표준지도

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표준지도(Chirikov-Taylor 지도 또는 Chirikov 표준지도라고도 $함{\displaystyle \mathrm{}}$)는 측면 2 $[\displaystyle 2\pi$}이(가)^[1] 스스로$$ 놓여 있는 사각형으로부터 지역을 보존하는 것이다. 발차기 회전 장치 부분의 푸앵카레 표면에 의해 구성되며, 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+K\sin(\theta _{n})}$

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1}.$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {\theta n}_{}}$ ${\$은(는) modulo $2{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle 2\pi }$을(를) 취한다$.$

표준지도 혼돈의 속성은 1969년 보리스 치리코프에 의해 확립되었다.

물리 모델

이 지도는 푸앵카레의 발차기 회전 장치라고 알려진 간단한 기계 시스템의 운동 부분 표면을 묘사하고 있다. 발차기 회전 장치(Rotator)는 중력이 없는 막대기로 구성되는데, 이 막대기는 끝의 한쪽 축을 중심으로 평면에서 마찰 없이 회전할 수 있고, 다른 끝에는 주기적으로 발차기를 한다.

표준지도는 발차기 회전 장치(Rotator) 변수에 스트로보시 투영에 의해 적용되는 단면이다.^[1] 변수 ${\displaystyle {\theta n}_{}}$ ${\$와 ${$ {\$displaystyle$p_${n$}는 각각$$ n번째 킥 이후 스틱의 각도 위치와 각운동량을 결정한다. 상수 K는 발차기 회전 장치(Rotator)의 발차기 강도를 측정한다.

발차기 회전 장치(Rotator)는 입자, 가속기 물리학, 플라즈마 물리학, 고체 상태 물리학 등의 역학 분야에서 연구한 시스템을 근사하게 한다. 예를 들어, 원형 입자 가속기는 입자가 빔 튜브에서 순환할 때 주기적인 킥을 적용하여 입자를 가속한다. 따라서 빔의 구조는 발차기 로터에 의해 대략적으로 추정될 수 있다. 그러나 이 지도는 해밀턴의 혼돈을 보여주는 보수적인 시스템의 매우 단순한 모델이기 때문에 물리학과 수학의 근본적 관점에서 흥미롭다. 그러므로 이런 종류의 시스템에서 혼돈의 발전을 연구하는 것이 유용하다.

주특성

$K{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle K=0}$의 경우 지도는$$ 선형이며 주기적 및 퀘이페리오디컬 궤도만 가능하다. 위상 공간(θ–p 평면)에 표시할 때 주기적 궤도는 닫힌 곡선으로 표시되며, 쿼시페리오디컬 궤도는 닫힌 곡선의 목걸이로 표시되며, 중심은 또 다른 큰 닫힌 곡선에 놓여 있다. 관측되는 궤도의 유형은 지도 초기 조건에 따라 달라진다.

지도의 비선형성은 K에 따라 증가하며, K에 따라 적절한 초기 조건에 대해 혼란스러운 역학을 관측할 수 있다. 이것은 다른 궤도 K의 다양한 값에 대한 표준적인 지도에 허용된을 전시한다. 수치는;0{\displaystyle K>0}에서. 모든 궤도를 보여 준다 또는 준 주기적인, 푸른 사고의 개발, 발전시켜 위상 공간의 큰 지역에 혼란스럽다를 제외하고 주기적인 것으로 보이는 무작위 s 나타난다(의 포인트 특히 주목할 만한 것은 혼란스러운 지역의 분포가 극도로 균일하다는 점인데, 이는 기만적일 수 있지만, 혼란스러운 지역 안에서도 클로즈업에서 보듯이 반복하는 동안 결코 방문하지 않는 감소할 정도로 작은 섬들이 무한히 존재한다.

서클 맵

표준지도는 다음과 같은 하나의 유사한 반복 방정식을 갖는 원 지도와 관련이 있다.

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+\Oomega -K\sin(\theta _{n})}$

에 비하면

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n}+K\sin(\theta _{n})}$

${\displaystyle p_{n+1}=\theta _{n+1}-\theta _{n}}$

표준지도의 경우, 방정식은 유사성을 강조하기 위해 순서를 바꾸었다. 본질적으로 서클 맵은 모멘텀을 상수로 강제한다.

참고 항목

• 우시키의 정리

메모들

참조

• Chirikov, B.V. Research concerning the theory of nonlinear resonance and stochasticity. Preprint N 267, Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk (1969) (in Russian) [Engl. Transl., CERN Trans. 71 - 40, Geneva, October (1971), Translated by A.T.Sanders]. 연결하다
• Chirikov, B.V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems. Phys. Rep. v.52. p.263 (1979) Elsvier, Amsterdam.
• Lichtenberg, A.J. & Lieberman, M.A. (1992). Regular and Chaotic Dynamics. Springer, Berlin. ISBN 978-0-387-97745-4. 스프링어 링크
• Ott, Edward (2002). Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press New, York. ISBN 0-521-01084-5.
• Sprott, Julien Clinton (2003). Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press. ISBN 0-19-850840-9.

외부 링크

• MathWorld의 표준 지도
• Scholarpedia의 치리코프 표준 지도
• 보리스 치리코프 전용 웹사이트
• Achim Luhn이 표준 지도 궤도를 시각화하는 대화형 Java 애플릿
• 표준 지도를 위한 Mac 응용 프로그램, James Meiss 사용
• experiences.math.cnrs.fr의 대화형 Javascript 애플릿 표준 지도