보수적 제도

수학에서 보수적인 시스템은 방산적인 시스템과 대조를 이루는 역동적인 시스템이다. 대략적으로 말하면, 그러한 시스템은 역학을 소멸시키기 위한 마찰이나 다른 메커니즘을 가지고 있지 않으며, 따라서 그들의 위상 공간은 시간이 지남에 따라 줄어들지 않는다. 정확히 말하자면, 그것들은 시간 진화 하에서, 위상 공간의 어떤 부분도 결코 "떠돌아다니지" 않고, 다시 돌아오거나 다시 찾아오지 않는, 무효한 방황 세트를 가지고 있는 역동적인 시스템이다. 또는, 보수적인 시스템은 푸앵카레 재발 정리가 적용되는 시스템이다. 보수적인 시스템의 중요한 특별한 경우는 측정보존적인 역동적인 시스템이다.

비공식 소개

비공식적으로, 역동적인 시스템은 일부 기계적 시스템의 위상 공간의 시간 진화를 설명한다. 일반적으로, 그러한 진화는 일부 미분 방정식에 의해, 또는 종종 이산 시간 단계의 측면에서 주어진다. 그러나, 현재의 경우, 이산형 점의 시간 진화에 초점을 맞추는 대신, 점 집합의 시간 진화에 주의를 이동시킨다. 그러한 예로는 토성의 고리가 있다: 고리의 개별 모래 알갱이들의 시간 진화를 추적하기 보다는, 고리의 밀도의 시간 진화에 관심이 있다: 고리의 밀도가 어떻게 바깥으로 튀어 나오는지, 퍼져나가는지 또는 집중되는지에 대한 것이다. 짧은 시간 범위(수십만 년)에 걸쳐 토성의 고리는 안정적이며, 따라서 보수적인 시스템의 합리적인 예로서 보다 정확하게는 측정 보존 역동적인 시스템의 예라고 할 수 있다. 고리에 있는 입자의 수가 변하지 않기 때문에 측정보존성이 있으며, 뉴턴 궤도역학에 따르면 위상공간은 늘어나거나 짜낼 수 있지만 줄어들지 않는 것이다(이것이 리우빌의 정리내용이다).

형식 정의

형식적으로 측정 가능한 동적 시스템은 비음향적이고 방황 세트가 없는 경우에만 보수적이다.^[1]

측정 가능한 동력계(X, ,, μ, μ, sig)는 시그마-피니트 측정 μ와 변환 τ을 갖춘 보렐 공간(X, σ)이다. 여기서 X는 집합이고, σ은 X에 있는 시그마알지브라(Sigma-algebra)이므로 쌍(X, σ)은 측정이 가능한 공간이다. μ는 시그마 algebra에 대한 시그마 finite 측정값이다. 공간 X는 동적 시스템의 위상 공간이다.

A transformation (a map) τ: X → X is said to be Σ-measurable if and only if, for every σ ∈ Σ, one has $\tau ^{-1}\sigma \in \Sigma$ . The transformation is a single "time-step" in the evolution of the dynamical system. 하나는 역학계의 현재 상태가 잘 정의된 과거 상태에서 나오도록 되돌릴 수 없는 변형에 관심이 있다.

A measurable transformation τ: X → X is called non-singular when $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=0$ if and only if $\mu (\sigma )=0$ .^[2] In this case, the system (X, Σ, μ, τ) is called a non-singular dynamical system. 비음속 동적 시스템은 비균형 시스템을 모델링하는 데 적합하다. That is, if a certain configuration of the system is "impossible" (i.e. $\mu (\sigma )=0$ ) then it stays "impossible" (was always impossible: $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=0$ ), but otherwise, the system can evolve arbitrarily. 비음향 시스템은 무시할 수 있는 세트를 보존하지만 다른 종류의 세트를 보존할 필요는 없다. 여기서 단수라는 단어의 감각은 $\mu \circ \tau ^{-1}$ $[\displaystyle \mu }$ 의 $\mu$ 어떤 부분도 μs $\mu \circ \tau ^{-1}$ μs - 1 ${\$ 및 $\mu \circ \tau ^{-1}$ 그 반대라는 점에서 단수 측정의 정의에서와 동일하다.

$\mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )$ - $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )$ $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )$ ) $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )$ = $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )$ $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )$ ) = μ ( ) $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )$ ) $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )$ 를 $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )$ 불변성, 또는 더 일반적으로 측정 보존 역동성 시스템이라고 한다.

만약, 모든 세트를 σ 긍정적인 조치의 ∈Σ{\displaystyle \sigma\in \Sigma}과 모든 n에 ∈ N{\displaystylen\in \mathbb{N}}중 한 정수 p을 가지고 있는non-singular 역학적 제도 즉 n은μ(σ ∩ τ− pσ)을 그러한{\displaystyle p>, n};0{\displaystyle \mu(\sigma \cap\tau ^{-p}\s 보수적이다.igma)>0} $\mu (\sigma \cap \tau ^{-p}\sigma )>0$ 비공식적으로, 이것은 시스템의 현재 상태가 이전 상태로 다시 돌아오거나 임의로 이전 상태로 온다고 해석될 수 있다. 자세한 내용은 푸앵카레 재발을 참조하라.

A non-singular transformation τ: X → X is incompressible if, whenever one has $\tau ^{-1}\sigma \subset \sigma$ , then $\mu (\sigma \smallsetminus \tau ^{-1}\sigma )=0$ .

특성.

비노래 변환 τ: X → X의 경우 다음과 같은 문장이 동등하다.^[1]^[3]^[4]

τ은 보수적이다.
τ은 누를 수 없다.
방황하는 모든 τ의 집합은 null이다.
모든 양의 측정값 $\mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ sets $\mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ $\mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ = $\mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ $\mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ $\mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ - $\mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ $\mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ ) $\mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ = $\mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ ${\displaystyle \mu \left(\sigma \smallsminus$ \smallsmallsminus $\cupt_{n=1}^{-n}\tau$ ^\n $}\sigma$ \igma \rigma \rigma= $0}=$ 0 $\mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ 0 $}.$

위와 같은 내용은 측정보존형 동력계통이 모두 보수적이라는 것을 의미한다. 이것은 사실상 푸앵카레 재발정리의 현대적 진술이다. 이 4개의 등가성 입증의 스케치는 Hopf 분해#Recurence 정리에서 주어진다.

홉프 분해

홉프 분해는 비노래적 변형이 있는 모든 측정 공간은 불변 보수 집합과 방황(분열) 집합으로 분해될 수 있다고 명시하고 있다. 홉프 분해의 흔한 비공식적인 예는 두 가지 액체의 혼합이다(일부 교과서에서는 럼주와 콜라를 언급한다). 두 액체가 아직 섞이지 않은 초기 상태는 혼합된 후 다시는 재발할 수 없다; 그것은 방산 세트의 일부분이다. 마찬가지로 일부 혼합된 주들도 마찬가지 입니다. 그 결과는 혼합된 후에 안정적이며, 보수적인 세트를 형성한다. 더 많은 혼합이 그것을 변화시키지 않는다. 이 예에서, 보수적인 세트는 또한 에고딕적이다: 만약 한 방울의 액체(예: 레몬 주스)를 더 첨가한다면, 그것은 한 곳에 머무르지 않고, 모든 곳에서 섞이게 될 것이다. 이 예에 대해 한 가지 주의할 점은 혼합 시스템이 에고딕적이긴 하지만, 에고딕 시스템은 일반적으로 혼합 시스템에 있지 않다는 것이다. 혼합은 존재하지 않을 수도 있는 상호작용을 의미한다. 혼합되지 않는 에고다이컬 시스템의 표준적인 예는 베르누이 과정이다: 그것은 동전 플립의 가능한 모든 무한 시퀀스의 집합이다(동일하게, $\{0,1\}^{\mathbb {N} }$ $\{0,1\}^{\mathbb {N} }$ N ${\$ 0, $1\}^{\$ mathb ${N}}}}}}).$ 각각의 동전 플립은 다른 것들과 독립적이다.

에르고딕 분해

에고딕적 분해 정리는 대략 모든 보수적 시스템을 구성 요소로 분할할 수 있으며, 각 구성 요소는 개별적으로 에고딕적이라고 기술하고 있다. 이것의 비공식적인 예로는 가운데 칸막이가 있고 각 칸에 액체가 채워져 있는 욕조가 있을 것이다. 한쪽의 액체는 분명히 자신과 섞일 수 있고, 다른 쪽도 섞일 수 있지만, 칸막이 때문에 양쪽이 상호작용을 할 수 없다. 분명히, 이것은 두 개의 독립적인 시스템으로 취급될 수 있다; 양 측 사이의, 측정치 0의 누설은 무시될 수 있다. 에고다이컬 분해 정리는 모든 보수적인 시스템을 그러한 독립된 부분으로 분할할 수 있으며, 이러한 분할은 (측정값 0의 차이에까지) 고유하다고 기술하고 있다. 그러므로 관례에 따라 보수적 시스템에 대한 연구는 그들의 에고다이컬 구성요소에 대한 연구가 된다.

공식적으로 모든 에고다이즘 시스템은 보수적이다. 불변 집합 σ ∈ σ σ은 σ( =) = σ인 집합이라는 것을 상기하라. 에고다이크 시스템의 경우, 유일한 불변 집합은 측정치가 0이거나 완전 측정(무효 또는 원추형)된 집합이다. 그리고 보수적이라는 것은 여기서부터 사소한 것으로 따른다.

τ이 에르고딕일 경우, 다음 문장이 동등하다.^[1]

τ은 보수적이고 에고다이컬하다.
모든 측정 가능한 집합 μ, $\mu \left(X\smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ , μ, $\mu \left(X\smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ , 1 $\mu \left(X\smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ $\mu \left(X\smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ $\mu \left(X\smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ , = $\mu \left(X\smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$ ${\displaystyle \left(X$ \smallsminus $\bigcup _{n=1}^{\inft$ ^}\n}\ $sigma$ \rigma \rigma $\$ r)=0 $},$ 즉, X의 모든 X의 "sout"이다 $\mu \left(X\smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0$
모든 양의 측정값 σ에 대해, 그리고 $x\in X$ $x\in X$ x $x\in X$ X {\ $displaystyle x\in$ X}에 대해, $x\in X$ $\tau ^{n}x\in \sigma$ n $\tau ^{n}x\in \sigma$ x $\tau ^{n}x\in \sigma$ σ $\tau ^{n}x\in \sigma$ 과 같은 양의 정수 n이 존재한다 $\tau ^{n}x\in \sigma$
양의 측정값의 모든 $\rho$ $\sigma$ $\sigma$ 및 $\sigma$ $\rho$ ${\displaystyle \$ $\mu \left(\tau ^{-n}\rho \cap \sigma \right)>0$ $}}$ 에 $\mu \left(\tau ^{-n}\rho \cap \sigma \right)>0$ $\mu \left(\tau ^{-n}\rho \cap \sigma \right)>0$ - - $\mu \left(\tau ^{-n}\rho \cap \sigma \right)>0$ ) $\mu \left(\tau ^{-n}\rho \cap \sigma \right)>0$ ) $\mu \left(\tau ^{-n}\rho \cap \sigma \right)>0$ > $\mu \left(\tau ^{-n}\rho \cap \sigma \right)>0$ {\ $displaystyle \mu \left(\-n}\rho \cap \sigma$ \rigma \rigma \ $rigma$ \rigma)0})0})0 $})$ 0}과 같은 양의 정수 n이 있다.
$\tau ^{-1}\sigma \subset \sigma$ - $\tau ^{-1}\sigma \subset \sigma$ $\tau ^{-1}\sigma \subset \sigma$ $\mu (\sigma ^{c})=0$ $\$ \ $\$ \ $displaystyle \$ $tau ^{-1$ $}\$ $sigma \subset$ $\mu (\sigma )=0$ $\$ $\mu (\sigma )=0$ \ $sigma$ \ $sigma \$ $mu$ (\ $sigma$ $\mu (\sigma )=0$ $}),$ 또는 0 $측정치$ 가 $\mu (\sigma ^{c})=0$ 인 경우 $\mu (\sigma ^{c})=0$

참고 항목

KMS state는 양자역학적 시스템의 열역학적 평형(Von Neumanna Algebras의 모듈식 이론에 대한 이중화)에 대한 설명이다.

메모들

^ ^a ^b ^c 다닐렌코 & 실바(2009), 섹션 2.2
^ 다닐렌코 & 실바(2009), 페이지 1
^ 크렌겔(1985), 페이지 16-17
^ 사리그(2020), 섹션 1.14

참조

Danilenko, Alexandre I.; Silva, Cesar E. (2009). "Ergodic theory: Nonsingular transformations". Encyclopedia of Complexity and Systems Science. Springer. arXiv:0803.2424. doi:10.1007/978-0-387-30440-3_183.
Krengel, Ulrich (1985). Ergodic theorems. De Gruyter Studies in Mathematics. Vol. 6. de Gruyter. ISBN 3-11-008478-3.
Sarig, Omri (March 8, 2020). "Lecture Notes on Ergodic Theory" (PDF). Home Omri Sarig. Weizmann Institute.

추가 읽기

Nicholls, Peter J. (1989). The Ergodic Theory of Discrete Groups. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37674-2.
Wilkinson, Aime (2008). "Smooth Ergodic Theory". arXiv:0804.0167 [math.DS].

[dan2-1] 다닐렌코 & 실바(2009), 섹션 2.2

[2] 다닐렌코 & 실바(2009), 페이지 1

[3] 크렌겔(1985), 페이지 16-17

[4] 사리그(2020), 섹션 1.14

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