확률해석

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "확률 해석" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR(2011년 4월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

확률이라는 단어는 우연의 게임 수학 연구에 처음 적용되었을 때부터 다양하게 사용되어 왔다. 확률은 어떤 일의 실제, 물리적, 경향을 측정하는가, 아니면 그것이 얼마나 강하게 일어날 것이라고 믿는가를 나타내는 척도인가, 아니면 이 두 요소 모두에 그림을 그리는가? 그러한 질문에 대답하면서 수학자들은 확률 이론의 확률 값을 해석한다.

확률 해석에는 "물리적" 확률과 "실증적" 확률이라고 할 수 있는 두 가지 광범위한 범주가^[1][2] 있다. 객관적 또는 빈도 확률이라고도 하는 물리적 확률은 룰렛 휠, 롤링 주사위, 방사성 원자와 같은 무작위 물리적 시스템과 연관되어 있다. 그러한 시스템에서는 주어진 유형의 사건(예: 6이 발생하는 주사위)이 장기간 시행 중에 지속되는 속도, 즉 "상대적 빈도"로 발생하는 경향이 있다. 물리적 확률은 이러한 안정적인 주파수를 설명하거나 설명하기 위해 호출된다. 물리적 확률의 두 가지 주요한 종류의 이론은 빈도주의 계정(Venn,^[3] Laichenbach^[4], von Mises 등)^[5]과 성향 계정(Popper, Miller, Giere, Fetzer 등)이다.^[6]

베이지안 확률이라고도 불리는 증거 확률은 주관적 타당성 또는 이용 가능한 증거에 의해 진술이 지지되는 정도를 나타내기 위한 방법으로서 무작위 과정이 개입되지 않은 경우에도 어떤 진술에도 할당될 수 있다. 대부분의 경우, 증거 확률은 신념의 정도라고 간주되며, 특정한 확률로 도박을 하려는 성향으로 정의된다. 네 가지 주요 증거 해석은 고전적(예: 라플레이스의)^[7] 해석, 주관적 해석(^[9]데 피네티와^[8] 새비지), 인식적 또는 귀납적 해석(람시,^[10] 콕스),^[11] 논리적 해석(케인스와^[12] 카르나프)이다.^[13] 흔히 '주체간(intercubjective)'(Gillies와^[14] Rowbottom에서 제안함)^[6]이라고 하는 그룹을 포괄하는 확률에 대한 근거적 해석도 있다.

확률에 대한 일부 해석은 추정 및 가설 검사의 이론을 포함하여 통계적 추론에 대한 접근법과 관련이 있다. 예를 들어, 물리적 해석은 로널드 피셔^{[dubious – discuss]}, 예지 네이먼, 에곤 피어슨과 같은 "수시주의자" 통계적 방법의 추종자들에 의해 취해진다. 반대파인 베이지안 학교의 통계학자들은 일반적으로 빈도 해석이 타당할 때(정의는 아니지만) 수용하지만 물리적 확률에 대한 동의는 적다. 베이시언은 근거 확률의 계산이 통계에서 유효하고 필요한 것으로 간주한다. 그러나 이 글은 통계적 추론 이론보다는 확률의 해석에 초점을 맞추고 있다.

이 주제의 용어는 다소 혼란스러운데, 그 이유는 부분적으로 다양한 학문 분야 내에서 확률을 연구하기 때문이다. "자주주의자"라는 말은 특히 까다롭다. 철학자들에게 그것은 물리적인 확률의 특정한 이론을 말하는데, 그것은 다소 버려진 것이다. 반면에 과학자들에게는 "자주주의적 확률"은 물리적(또는 객관적) 확률의 또 다른 이름일 뿐이다. 베이지안 추론을 추진하는 사람들은 "수시주의적 통계"를 확률의 빈도 해석에 기초하는 통계 추론에 대한 접근법으로 보고 있으며, 대개 대수의 법칙에 의존하고 있으며 'Null 가설 중요도 검사'(Null Instrumential Equience Testing, NHST)라고 불리는 것이 특징적이다. 또한 확률에 적용되는 "객관적"이라는 단어는 여기서 "물리적"이 정확히 무엇을 의미하기도 하지만 논리적 확률과 인식적 확률과 같이 합리적인 제약조건에 의해 고정된 증거적 확률을 사용하기도 한다.

통계가 어떻게든 확률에 달려 있다는 것은 만장일치로 동의한다. 그러나 개연성이 무엇인지, 통계와 어떻게 연결되어 있는지에 대해서는 바벨탑 이후 이렇게 완전한 의견 불일치와 의사소통의 붕괴는 거의 없었다. 의심의 여지 없이, 많은 의견 불일치는 단지 종말론적이며 충분히 날카로운 분석 아래 사라질 것이다.

— (Savage, 1954, p 2)^[9]

철학

확률의 철학은 주로 인식론의 문제와 수학 개념과 일반 언어 사이의 불편한 접점에 문제를 제시하는데, 이는 비수학자에 의해 사용되고 있기 때문이다. 확률론은 수학에서 확립된 학문 분야다. 17세기 블라이즈 파스칼과 피에르 드 페르마의 우연한 게임의 수학을 논하는 서신에서 기원을 두고 있으며,^[15] 20세기 안드레이 콜모고로프에 의해 수학의 뚜렷한 분야로서 공식화되고 자명하게 되었다. 자명적인 형태에서 확률 이론에 관한 수학적 진술은 다른 수학적 진술이 공유하는 것과 같은 종류의 인식론적 신뢰감을 수학 철학 안에서 지니고 있다.^[16][17]

수학적인 분석은 무작위적이고 평등한 요소들을 도입하기 위해 특별히 고안된 카드나 주사위 놀이와 같은 게임 장비의 행동에 대한 관찰에서 비롯되었다. 수학적 용어로 그들은 무관심의 대상이다. 확률론적 진술이 일반적인 인간 언어로 사용되는 유일한 방법은 아니다: 사람들이 "비가 올 것 같다"고 말할 때, 그것은 일반적으로 비 대 비가 아닌 것의 결과가 현재 유리한 무작위 요소라는 것을 의미하지는 않는다; 대신에, 그러한 진술들은 아마도 빗물에 대한 그들의 기대를 충족시키는 것으로 더 잘 이해될 것이다.h 정도의 자신감 마찬가지로 매사추세츠주 루드로우의 이름에 대해 "가능성이 가장 높은 설명은" "로저 루들로우의 이름을 따서 지은 것"이라고 쓰여 있을 때, 여기서 의미하는 것은 로저 루들로우가 무작위적인 요인에 의해 선호되는 것이 아니라, 오히려 이것이 증거에 대한 가장 그럴듯한 설명이라는 것인데, 이것은 다른, 가능성이 낮은 설명을 인정하는 것이다.

토마스 베이지스는 다양한 신뢰도를 다룰 수 있는 논리를 제공하려고 시도했다. 그와 같이, 베이지안 확률은 그들이 표현하는 신념이 갖는 신뢰의 표현으로서 확률론적 진술의 표현을 되짚어 보려는 시도다.

처음에는 다소 평범한 동기를 가졌지만, 그것의 현대적인 영향과 용도는 증거에 기반한 의학에서부터 6시그마에 이르기까지, 확률적으로 확인할 수 있는 증거와 끈 이론 풍경까지 광범위하게 퍼져 있다.

확률의 일부 해석 요약

	고전적인	빈도수주의자	주관적	성향
주 가설	무관심의 원리	발생빈도	믿음의 정도	인과 연결 정도
개념근거	가설대칭	과거 데이터 및 참조 클래스	지식과 직관	시스템 현황
개념적 접근법	추측	경험적	주관적	형이상학
싱글 케이스 가능	네	아니요.	네	네
정확하다	네	아니요.	아니요.	네
문제	무관심 원칙의 모호성	원형 정의	참조 클래스 문제	디베이트 개념

고전적 정의

Pierre-Simon Laplace가 옹호한 확률 분야에서 수학적인 엄격함에 대한 첫 번째 시도는 현재 고전적 정의로 알려져 있다. 우연의 게임(롤링 주사위 등)에 대한 연구로부터 개발되었으며, 이러한 결과가 동등하게 가능하다고 간주될 수 있다면 가능한 모든 결과 간에 확률을 균등하게 공유한다고 명시한다.^[1] (3.1)

우연의 이론은 같은 종류의 모든 사건을 그 존재에 관해서 우리가 똑같이 결정하지 못하고 있을 수 있는 경우와 마찬가지로 가능한 일정한 수의 사례로 축소하고, 그 확률을 추구하는 사건에 유리한 경우의 수를 결정하는 데 있다. 가능한 모든 경우의 수에 대한 이 숫자의 비율은 이 확률의 척도로, 따라서 분자가 유리한 경우의 수이고 분모가 가능한 모든 경우의 수인 분수에 지나지 않는다.

— Pierre-Simon Laplace, A Philosophical Essay on Probabilities^[7]

이는 수학적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 무작위 실험이 N개의 상호 배타적이고 동등한 가능성 결과를 초래할 수 있고, 이러한 결과의_A N이 사건 A의 발생을 초래한다면, A의 확률은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle P(A)={N_{A} \over N}}$

고전적 정의에는 두 가지 분명한 한계가 있다.^[18] 첫째, 가능한 결과의 '완료' 수만이 있는 상황에만 적용된다. 그러나 동전이 곤두설 때까지 던지는 것과 같은 중요한 무작위 실험은 무한한 결과를 낳는다. 그리고 둘째로, 당신은 예를 들어 대칭 고려에 의해 순환을 피할 확률의 개념에 의존하지 않고 가능한 모든 결과들이 동등하게 발생가능하다는 것을 미리 판단해야 한다.

빈도주의

빈도론자들은 사건의 확률은 시간의 경과에 따른 상대적 빈도,^[1] 즉 유사한 조건에서 많은 횟수의 과정을 반복한 후의 상대적 발생 빈도라고 주장한다. 이것은 또한 알레르기의 확률이라고도 알려져 있다. 사건은 일부 무작위 물리적 현상에 의해 지배되는 것으로 가정되는데, 이는 원칙적으로 충분한 정보를 가지고 예측 가능한 현상(결정론 참조) 또는 본질적으로 예측 불가능한 현상이다. 첫 번째 종류의 예로는 주사위를 던지거나 룰렛 휠을 돌리는 것이 있다. 두 번째 종류의 예는 방사능 붕괴다. 페어 코인을 던지는 경우, 빈번한 사람들은 헤드를 얻을 확률은 1/2이라고 말하는데, 이는 똑같이 가능성 있는 결과가 두 개 있기 때문이 아니라, 일련의 큰 실험이 반복되면서 경험적 빈도가 1/2로 무한대로 수렴된다는 것을 보여주기 때문이다.

If we denote by ${\displaystyle \textstyle n_{a}}$ the number of occurrences of an event ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ in ${\displaystyle \textstyle n}$ trials, then if ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{n_{a} \over n}=p}$ we say that ${\displ$$aystyle \textstyle$ P$({\mathcal{A}})=p$

빈번한 견해는 그 나름의 문제가 있다. 물론 사건의 확률을 결정하기 위해 무작위 실험의 무한 반복을 실제로 수행하는 것은 불가능하다. 그러나 공정의 제한된 반복만 수행된다면 다른 일련의 시험에서 서로 다른 상대적 주파수가 나타날 것이다. 이러한 상대적 주파수가 확률을 정의한다면, 확률은 측정할 때마다 약간 다를 것이다. 그러나 실제 가능성은 매번 같아야 한다. 만약 우리가 측정의 오차가 첨부된 상태에서만 확률을 측정할 수 있다는 사실을 인정한다면, 측정의 오차는 우리가 정의하려고 하는 바로 그 개념인 확률로만 표현될 수 있기 때문에 우리는 여전히 문제를 겪게 된다. 이것은 심지어 주파수 정의도 순환시킨다; 예를 들어 "지진의 가능성은 무엇인가?"^[19]를 참조하라.

주관주의

베이지안 또는 인식론적 확률의 추종자로도 알려진 주관론자들은 확률의 개념을 특정 상황의 불확실성을 평가하는 개인의 '신념 정도'의 척도로 간주함으로써 주관적 지위를 부여한다. 인식적 또는 주관적 확률을 성향 확률에 대한 기회라는 용어와는 반대로 신뢰라고 부르기도 한다. 인식론적 확률의 일부 예는 제안된 물리 법칙이 사실이라는 명제에 확률을 부여하거나 제시된 증거에 근거하여 피의자가 범죄를 저질렀을 가능성이 얼마나 큰지를 결정하는 것이다. 베이지안 확률의 사용은 그것이 믿음의 타당한 정당화에 기여할 수 있는지에 대한 철학적 논쟁을 불러일으킨다. 베이시안들은 주관적 신념이 일치하려면 확률의 법칙을 따라야 한다는 것을 증명하는 것으로 램지^[10](p 182)와 데 피네티^[8](p 103)의 작업을 지적한다.^[20] 증거는 인간이 일관된 신념을 가질 것이라는 의심을 낳는다.^[21][22] 베이지안 확률의 사용은 사전 확률을 명시하는 것을 포함한다. 이는 필요한 사전 확률이 urn 모델 또는 사고 실험과 관련된 기준 확률보다^{[clarification needed]} 크거나 작은지 여부를 고려하여 얻을 수 있다. 문제는 주어진 문제에 대해 다중적 사고 실험이 적용될 수 있으며, 하나를 선택하는 것은 판단의 문제라는 것이다. 즉, 서로 다른 사람들이 기준 클래스 문제라고 알려진 다른 사전 확률을 지정할 수 있다. "태양광 문제"는 예를 제공한다.

성향

성향 이론가들은 확률을 특정한 종류의 결과를 산출하거나 그러한 결과의 상대적 빈도를 장기간 산출하기 위한 신체적 성향, 또는 기질, 또는 주어진 유형의 신체적 상황의 경향으로 생각한다.^[23] 이런 종류의 객관적 확률을 '찬스'라고 부르기도 한다.

예측도 또는 기회는 상대 주파수가 아니라 관측된 안정적인 상대 주파수의 원인으로 알려져 있다. 특정 종류의 실험을 반복하면 왜 지속적인 속도로 주어진 결과 유형이 생성되는지를 설명하기 위해 프로펜시티를 호출하는데, 이를 프로펜시브 또는 찬스라고 한다. 동전의 단일 던지기에 대해서는 상대적 주파수가 존재하지 않고 대형 앙상블이나 수집품에 대해서만 존재하기 때문에(위 표의 "단일 케이스 가능" 참조)^[2] 빈번한 사람들은 이 접근법을 취할 수 없다. 이와는 대조적으로, 예언자는 큰 숫자의 법칙을 사용하여 장기간의 주파수의 행동을 설명할 수 있다. 확률의 공리의 결과인 이 법칙은 (예를 들어) 동전을 여러 번 반복적으로 던질 경우, 동전의 착지 확률은 각 토스에서 같으며, 결과는 확률적으로 독립적이므로, 헤드의 상대적 빈도는 각 시에서 헤드의 확률에 근접하게 된다고 말한다.홱홱 던지다 이 법률은 안정적인 장기 실행 주파수가 불변 단일 사례 확률의 발현임을 허용한다. 안정적인 상대적 주파수의 출현을 설명하는 것 외에도, 경향의 사상은 특정 시간에 특정 원자의 붕괴 확률과 같은 양자역학에서 단일 사례 확률 귀속성을 이해하고자 하는 욕구에 의해 동기가 부여된다.

성향 이론에 직면하는 주된 도전은 성향이 정확히 무엇을 의미하는지 말하는 것이다. (그리고 물론, 그렇게 정의한 성향이 요구되는 성질을 가지고 있다는 것을 보여주는 것) 현재 불행하게도, 잘 알려진 성향 설명들 중 어느 것도 이 도전에 근접하지 못한다.

확률의 성향 이론은 찰스 샌더스 피르스에 의해 제시되었다.^{[24][25][26][27]} 그러나 C. S. Peirce의 저술에 대해 조금밖에 알지 못했던 철학자 칼 포퍼에 의해 후기 성향 이론이 제안되었다.^[24][25] Popper는 물리적 실험의 결과가 특정 집합의 "생성 조건"에 의해 생성된다는 점에 주목했다. 속담에 있듯이, 실험을 반복할 때, 우리는 실제로 유사한 일련의 발생 조건을 가지고 또 다른 실험을 수행한다. 발생 조건 집합이 결과 E를 생성하는 경향 p를 가지고 있다고 말하는 것은 그러한 정확한 조건이 무한정 반복될 경우 상대적 주파수 p를 제한하여 E가 발생한 결과 시퀀스를 생성한다는 것을 의미한다. 포퍼의 경우, 결정론적 실험은 각 실험에서 동일한 결과를 가지기 때문에 각 결과에 대해 0 또는 1의 경향을 가질 것이다. 즉 비경쟁성(0과 1)은 진정으로 비결정론적 실험에 대해서만 존재한다.

데이비드 밀러와 도널드 A를 포함한 많은 다른 철학자들이 있다. Gillies는 Popper의 이론과 비슷한 성향 이론을 제안했다.

다른 성향 이론가들(예: 로널드 기어^[28])은 전혀 명시적으로 예언을 정의하지 않고 오히려 그것이 과학에서 수행하는 이론적 역할에 의해 정의된 대로 성향을 본다. 예를 들어, 그들은 전기료와 같은 물리적 크기는 더 기본적인 것에서도 명시적으로 규정될 수 없으며, 단지 그들이 하는 일(다른 전기료를 끌어들이거나 물리치는 것 등)의 측면에서만 규정될 수 있다고 주장했다. 비슷한 방법으로, 성향은 물리적인 확률이 과학에서 하는 다양한 역할을 채우는 것이다.

물리적인 확률은 과학에서 어떤 역할을 하는가? 그것의 속성은 무엇인가? 우연의 한 가지 중요한 특성은, 알려졌을 때, 같은 수치적 가치를 취하기 위해 이성적인 믿음을 제약한다는 것이다. 데이비드 루이스는 이것을 주원칙(^[1]3.3과 3.5)이라고 불렀는데, 이는 철학자들이 대부분 채택해 온 용어였다. 예를 들어, 특정 편향된 동전이 던져질 때마다 헤드에 대한 0.32의 경향이 있다고 가정합시다. 그렇다면 동전이 곤두박질칠 때 1달러를 지불하고, 다른 어떤 것도 지불하지 않는 도박의 정확한 가격은 얼마인가? 원칙대로라면 공정가격은 32센트다.

논리적, 인지적, 귀납적 확률

'확률'이라는 용어가 물리적인 무작위성과 무관한 맥락에서 사용되기도 한다는 것은 널리 알려져 있다. 예를 들어, 공룡의 멸종은 아마도 지구를 강타한 큰 운석 때문일 것이라는 주장을 생각해 보라. "가정 H는 아마도 사실일 것이다"와 같은 진술은 (현재 이용 가능한) 경험적 증거(E, say)가 H를 높은 수준으로 지지한다는 의미로 해석되었다. E에 의한 H의 이러한 지지 정도를 H에 의한 논리적 확률 또는 H에 의한 인식 확률 또는 H에 의한 E에 의한 유도 확률이라고 한다.

이 해석들 사이의 차이는 다소 작으며, 대수롭지 않게 보일 수도 있다. 의견 불일치의 주요 요점 중 하나는 확률과 믿음의 관계에 있다. 논리적 확률은 (예를^[12] 들어 Keynes의 확률론에서) 명제(또는 문장) 사이의 객관적이고 논리적 관계로서, 따라서 어떤 식으로든 믿음에 의존하지 않는 것으로 간주된다. 그들은 신념의 정도가 아니라 (부분적인) 관여의 정도, 또는 논리적 결과의 정도들이다. (그렇지만, 그들은 아래에 설명된 것처럼 적절한 수준의 믿음을 지시한다.) 프랭크 램지, 반면에, 그러한 객관적 논리적 관계의 존재에 대해서는(증빙)확률"부분적인 믿음의 논리" 있다고 주장했다 회의적이었다.[10] 다른 말로(p157), 램지 합리적인 믿음의 인식론적 확률은 그냥도는 것보다는 단지 학위constrain고 논리적 관계를 열었다.이성적인 믿음의 s

또 다른 의견 불일치는 주어진 지식 상태에 대한 증거 확률의 고유성에 관한 것이다. 예를 들어, 루돌프 카르납은 논리적인 원칙이 어떤 증거의 본체와 비교해서 어떤 진술에 대해서도 항상 고유한 논리적 확률을 결정한다고 주장했다. 이와는 대조적으로 램지는 믿음의 정도가 (확률의 공리와 같은) 어떤 합리적인 제약조건의 영향을 받지만, 이러한 제약조건들은 대개 고유한 가치를 결정하지는 않는다고 생각했다. 이성적인 사람들은, 다시 말해서, 그들이 모두 같은 정보를 가지고 있더라도, 그들의 믿음의 정도에서 다소 다를 수 있다.

예측

확률의 대안 계정은 관측할 수 없는 매개변수가 아니라 과거 관측치에 기초하여 미래 관측치를 예측하는 예측의 역할을 강조한다. 현대적인 형태로는 주로 베이지안 정맥에 있다. 이것은 20세기 이전까지는 확률의 주요 함수였으나,^[29] 천체역학에서처럼 현상을 오류로 관측되는 물리적 시스템으로 모델링한 파라메트릭 접근법에 비해 선호에서 벗어났다.

현대적인 예측 접근법은 미래의 관찰이 과거의 관찰처럼 행동해야 한다는 교환가능성에 대한 중심적인 생각을 가진 브루노 데 피네티에 의해 개척되었다.[29] 이러한 견해는 1974년 데 피네티의 저서 번역으로 앵글로폰 세계의 주목을 받게 되었고,^[29] 이후 세이모어 가이세르와 같은 통계학자들의 지지를 받아왔다.

자명 확률

확률의 수학은 어떤 해석과도 무관한 전적으로 자명적인 기반 위에서 개발될 수 있다: 자세한 치료는 확률 이론과 확률 공리에 관한 기사를 참조하라.

참고 항목

• 빈도(통계)
• 부확률
• 수학철학
• 통계철학
• 피그니즘 확률
• 확률 진폭(수량 역학)
• 일출문제
• 베이지안 인식론

참조

추가 읽기

• Cohen, L (1989). An introduction to the philosophy of induction and probability. Oxford New York: Clarendon Press Oxford University Press. ISBN 978-0198750789.
• Eagle, Antony (2011). Philosophy of probability : contemporary readings. Abingdon, Oxon New York: Routledge. ISBN 978-0415483872.
• Gillies, Donald (2000). Philosophical theories of probability. London New York: Routledge. ISBN 978-0415182768. 논리적, 주관적, 빈도, 성향 등 4가지 주요 전류 해석을 포괄하는 포괄적인 단문자. 또한 참신한 상호보완적 해석을 제안한다.
• Hacking, Ian (2006). The emergence of probability : a philosophical study of early ideas about probability, induction and statistical inference. Cambridge New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521685573.
• 폴 험프리스, 에드(1994) 패트릭 서피스: 과학철학자, 신디사이즈 도서관, 스프링거-베를랙.
  • 제1권: 확률론적 인과관계.
  • 제2권: 물리철학, 이론구조와 측정, 작용이론.
• Jackson, Frank, Robert Pargetter(1982) "성향으로서의 물리적 확률", No,"s 16(4): 567–583.
• Khrennikov, Andrei (2009). Interpretations of probability (2nd ed.). Berlin New York: Walter de Gruyter. ISBN 978-3110207484. 특히 양자물리학에 관한 비 Kolmogorov 확률 모델을 대부분 다룬다.
• Lewis, David (1983). Philosophical papers. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0195036466.
• Plato, Jan von (1994). Creating modern probability : its mathematics, physics, and philosophy in historical perspective. Cambridge England New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521597357.
• Rowbottom, Darrell (2015). Probability. Cambridge: Polity. ISBN 978-0745652573. 확률 해석에 대한 접근성이 높은 도입. 모든 주요 해석을 다루고, 새로운 그룹 수준(또는 '주관적') 해석을 제안한다. 또한 사회 및 자연 과학에서의 오류와 해석의 적용에 대해서도 다룬다.
• Skyrms, Brian (2000). Choice and chance : an introduction to inductive logic. Australia Belmont, CA: Wadsworth/Thomson Learning. ISBN 978-0534557379.

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 확률 해석과 관련된 미디어가 있다.

• Zalta, Edward N. (ed.). "Interpretations of Probability". Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• 인디애나 철학 온톨로지 프로젝트의 확률 해석
• PhilPaper의 확률 해석