상관 차원

카오스 이론에서, 상관 차원(θ로 표시됨)은 종종 프랙탈 ^[1][2][3]차원의 한 종류로 언급되는 랜덤 점 집합이 차지하는 공간의 차원에 대한 척도이다.

예를 들어, 0과 1 사이의 실수 라인에 랜덤 점 집합이 있으면 상관 차원은 θ = 1이 되고, 3차원 공간(또는 m차원 공간)에 포함된 삼각형에 분포되어 있으면 상관 차원은 θ = 2가 됩니다.이것은 우리가 직감적으로 치수 측정에서 기대하는 것입니다.상관 치수의 실제 효용성은 프랙탈 객체의 (아마도 부분적인) 치수를 결정하는 데 있습니다.다른 치수 측정 방법(예: 하우스도르프 치수, 상자 수 치수 및 정보 치수)이 있지만 상관 치수는 간단하고 빠르게 계산되며, 소수의 점만 사용할 수 있을 때 노이즈가 적고 종종 다른 계산과 일치한다는 장점이 있다.차원.

m차원 공간의 N개 점 집합에 대해

$\displaystyle {x}(i)=[x_{1}(i),x_{2}(i),\ldots,x_{m}(i),\qquad i=1,2,\ldots N}$

다음으로 상관 적분 C(θ)를 계산합니다.

${\displaystyle C(\varepsilon)=\lim _{N\rightarrow\infty}{\frac {g}{N^{2}}}$

여기서 g는 거리 θ보다 작은 거리를 갖는 점 쌍의 총 수입니다(이러한 근접 쌍은 반복 그림입니다).점의 수가 무한대이고 점 사이의 거리가 0인 경향이 있으므로 θ의 작은 값에 대한 상관 적분은 다음과 같은 형태를 취합니다.

$\displaystyle C(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{\nu }}$

점수가 충분히 크고 균등하게 분포되어 있는 경우 상관 적분 대 θ의 로그 로그 그래프는 추정치 θ를 산출합니다.이 생각은 고차원 물체의 경우 점끼리 가까워질 수 있는 방법이 많아지고, 고차원일수록 가까운 쌍의 수가 빠르게 증가한다는 것을 깨닫는 것으로 질적으로 이해할 수 있다.

Grassberger와 Procaccia는 1983년에 ^[1]이 기법을 도입했다. 이 기사는 다수의 프랙탈 물체에 대한 그러한 추정 결과를 제공하며, 그 값을 프랙탈 치수의 다른 측정치와 비교한다.결정론적 생성 메커니즘이 매우 ^[4]복잡할 경우 결정론적 행동을 탐지하는 데 적합하지 않을 수 있지만, 이 기술은 혼란스러운(결정론적) 행동과 진정으로 무작위 행동을 구별하는 데 사용될 수 있다.

예를 들어, "Sun in Time" ^[5]기사에서 이 방법을 사용하여 일일 및 11년 주기와 같은 알려진 주기를 고려한 후 태양의 흑점 수는 무작위 소음이 아니라 저차원 프랙탈 유인기를 사용하여 다소 혼란스러운 소음일 가능성이 매우 높다는 것을 보여주었다.

「 」를 참조해 주세요.

• 타켄스의 정리
• 상관 적분
• 반복정량분석
• 근사 엔트로피

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