Axiom A
Axiom A수학에서, Smale의 공리 A는 광범위하게 연구되어 왔고 상대적으로 역학이 잘 이해되어 있는 역학 계통의 한 부류를 정의한다. 대표적인 예가 스마일 편자 지도다. "axiom A"라는 용어는 스티븐 스마일에서 유래되었다.[1][2] 그러한 시스템의 중요성은 '모든 실용적인 목적을 위해' 다체온도조절장치가 아노소프 시스템에 의해 근사치라는 혼란스러운 가설에 의해 증명된다.[3]
정의
M을 차동형 f: M→M으로 매끄러운 다지관이 되게 하라. 그렇다면 f는 다음과 같은 두 가지 조건이 유지된다면 A 차동형이다.
- nonwandering set of f, Ω(f)은 쌍곡선 세트와 콤팩트다.
- f의 주기적인 점 집합은 Ω(f)로 밀도가 높다.
표면의 경우, 비완화 집합의 쌍곡성은 주기적인 점의 밀도를 의미하지만, 더 높은 차원에서는 더 이상 사실이 아니다. 그럼에도 불구하고, Axiom A differentomistics는 때때로 쌍곡차동형이라고 불리는데, 왜냐하면 흥미로운 역학이 일어나는 M의 부분, 즉 Ω(f)은 쌍곡행동을 보이기 때문이다.
Axiom A difference는 Morse-Smale 시스템을 일반화하며, 이 시스템은 추가 제한사항을 충족한다(완전히 많은 주기적 포인트와 안정적이고 불안정한 서브매니폴드의 횡단성). Smale 말발굽 지도는 무한히 많은 주기적 점들과 양의 위상적 엔트로피가 있는 차이점형성이다.
특성.
어떤 아노소프 차이점동형도 공리 A를 만족시킨다. 이 경우 전체 다지관 M은 쌍곡선이다(비완화 집합 Ω(f)이 전체 M을 구성하는지는 공개 질문이지만).
루퍼스 보웬은 어떤 공리의 비원더링 집합 Ω(f)을 보여주었다. 차이점형주의는 마르코프 칸막이를 지지한다.[2][4] 따라서 Ω(f)의 특정 일반적 부분집합에 대한 f의 제한은 유한 유형의 이동으로 결합된다.
비완전 집합의 주기적 점의 밀도는 국소 최대치를 암시한다: 다음과 같은 Ω(f)의 열린 근린 U가 존재한다.
오메가 안정성
Axiom A 시스템의 중요한 특성은 작은 동요에 대한 구조적 안정성이다.[5] 즉, 교란된 시스템의 궤적은 교란되지 않은 시스템과의 1-1 위상학적 일치에 머물러 있다. 이 속성은 Axiom A 시스템이 예외적인 것이 아니라 어떤 의미에서 '로보스트'라는 것을 보여준다는 점에서 중요하다.
더 정확히 말하면, f의 모든 C-퍼스터빌레이션1 f에ε 대해, 그것의 비-완전 세트는 Ω과1 Ω의2 두 개의 콤팩트한 f-인바리어스ε 하위 집합에 의해 형성된다. 첫 번째 부분 집합은 f ~ Ω(f)의 제한과 fε ~ Ω의1 제한을 결합하는 동형상 h를 통해 Ω(f)에 대한 동형상이다.
Ω이2 비어 있으면 h는 Ω(fε) 위에 있다. 만약 이것이 모든 동요 f의ε 경우라면 f는 오메가 스테이블이라고 불린다. 차이점형성 f는 공리 A와 무주기 조건(한 번 불변 부분집합을 떠난 궤도가 돌아오지 않는 경우)을 만족하는 경우에만 오메가 안정적이다.
참고 항목
참조
- ^ Smale, S. (1967), "Differentiable Dynamical Systems", Bull. Amer. Math. Soc., 73: 747–817, doi:10.1090/s0002-9904-1967-11798-1, Zbl 0202.55202
- ^ a b 루엘(1978년) 페이지 149
- ^ Scholarpedia, 혼돈 가설 참조
- ^ Bowen, R. (1970), "Markov partitions for axiom A diffeomorphisms", Am. J. Math., 92: 725–747, doi:10.2307/2373370, Zbl 0208.25901
- ^ 아브라함과 마스덴, 역학의 기초(1978) 벤자민/쿠밍스 출판사, 섹션 7.5 참조
- Ruelle, David (1978). Thermodynamic formalism. The mathematical structures of classical equilibrium. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 5. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-201-13504-3. Zbl 0401.28016.
- Ruelle, David (1989). Chaotic evolution and strange attractors. The statistical analysis of time series for deterministic nonlinear systems. Lezioni Lincee. Notes prepared by Stefano Isola. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36830-8. Zbl 0683.58001.
