반데르 폴 오실레이터

리미트 사이클과 방향 필드를 보여주는 용서받지 못한 반 데르 폴 오실레이터의 위상 초상화

위상 평면에서 한계 사이클의 진화. 한계 주기는 원을 그리면서 시작되며 다양한 μ와 함께 점점 날카로워진다. 이완 발진기의 예.

역학에서 Van der Pol 오실레이터는 비선형 댐핑이 있는 비보수 오실레이터다. 제2차 미분방정식에 따라 시간에 따라 진화한다.

{\d^{2}x \overdt^{2}}-\mu(1-x^{2}){dx \overdt}+x=0,}

여기서 x는 위치 좌표(time t의 함수)이며 μ는 비선형성과 댐핑 강도를 나타내는 스칼라 매개변수다.

역사

반 데르 폴 오실레이터는 원래 네덜란드 전기 기술자 겸 물리학자 발타사르 반 데르 폴이 필립스에서 일하면서 제안한 것이다.^[1] Van der Pol은 안정적 진동을 발견했고,^[2] 이것을 이후 이완-오실로스코프라고^[3] 불렀고, 현재 진공관을 사용하는 전기 회로의 한계 사이클의 한 종류로 알려져 있다. 이들 회로가 한계 사이클 가까이 구동되면, 즉 주행 신호가 전류와 함께 전류를 끌어당기는 막힘 상태가 된다. Van der Pol과 그의 동료인 Van der Mark는 Nature 1927년 9월호에서 특정 구동 주파수에서 불규칙한 소음이 들렸다고 보고했으며,^[4] 이는 나중에 결정론적 혼란의 결과인 것으로 밝혀졌다.^[5]

반데르 폴 방정식은 물리과학과 생물과학에서 모두 사용된 오랜 역사를 가지고 있다. 예를 들어, 생물학에서 피츠후그와^[6]^[7] 나구모는 뉴런의 행동전위 모델로서 평면 영역의 방정식을 확장했다. 이 방정식은 지진학에도 활용되어 지질학적 단층에서의 두 판을 모델링하고,^[8] 좌우 성악 폴드 오실레이터의 모델링을 위한 음운 연구에도 활용되었다.^[9]

2차원 형태

리에나르의 정리는 시스템이 한계 주기를 가지고 있다는 것을 증명하는 데 사용될 수 있다. 점이 시간파생물을 나타내는 Liénard 변환 $y=x-x^{3}/3-{\dot {x}}/\mu$ = $y=x-x^{3}/3-{\dot {x}}/\mu$ / 3 $y=x-x^{3}/3-{\dot {x}}/\mu$ - $y=x-x^{3}/3-{\dot {x}}/\mu$ - x μ $y=x-x^{3}/3-{\dot {x}}/\mu$ / $y=x-x^{3}/3-{\dot {x}}/\mu$ ${\displaystyle y=x^{3-{\dot{x}/\mu$ $y=x-x^{3}/3-{\dot {x}}/\mu$ 을(를) 적용하면 Van der Pol 오실레이터는 다음과 같은 2차원 형태로 작성할 수 있다.^[10]

{\dot스타일 {\x}=\mu \left(x-{\tfrac {1}{3}x^{3}-y\오른쪽)}

{\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x

{\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x

=

{\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x

{\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x

{\daptyle {y}={\frac {1}{\mu }x

변환 $y={\dot {x}}$ = $y={\dot {x}}$ $y={\dot {x}}$ ${\$ 을(를) 기반으로 일반적으로 사용되는 또 다른 양식은 다음과 $y={\dot {x}}$ 같다.

{\dot{x}=y

{\dot {y}}=\mu (1-x^{2})y-x

μ

{\dot {y}}=\mu (1-x^{2})y-x

=

{\dot {y}}=\mu (1-x^{2})y-x

(

{\dot {y}}=\mu (1-x^{2})y-x

- x

{\dot {y}}=\mu (1-x^{2})y-x

)

{\dot {y}}=\mu (1-x^{2})y-x

-

{\dot {y}}=\mu (1-x^{2})y-x

{\dot {\dot{y}=\mu(1-x^{2})y-x}

.

용서받지 못한 오실레이터에 대한 결과

외부 강제력이 없는 Van der Pol 오실레이터의 이완 진동 비선형 댐핑 파라미터는 μ = 5와 같다.

용서받지 못한 오실레이터의 특성에 대한 두 가지 흥미로운 방법은 다음과 같다.^[11]

μ = 0, 즉 댐핑 기능이 없을 때 방정식은 다음과 같이 된다.

{\d^{d^{2}x \over dt^{2}}+x=0.}

이것은 단순한 조화 발진기의 한 형태로서, 항상 에너지의 보존이 있다.

μ > 0일 때, 시스템은 한계 사이클에 들어간다. 원점 x = dx/dt = 0, 시스템이 불안정하며, 원점과는 거리가 먼 원점 x = dx/dt = 0.
Van der Pol 오실레이터는 정확한 분석 용액을 가지고 있지 않다.^[12] 그러나 리나르드 방정식의 f(x)가 일정한 조각-현상 함수인 경우 그러한 솔루션은 한계 주기에 대해 존재한다.

해밀턴어 for Van der Pol 오실레이터

무작위로 선택한 초기 조건은 안정적인 궤도에 이끌린다.

또한 다음과 같이 보조 2차 비선형 미분방정식을 이용하여 4차원 자율동역학계통으로 증강하여 반데르 폴 오실레이터에 대해 시간독립적인 해밀턴식 형식주의를 쓸 수 있다.

{\dot{x}-\mu(1-x^{2}){\dot{x}+x=0,

{\dot{y}+\mu(1-x^{2}){\dot{y}+y=0.

x 변수와 y 변수의 시간-발진 간 단방향 커플링으로 인해 원래의 Van der Pol 오실레이터의 역학 관계는 영향을 받지 않는다는 점에 유의하십시오. 이 방정식 시스템에 대한 해밀턴 H는 다음과^[13] 같이 보일 수 있다.

H(x,y,p_{x},p_{y}=p_{x}p_{y}+xy-\mu(1-x^{2})yp_{y}}}

여기서 $p_{x}={\dot {y}}+\mu (1-x^{2})y$ $p_{x}={\dot {y}}+\mu (1-x^{2})y$ = $p_{x}={\dot {y}}+\mu (1-x^{2})y$ μ $p_{x}={\dot {y}}+\mu (1-x^{2})y$ + $p_{x}={\dot {y}}+\mu (1-x^{2})y$ ( 1 $p_{x}={\dot {y}}+\mu (1-x^{2})y$ - $p_{x}={\dot {y}}+\mu (1-x^{2})y$ $p_{x}={\dot {y}}+\mu (1-x^{2})y$ ) y $p_{x}={\dot{y}+\mu(1-x^{2})y$ 와 $p_{x}={\dot {y}}+\mu (1-x^{2})y$ $p_{y}={\dot {x}}$ = $p_{y}={\dot {x}}$ $p_{y}={\dot {x}}$ ${\$ 는 $p_{y}={\dot {x}}$ 각각 x와 y에 해당하는 결합 모멘트이다. 이는 원칙적으로 Van der Pol 오실레이터의 정량화로 이어질 수 있다. 이와 같은 해밀턴은 시간에 의존하는 파라미터를 갖는 한계 주기 시스템의 기하학적 위상과 해당 해밀턴 시스템의 해나이 각도를 연결하기도^[14] 한다.

강제 밴더 폴 오실레이터

사인파 강제력이 있는 반 데르 폴 오실레이터의 혼란스러운 동작. 비선형 댐핑 파라미터는 μ = 8.53이고 강제력은 진폭 A = 1.2이고 각도 주파수 Ω = 2㎛ / 10이다.

강제 또는 구동식 Van der Pol 오실레이터는 '원래' 기능을 취하고 구동 함수 Asin(Ωt)을 추가하여 다음과 같은 형태의 미분 방정식을 제공한다.

{\d^{2}x \overdt^{2}}-\mu(1-x^{2}){dx \overdt}+x-A\sin(\omega t)=0,}

여기서 A는 파형 함수의 진폭 또는 변위이고 Ω은 각속도다.

대중문화

강제 반 데어 폴 오실레이터를 발생시키는 삼극이 관련된 전기 회로.^[15] 회로에는 삼극, 저항기R, 캐패시터C, 자체 인덕턴스L 및 상호 인덕턴스M이 포함된 결합 인덕터 세트가 포함된다. 직렬 RLC 회로에는 전류 i가 있고, 3극 양극("플레이트") 방향으로 전류 i가_a 있으며, 3극 제어 그리드에 전압 u가_g 있다. Van der Pol 오실레이터는 AC 전압 소스E에_s 의해 강제된다.

작가 제임스 글릭은 1987년 저서 혼돈: 새로운 과학을 만들기에서 진공관 반 데어 폴 오실레이터를 묘사했다.^[16] 뉴욕타임스 기사에 따르면 글리크는 1988년 한 독자로부터 현대식 전자판 데어 폴 오실레이터를 받았다.^[17]

참고 항목

영국의 수학자인 메리 카트라이트(Mary Cartwright)는 특히 이 발진기에 적용된 결정론적 혼돈 이론을 처음으로 연구한 사람 중 한 명이다.^[18]

고전적인 판데르 폴 오실레이터의 양자 버전인 양자 판데르 폴 오실레이터는 린드블라드 방정식을 사용해 양자 역학 및 양자 동기화를 연구할 것을 제안했다.^[19] 위의 해밀턴식 접근방식은 보조 2차 방정식으로 무한궤도를 생성하므로 밴 데어 폴 오실레이터를 정량화하는 데 사용할 수 없다는 점에 유의하십시오. 약한 비선형성의 한계(즉, μ→0)에서 반데르 폴 오실레이터는 스튜어트-란다우 방정식으로 감소한다. 스튜어트-란다우 방정식은 사실 약-비선형 한계에서 한계 사이클 오실레이터의 전체 클래스를 설명한다. 고전적인 스튜어트-란다우 방정식의 형태는 훨씬 간단하고, 아마도 놀랄 일도 아닌, 반 데르 폴 오실레이터의 린드블라드 방정식보다 더 간단한 린드블라드 방정식으로 정량화할 수 있다. 양자 스튜어트-란다우 모델은 양자 동기화^[20]^[21] 연구(반 데르 폴 오실레이터와 고유하게 연관될 수는 없지만 종종 반 데르 폴 오실레이터라고 불렸던 곳)에서 중요한 역할을 해왔다. 고전적인 스튜어트-란다우 모델(μ→0)과 보다 일반적인 한계 사이클 오실레이터(임의 μ)의 관계는 해당 양자 모델에서도 수치로 입증되었다.^[19]

참조

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외부 링크

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