푸앵카레 재발 정리

수학과 물리학에서 푸앵카레 순환 정리는 특정 동적 시스템이 충분히 길지만 유한한 시간 후 (연속 상태 시스템의 경우) 임의로 그들의 초기 상태에 근접하거나 (연속 상태 시스템의 경우) 정확히 동일한 상태로 돌아갈 것이라고 말합니다.

Poincaré 재발 시간은 재발할 때까지 경과된 시간입니다. 이 시간은 정확한 초기 상태와 요구되는 근접도에 따라 크게 달라질 수 있습니다. 그 결과는 일부 제약 조건에 따라 격리된 기계 시스템에 적용됩니다. 예를 들어 모든 입자는 유한 부피에 구속되어야 합니다. 이 정리는 일반적으로 에르고딕 이론, 동적 시스템 및 통계 역학의 맥락에서 논의됩니다. 푸앵카레 순환 정리가 적용되는 계를 보수적 계라고 합니다.

이 정리는 앙리^[1]^[2] 푸앵카레(Henri Poincaré)의 이름을 따서 명명되었는데, 그는 1890년에 이를 논의했고 1919년에 콘스탄틴 카라테오도리(Constantin Carathéodory)가 측도 이론을 사용하여 증명했습니다.^[3]^[4]

정밀한 제형

일반 미분 방정식에 의해 정의된 임의의 동적 시스템은 그 자체로 f 매핑^t 위상 공간을 매핑하는 플로우 맵을 결정합니다. 위상 공간에 있는 집합의 부피가 흐름 아래에서 불변하면 시스템은 부피 보존 상태라고 합니다. 예를 들어, 모든 해밀턴 계는 리우빌의 정리 때문에 부피 보존 상태입니다. 그 정리는 다음과 같습니다. 만약 흐름이 부피를 보존하고 유계 궤도만을 가지고 있다면, 각 열린 집합에 대해 이 열린 집합과 교차하는 어떤 궤도도 그것과 무한히 자주 교차합니다.^[5]

증명논의

이 증명은 질적으로 말하면 다음과 같은 두 가지 전제에 달려 있습니다.^[6]

잠재적으로 액세스 가능한 총 위상 공간 부피에 대해 유한 상한을 설정할 수 있습니다. 기계 시스템의 경우, 이 경계는 시스템이 공간의 제한된 물리적 영역에 포함되도록 요구함으로써(예를 들어, 결코 돌아오지 않는 입자를 방출할 수 없도록) 에너지 보존과 결합되어 시스템을 위상 공간의 유한 영역으로 가둠으로써 제공될 수 있습니다.
동역학 하에서 유한 요소의 위상 부피는 보존됩니다(기계 시스템의 경우, 이는 리우빌 정리에 의해 보장됩니다).

위상 공간의 $D_{1}$ 유한한 시작 $D_{1}$ D $D_{1}$ {\ $displaystyle D_{1}}$ 이 계의 역학 하에서 그 경로를 따른다고 상상해 보세요. 볼륨은 위상 공간의 "위상 튜브"를 통해 진화하여 크기를 일정하게 유지합니다. 유한 위상 공간을 가정할 때, $k_{1}$ $k_{1}$ {\ $displaystyle k_{1}$ 단계 후 위상 튜브가 $k_{1}$ 교차해야 합니다. 이는 적어도 시작 볼륨의 $R_{1}$ 유한 부분 $R_{1}$ ${\$ 이 반복됨을 의미합니다. 이제 시작 위상 볼륨의 $D_{2}$ 비반전 부분 $D_{2}$ ${\$ 의 크기를 고려합니다. 즉, 시작 볼륨으로 다시 돌아가지 않는 부분입니다. 지난 단락에서 방금 설명한 원리를 사용하면 반환되지 않는 부분이 유한한 경우 $k_{2}$ ${\$ 단계 $k_{2}$ 후에 반환되는 부분의 $R_{2}$ 유한 $R_{2}$ R2 {\ $displaystyle R_{$ 2}}가 반환되어야 함을 알 수 있습니다. But that would be a contradiction, since in a number $k_{3}=$ lcm $(k_{1},k_{2})$ of step, both $R_{1}$ and $R_{2}$ would be returning, against the hypothesis that only $R_{1}$ was. 따라서 시작 볼륨의 반환되지 않는 부분은 빈 집합이 될 수 없습니다. 즉, 모든 D $D_{1}$ ${\$ 은 몇 번의 단계 후에 반복됩니다 $D_{1}$ .

이 정리는 이 증명이 보장할 수 없는 재발의 특정 측면에 대해 언급하지 않습니다.

시작 위상 볼륨으로 다시 돌아가지 않거나 시작 볼륨으로 유한 번만 돌아갔다가 다시 돌아오지 않는 특수 위상이 있을 수 있습니다. 그러나 이러한 것들은 시작 볼륨의 무한히 작은 부분을 구성하는 매우 "희귀한" 것입니다.
위상 볼륨의 모든 부분이 동시에 반환되어야 하는 것은 아닙니다. 어떤 사람들은 첫 번째 패스에서 출발 볼륨을 "실수"할 것이지만 나중에 돌아올 것입니다.
가능한 모든 위상 볼륨이 소진되기 전에 위상 튜브가 시작 볼륨으로 완전히 돌아가는 것을 방해하는 것은 없습니다. 이것의 사소한 예는 고조파 발진기입니다. 접근 가능한 모든 위상 볼륨을 포함하는 시스템을 에르고딕(ergodic)이라고 합니다(물론 이는 "접근 가능한 볼륨"의 정의에 따라 다릅니다).
말할 수 있는 것은 "거의 모든" 시작 단계에 대해 시스템은 결국 해당 시작 단계에 임의로 근접하여 복귀할 것이라는 것입니다. 재발 시간은 필요한 근접도(위상 볼륨의 크기)에 따라 달라집니다. 재발의 정확도를 높이기 위해서는 초기 부피를 더 작게 해야 하는데, 이는 재발 시간이 더 길다는 것을 의미합니다.
볼륨의 특정 단계에 대해 재발이 반드시 주기적인 재발은 아닙니다. 두 번째 재발 시간은 첫 번째 재발 시간의 두 배일 필요가 없습니다.

정식명세서

허락하다

(X,\Sigma,\mu )

유한한 측도 공간이고 다음과 같습니다.

f\colon X\to X

변용의 수단이 됩니다. 아래는 그 정리의 두 개의 다른 문장들입니다.

정리 1

\ $Sigma$ $}$ 의 임의의 E ∈ σ ${\$ displaystyle E\에 대하여, \ $f^{n}(x)\notin E$ $f^{n}(x)\notin E$ 의N개의 점 ${\displaystyle$ N\이 $N\in \mathbb {N}$ 존재하는 $N\in \mathbb {N}$ E ${\$ x}의점 x {\displaystyle x}의 $f^{n}(x)\notin E$ 으로 $,$ f ( $x)$ 가 E {\displaystyle f^{n}(x)\n을 ∉ $합니다$ . $n>N$ n > $n>N$ {\ $displaystyle$ n> $N}$ 에 $f^n(x)\notin E$ 대해 $otin$ E $}$ 에 0 측정값이 있습니다 $n>N$ .

즉, $E$ $E$ 의 거의 모든 점이 $E$ $E$ 로 되돌아갑니다 $E$ . $E$ 사실, 거의 모든 점은 무한히 자주 돌아온다.

\mu \left(\{x\in E:{\text{존재합니다}}N{\text{따라서}}f^{n}(x)\notin E{\text{ for all }}n>N\}\right)=0.

정리 2

이 정리의 위상적 버전은 다음과 같습니다.

$X$ $X$ 가 두 번째로 카운트 가능한 하우스도르프 공간이고 $\Sigma$ σ ${\displaystyle$ \Sigma}에 보렐 시그마-대수가 포함된 경우 f ${\displaystyle$ f}의 반복점 $f$ 은 완전 측정값을 갖습니다. 즉, 거의 모든 점이 반복적입니다.

더 일반적으로, 이 정리는 측정 보존 동적 시스템에만 적용되는 것이 아니라 보존적 시스템에도 적용됩니다. 대략적으로 말하면, 보수적인 시스템은 정확히 재발 정리가 적용되는 시스템이라고 말할 수 있습니다.

양자역학 버전

이산 에너지 고유 상태를 가진 시간 독립 양자 역학 시스템의 경우 유사한 정리가 유지됩니다. For every $\varepsilon >0$ and $T_{0}>0$ there exists a time T larger than $T_{0}$ , such that $\psi (T)\rangle - \psi (0)\rangle <\varepsilon$ , 여기서 $|\psi (t)\rangle$ ψ $|\psi (t)\rangle$ (t) ⟩ ${\displaystyle$ \psi (t)\rangle }는 시간 t에서의 시스템의 상태 벡터를 나타냅니다.

증명의 필수 요소는 다음과 같습니다. 시스템은 다음과 같이 시간에 따라 진화합니다.

\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\exp(-iE_{n}t) \phi _{n}\rangle

여기서 $E_{n}$ $E_{n}$ 은 에너지 고유값(자연 단위를 사용하므로 ℏ = 1 ${\$ displaystyle \hbar = 1})이고 ϕ n ⟩ {\displaystyle \phi_{n}\rangle }은 에너지 고유 상태입니다. 시간 $T$ $T$ 및 $T$ 시간 0에서의 상태 벡터 차이의 제곱 놈은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\psi (T)\rangle - \psi (0)\rangle  ^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty } c_{n} ^{2}[1-\cos(E_{n}T)]

T와 무관하게 n = N에서 총합을 자를 수 있는데, 그 이유는

$\sum _{n=N+1}^{\infty } c_{n} ^{2}[1-\cos(E_{n}T)]\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty } c_{n} ^{2}$

N을 늘리면 임의로 작게 만들 수 있는데, $\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}$ 상태의 제곱 놈인 합 ∑ n = $\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}$ ∞ c 2 ${\displaystyle$ \sum _{n=0}^{\infty } c_{n}^{2}가 1로 수렴하기 때문입니다.

유한합

\sum _{n=0}^{N} c_{n} ^{2}[1-\cos(E_{n}T)]

다음과 같은 구성에 따라 시간 T의 특정 선택을 위해 임의로 작게 만들 수 있습니다. 임의의 $\delta >0$ δ > 0 ${\displaystyle$ > 0}을 선택한 후 $,$ 만족하는 정수 $k$ {\ $displaystyle$ k_{n}가 되도록 T를 선택합니다.

|E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta

|E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta

-

|E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta

k < δ

{\displaystyle

E_{n}

T-2

pick_{n} <\delta},

모든 수 $0\leq n\leq N$ $0\leq n\leq N$ $0\leq n\leq N$ $0\leq n\leq N$ $0\leq n\leq N$ $0\leq n\leq N$ 에 대하여 $0\leq n\leq N$ T의 특정한 선택에 대하여,

1-\cos(E_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.

따라서 다음과 같은 기능이 있습니다.

2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}

2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}

2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}

= 0

2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}

cn

2 [ 1 -

2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}

os ⁡(En T))

2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}

<

2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}

2

2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}

n = 0 N cn

2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}

< δ 2 {\displaystyle 2\sum

2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}

_{n=0}^{N} c_{n} ^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum

2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}

_{n=0}^{n} ^{

2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}

lta ^{2}.

$따라서$ 상태 벡터 $|\psi (T)\rangle$ ψ $($ T) ⟩ ${\displaystyle$ $\$ psi (T)\rangle }는 초기 상태 ψ(0) ⟩ {\displaystyle \psi (0)\rangle }에 임의로 가깝게 반환됩니다.

참고 항목

참고문헌

^ Poincaré, H. (1890). "Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique". Acta Math. 13: 1–270.
^ 푸앵카레, œ프레스 7세, 262–490 (정리 1절 8절)
^ Carathéodory, C. (1919). "Über den Wiederkehrsatz von Poincaré". Berl. Sitzungsber: 580–584.
^ 카라테오도리, 게스 수학. 슈르. IV, 296–301
^ Barreira, Luis (2006). Zambrini, Jean-Claude (ed.). Poincaré recurrence: Old and new. XIVth International Congress on Mathematical Physics. World Scientific. pp. 415–422. doi:10.1142/9789812704016_0039. ISBN 978-981-256-201-2.
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^ Bocchieri, P.; Loinger, A. (1957). "Quantum Recurrence Theorem". Phys. Rev. 107 (2): 337–338. Bibcode:1957PhRv..107..337B. doi:10.1103/PhysRev.107.337.
^ Percival, I.C. (1961). "Almost Periodicity and the Quantal H theorem". J. Math. Phys. 2 (2): 235–239. Bibcode:1961JMP.....2..235P. doi:10.1063/1.1703705.
^ Schulman, L. S. (1978). "Note on the quantum recurrence theorem". Phys. Rev. A. 18 (5): 2379–2380. Bibcode:1978PhRvA..18.2379S. doi:10.1103/PhysRevA.18.2379.

외부 링크

Padilla, Tony. "The Longest Time". Numberphile. Brady Haran. Archived from the original on 2013-11-27. Retrieved 2013-04-08.
"Arnold's Cat Map: An interactive graphical illustration of the recurrence theorem of Poincaré".

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[1] Poincaré, H. (1890). "Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique". Acta Math. 13: 1–270.

[2] 푸앵카레, œ프레스 7세, 262–490 (정리 1절 8절)

[3] Carathéodory, C. (1919). "Über den Wiederkehrsatz von Poincaré". Berl. Sitzungsber: 580–584.

[4] 카라테오도리, 게스 수학. 슈르. IV, 296–301

[Barreira_2005-5] Barreira, Luis (2006). Zambrini, Jean-Claude (ed.). Poincaré recurrence: Old and new. XIVth International Congress on Mathematical Physics. World Scientific. pp. 415–422. doi:10.1142/9789812704016_0039. ISBN 978-981-256-201-2.

[gibbs-6] Gibbs, Josiah Willard (1902). Elementary Principles in Statistical Mechanics. New York, NY: Charles Scribner's Sons. Chapter X.

[7] Bocchieri, P.; Loinger, A. (1957). "Quantum Recurrence Theorem". Phys. Rev. 107 (2): 337–338. Bibcode:1957PhRv..107..337B. doi:10.1103/PhysRev.107.337.

[8] Percival, I.C. (1961). "Almost Periodicity and the Quantal H theorem". J. Math. Phys. 2 (2): 235–239. Bibcode:1961JMP.....2..235P. doi:10.1063/1.1703705.

[9] Schulman, L. S. (1978). "Note on the quantum recurrence theorem". Phys. Rev. A. 18 (5): 2379–2380. Bibcode:1978PhRvA..18.2379S. doi:10.1103/PhysRevA.18.2379.

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