탄성진자

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물리학과 수학에서, 역동적인 시스템의 영역에서, 탄성 진자^[1][2](봄 진자^[3][4] 또는 흔들리는 봄이라고도 한다)는 하나의 질량이 스프링에 연결되어 그 결과 운동이 단순한 진자와 1차원 봄-질량 시스템 모두의 원소를 모두 포함하고 있는 물리적 시스템이다.^[2] 이 시스템은 혼란스러운 행동을 보이며 초기 조건에 민감하다.^[2] 탄성 진자의 운동은 일련의 결합된 일반적인 미분 방정식에 의해 제어된다.

분석 및 해석

이 시스템은 단순한 진자보다 훨씬 더 복잡하다. 봄의 성질은 이 시스템에 추가적인 자유 차원을 더하기 때문이다. 예를 들어, 스프링이 압축될 때, 반경이 짧을수록 각운동량 보존으로 인해 스프링이 더 빨리 이동하게 된다. 또한 봄은 진자의 움직임에 의해 추월되는 범위를 가지고 있어 진자의 움직임에 실질적으로 중립을 이루게 될 가능성도 있다.

라그랑기안

스프링의 나머지 길이 $l{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를) 가지며$$ 길이 x ${\displaystyle$ x$}$까지 늘릴 수 있다$.$ 진자의 진동각은 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$이다$.$

Lagrangian $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 다음과$$ 같다.

$L=T-V}$

여기서 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$은 운동 에너지, $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은 잠재적 에너지다.

보시오. 후크의 법칙은 봄의 잠재적 에너지 그 자체다.

${\displaystyle V_{k}={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

여기서 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$은(는) 스프링 상수다.

반면에 중력으로부터의 전위 에너지는 질량의 높이에 의해 결정된다. 주어진 각도와 변위의 경우 전위 에너지는 다음과 같다.

${\displaystyle V_{g}=-gm(l_{0}+x)\cos \theta }$

여기서 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$은(는) 중력 가속이다.

운동 에너지는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

여기서 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은(는) 질량의 속도다. $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을(를) 다른 변수와 연관시키려면, 속도는 스프링에 수직인 이동의 조합으로 기록한다.

${\displaystyle T={\frac {1}{1}{2}}m({\dot{x}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot{\tea{}}}}}$

그래서 라그랑지안은 다음과 같이 된다.^[1]

${\displaystyle L=T-V_{k}-V_{g}}$

${\displaystyle L[x,{\dot {x}},\theta ,{\dot {\theta }}]={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})-{\frac {1}{2}}kx^{2}+gm(l_{0}+x)\cos \theta }$

운동 방정식

자유도가 2도인 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$에 대해 운동 방정식은 다음 두 가지 오일러-래그랑주 방정식을 사용하여 찾을 수 있다$.$

${\displaystyle {\partial L \over \partial x}-{\operatorname {d} \over \operatorname {d}{\partial L \partial {\x}=0}$

${\displaystyle {\partial L \over \partial \teta}-{\operatorname {d} \over \partial L \partial {\dot {\}}}=0}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 경우$:$^[1]

${\displaystyle m(l_{0}+x){\dot {\theta }^{2}-kx+gm\cos \theta -m{\ddot{x}=0}$

${\displaystyle \stackrel{}{x}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{¨}}$ ${\$ 격리$$:

${\ddtyle {\ddot{x}=(l_{0}+x){\dot {\theta }^{2}-{\frac {k}{m}x+g\cos \theta }}$

$\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$의 경우$:$^[1]

${\displaystyle -gm(l_{0}+x)\sin \theta -m(l_{0}+x)^{2}{\dot{x}{x}}{\dot{\teta{}}}}{\dot{\ta}}}{\dota }}}}=0}$

${\$ 격리$$:

${\dtype{\dta}}=-{\frac {g}{l_{0}+x}}\sin \theta -{\frac {2}{x}}{l_{0}+x}}{\dot {\tea}}}}}}}}}$

탄성 진자는 이제 두 개의 결합된 일반 미분 방정식으로 설명된다. 이것들은 숫자로 해결할 수 있다. 게다가, 이 시스템에서는 주문-차오-오더^[6] 현상에 대해 분석적인 방법을 사용하여 연구할 수 있다.

참고 항목

• 이중진자
• 더핑 오실레이터
• 진자(수학)
• 봄-매스 시스템

참조

추가 읽기

외부 링크

• 홀로바츠키 V, 홀로바츠카 Y. (2019) 「탄력 진자의 궤적」(인터랙티브 애니메이션), 울프램 데모프로젝트(Wolfram Demoration Project)가 2019년 2월 19일 발간되었다.