맥키-유리 방정식

수학과 수리 생물학에서, 마이클 맥키와 리언 글래스의 이름을 딴 맥키-유리 방정식은 방정식의 ^[1]매개변수에 의해 제어되는 특정 생물학적 맥락에서 건강한 행동과 병적인 행동을 모두 모방하는 지연 미분 방정식을 말한다.원래, 그것들은 혈액 내 성숙한 세포의 상대적인 양의 변화를 모델링하기 위해 사용되었다.방정식은 다음과 ^[1][2]같이 정의됩니다.

${\displaystyle {dP(t)} {dt} = frac {\theta ^{n} {\theta ^{n} + P(t-\tau)^{n}} - \timeP(t)}$

(제1호)

그리고.

${\displaystyle {dP(t)} {dt} = frac {0}\theta ^{n}P(t-\tau) {\theta ^{n}+P(t-\tau)^{n}-\theta P(t)}$

(제2호)

$여기$서 P$)$ {$displaystyle$ P$(t)}$는 시간 경과에 따른 셀 밀도를 $나타내고{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\beta \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}\beta }$,${\displaystyle \beta }$, β, β${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \beta }$, $,$ \$displaystyle \beta$ _${0},$ \$theta, n,$ \$tau,$ \$gamma}$는 방정식의 파라미터입니다.

특히 등식 (2)는 다양한 ^[3]치수의 혼돈 유인기를 야기할 수 있기 때문에 동적 시스템에서 주목할 만하다.

서론

시스템의 ^[4]특정 하위 구성요소의 주기적인 행동을 포함하거나 의존하는 엄청난 수의 생리 시스템이 존재합니다.예를 들어, 많은 항상성 과정은 혈액 내 물질의 농도를 제어하기 위해 부정적인 피드백에 의존합니다. 예를 들어, 호흡은 혈액 ^[5]내 높은 CO₂ 농도를 뇌에 의해 감지함으로써 촉진됩니다.이러한 시스템을 수학적으로 모델링하는 한 가지 방법은 다음과 같은 간단한 상미분 방정식을 사용하는 것입니다.

${\displaystyle y'(t)=k-cy(t)}$

$여기$서 k$(\displaystyle$ k$)$는 "유도"가 생성되는 $속도$이며$,$ c(\$displaystyle$c)는 물질의 현재 수준이 생산 지속을 저해하는 방법을 제어합니다.이 방정식의 해는 적분 계수를 통해 찾을 수 있으며 다음과 같은 형태를 가집니다.

${\displaystyle y(t)=syslogfrac {k}{c}}+f(y_{0})e^{-ct}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 y 0$(\$은 초기값 문제의 초기 조건입니다.

그러나 상기 모델은 물질 농도의 변화가 즉시 감지된다고 가정하고 있으며, 이는 종종 생리학적 시스템에서는 해당되지 않는다.이 문제를 완화시키기, 맥키는 M.C.&유리는, L.(1977년)함수 k기 위해 생산률 변경을 제안했다(y(t− τ)의 집중 이전 시점 t에서{\displaystyle k(y(t-\tau))}τ{\displaystyle t-\tau}시간에 대한 기대감이 이러한 사실이 현저한 지연 befor 상황을 반영하여에서 −.et골수는 ^[6]혈액에서 낮은 세포 농도를 감지한 후 혈액에서 성숙한 세포를 생성하고 배출합니다.생산 $속도{\displaystyle }$k(\$style$ k$)$를 그대로 받아들임으로써:

$(\displaystyle {\frac {beta _ {0}\theta ^ {n} + P ( t - \ tau )^{n} ~ { \ text { or } ~ { \ frac { beta _ 0 } P ( t - \ tau ){ n } ~ { \ teta ^ { n （ t } )$

각각 식 (1)과 (2)를 구한다.Mackey, M.C. & Glass, L. ($표준$)에서 사용한 값은 $=$ 0.${\displaystyle 1}$ (\$displaystyle \displays$ 0.$1{\displaystyle {}_{}}$), ${\displaystyle {\beta \mathrm{}}_{}}$ 0 $=$ ${\displaystyle 0}$.2 (\$displaystyle \displays$ _${0$}=$0)$입니다.$초기$ $조건{\displaystyle }$P(${\displaystyle 0)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$.1$({displaystyle$$P$(0)=$0.$1$)$인 2$$및 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ $({$$displaystyle$ n$=$$10$$}).$ 변수 $P{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{변수}}$ P(t) ${\displaystyle =}$ $변수$ Q$($tyle${\displaystyle )}$의 변화 때문에 등식 (2)의 역학 분석 목적과 관련이 없다.질문 내용:

${\displaystyle Q'(t)=syslogfrac {0}Q(t-\tau)}{1+Q(t-\tau)^{n}-\display Q(t)}-\displaystyle Q(t)}$

이러한 맥락에서 플롯은 종종 Q${\displaystyle (t)}$ $=$ ${\displaystyle P(}$t) /$${\({$displaystyle$ Q$(t$)=$P(t)/\theta }$를$$y(\$displaystyle$ y$$$)$ 축에 배치합니다.

동적 동작

$\delta {\displaystyle }${ $displaystyle$\ $tau }$가 변화할 때 등식용액의 거동을 연구하는 것은 생리학계가 물질의 농도 변화에 반응하는 데 걸리는 시간을 나타내기 때문이다.이러한 지연의 증가는 병리학에 의해 발생할 수 있으며, 이는 Mackey-Glass 방정식, 특히 식 (2)에 대한 혼돈한 해답을 초래할 수 있습니다.${\displaystyle \mathrm{\tau }}$ 6(\$displaystyle \display$=$6$이면 매우 규칙적인 주기적 솔루션을 얻을 수 있으며, $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 22}$(\$displaystyle \display$=$22)$이면 솔루션은 훨씬 더 불규칙해집니다.

Mackey-Glass 어트랙터는 ${\displaystyle 쌍(}$ ${\displaystyle P}$(${\displaystyle t}$ )${\displaystyle }$,${\displaystyle P}$ ( t -${\displaystyle }$"${\displaystyle }$) ,${\displaystyle P}$ (${\displaystyle t}$ - ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle )}$)$$\ $displaystyle ( P$ ($t$ ) ,$P$ ( $t$- \ $tau$) , P ( $t-2$\ $tau$) )$$^[2]。지연 미분 방정식이 일반 미분 방정식의 시스템으로 축소될 수 있고, 또한 거의 무한 차원 ^[3][7]맵이기 때문에 이것은 어느 정도 정당화됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 일주기 리듬
• 일주 발진기
• 신경 진동

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