRB measures, and which dynamical systems have them?". Journal of Statistical Physics. 108 (5–6): 733–754. doi:10.1023/A:1019762724717. S2CID 14403405.

[cowieson-young-9] Cowieson, W.; Young, L. S. (2005). "SRB measures as zero-noise limits". Ergodic Theory and Dynamical Systems. 25 (4): 1115–1138. doi:10.1017/S0143385704000604. S2CID 15640353.

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