헤논 지도

수학에서, 헤논 맵(Hénon map)^[1]은 때때로 헤논-포모 어트랙터/맵(Hénon-Pomeau attactor/map)으로 불리는 이산 시간 동적 시스템입니다. 혼란스러운 동작을 나타내는 동적 시스템의 가장 많이 연구된 예 중 하나입니다. 헤논 지도는 평면상의 한 점 (x_nn, y)를 취하여 새로운 점으로 지도화합니다.

${\displaystyle {\begin{cases}x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}+y_{n}\\y_{n+1}=bx_{n}.\end{case}}}$

지도는 a와 b의 두 매개변수에 의존하며, 고전적인 헤논 지도의 경우 a = 1.4와 b = 0.3의 값을 갖습니다. 고전적인 값의 경우, 헤논 지도는 혼돈 상태입니다. a와 b의 다른 값의 경우 지도가 혼돈 상태이거나 간헐적이거나 주기적인 궤도로 수렴할 수 있습니다. 서로 다른 파라미터 값에서 지도의 행동 유형에 대한 개요는 궤도 다이어그램에서 얻을 수 있습니다.

이 지도는 Michel Hénon에 의해 로렌츠 모델의 푸앵카레 섹션을 단순화한 모델로 소개되었습니다. 고전적인 지도의 경우, 평면의 초기 지점은 헤논 기묘한 끌개로 알려진 점들의 집합에 접근하거나 무한대로 발산할 것입니다. 헤논 어트랙터는 프랙탈이고 한 방향은 매끄럽고 다른 방향은 칸토어입니다. 수치 추정치는 1.21 ± 0.01 또는 1.25 ± 0.02^[2](매립 공간의 치수에 따라 다름)의 상관 관계 치수를 산출하고 고전적 지도의 어트랙터에 대해 1.261 ± 0.003의^[3] 박스 카운팅 치수를 산출합니다.

어트랙터

헤논 지도는 두 개의 점을 자기 자신으로 지도화합니다: 이것들은 불변의 점들입니다. Hénon 지도의 a와 b의 고전적인 값의 경우, 다음 점 중 하나가 끌개에 있습니다.

${\displaystyle x={\frac{\sqrt {609}}-7}{28}\approx 0.631354477,}$

${\displaystyle y={\frac {3\left ({\sqrt {609}}-7\right)}{280}\approx 0.189 406343.}$

이 점은 불안정합니다. 이 고정점에 가까운 점과 기울기 1.924를 따르는 점은 고정점에 접근하고 기울기 -0.156을 따르는 점은 고정점에서 멀어집니다. 이러한 기울기는 고정점의 안정 다양체와 불안정 다양체의 선형화에서 발생합니다. 어트랙터에 있는 고정점의 불안정한 다양체는 헤논 지도의 이상한 어트랙터에 포함되어 있습니다.

Hénon 지도는 매개변수 a와 b의 모든 값에 대해 이상한 끌개를 가지고 있지 않습니다. 예를 들어 b를 0.3으로 고정함으로써 분기 다이어그램은 a = 1.25에 대해 헤논 지도가 인력으로서 안정적인 주기 궤도를 가지고 있음을 보여줍니다.

크비타노비치 외. Hénon 이상한 끌개의 구조가 끌개 내의 불안정한 주기 궤도의 관점에서 어떻게 이해될 수 있는지를 보여주었습니다.

분기도에 대한 관계

여러 개의 Hénon 지도가 표시된 경우 각 지도에 대해 b의 값을 변경한 다음 모든 지도를 함께 쌓으면 분기 다이어그램이 생성됩니다. 타코처럼 접힌 분기도입니다. 따라서 위에서 2D로 볼 때 부메랑 모양입니다.

분해

헤논 맵은 차례로 도메인에 작용하는 3개의 함수의 구성으로 분해될 수 있습니다.

1) 면적 보존 곡선:

${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}{}_{}}$ y${\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle }$(x$,$ 1 - x 2 + y ) {\displaystyle (x_{1},y_{${\displaystyle 1}$}) = (x,1-ax^{2}+y)\,},

2) x 방향의 수축:

${\displaystyle (x_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}{}_{}}$ =${\displaystyle }$(b$$x 1, y 1) {\displaystyle (x_{2}, y_${\displaystyle \{}$2) = (bx_{1}, y_{1)\,},

3) y = x 선에서의 반사:

${\displaystyle (x_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}{}_{}}$ =${\displaystyle }$(y$$2, x 2) {\displaystyle (x_{3}, y_{${\displaystyle 3}$}) = (y_{2}, x_{2)\,}.

일차원 분해

또한 Hénon 맵은 Fibonacci Sequence와 유사하게 정의된 1차원 맵으로 분해될 수 있습니다.

${\displaystyle x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}+bx_{n-1}}$

4차원 확장

헤논 지도는 x축과 y축에 표시할 수 있지만 a와 b를 달리함으로써 표시를 위한 두 가지 차원을 추가로 얻습니다. 따라서 헤논 지도는 4차원 공간에 표시할 수 있습니다. 우리는 3개의 축을 나타내는 한 번에 하나의 초평면(즉, 공간의 정육면체)을 보고 시간이 지남에 따라 네 번째 축을 따라 이동함으로써 그러한 플롯을 시각화할 수 있습니다.

오른쪽의 비디오 예제에서 비디오의 각 이미지에 대한 세 축은 x, y, b입니다. 시간이 지남에 따라 이동되는 축입니다.

특수한 경우와 저주기 궤도

특수한 경우에 대한 1차원 헤논 지도를 풀면:

${\displaystyle X=x_{n-1}=x_{n}=x_{n+1}}$

하나는 간단한 쿼드라디칼에 도착합니다.

${\displaystyle X=1-aX^{2}+bX}$

아니면.

${\displaystyle 0=-aX^{2}+(b-1)X+1}$

2차 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle X={b-1\pm {\sqrt {b^{2}-2b+1+4a}} \over 2a}}$

특수한 경우 b=1의 경우, 이는 다음과 같이 단순화됩니다.

${\displaystyle X={\pm {\sqrt {a}} \over a}}$

또한 a가 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{cn}^{}}{}}$ ${\$ c$^{n}}$ 형태일 경우 공식은$$ 다음과 같이 더 단순화됩니다.

${\displaystyle X=\pm c^{n/2}}$

실제로 시작점(X,X)은 모든 사분면을 통과하는 2차원의 4점 루프를 따릅니다.

${\displaystyle (X,X)= (X,-X)}$

${\displaystyle (X,-X)= (-X,-X)}$

${\displaystyle(-X,-X)= (-X,X)}$

${\displaystyle(-X,X)=(X,X)}$

역사

1976년 프랑스에서 로렌츠 어트랙터는 물리학자 이브 포모(Yves Pomeau)가 J.L. 이바네즈(J.L. Ibanez)와 함께 일련의 수치 계산을 수행하여 분석합니다.^[4] 이 분석은 1975년에 제시된 Ruelle(그리고 Lanford)의 연구에 일종의 보완물을 제공합니다. 로렌츠 끌개, 즉 원래 미분 방정식에 해당하는 끌개와 그것의 기하학적 구조가 그들의 흥미를 끕니다. Poemau와 Ibanez는 Poincaré 섹션의 사용에 기초하여, 그들의 수치 계산을 수학적 분석의 결과와 결합합니다. 스트레칭, 폴딩, 초기 조건에 대한 민감성은 로렌츠 어트랙터와 관련하여 이러한 맥락에서 자연스럽게 가져옵니다. 분석이 궁극적으로 매우 수학적이라면, 포메오와 이바네즈는 어떤 의미에서는 로렌츠 시스템을 수치적으로 실험하는 물리학자의 접근 방식을 따릅니다.

특히 이러한 경험으로 인해 두 가지 오프닝이 발생합니다. 그들은 로렌츠 시스템의 특이한 동작을 강조하는 것을 가능하게 합니다: 시스템 매개변수의 임계 값을 특징으로 하는 전이가 있으며, 이를 위해 시스템이 이상한 어트랙터 위치에서 제한 주기의 구성으로 전환됩니다. 1979년에 제안된 간헐성의 "시나리오"를 통해 Pomeau 자신(그리고 협력자 Paul Manneville)에 의해 그 중요성이 드러날 것입니다.

Pomeau와 Ibanez가 제시한 두 번째 경로는 로렌츠보다 훨씬 간단하지만 유사한 특성을 가진 동적 시스템을 실현한다는 아이디어이며, 이를 통해 수치 계산으로 밝혀진 "증거"를 보다 명확하게 증명할 수 있습니다. 그 추론은 푸앵카레의 섹션에 기초하고 있기 때문에, 그는 로렌츠와 그 이상한 끌개의 행동을 모방하여 미분 방정식이 아닌 그 자체로 평면의 응용을 제작할 것을 제안합니다. 그는 자신의 추론을 더 잘 기초할 수 있도록 임시방편적인 방식으로 하나를 만듭니다.

1976년 1월, 포모는 코트다쥐르 천문대에서 미셸 헤논(Michel Hénon)이 참석한 세미나에서 그의 연구를 발표했습니다. 미셸 헤논은 포모의 제안을 이용해 이상한 유인기를 가진 간단한 시스템을 얻습니다.^[5][6]

쿠프만 모드

동적 시스템에서 쿠프만 연산자는 스칼라 필드 공간에서 자연 선형 연산자입니다. 일반적인 비선형 시스템의 경우, 이 연산자의 고유 함수는 좋은 형태로 표현될 수 없습니다. 대신 숫자로 계산해야 합니다. 이러한 모드는 헤논 지도와 같은 혼돈 지도의 상징적 역학에 대한 통찰력을 제공할 수 있습니다.^[7] 제공되는 모드에서 이상한 어트랙터의 안정적인 매니폴드를 선명하게 볼 수 있습니다.

일반화

Hitz and Zele는 Hénon 지도에 대한 3-D 일반화를 제안했습니다.^[8] 에 의해 주어집니다.

${\displaystyle \mathbf {s} (n+1)={\begin{bmatrix}s_{1}(n+1)\\s_{2}(n+1)\\s_{3}(n+1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\alpha$$s_{1}^{2}(n)+s_{3}(n)+1\\-\beta s_{1}(n)\\\beta s_{1}(n)+s_{2}(n)\end{bmatrix}}}$.

$\alpha$ = ${\displaystyle 1.}$07 {\$displaystyle$\alpha = 1.07} 및 β = 0.3 ${\displaystyle$ \ beta = 0.3}의 경우 단위 구 내부의 거의 모든 초기 조건이 가장 큰 리아푸노프 지수 0.23 {\displaystyle 0.23}로 혼돈 신호를 생성한다는 것을 보여줄 수 있습니다.

많은 다른 일반화들이 문헌에서 제안되었습니다. 예를 들어, 시스템의 피드백 루프에서 디지털 필터를 사용하여 대역 제한 혼돈 신호를 생성할 수 있습니다.^[9]

참고 항목

• 말굽 지도
• 타켄스 정리

메모들

참고문헌

• M. Hénon (1976). "A two-dimensional mapping with a strange attractor". Communications in Mathematical Physics. 50 (1): 69–77. Bibcode:1976CMaPh..50...69H. doi:10.1007/BF01608556. S2CID 12772992.
• Predrag Cvitanović; Gemunu Gunaratne; Itamar Procaccia (1988). "Topological and metric properties of Hénon-type strange attractors". Physical Review A. 38 (3): 1503–1520. Bibcode:1988PhRvA..38.1503C. doi:10.1103/PhysRevA.38.1503. PMID 9900529.
• Carles Simó (1979). "On the Hénon-Pomeau attractor". Journal of Statistical Physics. 21 (4): 465–494. doi:10.1007/BF01009612. S2CID 122545201.
• Michel Hénon and Yves Pomeau (1976). "Two strange attractors with a simple structure". Turbulence and Navier Stokes Equations. Springer: 29–68.
• M. Michelitsch; O. E. Rössler (1989). "A New Feature in Hénon's Map". Computers & Graphics. 13 (2): 263–265. doi:10.1016/0097-8493(89)90070-8.M. Michelitsch; O. E. Rössler (1989). "A New Feature in Hénon's Map". Computers & Graphics. 13 (2): 263–265. doi:10.1016/0097-8493(89)90070-8.재인쇄: 혼돈과 프랙탈, 컴퓨터 그래픽 여정: 고급 연구 10년 편찬 (Ed. C. A. Pickover). 네덜란드 암스테르담: Elsevier, pp. 69–71, 1998
• Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020). Attractor Dimension Estimates for Dynamical Systems: Theory and Computation. Cham: Springer.

외부 링크

• 혼돈 지도에서 상호작용하는 헤논 지도와 헤논 유인기
• A에 의한 헤논 지도의 또 다른 상호작용 반복. 룬
• C에 의한 헤논 지도의 궤도도. 펠리서-로스타오와 R. 볼프람 데모 프로젝트 에드 페그 주니어의 작업 후 로페즈-루이즈.
• M에 의한 헤논 맵의 매트랩 코드.쑤젠
• Marc Monticelli의 hénon map in javascript (experiences.math.cnrs.fr ) 시뮬레이션.