외당구

Outer billiard

외측 당구는 평면 내 볼록한 모양을 바탕으로 한 역동적인 시스템이다. 고전적으로 이 시스템은 유클리드 평면에[1] 대해 정의되지만 쌍곡면 또는[2] 평면을 적절히 일반화하는 다른 공간에서도 시스템을 고려할 수 있다. 바깥 당구는 안쪽이 아닌 모양 밖의 움직임의 이산 순서를 다룬다는 점에서 일반적인 역동적인 당구와는 다르다.

정의들

바깥쪽 당구 지도

P를 평면에서 볼록한 모양이 되게 하라. P 바깥쪽에 x0 점이 주어지면, x0에서 x1까지 연결되는 선 세그먼트가 중간점에서 P에 접하고 x0에서 x1까지 걸어가는 사람이 오른쪽에 P를 볼 수 있도록 일반적으로 고유한 점 x1(P 바깥에도 P)이 있다. (그림 참조) 지도 F: x0 -> x1은 바깥쪽 당구 지도라고 불린다.

펜타곤을 기준으로 정의된 외부 당구

역(또는 역)외측 당구 지도도 지도 x1 -> x0으로 정의된다. 위에 주어진 정의에 남아 있는 단어 바로 옆에 있는 단어만 바꾸면 역지도를 얻을 수 있다. 그림은 유클리드 평면의 상황을 나타내지만 쌍곡면의 정의는 본질적으로 동일하다.

오르빗

외부 당구 궤도는 포인트의 모든 반복, 즉 ...의 집합이다. x0 <--> x1 <--> x2 <--> x3 ... 즉, x0부터 시작하여 바깥쪽 당구 지도와 뒤쪽의 바깥쪽 당구 지도를 모두 반복적으로 적용한다. P가 타원형처럼 엄격히 볼록한 형태일 때, P의 외관에 있는 모든 점들은 궤도가 잘 정의되어 있다. P가 다각형일 때, 관련 접선 선의 중간점을 선택하는 잠재적 모호성 때문에 일부 점들은 잘 정의된 궤도를 가지지 못할 수 있다. 그럼에도 불구하고 폴리곤의 경우 거의 모든 점들이 궤도를 잘 정립해 있다.

  • 궤도는 결국 반복되면 주기라고 불린다.
  • 궤도는 주기적이지 않으면 주기적(또는 비주기적)이라고 불린다.
  • 비행기의 어떤 경계 영역이 전체 궤도를 포함하는 경우 궤도를 경계(또는 안정)라고 한다.
  • 궤도를 경계하지 않으면 무한궤도(또는 불안정한 궤도)라고 한다.

고차원 공간

고차원 공간에서 외부 당구 시스템을 규정하는 것은 이 글의 범위를 벗어난다. 일반 당구의 경우와 달리 정의가 간단하지 않다. 지도의 자연적인 설정 중 하나는 복잡한 벡터 공간이다. 이 경우 각 지점에서 볼록한 몸체에 접하는 선의 자연스러운 선택이 있다. 표준에서 시작하여 복잡한 구조를 사용하여 90도 회전함으로써 이러한 접선을 얻는다. 이러한 구별되는 접선선은 위와 같이 대략적으로 바깥쪽 당구 지도를 정의하는 데 사용할 수 있다.[1]

역사

대부분의 사람들은 외부 당구의 도입을 1950년대 후반의 베른하르트 노이만 탓으로 돌린다.[3] 하지만 몇몇 사람들은 M. Day 때문에 1945년 이전 공사를 인용하는 것 같다. 위르겐 모서는 1970년대에 천체역학의 장난감 모델로 이 시스템을 대중화했다.[4][5] 이 시스템은 유클리드 평면에서, 그리고 최근에는 쌍곡면에서 고전적으로 연구되어 왔다. 아직 진지한 연구가 이루어지지 않았지만, 더 높은 차원의 공간도 고려할 수 있다. 베른하르트 노이만은 외부 당구 시스템에서 무한궤도를 가질 수 있는지 없는지에 대해 비공식적으로 문제를 제기했고, 모저는 1973년 이를 서면으로 제출했다.[4] 때때로 이 기본적인 질문을 모세르-네우만 질문이라고 불렀다. 원래 유클리드 비행기에서 형상을 위해 출제된 이 질문은 최근에서야 풀린 것이 현장에서의 안내문제로 작용해 왔다.

모세르누만 질문

유클리드 평면의 경계 궤도

70년대에 위르겐 모서는 K.A.M. 이론에 근거하여 6배 차이 나는 양의 곡률 모양에 상대적인 바깥 당구에는 모든 궤도가 경계로 되어 있다는 증거를 스케치했다. 1982년 라파엘 두아디는 이 결과에 대한 모든 증거를 제시하였다.[6] 다각형 케이스의 큰 진전은 비발디-샤이덴코,[7] 콜로드지에이,[8] 구트킨-시마니 등 각각 다른 방법을 사용하는 [9]세 팀의 저자가 퀘이시라이즘 폴리곤에 상대적인 바깥 당구는 모든 궤도를 가지고 있다는 것을 보여주는 몇 년의 기간을 거쳐 이루어졌다. quasirational의 개념은 기술적인 것이지만(참고문 참조) 일반 폴리곤과 볼록 이성 폴리곤, 즉 정점이 합리적인 좌표를 갖는 볼록 폴리곤의 종류를 포함한다. 합리적인 다각형의 경우 모든 궤도는 주기적이다. 1995년 세르게이 타바치니코프는 일반 펜타곤을 위한 외부 당구에는 일정 기간 동안 궤도가 있다는 것을 보여주었고, 따라서 이성적인 경우와 규칙적인 경우의 역학관계의 구분을 명확히 했다.[1] 1996년 필립 보이랜드는 일부 모양에 상대적인 외부 당구는 그 모양에 누적되는 궤도를 가질 수 있다는 것을 보여주었다.[10] 2005년 다니엘 제닌은 형상이 사다리꼴일 때 모든 궤도가 경계된다는 것을 보여주었고, 따라서 퀘이리사이드성이 모든 궤도를 경계하는 데 필요한 조건이 아니라는 것을 보여주었다.[11] (모든 사다리꼴이 quasiral은 아니다.)

유클리드 평면의 무한궤도

2007년, 리차드 슈워츠는 펜로즈 연에 대해 정의했을 때 외부 당구의 궤도가 어느 정도 무한하다는 것을 보여주었고, 따라서 원래의 모세르-네우만 질문에 긍정적인 대답을 했다.[12] 펜로즈 연은 펜로즈 기울기에서 볼록한 4각형이다. 그 후 슈워츠는 외부 당구가 비이성적인 연에 대해 정의했을 때 한없는 궤도를 가지고 있다는 것을 보여주었다.[13] 비합리적인 연은 다음과 같은 성질을 가진 4각형이다. 4각형의 대각선 중 하나는 지역을 동일한 면적의 두 삼각형으로 나누고, 다른 대각선은 그 면적을 두 삼각형으로 나누는데, 그 면적이 서로 합리적인 배수가 아니다. 2008년 드미트리 돌고피앗과 바삼 파야드는 세미디스크에 상대적으로 정의한 바깥 당구의 궤도가 무한하다는 것을 보여주었다.[14] 세미디스크는 디스크를 반으로 자르는 방식으로 얻는 영역이다. 돌고피앗-파야드의 증거는 견고하며, 또한 디스크를 거의 반으로 잘라 얻은 지역에도 효과가 있는데, 그 단어는 거의 적절하게 해석된다.

쌍곡면 내 무한궤도

2003년에 필리즈 도스루와 세르게이 타바치니코프는 쌍곡면 안의 특정 종류의 볼록 폴리곤에 대해 모든 궤도가 무한하다는 것을 보여주었다.[15] 저자들은 그러한 다각형을 큰 다각형이라고 부른다. (정의는 참조 참조) 그 후 필리즈 도스루와 사무엘 오튼은 쌍곡면의 일반 다각형 테이블이 모든 궤도를 묶지 않은 상태, 즉 큰 상태를 명시함으로써 2011년에 이 작업을 확장했다.[16]

주기적 궤도의 존재

일반적인 다각형 당구에서는 주기적인 궤도의 존재가 주요 미해결 문제다. 예를 들어, 삼각형 모양의 테이블마다 주기적인 당구 경로가 있는지 알 수 없다. 상황이 잘 파악되지 않지만 외곽 당구는 더 많은 진전이 있었다. 위에서 언급한 바와 같이 유클리드 평면에서 볼록한 이성적 다각형에 대해 시스템이 정의될 때 모든 궤도는 주기적이다. 더욱이 어떤 볼록한 폴리곤에 상대적인 바깥 당구는 주기적인 궤도를 가지고 있다는 것이 크리스 컬터(세르게이 타바치니코프)의 최근 정리인데, 사실 어떤 주어진 경계 지역 바깥의 주기적인 궤도를 돌고 있다.[17]

질문 열기

외부 당구는 아직 시작 단계에 있는 대상이다. 대부분의 문제는 아직도 해결되지 않았다. 여기 그 지역의 몇 가지 공공연한 문제들이 있다.

  • 거의 모든 볼록 폴리곤에 상대적인 외부 당구는 무한궤도를 가지고 있다는 것을 보여준다.
  • 일반적인 폴리곤에 상대적인 외부 당구는 거의 모든 궤도를 주기적으로 가지고 있다는 것을 보여준다. 정삼각형이나 광장의 경우는 미미하며, 타바치니코프는 정규 오각형을 위해 이렇게 대답했다. 알려진 사례는 이것들뿐이다.
  • 보다 광범위하게, 일반적인 볼록 폴리곤에 상대적인 주기적 궤도의 구조를 특성화한다.
  • 작은 등변 삼각형과 같은 쌍곡면의 단순한 모양에 상대적인 주기적인 궤도의 구조를 이해한다.

참조

  1. ^ a b c Tabachnikov, Serge (1995). Billiards. Panoramas et Synthèses. Société Mathématique de France. ISBN 978-2-85629-030-9.
  2. ^ Tabachnikov, Sergei (2002). "Dual Billiards in the Hyperbolic Plane". Nonlinearity. 15 (4): 1051–1072. Bibcode:2002Nonli..15.1051T. CiteSeerX 10.1.1.408.9436. doi:10.1088/0951-7715/15/4/305.
  3. ^ Neumann, Bernhard H. (25 Jan 1959). "Sharing Ham and Eggs". Iota: The Manchester University Mathematics Students' Journal.
  4. ^ a b Moser, Jürgen (1973). Stable and random motions in dynamical systems. Annals of Mathematics Studies. Vol. 77. Princeton University Press.
  5. ^ Moser, Jürgen (1978). "Is the Solar System Stable?". Mathematical Intelligencer. 1 (2): 65–71. doi:10.1007/BF03023062.
  6. ^ R. Douady (1982). "these de 3-eme cycle". University of Paris 7. {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)
  7. ^ Vivaldi, Franco; Shaidenko, Anna V. (1987). "Global Stability of a class of discontinuous billiards". Communications in Mathematical Physics. 110 (4): 625–640. Bibcode:1987CMaPh.110..625V. doi:10.1007/BF01205552.
  8. ^ Kołodziej, Rafał (1989). "The antibilliard outside a polygon". Bull. Polish Acad. Sci. Math. 34: 163–168.
  9. ^ Gutkin, Eugene; Simanyi, Nandor (1991). "Dual polygonal billiard and necklace dynamics". Communications in Mathematical Physics. 143 (3): 431–450. Bibcode:1992CMaPh.143..431G. doi:10.1007/BF02099259.
  10. ^ Boyland, Philip (1996). "Dual billiards, twist maps, and impact oscillators". Nonlinearity. 9 (6): 1411–1438. arXiv:math/9408216. Bibcode:1996Nonli...9.1411B. doi:10.1088/0951-7715/9/6/002.
  11. ^ Genin, Daniel I. (2005). Regular and chaotic dynamics of outer billiards (Ph.D. Thesis). Pennsylvania State University.
  12. ^ Schwartz, Richard E. (2007). "unbounded orbits for outer billiards I". Journal of Modern Dynamics. 1 (3): 371–424. arXiv:math/0702073. Bibcode:2007math......2073S. doi:10.3934/jmd.2007.1.371.
  13. ^ Schwartz, Richard E. (2009). "outer billiards on kites". Annals of Mathematics Studies. 171. Princeton University Press. {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)
  14. ^ Dolgopyat, Dmitry; Fayad, Bassam (2009). "unbounded orbits for semicircular outer billiards". Annales Henri Poincaré. 10 (2): 357–375. Bibcode:2009AnHP...10..357D. doi:10.1007/s00023-009-0409-9.
  15. ^ Doǧru, Filiz; Tabachnikov, Sergei (2003). "On Polygonal Dual Billiards in the Hyperbolic Plane". Regular and Chaotic Dynamics. 8 (1): 67–82. Bibcode:2003RCD.....8...67D. doi:10.1070/RD2003v008n01ABEH000226.
  16. ^ Doǧru, Filiz; Otten, Samuel (2011). "Sizing Up Outer Billiard Tables". American Journal of Undergraduate Research. 10: 1–8. doi:10.33697/ajur.2011.008.
  17. ^ Tabachnikov, Serge (2007). "A proof of Culter's theorem on existence of periodic orbits in polygonal outer billiards". Geometriae Dedicata. 129: 83–87. arXiv:0706.1003. Bibcode:2007arXiv0706.1003T. doi:10.1007/s10711-007-9196-y.