위상결합

수학에서 두 가지 기능은 하나를 다른 것으로 결합시키는 동형성이 존재한다면 위상학적으로 결합한다고 한다. 위상학적 등가성으로도^[1] 알려진 위상학적 결합은 반복함수와 보다 일반적으로 역동적인 시스템을 연구하는 데 중요하다. 한 반복함수의 역학을 결정할 수 있다면, 위상학적 결합함수의 경우 그 역학관계가 사소한 것으로 뒤따르기 때문이다.

이를 직접 설명하려면: $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) 반복 함수이며$$ 다음과 같은$$ 동형상 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$이(가) 있다고 가정하십시오.

${\displaystyle g=h^{-1}\reason f\reason h,}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$과 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) 위상학적으로 결합되도록$$ 한다. 그럼 누군가는 가지고 있어야 한다.

${\displaystyle g^{n}=h^{-1}\f^{n}\message h,}$

그래서 반복된 시스템도 위상적으로 결합된다. 여기서 $\circ {\displaystyle }$ ${\displaystyle \circle }$은 함수 구성을 의미한다.

정의

${\displaystyle f}$: ${\displaystyle X}$→ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle Y}$ $[\displaystyle f\colon X\to$ X$,g\colon Y\to$ Y$\},$ $h{\displaystyle }$: Y${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h\colon Y\to X$$}$는 위상학적 $공간$에 대한 연속 함수, X ${\displaystystyle X$

${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g}$에 대한 위상학적으로 세미콘주게이트인 f는 ${\displaystyle \mathrm{정의상}}$ h ${\displaystyle$ h$}$이(가) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ h${\displaystyle }$= ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h=h\display$ g$}$과 같은 추론이라는 것을$$ 의미한다$.$

${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$과 g ${\displaystyle g}$은(는) 지형학적으로 세미콘주게이트이고 h ${\displaystyle h}$은(는) 더 나아가 주입성, 그 반대도 연속성을 의미한다. 즉 $h{\displaystyle }$ ${\displaysty h}$은 동형상이다. $더{\displaystyle }$ 나아가 h ${\displaystystystystystym$ h$}$$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$과 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$ 사이의 위상학적 결합으로 불린다$.$

흐름

마찬가지로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$$}$의$$$\varphi {\displaystyle }${\$displaystyle \phi }$ 및 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Y}의${\displaystyle }$$}$${\$$displaystyle$ $\$$psi$$}$이(가$)$ 흐름이며, ${\displaystyle 위}$와 같다$$${\displaystyle .}$

${\displaystyle \phi }$ being topologically semiconjugate to ${\displaystyle \psi }$ means, by definition, that ${\displaystyle h}$ is a surjection such that ${\displaystyle \phi (h(y),t)=h\circ \psi (y,t)}$, for each ${\displaystyle y\in Y}$, ${\displaystyle$$t\in \mathb {R}$

${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \phi }$과 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은(는) 위상학적으로 반미콘쥬게이트이고 h는 동형상이라는 의미로 해석된다. ^[2]

예

• 로지스틱 지도와 텐트 지도는 위상학적으로 결합되어 있다.^[3]
• 단위 높이의 로지스틱 지도와 베르누이 지도는 위상학적으로 결합되어 있다.^{[citation needed]}
• 매개변수 공간의 특정 값에 대해, Hénon 지도가 줄리아 집합으로 제한되었을 때, Hénon 지도가 위상학적으로 결합 또는 반 컨주게이트로 두 개의 기호에서 양면 시퀀스 공간에 대한 시프트 맵이다.^[4]

토론

위상학적 결합은 반관절과는 달리 위상학적 공간의 모든 연속적인 거절의 공간에서 동등성 관계를 정의하며$,$ 위상학적 결합인 경우 $f{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $f}$과 g {\displaystyle $g}$을 연관성이$$ 있다고 선언한다. 이러한 등가관계는 위상학적 관점에서 동일한 역학을 공유하는 모든 기능을 각 등급이 포함하기 때문에 역동적 시스템 이론에서 매우 유용하다. 예를 들어 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 궤도는 결합을 통해$$ f ${\displaystyle f}$의 동형 궤도에 매핑된다$$. Writing ${\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h}$ makes this fact evident: ${\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h}$. Speaking informally, topological conjugation is a "change of coordinates" in the topological sense.

그러나 흐름에 대한 유사한 정의는 다소 제한적이다. In fact, we are requiring the maps ${\displaystyle \phi (\cdot ,t)}$ and ${\displaystyle \psi (\cdot ,t)}$ to be topologically conjugate for each ${\displaystyle t}$, which is requiring more than simply that orbits of ${\displaystyle \phi }$ be mapped to orbits of ${\displaystyle \psi }$ 동형적으로 이는 위상학적 동등성의 정의에 동기를 부여하며, 위상학적 관점에서 $다시{\displaystyle }$ 위상학적 관점에서 X {\$displaystyle X}$의 모든 흐름 집합을 동일한 역학을 공유하는 흐름의$$ 클래스로 분할한다$.$

위상 등가성

우리는 두 흐름 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$과 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$이(가) 토폴로지적으로 동등하다고 말한다$$. 만일 동형상 $h{\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h:$$Y\to X},$$\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi}$의 궤도를 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi$}의$$ 궤도에$$ 매핑하고, 궤도의 방향을 보존한다. 즉 $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 궤도를 나타내도록$$ 내버려두면 한 사람이 가지고 있는 것이다.

${\displaystyle h({\mathcal {O}(y,\psi )=\{h\circle \psi(y, t):t\\mathb {R}\}=\mathb {R}\}={\mathcal {O}(y),\phi )}$

각은 y 들어 ∈ Y{\displaystyle y\in Y}. 또한 하나:각은 y에 ∈ Y{\displaystyle y\in Y}aδ 을이 존재한다;0{\displaystyle \delta>0}이 0<>s<>t<>δ{0<,\vert s\vert<>t<, \delta\displaystyle}, 그리고 만약 아주 어려운 일은 ϕ(h(y), s)=시간의 흐름이 서야 한다.h∘ψ(yt){\dis재생 $스타일 \phi(h(y),s)=h\buffer \buffer (y,t$ 다음 > 0 ${\displaystyle$ s$>0$

전체적으로 위상학적 등가성은 위상학적 결합보다 약한 등가성 기준으로서, 시간 항이 궤도와 그 방향과 함께 지도화될 필요가 없기 때문이다. 위상학적으로 등가지만 위상학적으로 결합되지 않는 시스템의 예로는 닫힌 궤도를 갖는 미분방정식의 2차원 시스템의 비 하이퍼볼릭 등급이 있다. 궤도를 서로 변형하여 공간적 감각에서 겹칠 수 있지만, 그러한 시스템의 기간은 유사하게 일치될 수 없기 때문에 위상학적 동등성 기준을 만족시키면서도 위상학적 결합성 기준을 충족시키지 못한다.

평활 및 궤도 등가성

흐름인 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$ 및$$ $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$이$($가) 미분 방정식에서 발생하는 경우 더 많은 동등성 기준을 연구할 수 있다.

미분방정식에 의해 정의된 $두{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 가지 동적계, 즉 x ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$= ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$) ${\dot{x}=f(x)}$와 y ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$= ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle }$y${\displaystyle }$) ${\dot {\dot{y}=$g$($y)}}}}는 차이점형식이 있을 $경우{\displaystyle }$h :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}${\$displaysty h:X\to$Y$\}$와 동등하다고 한다.

${\displaystyle f(x)=M^{-1(x)}\quad {\text{where}}\quad M(x)={\frac {d}h(x){\mathrm {d}x}x}}.}$

이 경우 동적 시스템은 좌표 변환 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle h}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle y=h(x)}$에 의해 서로 변환될 수 있다$.$

Two dynamical systems on the same state space, defined by ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$ and ${\displaystyle {\dot {x}}=g(x)}$, are said to be orbitally equivalent if there is a positive function, ${\displaystyle \mu :X\to \mathbb {R} }$, such that ${\displaystyle g(x)=\mu (x)f(x}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle g(x)=\mu(x)f(x$ 궤도상 등가 시스템은 파라메트리제이션 시간에서만 다르다.

부드럽게 등가하거나 궤도에 등가하는 시스템도 위상적으로 등가한다. 그러나 그 반대는 사실이 아니다. 예를 들어, $x{\displaystyle \stackrel{}{}=}$ = ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}${\$displaystyle {\dot{x$}=Ax$}$ 형식의 2차원에서 선형 시스템을$$고려하십시오. $매트릭스{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이$($가) 두 개의 양의 실제 고유값을 갖는 경우 시스템은 불안정한 노드를 가지고 있으며, 매트릭스에는 양의 실제 부품을 갖는 두 개의 복잡한 고유값이 있는 경우 시스템의 초점(또는 나선형)이 있다. 노드와 포커스는 고유값이 다르기 때문에 위상학적으로 동등하지만 궤도상 동등하거나 완만하게 동등하지는 않다(^[5]국소적으로 부드럽게 동등한 두 시스템의 자코비안들이 유사해야 하므로 이들의 고유값과 대수학 및 기하학적 승수는 같아야 한다는 주의).

동적 위상학적 결합의 일반화

동적 위상학적 결합 개념의 확장에는 두 가지 보고된 것이 있다.

1. 이형 동역학 계통으로 정의되는 아날로그 시스템
2. 범주형 역학에서 조정환자와 자연적 동등성을 통해 정의되는 동적 시스템 연결.^[6][7]

참고 항목

• 역행도

참조

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 위상학적 결합에서 얻은 자료가 통합되어 있다.