베이커 지도

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동적 시스템 이론에서 제빵사의 지도는 단위 제곱에서 그 자체로 혼란스러운 지도입니다. 그것은 제빵사들이 반죽에 적용하는 반죽 작업에서 이름을 따왔습니다: 반죽을 반으로 자르고, 두 개의 반을 서로 겹쳐서 압축합니다.

제빵사 지도는 이중 무한 2상태 격자 모델의 양자 이동 연산자로 이해할 수 있습니다. 제빵사의 지도는 편자 지도와 위상적으로 결합되어 있습니다. 물리학에서는 결합된 제빵사 지도 사슬을 사용하여 결정론적 확산을 모델링할 수 있습니다.

많은 결정론적 동적 시스템과 마찬가지로 제빵사의 지도는 단위 제곱에 정의된 함수 공간에 대한 작용으로 연구됩니다. 제빵사의 지도는 지도의 전달 연산자로 알려진 함수 공간의 연산자를 정의합니다. 제빵사 지도는 전달 연산자의 고유 함수와 고유 값을 명시적으로 결정할 수 있다는 점에서 결정론적 혼돈의 정확하게 해결할 수 있는 모델입니다.

형식적 정의

일반적으로 사용되는 제빵사 지도의 두 가지 대안적인 정의가 있습니다. 한 정의는 잘린 반쪽 중 하나를 접거나 회전한 후 결합합니다(말굽 지도와 유사). 다른 정의는 그렇지 않습니다.

접힌 제빵사의 지도는 단위 사각형에 다음과 같이 작용합니다.

${\displaystyle S_{\text{baker-folded}}(x,y)={\begin{cases}(2x,{\frac {y}{2}})&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\(2-2x,1-{\frac {y}{2}})&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{case}}}$

상단 부분이 접히지 않은 경우 지도는 다음과 같이 기록될 수 있습니다.

${\displaystyle S_{\text{baker-unfolded}}(x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor, {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor}{2}\right)}$

접힌 제빵사 지도는 텐트 지도의 2차원 아날로그입니다.

${\displaystyle S_{\mathrm {tent} }(x)={\begin{cases}2x&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2(1-x)&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1\end{cases}}}$

펼쳐진 지도는 베르누이 지도와 유사합니다. 두 지도는 위상적으로 공액입니다. 베르누이 지도는 x의 2진법 전개에서 점차 자릿수를 점하는 지도로 이해할 수 있습니다. 제빵사의 지도는 텐트 지도와 달리 뒤집을 수 없습니다.

특성.

제빵사의 지도는 2차원 르베그 측도를 보존합니다.

지도는 강한 혼합이고 위상적으로 혼합됩니다.

전송 연산자 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$는 단위 사각형의 함수를 단위 사각형의 다른 함수에 매핑합니다$$. 이 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \left[Uf\right](x,y)=(f\circ S^{-1})(x,y).}$

전달 연산자는 단위 제곱에 제곱 적분 가능 함수의 힐베르트 공간에서 단일화됩니다. 스펙트럼은 연속적이고 연산자가 단일이므로 고유값은 단위 원 위에 있습니다. 전달 연산자는 공간 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ⊗ $Ly$ 2 ${\displaystyle {\mathcal${P}_{$x}\otimes L_{$y}^{2}}의 함수 중 첫 번째 좌표에서는 다항식이고 두 번째 좌표에서는 제곱 적분이 가능합니다. 이 공간 위에는 이산적이고 단일적이지 않은 붕괴 스펙트럼이 있습니다.

교대조 작업자로서

제빵사의 지도는 1차원 격자의 상징적 역학에 대한 양면 시프트 연산자로 이해될 수 있습니다. 예를 들어, 이중 무한 문자열을 생각해 보십시오.

${\displaystyle \sigma =\left(\ldots,\sigma _{-2},\sigma _{-1},\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots \right)}$

여기서 문자열의 각 위치는 \{0,1\}에서 두 이진${\displaystyle }$값${\displaystyle }$σ k$$∈ {0,1} ${\displaystyle \$sigma _{k}\를 취할 수 있습니다. 이 끈에 대한 시프트 연산자의 작용은

${\displaystyle \tau(\ldots,\sigma _{k},\sigma _{k+1},\sigma _{k+2},\ldots )=(\ldots,\sigma _{k-1},\sigma _{k},\sigma _{k+1},\ldots )}$

즉, 각각의 격자 위치가 하나씩 왼쪽으로 이동합니다. 바이-무한 스트링은 두 개의 실수 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\display 0\leq$ x, y$\leq 1}$로 표현될 수 있습니다.

${\displaystyle x(\sigma)=\sum _{k=0}^{\infty}\sigma _{-k}2^{-(k+1)}}$

그리고.

${\displaystyle y(\sigma)=\sum _{k=0}^{\infty}\sigma _{k+1}2^{-(k+1)}$

이 표현에서 시프트 연산자는 다음과 같은 형태를 갖습니다.

${\displaystyle \tau(x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor, {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor}{2}\right)}$

위에 제시된 펼쳐진 제빵사 지도로 보여집니다.

참고 항목

• 베르누이 과정

참고문헌

• Hiroshi H. Hasagawa and William C. Saphir (1992). "Unitarity and irreversibility in chaotic systems". Physical Review A. 46 (12): 7401–7423. Bibcode:1992PhRvA..46.7401H. CiteSeerX 10.1.1.31.9775. doi:10.1103/PhysRevA.46.7401. PMID 9908090.
• Ronald J. Fox, "베이커 지도를 위한 요르단 기반 구축", Chaos, 7p 254 (1997) doi:10.1063/1.166226
• Dean J. Driebe, 완전 혼돈 지도와 깨진 시간 대칭, (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 네덜란드 ISBN 0-7923-5564-4 (제빵사 지도의 고유 함수 설명).