스윙 앳우드의 기계

스윙하는 애트우드의 기계(SAM)는 질량 중 하나가 2차원 평면에서 스윙할 수 있다는 점을 제외하고는 단순한 애트우드의 기계와 유사한 메커니즘으로 일부 시스템 매개변수와 초기 조건에 대해 혼란스러운 동적 시스템을 생성합니다.

구체적으로, 진자가 균형추와 충돌하지 않고 풀리 주위에서 자유롭게 움직일 수 있도록 0 반경의 두 마찰 없는 풀리에 매달린 확장 불가능한 질량 없는 끈으로 연결된 두 개의 질량(진자, 질량 $m$ 및 평형추, $질량$ M)으로 구성됩니다.^[1]

기존의 Atwood의 기계는 $M=m$ = m $M=m$ {\ $displaystyle M$ = m $M=m$ 을 제외하고 "진자" 솔루션(즉, 진자 또는 평형추가 결국 도르래와 충돌함)만을 허용합니다. 그러나, $M>m$ > $M>m$ ${\displaystyle M>$ m $}$ 의 스윙하는 애트우드의 기계는 종료 또는 비종료, 주기적, 준주기적 또는 혼돈, 유계 또는 무한으로 분류될 수 있는 다양한 운동으로 이어지는 조건의 큰 매개변수 공간을 가지고 $M>m$ 있습니다. 진자의 반응 원심력이 균형추의 무게를 상쇄하기 때문에 단수 또는 비 singular입니다. SAM에 대한 연구는 1982년 리드 칼리지의 니콜라스 투필라로(Nicholas Tufillaro)가 데이비드 J. 그리피스(David J. Griffiths)가 감독한 "Smiles and Teardrops(계의 일부 궤적의 모양을 지칭하는)"라는 제목의 선임 논문의 일부로 시작되었습니다.^[3]

운동방정식

흔들리는 애트우드의 기계는 자유도가 2개인 시스템입니다. 우리는 해밀토니안 역학이나 라그랑지안 역학을 사용하여 운동 방정식을 유도할 수 있습니다. 스윙하는 $질량을 {\displaystyle$ m $},$ 스윙하지 $m$ 않는 $M$ 을 M ${\displaystyle$ $M$ $}$ 이라 하자 $M$ $T$ 의 운동 에너지 T ${\displaystyle$ T $T$ 는 다음과 같습니다.

{\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}Mv_{M}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{m}^{2}\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta}}^{2}\right)\end{aligned}

여기서 $r$ ${\displaystyle$ r $}$ 은 피벗까지의 스윙 질량의 거리이고, $\theta$ θ ${\displaystyle$ \theta}는 바로 아래를 가리키는 것에 대한 스윙 질량의 각도입니다. 위치 에너지 $U$ $U$ 는 $U$ 전적으로 중력에 의한 가속도 때문입니다.

{\begin{aligned}U&=Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}

그런 다음 ${\mathcal {L}}$ 의 ${\mathcal {H}}$ 라그랑지안 L ${\$ 과 해밀턴 ${\mathcal {H}}$ ${\$ 을 기록할 수 있습니다.

{\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=T-U\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}^{2}+{\frac {1}{2}m\left ({\dot {r}^{2}+r^{2}}{\dot {\theta }}^{2}\right)-Mgr+mgr\cos {\theta }\\{\mathcal {H}}&=T+U\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)+Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}

그런 다음 표준 운동량 $p_{r}$ ${\displaystyle p_{r$ $p_{\theta }$ θ {\displaystyle p_ $p_{\theta }$ theta}}로 해밀턴을 표현할 수 있습니다.

{\begin{aligned}p_{r}&={\frac {\mathcal {L}}{\dot {r}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {r}}}=(M+m){\dot {r}}\p_{\theta }&={\frac {\dot {\theta }}{\partial {\dot {\theta }}}={\frac {\partial T}{\dot {\theta }}}{\dot {\theta }}}=\mr^{\dot {\theta }}\\\therefore {\mathcal {H}}&={\frac }} {p_{r}^{2}}{2(M+m)}}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{2mr^{2}}}+Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}

라그랑주 분석을 적용하여 $r$ ${\displaystyle$ r $}$ 및 $\theta$ θ {\displaystyle $\theta$ \theta}에서 두 개의 2차 결합 일반 미분 방정식을 얻을 수 있습니다. $\theta$ θ ${\$ displaystyle $\theta$ theta} 방정식은 다음과 같습니다.

{\begin{aligned}{\frac {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}&={\frac {d}{dt}}\left ({ {\mathcal {L}}{\partial {\dot {\theta }}\right)\-mgr\sin {\theta }&=2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}+mr^{\dot {theta }}\r{\dot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {theta }+g\sin {\theta }&=0\end{aligned}}

$그리고$ r ${\displayr}$ 방정식은 $r$ 다음과 같습니다.

{\begin{aligned}{\frac {\mathcal {L}}}{\partial r}}&={\frac {d}{dt}}\left ({ {\partial {\mathcal {L}}{\partial {\dot {r}}}\right)\mr{\dot {\theta }^{2}-Mg+Mg\cos {\theta }&=(M+m){\dot {r}}\end{aligned}}

질량비 $\mu ={\frac {M}{m}}$ = $\mu ={\frac {M}{m}}$ ${\$ displaystyle \mu = {\frac {M}{m}}을 정의하여 방정식을 단순화합니다. 그러면 위의 내용은 다음과 같습니다.

(\mu +1){\dot {r}}-r{\dot {\theta}}^{2}+g(\mu -\cos {\theta})=0

Hamiltonian 분석을 적용하여 $r$ ${\displaystyle r$ $\theta$ θ ${\displaystyle$ \theta} 및 해당 표준 $p_{r}$ p ${\displaystyle$ p_{ $p_{\theta }$ } $p_{\theta }$ p θ $p_{\theta }$ p_{\theta}의 관점에서 4개의 1차 ODE를 결정할 수도 있습니다.

{\dot {r}}&={\frac {\mathcal {H}}{\partial {p_{r}}}={\frac {p_{r}}{M+m}}\{\dot {p_{r}}}&=-{\frac {\mathcal {H}}}{\partial {r}}=-{\frac {p_{\theta }^{2}}={\frac {p_{\theta }-Mg+Mg\cos {\theta }\{\dot {theta }}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {p_{\theta }}} {{\frac {p_{\theta }{mr^{2}}\{\dot {p_{\theta }}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\theta }}=-mgr\sin {\theta }\end{aligned}}

이 두 파생 모델 모두에서 $\theta$ θ {\displaystyle $\theta$ \theta} 및 ${\dot {\theta }}$ θ ˙ ${\displaystyle {\$ theta}}를 0으로 설정하면 특수한 경우가 일반적인 스윙이 아닌 Atwood 기계입니다.

{\ddot {r}}=g{\frac {1-\mu }{1+\mu }}=g{\frac {m-M}{m+M}}

스윙하는 애트우드의 기계는 $r$ ${\displaystyle$ r $r$ $\theta$ θ ${\$ displaystyle $\theta$ \theta} 및 해당 표준 $p_{r}$ p {\ $displaystyle$ p_{ $p_{\theta }$ } $p_{\theta }$ p θ ${\displaystyle$ p_{\theta }로 정의되는 4차원 위상 공간을 가지고 있습니다. 그러나 에너지 절약으로 인해 위상 공간은 3차원으로 제한됩니다.

거대한 도르래가 있는 시스템

시스템의 도르래에 관성 모멘트 $I$ $I$ 및 $R$ R $R$ 이 있는 경우 SAM의 해밀토니안은 다음과 같습니다 $R$ ^[4]

{\mathcal {H}}\left(r,\theta,{\dot {r}},{\dot {theta}}\right)=\underbrace {{\dot {1}{2}M_{t}\left(R{\dot {\theta}}-{\dot {r}}\right)^{2}+{\dot {\theta}}^{\2}_{T}+\underbrace {gr\left(M-m\cos {\theta}\right)+gR\left(m\sin {\theta}-M\theta \right)}_{U}

어디에 M_t 는 시스템의 유효 총 질량,

M_{t}=M+m+{\frac {I}{R^{2}}}

$그러면$ R $R$ 과 $R$ ( $)$ I {\displaystyle $I}$ 이(가) 0이 $I$ 되면 위 버전으로 줄어듭니다. 이제 운동 방정식은 다음과 같습니다.^[4]

{\dot {aligned}\mu _{t}({\dot {r}}-R{\dot {\theta}})&=r{\dot {\theta}}^{2}+g(\cos {\theta}-\mu)\r{\dot {\theta}}&=-2{\dot {r}{\dot {\theta}}+R{\dot {\theta}}-g\sin {\dota}\\end{aligned}}

여기서 $\mu _{t}=M_{t}/m$ = $\mu _{t}=M_{t}/m$ / m {\displaystyle \mu _{t} = M_{t}/m}입니다.

통합성

해밀턴 시스템은 적분 가능한 것과 비적분 가능한 것으로 분류될 수 있습니다. $\mu =M/m=3$ μ = $\mu =M/m=3$ / $\mu =M/m=3$ m = $3$ {\displaystyle \mu = M/m = 3}일 때 SAM을 적분할 수 있습니다. 시스템도 $\mu =4n^{2}-1=3,15,35,...$ = $\mu =4n^{2}-1=3,15,35,...$ $\mu =4n^{2}-1=3,15,35,...$ 2 $\mu =4n^{2}-1=3,15,35,...$ - 1 = 3, $15, 35, ...$ {\displaystyle \mu = 4n^{2}-1 = 3, 15, 35, ...에 대해 매우 규칙적으로 보입니다. $}$ 그러나 $\mu =3$ $=$ $\mu =3$ {\displaystyle \mu $=$ 3} 케이스가 유일하게 알려진 적분 가능한 질량 비율입니다. $\mu \in (0,1)\cup (3,\infty )$ 은 $\mu \in (0,1)\cup (3,\infty )$ ∈ $($ 0, $\mu \in (0,1)\cup (3,\infty )$ ∪ $(3$ , ∞) ${\displaystyle \mu \$ in $\mu \in (0,1)\cup (3,\infty )$ (0, 1)\cup (3,\infty)}에 대해 통합할 수 없는 것으로 나타났습니다. 질량비의 다른 많은 값(및 초기 조건)에 대해 SAM은 혼돈 운동을 표시합니다.

수치 연구에 따르면 궤도가 단수일 때(initial 조건: $r=0,{\dot {r}}=v,\theta =\theta _{0},{\dot {\theta }}=0$ = $r=0,{\dot {r}}=v,\theta =\theta _{0},{\dot {\theta }}=0$ 0, $r$ ˙ = v, θ = θ 0, θ ˙ 0 {\display r = 0, {\dot {r}} = v,\theta =\theta _{0}, {\dot {\theta}} = 0}, 진자가 하나의 대칭 루프를 실행하고 원점으로 돌아갑니다. θ $0$ {\displaystyle \theta _{0}}의 값에 관계없이. θ $\theta _{0}$ {\displaystyle \theta _{0}}이(수직에 가까운) 작을 때는 궤적이 "눈물 방울"을 설명하고 클 때는 "심장"을 설명합니다. 이러한 궤적은 대수적으로 정확히 해결될 수 있으며, 비선형 해밀턴이 있는 시스템에서는 이례적입니다.^[7]

궤적

흔들리는 애트우드 기계의 요동하는 질량은 다른 초기 조건과 다른 질량 비율에 따라 흥미로운 궤적이나 궤도를 거칩니다. 여기에는 주기적 궤도와 충돌 궤도가 포함됩니다.

비특이궤도

특정 조건에서 시스템은 복잡한 고조파 운동을 나타냅니다.^[1] 요동하는 질량이 도르래에 닿지 않으면 궤도를 비특이적이라고 합니다.

비특이적 궤도의 선정

$\mu =2$ = $\mu =2$ ${\$ $displaystyle$ \mu = $2},$ θ 0 = π 2 {\displaystyle \theta _{0} = {\frac {\pi }{2}}에 대한 스윙하는 애트우드 기계의 궤도 및 초기 속도가 0입니다.
$\mu =3$ = $\mu =3$ ${\$ $displaystyle$ \mu = 3 $},$ θ 0 = π 2 {\displaystyle \theta _{0} = {\frac {\pi }{2}}에 대한 스윙하는 애트우드 기계의 궤도 및 초기 속도가 0입니다.
$\mu =5$ = $\mu =5$ ${\$ $displaystyle$ \mu = 5 $},$ θ 0 = π 2 {\displaystyle \theta _{0} = {\frac {\pi }{2}}에 대한 스윙하는 애트우드 기계의 궤도 및 초기 속도가 0입니다.
$\mu =6$ = $\mu =6$ ${\$ $displaystyle$ \mu =6 $},$ θ 0 = π 2 {\displaystyle \theta _{0} = {\frac {\pi }{2}}에 대한 스윙하는 애트우드 기계의 궤도 및 초기 속도가 0입니다.
$\mu =16$ = $\mu =16$ ${\$ $displaystyle$ \mu = 16 $},$ θ 0 = π 2 {\displaystyle \theta _{0} = {\frac {\pi }{2}}에 대한 스윙하는 애트우드 기계의 궤도 및 초기 속도가 0입니다.
$\mu =19$ = $\mu =19$ ${\$ $displaystyle$ \mu = 19 $},$ θ 0 = π 2 {\displaystyle \theta _{0} = {\frac {\pi }{2}}에 대한 스윙하는 애트우드 기계의 궤도 및 초기 속도가 0입니다.
$\mu =21$ = $\mu =21$ ${\$ $displaystyle$ \mu = 21 $},$ θ 0 = π 2 {\displaystyle \theta _{0} = {\frac {\pi }{2}}에 대한 스윙하는 애트우드 기계의 궤도 및 초기 속도가 0입니다.
$\mu =24$ = $\mu =24$ ${\$ $displaystyle$ \mu = 24 $},$ θ 0 = π 2 {\displaystyle \theta _{0} = {\frac {\pi }{2}}에 대한 스윙하는 애트우드 기계의 궤도 및 초기 속도가 0입니다.

주기궤도

시스템의 서로 다른 고조파 성분이 위상에 있을 때 생성된 궤적은 일반 진자와 유사한 "미소" 궤적과 다양한 루프와 같이 단순하고 주기적입니다.^[3]^[8] 일반적으로 주기적인 궤도는 다음을 만족할 때 존재합니다.^[1]

r(t+\tau)=r(t),\,\theta(t+\tau)=\theta(t)

주기적 궤도의 가장 단순한 경우는 투필라로가 1984년 논문에서 A형 궤도라고 이름 붙인 "미소" 궤도입니다.^[1]

주기궤도 선정

$\mu =1.665$ = $\mu =1.665$ 665 {\ $displaystyle$ \mu = 1.665}, θ 0 = π 2 {\displaystyle \theta _{0} = {\frac {\pi }{2}}에 대한 스윙하는 애트우드 기계의 "smile" 궤도 및 초기 속도가 0입니다.
$\mu =2.394$ = $\mu =2.394$ $displaystyle$ \mu = 2. $394$ }, θ 0 = π 2 {\displaystyle \theta _{0} ={\frac {\pi }{2}}에 대한 스윙하는 애트우드 기계의 궤도 및 초기 속도가 0입니다.
$\mu =1.1727$ = $\mu =1.1727$ $displaystyle$ \mu = 1.1727}, θ 0 = π 2 {\displaystyle \theta _{0} ={\frac {\pi }{2}}, 초기 속도 0에 대한 Atwood 기계의 궤도.
$\mu =1.555$ = $\mu =1.555$ $displaystyle$ \mu = 1.555}, θ 0 = π 2 {\displaystyle \theta _{0} = {\frac {\pi }{2}}, 초기 속도 0에 대한 Atwood 기계의 궤도.

특이궤도

만약 어느 시점에서 요동하는 질량이 원점을 통과한다면 그 움직임은 특이합니다. 시스템은 시간 역전과 번역 하에서 불변이므로 진자가 원점에서 시작하여 바깥쪽으로 발사된다고 하는 것과 같습니다.^[1]

r(0)=0

$r$ {\ $displaystyle$ $r$ $}$ 이 $r$ 0에 가깝고 운동 방정식을 $r$ ${\displaystyle$ r $}$ 로 나누어야 하므로 피벗에 가까운 영역은 단수입니다 $r$ 따라서 이러한 경우를 엄격하게 분석하려면 특수한 기술을 사용해야 합니다.^[9]

다음은 임의로 선택된 단일 궤도의 도표입니다.

단궤도 선정

$\mu =10$ = $\mu =10$ ${\$ $displaystyle$ \mu = 10 $},$ θ 0 = π 2 {\displaystyle \theta _{0} = {\frac {\pi }{2}}에 대한 스윙하는 애트우드 기계의 궤도 및 초기 속도가 0입니다.
$\mu =25$ = $\mu =25$ ${\$ $displaystyle$ \mu =25 $},$ θ 0 = π 2 {\displaystyle \theta _{0} = {\frac {\pi }{2}}에 대한 스윙하는 애트우드 기계의 궤도 및 초기 속도가 0입니다.

충돌궤도

충돌(또는 끝나는 단수) 궤도는 요동하는 질량이 피벗에서 초기 속도로 분출되어 피벗으로 되돌아갈 때 형성되는 단수 궤도의 하위 집합입니다.

r(\tau)=r(0)=0,\,\tau >0

충돌 궤도 중 가장 단순한 경우는 질량비가 3인 궤도로 원점에서 분출된 후 항상 원점과 대칭적으로 되돌아오는 형태로 투필라로의 초기 논문에서 B형 궤도라고 이름 지었습니다.^[1] 그것들은 또한 그들의 외모 때문에 눈물방울, 심장 또는 토끼 귀 궤도라고 불립니다.^[3]^[7]^[8]^[9]

스윙하는 질량이 원점으로 돌아오면 균형추 $M$ 인 M $M$ 이(가) 순간적으로 방향을 바꾸어 연결 문자열에 무한한 장력을 발생시킵니다 $M$ . 따라서 우리는 지금 종료 동의를 고려할 수 있습니다.^[1]

유계성

초기 위치의 경우 요동하는 질량은 원뿔형 단면인 곡선에 의해 경계지어짐을 알 수 있습니다.^[2] 피벗은 항상 이 경계 곡선의 초점입니다. 이 곡선의 방정식은 계의 에너지를 분석하고 에너지 보존을 사용하여 유도할 수 있습니다. $r=r_{0}$ ${\displaystyle$ m $}$ 이 r = $r=r_{0}$ ${\$ $displaystyle$ r = r_ ${0}$ 및 θ θ 0 {\displaystyle \theta =\theta _{0}의 정지 상태에서 해제되었다고 가정합니다. 따라서 시스템의 총 에너지는 다음과 같습니다.

E={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)+Mgr-mgr\cos {\theta }=Mgr_{0}-mgr_{0}\cos {\theta _{0}}

그러나 경계의 경우 요동하는 질량의 속도가 0임을 유의하십시오.^[2] 그래서 우리는 다음과 같은 것을 가지고 있습니다.

Mgr-mgr\cos {\theta }=Mgr_{0}-mgr_{0}\cos {\theta _{0}}

원뿔 단면의 방정식임을 확인하기 위해 $r$ $r$ 에 대해 다음과 같이 분리합니다 $r$

{\begin{aligned}r&={\frac {h}{1-{\cos {\theta}}{\mu}}}\\h&=r_{0}\left(1-{\cos {\theta_{0}}{\mu}}\right)\end{aligned}}

이 경우 분자는 초기 조건을 정지 상태로 가정했기 때문에 초기 위치에만 의존하는 상수입니다. 그러나 에너지 상수 $h$ $h$ 는 0이 아닌 초기 속도에 대해서도 계산할 수 $h$ 있으며, 이 식은 모든 경우에 여전히 유지됩니다.^[2] 원뿔 단면의 편심은 ${\frac {1}{\mu }}$ ${\$ 입니다 ${\frac {1}{\mu }}$ $\mu >1$ > $\mu >1$ $\mu >1$ 의 경우 $\mu >1$ 이것은 타원이며, 시스템은 경계를 이루고 요동하는 질량은 항상 타원 내에 유지됩니다. $\mu =1$ = $\mu <1$ {\ $displaystyle \mu$ = 1}의 경우 포물선이고 μ < 1 {\displaystyle \mu < 1}의 경우 쌍곡선이며, 이 두 경우 모두 경계가 아닙니다. $\mu$ $\mu$ 가 $\mu$ 임의로 커짐에 따라 경계 곡선이 원에 접근합니다. 곡선으로 둘러싸인 지역은 힐스 지역으로 알려져 있습니다.^[2]

최근 3차원 확장

2016년에 3차원 스윙 앳우드 머신(3D-SAM)의 문제에 대한 새로운 통합 사례가 발표되었습니다.^[10] 2D 버전과 마찬가지로 $M=3m$ 는 M = ${\$ displaystyle M = 3m}일 때 통합 가능합니다.

참고문헌

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외부 링크

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