확률공간

통계에 대한 시리즈 일부
확률론
확률 공리 결정론 시스템 인디테르민주의 무작위성
확률공간 샘플 공간 이벤트 총체적으로 철저한 사건들 초등 이벤트 상호배타성 결과 싱글턴 실험 베르누이 재판 확률분포 베르누이 분포 이항 분포 정규 분포 확률측도 변량변수 베르누이 과정 연속 또는 이산형 기대값 마르코프 체인 관측치 무작위 보행 확률적 과정
보완적 사건 관절확률 한계 확률 조건부 확률
독립 조건부 독립성 전체 확률의 법칙 대수의 법칙 베이즈 정리 부울의 부등식
벤 다이어그램 트리 다이어그램
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확률론에서 확률공간 또는 확률삼중$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle(\Oomega ,{\mathcal{F},P)}$은 무작위 공정이나 "실험"의 공식 모델을 제공하는 수학 구조물이다. 예를 들어, 주사위 던지기 모형을 만드는 확률 공간을 정의할 수 있다.

확률 공간은 세 가지 요소로 구성된다.^[1][2]

1. 가능한 모든 결과의 집합인 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$ 샘플 공간$.$
2. 이벤트 $,$ 이벤트 F {\$displaystyle {\mathcal{F}}$의 집합으로$,$ 샘플 공간의 결과 집합인 이벤트 공간.
3. 사건 공간의 각 사건에 확률을 할당하는 확률 함수, 즉 0과 1 사이의 숫자.

확률의 합리적인 모델을 제공하기 위해, 이러한 요소들은 이 글에서 상세히 기술된 다수의 공리를 만족시켜야 한다.

In the example of the throw of a standard die, we would take the sample space to be ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$. For the event space, we could simply use the set of all subsets of the sample space, which would then contain simple events such as ${\displaystyle \{5\}}$ ("the die lands on 5"), as well $\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 4}$,${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{2,4,6\}}$과 같은 복잡한 이벤트("$$다이가 짝수"에 도달함). Finally, for the probability function, we would map each event to the number of outcomes in that event divided by 6 — so for example, ${\displaystyle \{5\}}$ would be mapped to ${\displaystyle 1/6}$, and ${\displaystyle \{2,4,6\}}$ would be mapped to ${\displaystyle 3/6=1/2}$.

실험을 수행할 때, 우리는 "자연"이 샘플 공간$$Ω {\$displaystyle \Oomega}$에서 단일 결과,$\Omega {\displaystyle }$ {\$displaystyle \Oomega}$을(를) "선택"한다고 상상한다$.$ 선택한$$ 결과 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$을(를) 포함하는$$ 이벤트 $공간{\displaystyle \mathcal{}}$ $F {\\\$)의 모든 이벤트가 "발생했다.d". 이 "선택"은 실험이 여러 번 반복될 경우, 각 사건의 발생 횟수가 전체 실험 수의 일부로서 $확률함수{\displaystyle }$ P$${\$displaystyle$P}에 의해 해당 사건에 할당된 확률 쪽으로 기울게 되는 방식으로 발생한다$.$

러시아의 수학자 안드레이 콜모고로프는 1930년대에 확률 공간의 개념을 다른 확률 공리와 함께 소개했다. 현대 확률론에는 공리화를 위한 여러 가지 대안적 접근법이 있다. 예를 들어, 랜덤 변수의 대수.

소개

확률공간은 수학적인 트리플트$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle(\Oomega ,{\mathcal{F},P)$이며, 특정 종류의 실제 상황에 대한 모델을 제시한다. 다른 모델과 마찬가지로 저자는 $궁극적$으로 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$ F ${\$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 포함할$$ 요소를 정의한다.

• 샘플 공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은(는) 가능한 모든 결과의 집합이다. 결과는 모델의 단일 실행의 결과물이다. 결과는 자연 상태, 가능성, 실험 결과 등이 될 수 있다. 실제 상황의 모든 예(또는 실험의 실행)는 정확히 하나의 결과를 생성해야 한다. 여러 실험의 결과가 중요한 어떤 방식으로든 다르면, 그것들은 뚜렷한 결과물이다. 어떤 차이가 중요한지는 우리가 하고 싶은 분석의 종류에 달려있다. 이것은 샘플 공간의 다른 선택으로 이어진다.
• $\sigma -algebra{\displaystyle \mathcal{}}$ F$${\$displaystyle${\$mathcal{F}}$은(는) 우리가 고려하고자 하는 모든 이벤트의 모음입니다. 이 컬렉션은 각 기본 이벤트를 포함할 수도 있고 포함하지 않을 수도 있다. 여기서 "이벤트"는 0개 이상의 결과, 즉 표본 공간의 부분 집합이다. 실험 중 후자의 결과가 사건의 요소인 경우 사건은 "해프닝"된 것으로 간주된다. 같은 결과가 많은 종목의 일원이 될 수도 있기 때문에 하나의 결과만 주어지면 많은 종목들이 일어났을 가능성이 있다. 예를 들어, 실험이 두 개의 주사위를 던지는 것으로 구성되었을 때, 7pps의 합을 가진 모든 결과의 집합은 하나의 사건을 구성하는 반면, 홀수 pips를 가진 결과는 다른 사건을 구성할 수 있다. 그 결과가 첫 번째 다이에 두 번, 두 번째에 다섯 번이라는 기본적인 사건의 요소라면, 두 가지 사건, 즉 "7번"과 "이상한 수의"가 모두 일어났다고 한다.
• 확률 측정 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은 사건의 확률을 반환하는 설정 함수다. 확률은 0(확률 0 사건이 반드시 불가능한 것은 아니지만, 가능하지 않은 사건은 확률 0을 가진다)과 1(사건은 거의 확실히, 거의 전체 확실성으로 일어난다) 사이의 실제 수입니다. 따라서 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은(는) $함수{\displaystyle }$ P${\displaystyle }$: ${\displaystyle F}$→${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle P:{\mathcal{F}\to [0,1]$이다.$}$ 확률측정함수는$$ 다음의 두 가지 간단한 요구사항을 만족해야 한다. 첫째, 상호 배타적 사건의 카운트 가능한 결합 확률은 이러한 각 사건의 확률의 카운트 가능한 합계와 같아야 한다. 예를 들어, 상호 배타적인 이벤트의 결합 확률 ${\displaystyle \text{Head}}$ ${\$$Head}}$과 ${\displaystyle \text{Tail}}$ ${\$은(는) 하나의 동전 던지기 $P{\displaystyle (\text{헤드}}$ ${\displaystyle \cup }$ $){\displaystyle$ P$({\text}).$$Head}}\cup{\text}}$은$($는) ${\displaystyle \text{Head}}$ ${\$에 대한 확률의 합이다.$Head}}$과(와) 테일 ${\displaystyle \text{확률}}${\$displaystyle${\$text$$Tail},$ $P{\displaystyle (\text{헤드})}$+ $($) {\$displaystyle$ P$({\text})$$Head}}}+P({\text{Tail$ 두 번째, 샘플 공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Oomega}$의 확률은$$ 1이어야 한다(모델의 실행으로 인해 일부 결과가 발생해야 함을 설명함). 앞의 예에서 결과 $P{\displaystyle }$ 집합의 확률${\displaystyle (\{}$ ${\displaystyle \text{Head}}$, ${\displaystyle \text{Tail}}$ $){\displaystyle$ P$(\{{\text{)$${\displaystyle \text{Head}}$$},{\text{Tail}\}}$ 결과가 Head ${\$}이(가$)$ 될 것이 완전히 확실하므로, Head},{\text}}은(는) 1과 같아야 한다$$.$Head}}}$ 또는$$ ${\displaystyle \text{Tail}}$ ${\$Tail$}}($모델은 다른 가능성을 무시함).

샘플 공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$의 모든 부분 집합이 반드시 이벤트로 간주되어야 하는$$ 것은 아니다. 일부 하위 집합은 단순히 관심이 없고, 다른 하위 집합은 "측정"할 수 없다. 이것은 동전 던지기 같은 경우에 그렇게 명백하지 않다. 다른 예에서, 사람들은 창 던지기 길이를 고려할 수 있는데, 여기서 이벤트는 일반적으로 "60미터와 65미터 사이의 간격"과 같은 간격과 그러한 간격의 결합이지만 "60미터와 65미터 사이의 비합리적 숫자"와 같은 설정은 아니다.

정의

한마디로 확률공간은 전체 공간의 측정이 1과 같을 정도로 측정공간이다.

확장된 정의는 다음과 같다:확률 공간은 3중$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$,${\displaystyle F\mathcal{}}$ , $){\displaystyle(\Oomega ,{\mathcal{F},P)$으로 구성된다$$.

• 샘플 공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$ - $$임의의 비어 있지 않은 세트
• σ-algebra ${\displaystyle \mathcal{}{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\Omega \mathrm{}}^{}}${\$displaystyle${\$mathcal {F}\subseteq 2^{\Oomega}}("$field"라고도 함$)$의 하위 $집합$인 Ω {\$displaystyle \Oomega}$의 하위 집합은 다음과 같이 호출된다.
  • ${\displaystyle \mathcal{F}}$ ${\$의 샘플 공간: $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ∈${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\$
  • ${\displaystyle }$F ${\$${\displaystyle displaystyle\mathcal{}}$ ${\mathcal {F},$ $A{\displaystyle }$if F ${\$ A$\in {\mathcal {F$ 그렇다면${\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \setminus }$ A${\displaystyle }$)${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\$
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is closed under countableunions: if ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$ for ${\displaystyle i=1,2,\dots }$, then also ${\textstyle (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
    • The corollary from the previous two properties and De Morgan’s law is that ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is also closed under countable intersections: if ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$ for ${\displaystyle i=1,2,\dots }$, then also ${\textsty$$le (\bigcap _{i=1}^{\infit }A_{i}}\in {\mathcal {F}})$
• 확률 측정 ${\displaystyle }$: F${\displaystyle }$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle P:{\mathcal{F}\to [0,1]}$ —$$ $다음$과 같이$$ F ${\$에 대한 함수:
  • P is countably additive (also called σ-additive): if ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}}}$ is a countable collection of pairwise disjoint sets, then ${\textstyle P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\in$$fty }P(A_{i}),}$
  • 전체 샘플 공간의 측정값은 1과 같다: ${\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle$ P$(\Oomega )=1$

이산 케이스

이산 확률 이론은 최대 계산 가능한 샘플 공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$에서만 필요하다$.$ 확률 질량 함수 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ 1 ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ $\Oomega}$의 점으로 $추정$할 수 있다$.$$\Omega \to [0,1]}$ such that ${\textstyle \sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1}$. All subsets of ${\displaystyle \Omega }$ can be treated as events (thus, ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$ is the power set). 확률 측정은 단순한 형태를 취한다.

$${\displaystyle P(A)=\sum _{\omega \in A}p(\omega)\quad {\text{{}A\subseteq \Oomega.}$$

(⁎)

가장 큰 σ-알제브라 $F{\displaystyle \mathcal{}}$= ${\displaystyle {2\Omega \mathrm{}}^{}}$ ${\$은 전체 정보를 설명한다$$. In general, a σ-algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }}$ corresponds to a finite or countable partition ${\displaystyle \Omega =B_{1}\cup B_{2}\cup \dots }$, the general form of an event ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ being ${\displaystyle A=B_{k_1}\cup B_{}}$${\displaystyle {k_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}_{}}$ $…{\displaystyle A=B_{k_{1}}\컵 B_{k_{2$}}\$cup \dots$ $\}\}.$ 예시 또한 참조한다.

${\displaystyle \mathrm{사례}}$ $p{\displaystyle }$ (${\displaystyle \Omega }$ )${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ p$(\omega )=0}$은(는) 정의에 의해 허용되지만$$, 그러한 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$은(는) 샘플 공간에서 안전하게 제외될 수 있기$$ 때문에 거의 사용되지 않는다.

일반사례

Ω이 탑재할 수 없는 경우, 그래도 일부 Ω에 대해 p(Ω) 0 0이 발생할 수 있다. 그러한 Ω을 원자라고 한다. 그것들은 아무리 세어도 셀 수 있는 (아마도 빈) 집합이며, 그 확률은 모든 원자의 확률의 합이다. 만약 이 합계가 1과 같다면, 다른 모든 점들은 표본 공간에서 안전하게 제외될 수 있고, 우리를 이산 케이스로 되돌릴 수 있다. 그렇지 않으면 모든 원자의 확률의 합이 0과 1 사이라면 확률공간은 이산(원자) 부분(아마도 비어 있을 것)과 비원자 부분으로 분해된다.

비원자 케이스

모든 Ω Ω에 대해 p(Ω) = 0(이 경우 Ω은 계산할 수 없는 값이어야 한다. 그렇지 않으면 P(Ω) = 1을 충족할 수 없기 때문에 Ω은 계산할 수 없는 값이어야 한다) 등식 (iiiii)은 실패한다: 집합의 확률은 계산 가능한 원소 수에만 대해 정의되기 때문에 반드시 해당 원소의 확률에 대한 합은 아니다. 이것은 확률공간 이론을 훨씬 더 기술적으로 만든다. 합계보다 강한 공식, 측정 이론이 적용된다. 처음에 확률은 일부 "제너레이터" 집합에 기인한다(예시 참조). 그런 다음 제한 절차를 통해 발전기 집합의 시퀀스 한계인 집합에 확률을 할당할 수 있다. 이 세트는 모두 σ-알지브라 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 기술적인 세부 사항은 캐러테오도리의 확장 정리를 참조한다. $F$ ${\$에 속하는 세트를 측정 가능이라고 한다. 일반적으로 발전기 집합보다 훨씬 복잡하지만 측정할 수 없는 집합보다 훨씬 낫다.

전체 확률 공간

A probability space ${\displaystyle (\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;P)}$ is said to be a complete probability space if for all ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$ with ${\displaystyle P(B)=0}$ and all ${\displaystyle A\;\subset \;B}$ one has ${\displaystyle A\in$${\mathcal{F$ 확률공간의 연구가 확률공간의 완성으로 제한되는 경우가 많다.

예

이산형 예제

예 1

실험이 단지 페어 코인의 플립으로 이루어진다면, 결과는 앞면이나 뒷면 중 하나일 $것$이다:${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle =}${ ${\displaystyle H}$ , T$}$ {\$displaystyle \Oomega =\{\$text{\text{\$text}$$H},{\text{$$T$ σ-algebra $F{\displaystyle \mathcal{}}$= ${\displaystyle {2\Omega \mathrm{}}^{}}$ ${\$${\displaystyle {}^{}}$에는 ${\displaystyle 2}$ 2 = ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{2}=$4}개의$$ $이벤트,$ 즉: $\{{\displaystyle H\}}$ ${\displaystyle \{\text$}}이 포함되어 있다$.$$H}}\}("$헤드"),${\displaystyle }${${\displaystyle T\}}$ ${\displaystyle \{\text}$$T}\}\}("$테일"),${\displaystyle }${} ${\displaystyle$\{\}("$$머리나 꼬리 없음") 및${\displaystyle }${${\displaystyle H}$, ${\displaystyle T\}}${\$displaystyle \{\text}$$H},{\text{$$T}\}\}("$머리 또는 꼬리 중 하나"); $즉{\displaystyle \mathcal{},}$ F =${\displaystyle }${ {${\displaystyle \},}${ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \},}${ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \},}$ { ${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle {\F}=\\\},\{\text}$$H}\}\{{\text{$$T}}\}\{{\text{$$H},{\text{$$T$ 머리를 뒤척일 확률은 50%이고 꼬리는 50%이므로 이 예에서 확률 $측정치$는 P${\displaystyle (}$ {${\displaystyle \}}$) = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle$ P$(\{\}=0}),$$P{\displaystyle (}${ H ${\displaystyle \}}$)${\displaystyle }$=$(\displaystyle$ P$)(\{{\text$})이다$.$$H}}\}=0.5$ $P{\displaystyle (\{}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle 0}$.5 ${\displaystyle$ P$(\{{\text})$$T}\}=0.5$ $P{\displaystyle (\{}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ P$(\{{\text}$$H},{\text{$$T}\}=1$

예 2

페어 코인은 세 번 던져진다. Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTT}(예를 들어, 여기서 "HT"는 동전이 처음 착지했을 때, 두 번째 꼬리와 마지막으로 다시 헤딩됨을 의미한다). 전체⁸ 정보는 2 = 256개 이벤트 중$$ =-$알제브라{\displaystyle \mathcal{}}$ F${\displaystyle }$= ${\displaystyle {2\Omega \mathrm{}}^{}}$ ${\${F}=$2^{\Oomega}}}$에 의해 설명되며, 여기서 각 이벤트는 Ω의 하위 집합이다.

앨리스는 두 번째 토스의 결과만 알고 있다. Thus her incomplete information is described by the partition Ω = A₁ ⊔ A₂ = {HHH, HHT, THH, THT} ⊔ {HTH, HTT, TTH, TTT}, where ⊔ is the disjoint union, and the corresponding σ-algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{$$앨리스}=\{\\\},A_{1},A_{2},\오메가$ $\backslash \}\}.$ 브라이언은 꼬리의 총 숫자만 알고 있다. His partition contains four parts: Ω = B₀ ⊔ B₁ ⊔ B₂ ⊔ B₃ = {HHH} ⊔ {HHT, HTH, THH} ⊔ {TTH, THT, HTT} ⊔ {TTT}; accordingly, his σ-algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}}$ contains 2⁴ = 16 events.

두 개의 σ알게브라는 비교할 수 없다: $F{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\text{Alice}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\text{Bryan}}_{}}$ ${\$text{$앨리스}}\subseteq {\mathcal{F}_{\text{Bryan}}$ 또는$$ F $브라이언{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\text{an}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}{}_{}{\text{앨리스}}_{}}$ ${\${F$}_{\text{Bryan}}}\subsetecq {\mathcal}}{F}}}{\$text}}}}}}}}}{\$text${\text}}}{\text}}}}}}}}}}}}}}{\text{\text$}}}}}$$앨리스}}$; 둘 다 2의^Ω 아황색 알제라이다.

예 3

만약 캘리포니아의 모든 유권자 중에서 100명의 유권자를 무작위로 추첨하여 누구에게 주지사를 선출할 것인지 묻는다면, 캘리포니아 유권자 100명의 모든 순서의 집합은 표본 공간 Ω이 될 것이다. 우리는 교체되지 않은 샘플링이 사용된다고 가정한다: 100명의 다른 유권자들의 순서만 허용된다. 단순성을 위해 순서표본(순서 {앨리스, 브라이언})이 {브라이언, 앨리스}과(와) 다른 것을 고려한다. 우리는 또한 각 잠재적 유권자가 자신의 미래의 선택을 정확히 알고 있다는 것, 즉 그가 무작위로 선택하지 않는다는 것을 당연하게 여긴다.

앨리스는 아놀드 슈워제네거가 적어도 60표를 받았는지 아닌지만 알고 있다. 그녀의 불완전한 정보는 σ-알지브라 $F{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\text{앨리스}}_{}}$ ${\${\text$}$에 의해 설명된다.다음을$$ $포함하는$앨리스}}: (1) 최소 60명이 슈워제네거에게 투표하는 Ω의 모든 시퀀스 세트, (2) 슈워제네거에게 투표하는 모든 시퀀스 세트, (3) 전체 샘플 공간 Ω, 그리고 (4) 빈 세트 ∅.

브라이언은 슈워제네거에게 투표할 유권자의 정확한 수를 알고 있다. 그의 불완전한 정보는 해당 파티션 Ω = B₀ ⊔ B₁ ⊔ ⋯ ⊔ B로₁₀₀ 설명되며, σ-알제브라 F ${\displaystyle {\text{브라이언}}_{}}$ ${\$은 2개의¹⁰¹ 이벤트로 구성된다$$.

이 경우 앨리스의 σ-algebra는 브라이언의 하위집합이다: F ${\displaystyle {\text{앨리스}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ F ${\displaystyle {\text{브라이언}}_{}}$ ${\${\text$}$$앨리스}}\subset{\mathcal{F}_{\text{Bryan$브라이언의 al-algebra는 차례로 2개의^{n(n−1)⋯(n−99)} 이벤트로 구성된 훨씬 더 큰 "완전한 정보" σ-algebra 2의^Ω 서브셋으로 구성되는데, 여기서 n은 캘리포니아의 모든 잠재적 유권자 수입니다.

비원자적 예

예 4

0과 1 사이의 숫자는 일률적으로 임의로 선택된다. 여기서 Ω = [0,1], $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) Ω에 설정된 보렐의 σ-algebra이고, P는 [0,1]에 대한 르베그 측정값이다.

이 경우 (a,b) 형식의 개방 간격(여기서 0 < a < b < 1)은 발전기가 설정하는 대로 취할 수 있다. 그러한 각 집합은 [0,1]에 대한 Lebesgue 측정치를 생성하는 P((a,b) = (b - a)의 확률로 간주할 수 있으며, Ω에 대한 Borel --algebra의 확률로 간주할 수 있다.

예 5

공정한 동전이 끝없이 던져지다. 여기서 Ω = {0,1},^∞ 숫자 0과 1의 모든 무한 시퀀스 집합을 취할 수 있다. 실린더 세트 {(x₁, x₂, ...) ∈ Ω : x₁ = a₁, ..., x_n = a}을_n(를) 제너레이터 세트로 사용할 수 있다. 각각의 그러한 집합은 첫 번째 n번의 토스가 고정된 시퀀스₁(a, ..., a_n)를 초래하고 나머지 시퀀스는 임의로 발생할 수 있는 이벤트를 설명한다. 그러한 각각의 사건에는 당연히 2의 확률이⁻ⁿ 주어질 수 있다.

이 두 개의 비원자 예는 밀접하게 관련되어 있다: 순서(x₁₂, x, ...) ∈{0,^∞1}는 숫자 2x⁻¹₁ + 2x⁻²₂ + ⋯ [0,1]로 이어진다. 이는 {0,^∞1}과 [0,1] 사이의 일대일 대응은 아니지만, 두 확률 공간을 동일한 확률 공간의 두 가지 형태로 취급할 수 있는 이형성 모듈로 제로다. 사실, 모든 비병리학적 비원자 확률 공간은 이런 의미에서 동일하다. 이른바 표준 확률 공간이다. 확률 공간의 기본 적용은 표준성에 둔감하다. 그러나 비물질적 조건화는 표준 확률 공간에서 쉽고 자연스러우며 그렇지 않으면 불명확해진다.

관련개념

확률분포

모든 확률 분포는 확률 측정을 정의한다.

랜덤 변수

랜덤 변수 X는 샘플 공간 Ω에서 상태 공간이라고 불리는 또 다른 측정 가능한 공간 S까지 측정 가능한 함수 X: Ω → S이다.

A ⊂ S인 경우, Pr(X ∈ A) 표기법은 ${\displaystyle Pr(\{\Omega \Omega }$ : X (${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$}${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Pr(\\\\omegain \Oomega$ :$X(\omega )\in A\}})$에 일반적으로 사용되는 속기법이다$.$

표본 공간의 관점에서 사건 정의

Ω을 계산할 수 있는 경우 거의 항상 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) Ω의 전원 집합으로 정의한다. ${\displaystyle \mathcal{F}}$= ${\displaystyle {2\Omega \mathrm{}}^{}}$ ${\$이(가) 사소한 σ-알지브라( and-algebra)이며 Ω을 사용하여 만들 수 있는 가장 큰 것이다. 따라서 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 생략하고$$ (Ω,P)만 써서 확률 공간을 정의할 수 있다.

반면 Ω을 계산할 수 없고 $F{\displaystyle \mathcal{}}$= ${\displaystyle {2\Omega \mathrm{}}^{}}$ ${\$을(를) 사용하면 F ${\$이(가) 너무 "크다" 때문에$$ 확률 측정값 P를 정의하는 데 문제가 생기게$$ 된다. 이 경우, 모든 오픈 세트를 측정할 수 있는 가장 작은 smallest-알지브라 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$를 예로 들자면,$$Ω의 보렐 대수(Borel 대수)를 사용해야 한다.

조건부 확률

콜모고로프의 확률공간에 대한 정의는 조건부 확률의 자연적 개념을 낳는다. 0이 아닌 확률(즉, P(A) > 0)을 가진 모든 집합 A는 다른 확률 측정을 정의한다.

우주에서 이것은 보통 "A 주어진 B의 확률"로 발음된다.

P(B) > 0이 되는 사건 B의 경우, 모든 사건 A에 대해 Q(A) = P(A B)로 정의된 함수 Q는 그 자체로 확률 측정이다.

독립

두 사건, A와 B는 P(A ) B) = P(A) P(B)일 경우 독립적이라고 한다.

X와 Y라는 두 개의 랜덤 변수는 X의 관점에서 정의된 어떤 사건이 Y의 관점에서 정의된 어떤 사건과 독립된 경우 독립적이라고 한다. 형식적으로 그들은 독립적인 al알게브라를 생성하는데, 여기서 F의 하위 집합인 두 개의 ge알게브라스 G와 H는 G의 어떤 요소가 H의 어떤 요소와 독립적일 경우 독립적이라고 한다.

상호배타성

A와 B의 두 사건은 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생, 즉 그들의 교차점이 비어 있다는 것을 의미할 경우 상호 배타적이거나 단절되었다고 한다. 이것은 그들의 교차점이 0일 확률보다 더 강한 조건이다.

A와 B가 분리 이벤트인 경우, P(A b B) = P(A) + P(B)이다. 이것은 이벤트의 (종료 또는 셀 수 없이 무한) 시퀀스로 확장된다. 그러나, 헤아릴 수 없는 일련의 사건들의 결합 확률은 그 확률의 합계가 아니다. 예를 들어 Z가 정규 분포 랜덤 변수인 경우, 어떤 x에 대해서도 P(Z = x)가 0이지만 P(Z ∈ R) = 1이다.

A ∩ B 사건을 "A와 B"라고 하고, A ∪ B 사건을 "A 또는 B"라고 한다.

참고 항목

• 공간(수학)
• 공간 측정
• 퍼지 측도 이론
• 필터링된 확률 공간
• 탈라그랜드의 농도 불평등

참조

참고 문헌 목록

• 피에르 사이먼 드 라플라스(1812) 확률론

첫 번째 주요 논문은 미적분과 확률론을 혼합한 것으로, 원래 프랑스어로 다음과 같다. 테오리 분석가 데스 확률.

• 안드레이 니콜라예비치 콜모고로프(1950) 확률론 기초

확률 이론의 현대적 측정-이론적 기초; 독일어 원판(Grundbegriffe der Wahrscheinlichketrechenung)은 1933년에 나타났다.

• 해럴드 제프리스(1939년) 확률론

경험주의자, 베이지안적 접근법은 확률론의 기초에 대한 것이다.

• 에드워드 넬슨(1987) 급진적 초등 확률론

비표준 분석에 기초한 확률 이론의 기초. 다운로드 가능 http://www.math.princeton.edu/~http://www.math.princeton.edu//books.properties

• 패트릭 빌링슬리: 확률과 측정, 존 와일리 앤 선즈, 뉴욕, 토론토, 런던, 1979년.
• Henk Tijms(2004) 확률 이해

초보자 케임브리지 유니브의 확률 이론에 대한 생생한 소개. 누르다

• 데이비드 윌리엄스(1991) 마팅게일 확률

케임브리지 유니브라는 학부생들의 이론적 확률에 대한 소개였습니다. 누르다

• Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer. ISBN 0-387-22833-0.

외부 링크

• Sazonov, V.V. (2001) [1994], "Probability space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• 주사위의 확률 공간을 보여주는 애니메이션
• 확률과 통계에 관한 가상실험실(주저자 Kyle Sigrist), 특히 확률공간
• 시티즌디움
• 전체 확률 공간
• Weisstein, Eric W. "Probability space". MathWorld.