크릴로프-보골류보프 정리

수학에서 크릴로프-보골류보프 정리(불변 측도 정리의 존재로도 알려져 있음)는 동역학적 시스템 이론 내에서 두 가지 관련된 기본 정리 중 하나를 언급할 수 있습니다. 이 정리는 "착한" 공간에 정의된 특정 "착한" 지도에 대한 불변 척도의 존재를 보장하며 정리를 증명한 러시아-우크라이나 수학자 및 이론 물리학자 니콜라이 크릴로프와 니콜라이 보골류보프의 이름을 따서 명명되었습니다.^[1]

정리의 공식화

단일 지도에 대한 불변 측도

정리(크릴로프-보고류보프). (X, T)를 콤팩트하고 가법적인 위상 공간이라 하고, F: X → X를 연속 지도라고 하자. 그러면 F는 불변 보렐 확률 측도를 인정합니다.

즉, 보렐(X)가 X의 열린 부분집합들의 집합 T에 의해 생성된 보렐 σ-algebra를 나타내는 경우, 임의의 부분집합 A ∈ 보렐(X)에 대해 생성되는 확률 측도 μ: 보렐(X) → [0, 1]이 존재합니다.

${\displaystyle \mu \left(F^{-1}(A)\right)=\mu(A)}$

추진의 관점에서, 이것은 다음과 같습니다.

${\displaystyle F_{*}(\mu )=\mu .}$

마르코프 과정에 대한 불변 측도

X를 폴란드 공간이라 하고 ${\displaystyle {Pt}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ≥ 0, {\$displaystyle P_${t$},$t\geq 0,}를 X의 시간 동차 마르코프 반군에 대한 전이 확률이라고 합니다.

${\displaystyle \Pr[X_{t}\in AX_{0}=x]=P_{t}(x,A)}$

정리(크릴로프-보고류보프). 확률 측도 {P(x, ·) t > 0 }가 균일하게 팽팽하고 반군(P)이 Feller 성질을 만족하는 점 $x$∈ X ${\displaystyle$ x\in X}가 존재한다면, (P)에 대한 적어도 하나의 불변 측도, 즉 X에 대한 확률 측도 μ가 존재하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle(P_{t})_{\ast}(\mu )=\mu {\mbox{ for all}}t>0.}$

참고 항목

• 첫 번째 정리의 경우: Ya. G. Sinai (Ed.) (1997): 동적 시스템 II. 역학 시스템과 통계 역학에 적용된 에르고딕 이론. 뉴욕 베를린: 스프링어-베를라그. ISBN3-540-17001-4 (섹션 1).
• 두 번째 정리: G. Da Prato와 J. Zabczyk (1996): 무한 차원 시스템에 대한 에르고딕티. 케임브리지 대학교 누르다. ISBN 0-521-57900-7. (Section 3).

메모들

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