발차기 회전 장치

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발차기 로터(chicked rotator)라고도 하는 발차기 로터는 혼돈과 양자 혼돈 연구의 프로토타입 모델이다.그것은 링 위에서 움직일 수 밖에 없는 입자를 묘사한다.입자는 균일한 장에 의해 주기적으로 차게 된다(동일하게: 짧은 펄스에서는 주기적으로 중력이 켜진다).그 모델은 해밀턴인에 의해 설명된다.

${\displaystyle {\mathcal {H}(p,x,t)={\frac {1}{1}{2}}:p^{2}}+K\cos(x)\sum _{n=-\inflt }^{n=-}\delta(t-n)}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\$은 Dirac 델타 함수, $x{\displaystyle }$ ${\$은 각도 위치(예: 링 위)이며, ${\displaystyle \mathrm{modulo}}$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$ $\$ {\$displaysty$\$textstyle$$$$p{\displaystyle }$}, p ${\$$}$은 k$}$이 모멘텀이다.g 힘그것의 역학은 표준 지도로 설명된다(동작 방정식을 통합하여 도출할^[1] 수 있다).

${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+K\sin(x_{n}),\;\;x_{n+1}=x_{n}+p_{n+1}:{n+1}1}:{n+1}:{n+1}:{n+1}:{n+1}:{n+1}:{n1}:{n+1}:{n2}}:$

$p{\displaystyle }$ ${\$은(는) 표준 지도에서와 같이 주기적이지 않다는$$ 점을 유의해야 한다.여기서$$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$ 및$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 $n{\displaystyle }$ ${\$ -th$$ 펄스 바로 앞의 모멘텀과 위치다.

주 특성(일반)

고전적 분석에서 이 충분히 K> K > 0.… ${\displaystyle K>K_{c}\ 약$0.$971635\dots$ 시스템이 혼란스럽고 양수 막시말 리아푸노프 지수(MLE)가 있다.

모멘텀 제곱의 평균 확산은 인근 궤도의 소산성을 특징짓는 데 유용한 매개변수다.표준지도의 귀납적 결과는 모멘텀에^[2] 대해 다음과 같은 방정식을 산출한다.

${\displaystyle p(n)=p(0)+K\sum _{i=0}^{n-1}\sin(x(i))}$

그런 다음 n ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle h^{}}$ ${\$킥$$ 후 운동량의 차이를 제곱한 다음 평균을 산출하여 항복할 수 있다.

${\displaystyle \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\angle =\left\langle {(p(n)-p(0)))}^{2}\right\rangle =K^{2}\sum _{i=0}^{n-1}\left\langle {\sin }^{2}(x(i))\right\rangle +K^{2}\sum _{i\neq j}^{}\left\langle \sin(x(i))\sin(x(j))\right\rangle }$

혼란스러운 영역에서, 서로 다른 시점에서의 순간은 완전히 상관관계가 없는 것에서부터 높은 상관관계가 있는 곳일 수 있다.만일 그것들이 준랜덤 행위로 인해 상관관계가 없다고 가정한다면, 교차단어 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle j}$ ${\$ j$}$과 관련된 합계는 무시된다$$.In this limit, since the first term is a sum of ${\displaystyle \textstyle n}$ terms all equalling ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$, the momentum diffusion becomes ${\displaystyle \textstyle \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2}}K^{2}n}$. How지금까지 서로 다른 시점의 모멘텀a가 높은 상관관계를 갖는다고 가정할 경우, 교차단어를 포함하는 합계가 무시되지 않기 때문에 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 2 ${\$}}개의 용어와 동일한 용어에 기여한다$.$ 모두 합쳐서 $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ n$^{2$}}개의$$ 용어가 있으며, 모든 형식 ~ ${\displaystyle ~s{}^{}}$.${\displaystyle \textstyle \sim \left\langle {\sin }^{2}x\right\rangle ={\frac {1}{2}}}$. This gives an upper bound on the momentum diffusion of ${\displaystyle \textstyle \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2}}K^{2}n^{2}}$. Therefore, in the chao틱 영역, 모멘텀 확산은 사이에 있다.

${\displaystyle {\frac{1}{2}}K^{2}n\leq \left\langle {(\Delta p)}^{2}\rigle \leq {\frac{1}{1}{2}}K^{2}n^{2}}:00}$

즉, 혼돈된 영역에서의 모멘텀 확산은 킥 수에 대한 선형적 의존과 2차적 의존 사이의 어딘가를 가지고 있다.$⟨{\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ p$)}^{2}\right\angle }}}$에 대한 정확한 표현은 원칙적으로 궤도의 앙상블에 대한 명시적으로 합계를 계산하여 얻을 수 있다$$.

주 특성(양)

양자 분석에서 해밀턴은 먼저 $교환{\displaystyle }$ p${\displaystyle }$= ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\$x}}}를 사용하여$$ 연산자 형식으로 다시 작성해야 한다(^[1]차원이 없는 형식, 물리적 매개변수와 유사한 파생).

${\displaystyle H(x,t)=-{\frac {1}{1}:{2}}:{{\partial x^{2}}+K\cos(x)\sum _{n=-\inflt }^{\n}$

그런 다음 슈뢰딩거 방정식을 사용하여 파동 기능을 해결할 수 있다.

${\displaystyle i\hbar {\frac {\fract {}{\reason t}\reason (t)=H\psi(t)}$

여기서 ${\$은(는) $킥{\displaystyle }$ 사이의 기간, T ${\$및 주행 잠재력의 파형 벡터인 ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$에 따라 크기가 조정된다$.$

${\displaystyle \hbar \rightarrow \hbar {{k}_{0}^{2}T/m}$

n ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle h^{}}$ ${\$ n$^{th}}$ 킥의$$ 파동 기능은 모멘텀 고유상태인 ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\$의 측면에서 확장될 수 있다.

${\displaystyle \cHB(t_{n})=\sum _{l=-\infit }^{\infit }a_{l}(t_{n}) l\rangele }$

계수는 다음과 같이 재귀적으로 부여됨을 알 수 있다.

${\displaystyle a_{m}({t}_{n+1}=\exp[-im^{2}\hbar /2]\sum _{l=-\infit }^{l-m}{{l-m}{l-m}{l-m}({l-m)a_{l(t_{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

$여기$서 $J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$${\$$$순서의 베셀 함수.

초기 조건의 일부 집합에 따라, 위의 재귀 방정식을 항상 수치적으로 해결하는 것이 비교적 간단하며, 계산된 계수를 다시 모멘텀 고유상태 분해로 대체하여 총파동수를 찾는다.이것을 제곱하면 확률 분포의 시간 진화가 이루어지므로 완전한 양자 역학적 설명이 제공된다.

시간 진화를 계산하는 또 다른 방법은 단일 플로케 연산자를 반복적으로 적용하는 것이다.

${\displaystyle {\hat {{U}=\exp \left[-i{\frac {1}{2\hbar }}{\p}^{2}\오른쪽]}}\exp \ept[-i{\frac {1}{\hbar }}}}}}}}}}}}}확대 {\cos {\x}$

고전적 확산이 억제되고 있다는 사실이^[1] 밝혀졌으며, 이후 앤더슨 국산화(Anderson Localization)와 유사한 양자역학적 국산화 효과의 발현이라고 이해되었다^[4][5][6][7].확산되는 행동의 휴식 시간에 대해 다음과 같은 추정을 이끌어 내는 일반적인 주장이^[8][9] 있다.

${\displaystyle t^{*}\ \ 약 \ D_{cl}/\hbar ^{2}}:$

여기서 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\$는 고전적 확산 계수다.따라서 모멘텀에서 연관된 국산화 척도는 $D{\displaystyle \sqrt{{}_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{c_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{l_{}}}$ $∗{\$이다$.$

소음 및 소산의 영향

시스템에 소음이 추가되면 동적 국소화가 파괴되고 확산이 유도된다.^[10][11][12]이것은 깡충깡충 뛰는 전도율과 다소 비슷하다.적절한 분석을 위해서는 국산화 효과를 책임지는 역동적인 상관관계가 어떻게 감소하는지를 알아내야 한다.

Recall that the diffusion coefficient is ${\displaystyle D_{cl}\approx K^{2}/2}$, because the change ${\displaystyle (p(t)-p(0))}$ in the momentum is the sum of quasi-random kicks ${\displaystyle K\sin(x(n))}$. An exact expression for ${\displaystyl$$e D_{cl}}$ is obtained by calculating the "area" of the correlation function ${\displaystyle C(n)=\langle \sin(x(n))\sin(x(0))\rangle }$, namely the sum ${\displaystyle D=K^{2}\sum C(n)}$. Note that ${\displaystyle C(0)=1/2}$. The same calculation 레시피는 양자 역학적 케이스에도 들어 있으며, 또한 잡음이 추가되는 경우에도 들어 있다.

In the quantum case, without the noise, the area under ${\displaystyle C(n)}$ is zero (due to long negative tails), while with the noise a practical approximation is ${\displaystyle C(n)\mapsto C(n)e^{-t/t_{c}}}$ where the coherence time ${\displaystyle t_{c}}$ is inversely p소음의 강도에 비례하여결과적으로 소음 유발 확산 계수는

${\displaystyle D\ about D_{cl}t^{*}/t_{c}\quad [{\text{t}}{c}\g t^{*}]}}$

또한 (열탕과의 결합으로 인한) 방산이 있는 양자 발차기 회전 장치 문제도 고려되었다.위치 $x{\displaystyle }${\$displaystyle x}$ 좌표의$$ 각도 주기성을 존중하고 여전히 공간적으로 균일한 상호작용을 도입하는 방법이 여기에 있다.첫 번째 연구에서는 모멘텀 종속 결합을 수반하는^[13][14] 양자 광학 유형의 상호작용이 가정되었다.나중에^[15] 칼데리아-레게트 모델에서와 같이 순전히 위치 의존적인 결합을 공식화하는 방법이 발견되었는데, 이것은 DLD 모델의 초기 버전이라고 볼 수 있다.

실험

양자 발차기 회전 장치(Rotator)의 실험적인 실현은 라이젠 ^[16]그룹과 오클랜드 그룹에 의해 이루어졌으며,^[17] 이론적 분석에 대한 새로운 관심을 고무시켰다.이런 종류의 실험에서, 자석 광학 트랩이 제공하는 차가운 원자의 샘플은 펄스가 서 있는 빛의 파동과 상호작용한다.원자 전환과 관련하여 빛이 분리되고, 원자는 공간 주기적인 보수적인 힘을 겪는다.따라서 각도 의존성은 실험 접근법에서 위치에 대한 의존성으로 대체된다.양자 효과를 얻기 위해서는 서브밀리켈빈 냉각이 필요하다: 하이젠베르크 불확실성 원리로 인해 드 브로글리 파장, 즉 원자 파장과 비교가 될 수 있다.자세한 내용은 을 참조하십시오.^[18]이 기법 덕분에 다음과 같은 현저한 현상을 포함하여 여러 가지 현상이 조사되었다.

• 양자 래칫;^[19]
• 앤더슨 3D ^[20]전환

참고 항목

• 서클 맵

참조

외부 링크

• 스콜라페디아 입력