혼돈의 동기화

혼돈의 동기화는 둘 이상의 분산된 혼돈 시스템이 결합될 때 발생할 수 있는 현상이다.

무질서한 시스템의 궤적이 기하급수적으로 엇갈리기 때문에, 동시에 진화하는 두 개의 무질서한 시스템을 갖는 것은 놀라운 것으로 보일 수 있다. 그러나 결합되거나 구동되는 혼돈 오실레이터의 동기화는 실험적으로 합리적으로 잘 이해된 현상이다.

결합 시스템에 대한 동기화의 안정성은 마스터 안정성을 이용하여 분석할 수 있다. 혼돈의 동기화는 풍부한 현상이며 응용 범위가 넓은 다학제 과목이다.^[1]^[2]^[3]

동기화는 상호작용하는 시스템의 성격과 결합 유형 및 시스템 간의 근접성에 따라 다양한 형태를 나타낼 수 있다.

동일 동기화

이러한 유형의 동기화를 전체 동기화라고도 한다. 그것은 동일한 무질서한 시스템에서 관찰될 수 있다. 시스템은 일련의 초기 조건이 있을 때 완전히 동기화되어 결국 시스템이 시간에 따라 동일하게 진화할 수 있다고 한다. 두 개의 확산 커플링 역학 중 가장 간단한 경우는 다음과 같다.

x^{\premy }=F(x)+\알파(y-x)

y^{\premy }=F(y)+\알파(x-y)

$\alpha$ 서 $F$ $F$ 은 $F$ 고립된 혼돈 역학을 모델링하는 벡터 필드이고 α $\alpha$ 은 $\alpha$ 결합 파라미터다. $x(t)=y(t)$ x $x(t)=y(t)$ ( $x(t)=y(t)$ ) = $x(t)=y(t)$ ( t $x(t)=y(t)$ ) {\ $displaystyle x($ $x(t)=y(t)$ $)=$ $x(t)=y(t)$ $($ t)}은(는) 커플링 시스템의 불변성 하위 공간을 정의하며 $x(t)=y(t)$ , 이 하위 공간 x $x(t)=y(t)$ ( $x(t)=y(t)$ t ) $x(t)=y(t)$ = $x(t)=y(t)$ ( $x(t)=y(t)$ ) $x(t)=y(t)$ 이 로컬로 매력적이면 $x(t)=y(t)$ 커플링된 시스템이 동일한 동기화를 나타낸다.

연결 장치가 사라지면 오실레이터가 분리되고, 이 혼란스러운 동작은 인근 궤도의 분산을 초래한다. 혼돈으로 인한 상호작용 시스템의 궤적 분산이 확산 커플링에 의해 억제될 정도로 커플링 파라미터가 충분히 크면 상호 작용으로 인해 완전한 동기화가 발생한다. 임계 결합 강도를 찾기 위해 $v=x-y$ = $v=x-y$ - $v=x-y$ $v=x-y$ 차이의 동작을 연구한다 $v=x-y$ v $v$ 이(가) 작다고 $v$ 가정하면 벡터 필드를 직렬로 확장하고 선형 미분 방정식을 얻을 수 있다(Taylor 잔차를 무시함).

v^{\premy }=DF(x(t)v-2\alpha v

여기서 $DF(x(t))$ $DF(x(t))$ ( x $DF(x(t))$ ( $DF(x(t))$ ) $DF(x(t))$ 는 용액을 따라 벡터 필드의 Jacobian을 나타낸다 $DF(x(t))$ . α $\alpha =0$ = $\alpha =0$ $\alpha =0$ 이면 우리는 얻는다 $\alpha =0$ .

u^{\premy }=DF(x(t)u,}

그리고 혼돈의 역학관계 때문에 $\|u(t)\|\leq \|u(0)\|e^{\lambda t}$ u $\|u(t)\|\leq \|u(0)\|e^{\lambda t}$ u $\|u(t)\|\leq \|u(0)\|e^{\lambda t}$ u u $\|u(t)\|\leq \|u(0)\|e^{\lambda t}$ u $\|u(t)\|\leq \|u(0)\|e^{\lambda t}$ u u e $e$ { { \ \ $\ \$ \ \ \ \ \ $\ u$ u \ u $\lambda$ t $}}$ 이 $\|u(t)\|\leq \|u(0)\|e^{\lambda t}$ 가 $\lambda$ ) 있는데 $,$ 여기서 $\lambda$ ${\displaystyty$ \. 이제 ansatz $v=ue^{-2\alpha t}$ = $v=ue^{-2\alpha t}$ e $v=ue^{-2\alpha t}$ - $v=ue^{-2\alpha t}$ $v=ue^{-2\alpha t}$ t ${\$ 를 사용하여 $v$ $v$ 에 대한 방정식에서 $u$ $u$ 에 대한 방정식으로 전달한다 $v = u e^{-2 \alpha t}$ $v$ $u$ 그러므로 우리는 얻는다.

\ v(t)\ \leq \ u(0)\ e^{(-2\pair +\pa )t}

임계 결합 강도 $\alpha _{c}=\lambda /2$ $\alpha >\alpha _{c}$ $\alpha _{c}=\lambda /2$ = $\alpha _{c}=\lambda /2$ / $\alpha _{c}=\lambda /2$ ${\displaystyle \property_{c}=\displayda$ /2}을 $\alpha _{c}=\lambda /2$ 를) 산출하여 $\alpha >\alpha _{c}$ > α c {\displaystyle $\property_{c}$ 에 $\alpha > \alpha_c$ 대해 시스템이 완전한 동기화를 나타낸다. 임계 결합 강도의 존재는 고립된 역학의 혼란스러운 성격과 관련이 있다.

일반적으로 이러한 추론은 동기화를 위한 정확한 임계 결합 값으로 이어진다. 그러나 어떤 경우에는 임계치보다 큰 연결 강도에 대한 동기화 상실을 관찰할 수 있다. 이는 임계 결합 값의 도출에서 방치된 비선형 용어가 중요한 역할을 할 수 있고 차이의 행동에 대한 지수적 결합을 파괴할 수 있기 때문에 발생한다.^[4] 그러나 비선형성이 안정성에 영향을 미치지 않도록 이 문제를 엄격하게 처리하고 임계값을 얻을 수 있다.^[5]

일반화 동기화

이러한 유형의 동기화는 동일한 오실레이터 간에 보고된 바 있지만 주로 결합된 혼돈 오실레이터가 다를 때 발생한다. 동적 변수 $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ , $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ x $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ , $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ . $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ . $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ n $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ ) ${\displaystyle(x_{1},x_{2},...$ $x_{n}}$ 및 $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ $(y_{1},y_{2},...y_{m})$ ( $(y_{1},y_{2},...y_{m})$ $(y_{1},y_{2},...y_{m})$ , $(y_{1},y_{2},...y_{m})$ y $(y_{1},y_{2},...y_{m})$ , $(y_{1},y_{2},...y_{m})$ . $(y_{1},y_{2},...y_{m})$ . $(y_{1},y_{2},...y_{m})$ $(y_{1},y_{2},...y_{m})$ ) ${\displaystyle(y_{1},y_{2},...$ 오실레이터의 상태를 결정하는 $(y_{1},y_{2},...y_{m})$ $y_{m}},$ 일반화된 동기화는 기능적인 $\phi$ {\ $displaystyle \phi$ 이( $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ ) 있을 때 발생하며, 적절한 초기 조건에서 일시적 진화한 후 $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ [ $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ ( $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ ) $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ , $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ . . . $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ ( $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ ) = $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ [ $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ x $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ ( $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ ) $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ , $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ ( ) , . $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ . . . . . . . $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ 이다. $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ ) $[y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]$ ${\displaystyle [y_{1}(t), y_{2}(t$ ), $...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t$ ), $...,x_{n}(t$ 이것은 오실레이터 중 한 개의 동적 상태가 다른 한 개의 오실레이터의 상태에 의해 완전히 결정된다는 것을 의미한다. 오실레이터가 상호 결합될 때 이 기능은 변환 불가능해야 하며, 드라이브-응답 구성이 있을 경우 드라이브가 응답의 진화를 결정하며, φ은 변환 불가능할 필요가 없다. 동일한 동기화는 $\phi$ $\pi$ 이(가) ID일 $\phi$ 때 일반화된 동기화의 특별한 경우다.

위상 동기화

위상 동기화는 결합된 무질서한 오실레이터가 위상 차이를 경계로 유지하면서 진폭은 상관관계가 없는 상태로 유지될 때 발생한다. 이 현상은 오실레이터가 동일하지 않더라도 발생한다. 위상 동기화를 관찰하려면 무질서한 오실레이터의 위상에 대한 이전의 정의를 필요로 한다. 많은 실제적인 경우에, 오실레이터의 궤도의 투영이 잘 정의된 중심 주위를 도는 회전을 따르는 위상공간에서 평면을 찾을 수 있다. 이 경우 위상은 각도 joining(t)로 정의되며, 회전 중심과 면에 궤적점을 투영하는 세그먼트로 설명된다. 다른 경우에는 힐버트 변환과 같은 신호 처리 이론에 의해 제공된 기법을 이용하여 단계를 정의하는 것이 여전히 가능하다. 어쨌든 φ₁(t)와 φ₂(t)가 결합된 두 오실레이터의 위상을 나타내는 경우, 위상의 동기화는 m과 n의 정수와 n의₁ 관계 nt(t)=mt₂(t)에 의해 주어진다.

예상 및 지연 동기화

이러한 경우 동기화된 상태는 오실레이터의 동적 변수인 $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ (x $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ , $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ x $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ , $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ . . $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ n $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ ) ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...)$ 과 같은 시간 간격 τ으로 특징지어진다. $x_{n}}$ 및 $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ $(x'_{1},x'_{2},...x'_{n})$ ( $(x'_{1},x'_{2},...x'_{n})$ $(x'_{1},x'_{2},...x'_{n})$ x $(x'_{1},x'_{2},...x'_{n})$ $(x'_{1},x'_{2},...x'_{n})$ . $(x'_{1},x'_{2},...x'_{n})$ . $(x'_{1},x'_{2},...x'_{n})$ $(x'_{1},x'_{2},...x'_{n})$ $(x'_{1},x'_{2},...x'_{n})$ ) ${\displaystyle (x'_{1},x'_{2},...$ $x'$ $x'_{i}(t)=x_{i}(t+\tau )$ ${n}}$ 는 x i $x'_{i}(t)=x_{i}(t+\tau )$ ( t $x'_{i}(t)=x_{i}(t+\tau )$ ) $x'_{i}(t)=x_{i}(t+\tau )$ = x $x'_{i}(t)=x_{i}(t+\tau )$ ( t $x'_{i}(t)=x_{i}(t+\tau )$ + $x'_{i}(t)=x_{i}(t+\tau )$ ) $x'_{i}(t)=x_{i}(t+\tau )$ 에 의해 관련된다 $x'_{i}(t)=x_{i}(t+\tau )$ 이는 오실레이터 중 하나의 역학이 다른 오실레이터의 역학을 따르거나 예측한다는 것을 의미한다. 드라이브-응답 구성으로 결합된 지연 미분방정식에 의해 동적 특성이 설명되는 무질서한 오실레이터 간에 예상 동기화가 발생할 수 있다. 이 경우 응답은 드라이브의 역동성을 예상한다. 지연 동기화는 위상 동기화된 오실레이터 간의 결합 강도가 증가할 때 발생할 수 있다.

진폭 봉투 동기화

이것은 약하게 결합된 두 개의 무질서한 진동자 사이에 나타날 수 있는 가벼운 형태의 동기화다. 이 경우 위상이나 진폭 사이에는 상관관계가 없다. 대신, 두 시스템의 진동은 두 시스템에서 동일한 주파수를 갖는 주기적인 엔벨롭을 개발한다.

이것은 두 무질서한 오실레이터의 평균 진동 주파수 간의 차이와 동일한 크기의 순서를 가지고 있다. 종종 진폭 외피 동기화는 두 진폭 외피 동기화된 오실레이터 사이의 커플링 강도가 증가하면 위상 동기화가 발전한다는 점에서 위상 동기화에 선행한다.

이 모든 형태의 동기화는 점증적 안정성의 속성을 공유한다. 이는 일단 동기화된 상태에 도달하면 동기화를 파괴하는 작은 동요의 효과가 급속히 감쇠되고, 동기화가 다시 회복된다는 것을 의미한다. 수학적으로 무증상 안정성은 두 오실레이터로 구성된 계통의 리아푸노프 지수를 양의 리아푸노프 지수를 갖는 것이 특징이며, 이는 혼돈된 동기화가 달성될 때 음이 된다.

어떤 혼란스러운 시스템은 혼돈에 대한 훨씬 더 강력한 통제를 허용하며, 혼돈의 동기화 및 혼돈의 통제는 "사이버네틱 물리학"이라고 알려진 것의 일부를 구성한다.

메모들

^ Arenas, Alex; Díaz-Guilera, Albert; Kurths, Jurgen; Moreno, Yamir; Zhou, Changsong (2008-12-01). "Synchronization in complex networks". Physics Reports. 469 (3): 93–153. arXiv:0805.2976. Bibcode:2008PhR...469...93A. doi:10.1016/j.physrep.2008.09.002.
^ Wu, Chai Wah (2007). Synchronization in Complex Networks of Nonlinear Dynamical Systems. doi:10.1142/6570. ISBN 978-981-270-973-8.
^ Eroglu, Deniz; Lamb, Jeroen S. W.; Pereira, Tiago (2017). "Synchronisation of chaos and its applications". Contemporary Physics. 58 (3): 207–243. doi:10.1080/00107514.2017.1345844. hdl:10044/1/53479. ISSN 0010-7514.
^ Ashwin, Peter (2006-08-09). "Bubbling transition". Scholarpedia. 1 (8): 1725. Bibcode:2006SchpJ...1.1725A. doi:10.4249/scholarpedia.1725. ISSN 1941-6016.
^ Tiago Pereira, Complex Networks에서 동기화된 동작의 안정성, arXiv:1112.2297v1, 2011.

참조

Pikovsky, A.; Rosemblum, M.; Kurths, J. (2001). Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53352-2.
González-Miranda, J. M. (2004). Synchronization and Control of Chaos. An introduction for scientists and engineers. Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-488-8.
Fradkov A.L. Cybernetical physics: from control of chaos to quantum control. Springer-Verlag, 2007, (Preliminary Russian version: St.Petersburg, Nauka, 2003).

참고 항목

쿠라모토 모델

[1] Arenas, Alex; Díaz-Guilera, Albert; Kurths, Jurgen; Moreno, Yamir; Zhou, Changsong (2008-12-01). "Synchronization in complex networks". Physics Reports. 469 (3): 93–153. arXiv:0805.2976. Bibcode:2008PhR...469...93A. doi:10.1016/j.physrep.2008.09.002.

[2] Wu, Chai Wah (2007). Synchronization in Complex Networks of Nonlinear Dynamical Systems. doi:10.1142/6570. ISBN 978-981-270-973-8.

[3] Eroglu, Deniz; Lamb, Jeroen S. W.; Pereira, Tiago (2017). "Synchronisation of chaos and its applications". Contemporary Physics. 58 (3): 207–243. doi:10.1080/00107514.2017.1345844. hdl:10044/1/53479. ISSN 0010-7514.

[4] Ashwin, Peter (2006-08-09). "Bubbling transition". Scholarpedia. 1 (8): 1725. Bibcode:2006SchpJ...1.1725A. doi:10.4249/scholarpedia.1725. ISSN 1941-6016.

[5] Tiago Pereira, Complex Networks에서 동기화된 동작의 안정성, arXiv:1112.2297v1, 2011.

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