투영 필터

투영 필터는 비선형 상태 공간 ^[1][2][3]시스템의 문제 필터링에 대한 근사 솔루션을 찾는 데 사용되는 확률적 분석 및 정보 기하학 또는 통계에 대한 차등 기하학적 접근 방식을 기반으로 하는 알고리듬 세트입니다.필터링 문제는 신호의 부분 잡음 관측에서 무작위 동적 시스템의 관찰되지 않은 신호를 추정하는 것으로 구성됩니다.목표는 잡음 섭동 관측의 이력에 대한 조건부 신호의 확률 분포를 계산하는 것입니다.이 분포를 사용하면 관측치의 이력이 지정된 신호의 모든 통계량을 계산할 수 있습니다.이 분포가 밀도를 가질 경우 밀도는 쿠슈너-스트라토노비치 방정식 또는 자카이 방정식이라고 하는 특정 확률적 부분 미분 방정식(SPDE)을 만족합니다.비선형 필터 밀도는 무한 차원 함수 ^[4][5]공간에서 진화하는 것으로 알려져 있습니다.

무한 차원 필터 밀도가 근사할 수 있는 가우스 밀도, 가우스 혼합물 또는 지수 패밀리와 같은 확률 밀도의 유한 차원 패밀리를 선택할 수 있습니다.투영 필터의 기본 아이디어는 선택된 밀도 공간에서 기하학적 구조를 사용하여 최적 필터의 무한 차원 SPDE를 선택된 유한 차원 패밀리에 투영하는 것입니다.전체 필터 ^[3]진화를 근사화하는 유한 차원 계열의 밀도 매개 변수에 대한 유한 차원 확률적 미분 방정식(SDE)을 얻습니다.이를 위해, 선택된 유한 차원 패밀리는 정보 기하학에서와 같이 다양한 구조를 갖추고 있습니다.투영 필터는 입방 센서 문제에 대한 최적 필터에 대해 테스트되었습니다.투영 필터는 확장 칼만 ^[2][6]필터와 같은 표준 알고리즘으로는 근사하기 어려웠을 최적 필터의 바이모달 밀도를 효과적으로 추적할 수 있었습니다.투영 필터는 효율적으로 구현할 수 있는 매개 변수에 대한 유한 차원 SDE를 제공하여 신속하게 구현하고 시간 ^[2]내에 효율적으로 실행할 수 있으므로 인라인 추정에 이상적입니다.투영 필터는 더 풍부한 근사 패밀리를 선택하여 근사 정밀도를 미세 조정할 수 있으므로 유연하며 일부 지수 패밀리는 투영 필터링 알고리즘의 수정 단계를 ^[3]정확하게 수행합니다.일부 공식은 휴리스틱 기반 가정 밀도^[3] 필터 또는 Galerkin ^[6]방법과 일치합니다.또한 투영 필터는 평균 ^[7]제곱 최소화와 같은 정확한 기준에 따라 SPDE 계수의 최적 근사치를 넘어 전체 무한 차원 필터를 최적의 방식으로 근사할 수 있습니다.투영 필터는 항법, 해양 역학, 양자 광학 및 양자 시스템, 섬유 직경 추정, 혼돈 시계열 추정, 변경점 감지 및 기타 ^[8]영역을 포함한 다양한 분야에 성공적으로 적용되었습니다.

역사와 발전

"투영 필터"라는 용어는 버나드 ^[9]한존에 의해 1987년에 처음 만들어졌으며, 관련 이론과 수치 예제는 버나드 ^[10][2][3]한존 및 프랑수아 르글란드와 협력하여 다미아노 브리고의 박사 연구 기간 동안 완전히 개발되고 확장되고 엄격해졌습니다.이러한 연구는 선택된 지수 계열에 최적의 필터 무한 차원 SPDE를 투영하는 데 사용된 헬링거 거리 및 피셔 정보 메트릭의 투영 필터를 다루었습니다.지수 계열은 필터링 알고리즘의 예측 단계를 ^[2]정확하게 하기 위해 선택할 수 있습니다.대체 투영 메트릭인 $직접{}^{}$ ${}^{}$ L$^{2$$}$ 메트릭을 기반으로 하는 다른 유형의 투영 필터가 암스트롱과 브리고(2016)^[6]에 도입되었습니다.이 메트릭을 사용하면 혼합물 분포 계열의 투영 필터가 Galerkin 방법에 기반한 필터와 일치합니다.나중에 암스트롱, 브리고 및 로시 페루치(2021)^[7]는 무한 차원 최적 필터를 근사화하는 데 있어 특정 최적성 기준을 충족하는 최적 투영 필터를 도출합니다.실제로, Stratonovich 기반 투영 필터는 선택한 매니폴드에서 SPDE 개별 계수의 근사치를 최적화했지만 SPDE 솔루션 전체는 최적화하지 않았습니다.이 문제는 최적의 투영 필터를 도입함으로써 해결되었습니다.여기서 혁신은 필터 방정식의 스트라토노비치 미적분 버전에 의존하는 대신 이토 미적분학과 직접 작업하는 것입니다.이는 ^[11]제트 번들을 기반으로 하는 매니폴드에 대한 이토 확률 미분 방정식의 기하학적 연구, 이른바 매니폴드에 대한 이토 확률 미분 방정식의 2-제트 해석에 기초합니다.

투영 필터 파생

여기에는 여러 투영 필터의 파생이 스케치되어 있습니다.

스트라토노비치 기반 투영 필터

이것은 Hanzon이^[9] 스케치하고 Brigo, Hanzon 및 LeGland가 ^[10][2]완전히 개발한 Hellinger/Fisher 메트릭의 초기 필터와 Armstrong 및 Brigo(2016)^[6]가 직접 L2 메트릭의 후기 투영 필터 모두에서 파생되었습니다.

관찰되지 않은 무작위 $신호{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Xt}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle X_{t}\in \mathbb {R}^{m}}$이 이토 확률적 미분 방정식에 의해 모델링된다고 가정합니다.

${\displaystyle dX_{t}=f(X_{t},t)\,dt+\sigma(X_{t},t)\,dW_{t}}$

여기서 f 및 ${\displaystyle \delta }$ W$({displaystyle$ \$sigma \,dW$}는$Rm \mathbb${R$}^{$m$$} $값$이고 W $W_{t}$는 브라운 운동입니다.결과를 유지하는 데 필요한 모든 규칙성 조건의 유효성이 참조에 제공된 세부 정보와 함께 가정됩니다.관련 소음 관측 $과정{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${$displaystyle Y_{t}\in \mathbb {R} ^{$d$$}}는 다음과 같이 모델링됩니다.

${\displaystyle dY_{t}=b(X_{t},t)\,dt+dV_{t}}$

여기서 b는 R d \mathbb {R} ^{d} 값이고 V t V_{t}는 W W_{t}와 독립적인 브라운 운동이다. 위에서 암시한 바와 같이, 풀 필터는 X 0 X_{0}에 대한 이전과 t까지의 Y의 이력이 주어진 X t의 조건부 분포이다

${\displaystyle p_{t}(x)dx=Prob\{X_{t}\in dx \dx(Y_{s},s\leqt)\}$

여기서${\displaystyle }\sigma {\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{Ys}{}_{}}$ ${\displaystyle$ \$sigma (Y_s,$ s\$get)}$는 $시간$tt까지의 잡음 $관측$ $YY$에 의해 생성된 시그마 필드이며, 적절한 기술 조건 하에서 $밀도{}_{}$ $pt_{t}$는 쿠슈너-스트라토노비치 SDE를 만족시킵니다.

${\displaystyle dp_{t}={t}^{*}p_{t}\dt+p_{t}[b(\cdot,t)-E_{p_{t}(b(\cdot,t)]^{T}[dY_{t}-E_{p_{t}}(b(\cdot,t))dt]}$

$여기$서 $EEP_{p}$는 기대 ${\displaystyle {Ep}_{}}$ $=$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle h}$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle p}$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle d}$x$,$ {\$displaystyle E_{p$}[h]=\$int(x)p(x)p($x)dx,}이고$$, $순방향{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ 확산 ${\displaystyle {연산자}_{}^{}}$ Lt $∗$ {{$cal {L}}_{$t}}입니다$$.

$표시({style{cal{L}}_{t}^{t}p=-\sum_{i=1}^{m}{frac{i}{{i}}{frac{i}(x,t)p_{t}(x)+{\frac{1}}^{m}\frac{i,j=1}{{i}{i}{i}{i}{t}{i}{i}{i}{i}{i}{i}{i}{i}}}{i}}}}}{i}}{i}{i$

$여기$서 a $= σ$ T ${\$ a $=\$displaystyle \displaystyle ^{$T}}$이고 T $T$는 전치를 나타냅니다.투영 필터의 첫 번째 버전을 도출하려면 $ptp_{t}$ SPDE를$$ 스트라토노비치 형식으로 넣어야 합니다.얻는 것은

$\"displaystyle dp_{t}={t}^{\ast}\,p_{t}\,dt-{\frac{1}{2}}\,p_{t}\,[\vert b(\cdot,t)\vert ^{2}-E_{p_{t}\vert(\cdot,t)\dt+p{t},\cdt^{t},\t_{t(\cdt_{t},\cdt(\cdt_{t_{t},\t{T}\circdY_{t}\ .}$

체인 규칙을 통해 $dp {\$ d${\displaystyle \{\backslash }$$sqrt {p_{t$에 $대한{\displaystyle }$ SPDE를 즉시 도출합니다. 표기법을 단축하기 위해 이 마지막 SPDE를 $=$F${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$ )${\displaystyle {}^{}}$ +${\displaystyle {}^{}{G}^{}}$ ${\displaystyle T}$(p ) ${\displaystyle \text{∘}}$Y , {\$dt$ +$G$^{T$} ($p ) \$cir$ d$\}$로 다시 작성할 수 있습니다.

여기서 $연산자$F($p$$)$ F$(p)$와 $p)$는 다음과 같이 정의됩니다.

$\"displaystyle F(p)=codcal {L}}_{t}^{\ast}\,p\,dt-{\frac{1}{2}}\,p\,[\vert b(\cdot,t)\vert ^{2}-E_{\vert b(\cdot,t)\},$

$\"표시 스타일 G^{T}(p)=p\,[b(\cdot,t)-E_{p}\{b(\cdot,t)\}^{T}.}$

제곱근 버전은 ${\displaystyle dp}$= ${\displaystyle \frac{12p}{}}$[${\displaystyle F}$ (${\displaystyle p}$ ) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle {GT}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}p}$ ) $∘$ ${\displaystyle Y}$]$$. {{$displaystyle$ d${\sqrt {p}}={2${\$sqrt {p}}}[F(p)\,dt+G^{T}(p)\circ$ dy$]\}$입니다$.$

이것들은 무한 차원 함수 공간에서 솔루션이 진화하는 Stratonovich SPDE입니다.$예$를 들어, $ptp_{t}$는 ${}^{}$ L$^{2}($직접 $측정{}_{}$ ${d2\mathrm{}}_{}$ $d_{2$에서 진화할 수 있습니다.

${\displaystyle d_{2}(p_{1},p_{2})=\Vert p_{1}-p_{2}\Vert \,\\p_{1,2}\in L^{2}}$

$p${{$sqrt {p_$${$t}}}: ${L2\mathrm{}}^{}$$L^{$2$$}($헬링거{}_{}$ 메트릭 ${$$H$에서 ${진화}_{}$할 수 있습니다.

${\sqrt {p_{1}}, {\sqrt {p_{2}}}=\Vertsqrt {p_{1}}-{\sqrt {p_{2}}\Vert, \\p_{1,2}\in L^{1}}}$

여기서 $\Vert$ ‖ \$Vert \cdot \Vert$는 힐베르트 $공간{}^{}$ ${}^{}$ L$^{2$의 노름이다. 어떤 경우에도, ${pt}_{}$ $p_{t$}($$$pt$ {\$sqrt {p_{t$는 밀도의 유한 차원 군 내에서 진화하지 않는다.

$디스플레이 스타일 S_{\세타 }=\{p(\cdot,\theta),\\theta \in \Theta \cdot \mathbb {R}^{n}\}\ (또는\S_{\)세타 }^{1/2}=\{{\sqrt {p(\cdot,\theta )},\ \theta \in \Theta \cdot \mathbb {R}^{n}\})}$

투영 필터 아이디어는 유한 차원 $밀도{\displaystyle }$ p$)$ $${\$displaystyle$$$p$(x,\theta_{t}}}($$또는{\displaystyle \sqrt{}}$ p${\displaystyle \sqrt{(x,}}$ $)$ {\$displaystyle sqrt {p(x$)}}($$또는 p(x$, δt$))를 통해 p${}_{}$$x$) $p_{t$$\}($또는 $)$ \displaystyledisplaystyle {t$}}}({$t})를 $근사합니다{}_{}$.

필터 SPDE가 스트라토노비치 형태라는 사실은 다음을 허용합니다.Stratonovich SPDE가 체인 규칙을 충족하기 $때문$에 $FF$와 $GG$는 벡터 필드로 작동합니다.따라서 방정식은 $dtdt$ 벡터 $필드$ $FF$와 ${$ 벡터$$ $필드$$GG$로 특징지어집니다. 이 버전의 투영 필터의 경우 두 벡터 필드를 개별적으로 처리하는 데 만족합니다.$Sθ$에서 밀도의 접선 공간에 $FF$와 $GG$를 $투영$할 수 있습니다$.$$세타$}}($$직접 메트릭) 또는 제곱근(헬링거 메트릭).직접 측정 기준 사례 산출량

$\displaystyle dp(\cdot,\theta _{t})=\Pi _{p(\cdot,\theta_{t})}[F(p(\cdot,\theta_{t})]\,dt+\Pi _{p(\cdot,\theta_{t})[G^{T}(p(\cdot,\t},\ta_{t})]\cdta_{t})$

여기서 ${\displaystyle {\Delta }_{}}$p (${\displaystyle {}_{}}$Δ,$)$ {\$displaystyle \Pi$ _${p(\cdot,\theta)}$는 $다양체{\displaystyle {}_{}}$ S$$ \$displaystyle S_{\$displaystyle P$(\cdot,\theta)$에 대한 점${\displaystyle }p{\displaystyle }$ (Δ,$)$의 접선 공간 투영법입니다.$Theta$}, 그리고 $GT({$ G$^{T$와 같은 벡터에 적용될 때, $({$ G$^{})$ $각각$을 투영함으로써 성분별로 작용한다고 가정합니다.$T$의 구성 요소입니다.이 접선 공간의 기초로서,

$표시 스타일 \left\{\frac \{\cdot,\theta}{\cdot \theta_{1}},\cdots,{\frac {\cdot,\theta}{\cdot \theta_{n}}},$

${}^{}$ L$^{2}$의 내부 곱을$$γ$,$γ \$langle \cdot,\cdot \rangle$로$$표시함으로써 메트릭을 정의합니다.

$디스플레이 스타일 \displaystyle \displaystyle \displaystyle \displaystyle _ij (\theta)=\left\displaystyle {frac {p(\cdot,\theta)}{\frac {p(\cdot,\theta)}}{\frac {\ta}}{\ta \displaystydisplaysty\ta \displaystyle \displaystyle \displaystyle\ta \ta \displaystyle$

그리고 그 투영은 그러므로.

$표시 스타일 \Pi _{\theta }^{\deta }[v]=\sum _{i=1}^{n}\left[\sum _{j=1}^{n}\deta ^{ij}(\theta)\;\left\frac {p(\cdot,\theta)}}{\ta_{j}\rightrangle \right];{\frac{{p(\cdot,\theta)}}{\cdot \theta_{i}}}}$

여기서 $γ$${}_{}$ ${\mathrm{ij}}^{}$ ${}^{}$$gamma$$$^{$ij}$는 ${\gamma }_{}$ ${\mathrm{ij}}_{}$ $gamma$ _${ij$의 역수입니다.따라서 투영된 방정식은 다음과 같습니다.

$\"displaystyle dp(\cdot,\theta _{t})=\Pi _{p(\cdot,\theta _{t})}[F(\cdot,\theta)][G^{T}(p(\cdot,\ta_{t})]\cdt_{t}]$

라고 쓸 수 있는.

$표시 스타일 \sum _{i=1}^{n}{\frac {\cdot,\theta _{i}}}{\theta d\theta _{i}=\sum _{i=1}^{n}\left[\sum ^{i}(\theta);\left\d\ta}, \ta {ta},\ta},\frac {ta},\ta},\ta({ta},\ta{ta}},\ta},\ta},\t;{\frac{p(\cdot,\theta)}{\cdot \theta_{i}}dt+\sum _{i=1}^{n}\sum ^{ij}(\theta)\left\ta^{T},\frac{p(\cdot,\ta_{ta})\right}\ta},\ta},\frac{{{\ta}\ta{\ta}\ta}\frac{\ta}\ta{\ta{\;{\frac{p(\cdot,\theta)}}{\partial \theta_{i}}}\circdY_{t}}}$

스트라토노비치 미적분학이 연쇄 법칙을 따르는 것이 중요했던 곳.상기 방정식으로부터, 최종 투영 필터 SDE는 dθ i = [ ∑ j = 1 n γ i ( θ j ( x, θ t ) ] ∂ f ( p ( x ) θ j d ] d + ∑ k = 1 d [ γ j = 1 θ i ( ∑ j ) ∫ g ( p x , θ t ) _ tyle x ( ∂ x ) \ d\;\$\frac(\frac(x,\theta_{t})}{\ta \theta \theta_{j}}}{\right]dt+\sum _{k=1}^{n}(\theta_{t});\intG_{k}(p(x,\theta_{t});\frac{x\t}\ta\ta{ta\ta}\ta}\ta\ta{ta\ta\ta\ta\ta\ta\ta\ta\$

초기 조건으로 선택된 ${\theta \mathrm{}}_{}$0 \$theta$ _${0$

연산자 F와 G의 정의를 대입하여 직접 메트릭에서 완전히 명시적인 투영 필터 방정식을 얻습니다.

$\displaystyle d\theta _{i}(t)=\left[\sum _{j=1}^{m}\tot ^{ij}(\theta_{t})\;\int {{t}^{t}^{t}(\t)^{t}\frac{ta_{t}\theta_{j}}\ta_{t}{ta}{ta}{ta}{ta}{ta}{ta}\ta}{ta}{ta}{ta}{t{\frac \frac \theta \theta _{j}}}{\frac \theta _{j}}\;frac \right$

$\displaystyle +\sum _{k=1}^{d}\left[\sum _{j=1}^{m}\tot ^{ij}(\theta_{t})\;\int \left[b_{k}(x,t)-\int b_{k}(z,t)p(z,\t,\theta_{t})\right];p(x,\ta_{ta_{ta\ta\ta\ta\ta\ta\ta\ta\ta$

헬링거 거리를 대신 사용하면 밀도의 제곱근이 필요합니다.접선 공간 기준은 다음과 같습니다.

$표시 스타일 \left\{\frac {\frac {\sqrt {p(\cdot,\theta)}{\cdots}{\frac \sqrt {p(\cdot,\theta)}}{\frac \cdots}{\cdeta_{n}}}},$

그리고 하나는 미터법을 정의합니다.

$표시({style\frac {1}{4}}g_{ij}(\theta)=\frac {{frac {\sqrt {p}}{\frac \theta _{j}}{\frac \theta _{j}}}{\frac ={frac {1}{p(x,\ta)}}, \intfrac {{frac {\ta}{ta}{ta}}\ta},{frac{ta}\ta}\ta}\ta}\frac{t$

$메트릭$ $gg$는 Fisher 정보 메트릭입니다.하나는 직접 메트릭 사례와 완전히 유사한 단계를 따르며 Hellinger/Fisher 메트릭의 필터 방정식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle d\theta _{i}=\left[\sum _{j=1}^{n}g^{ij}(\theta_{t})\;\int {frac{F(p(x,\theta_{t})}{p(x,\theta_{t})}{p(x,\theta_{t})}{ta{t}{ta_{t}{t}{\t}{t}{t}}{ta\t}{\t}{t}}{t}rtial \theta _{j}}}\;dx\right]\circdY_{t}^{k}\,}$

다시 초기 조건으로 선택된${\theta \mathrm{}}_{}$ 0 \$theta$_$\{$$0$}.

F와 Gone을 대입하면 θi (t) = [ ∑ j = 1 m gi j ( θ t ) ∫ Lt ∗ p ( x, θ t ) ∂ p ( x, ∑ t ) ∂ j x - θ j = 1 m gi j ( x - θ j ) = 1 m gi j ( x ) θ j ( x ( x , θ t ) \ dstyleft ) _m = d{t} $_{t}}}\;{\frac({t}){\frac({t})}{\frac\theta \theta_{j}}}{\cont-\sum_{j=1}^{m}g^{ij}(\theta_1})\int{frac{t}\vertac{{x,\ta}\ta}\ta}\dta\ta\dt}\dt입니다.$

$\displaystyle +\sum _{k=1}^{d}\;[\sum _{j=1}^{m}g^{ij}(\theta_{t})\;\int b_{k}(x,t)\;{\frac{{t}}{\frac \theta_{j}\t}\t}\td}.$

다이렉트 메트릭의 투영 필터, $다양체{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 구현된 경우혼합물군의 $Theta$}은$$(는) Galerkin ^[6]방법과 동등하게 됩니다.

$다양체{\displaystyle {}_{}^{}}$ S ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1${\displaystyle {}_{}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$에 구현될 경우 헬링거/피셔 메트릭의 투영 필터$지수$ 밀도 계열의 제곱근의 세타 $}^{1/2}}$는 가정된 밀도 ^[3]필터와 동일합니다.

밀도 p의 정규화되지 않은 버전에 대해 더 간단한 Zakai 방정식을 투영할 수도 있습니다.이 경우 Helinger 투영 필터는 동일하지만 직접 메트릭 투영 ^[6]필터는 다릅니다.

마지막으로, 지수 계열의 경우, dY\displaystyle dY_{t}, 즉 b(x) b(x)의 성분과 b(x) 2{{2}}에 관측 함수를 포함하면 필터링 알고리듬의 수정 단계가 정확해진다는 것을 알 수 있다.즉, 벡터 $필드$ $GG$의 투영이 정확하여 $GG$ 자체가 $생성$됩니다.연속 $상태$ $X$ X와$$ 이산 시간 $관측치$ $Y$Y가 있는 설정으로 필터링 알고리즘을 작성하면 관련 베이즈 공식이 ^[3]근사를 수반하지 않기 때문에 각 새로운 관측치의 보정 단계가 정확하다는 것을 알 수 있습니다.

이토 벡터 및 이토 제트 투영에 기초한 최적 투영 필터

이제 스트라토노비치 미적분 형태의 정확한 필터 SPDE를 고려하는 것보다, 이토 미적분 형태로 유지합니다.

${\displaystyle dp_{t}={t}^{*}p_{t}\dt+p_{t}[b(\cdot,t)-E_{p_{t}(b(\cdot,t)]^{T}[dY_{t}-E_{p_{t}}(b(\cdot,t))dt]}.$

위의 Stratonovich 투영 필터에서 벡터 $필드$ $FF$와 $GG$는 별도로 투영되었습니다.정의에 따라, 투영은 $FF$와 GG에$$ $대해$ 개별적으로 최적의 근사치이지만, 이것이 필터 SPDE 솔루션 전체에 대해 최상의 근사치를 제공한다는 것을 의미하지는 않습니다.실제로 FF와 GG 두 항에 개별적으로 작용하는 스트라토노비치 투영법은 작은 δ \delta에 대한 정확한 p0 + δ의 근사치로서 솔루션 p(⋅, θ 0 + δ) \delta의 최적성을 보장하지 않는다. \delta는 \cdot \dot \delta를 찾을 수 있다해결책에 적용, 그것을 위해.

$displaystyle \theta _{0+\theta}\timeout{mbox{argmin}_{\theta}\p_{0+\timeout}-p(\cdot,\theta)\}$

이토 벡터 투영은 다음과 같이 얻습니다.밀도 공간에 대한 표준을 선택하여 직접 메트릭 또는 헬링거 메트릭과 연관될 수 있는 ${\displaystyle \Vert }$ \$displaystyle$\ \ $cdot$\ $\}$을(를) 선택합니다.

${평균}_{}$ 제곱 오차에 대한 테일러 확장의 $\theta$\$deltat$ 항을 최소화(영점화하지 않음)하여$θ$ \$theta_{$t$$}에 대한 근사 이토 방정식에서 확산 항을 선택합니다.

${\displaystyle {Et}_{}}$[ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$0 + ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$t -${\displaystyle p}$ ( ${\displaystyle {}^{}}$ , ${\displaystyle {\theta }_{}}$0 + ${\displaystyle {\delta }_{}}$t ) ‖${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$]{\$displaystyle$ E_${t}[\ p_{0+\deltat}-p(\cdot,\theta$ _${0+\deltat})\^{2$

동일한 차이의${\displaystyle }$(${\displaystyle \theta {}^{}}$t ) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$\ $displaystyle (\deltat$)^{$2}}$항을$$ 최소화하는 근사 이토 방정식에서 드리프트 항 찾기.여기서$$${\displaystyle \delta }$ \$deltat$ 차수 항은 0이 아닌 최소화되며, ( $\delta$${\displaystyle {}^{}}$ 2$${\$deltat$(\$deltat)^{2$} 수렴을${\displaystyle }$얻지 못하고 오직 δ \$deltat$ 수렴만$$ 가능합니다.

이토 벡터 투영법의 또 다른 이점은 $\mathrm{다음}$과 같은 값의$δt$ \$deltat$에서 1차 테일러 확장을 최소화한다는 것입니다.

${\displaystyle \E[p_{0+\deltat}-p(\cdot,\theta_{0+\deltat})\ .}$

$\delta$ \$deltat 수렴$이 아닌 (${\displaystyle {\delta \mathrm{}}^{}}$)${\displaystyle {}^{}2}$\ $displaystyle (\ deltat)^{2}$ 수렴을$$ 달성하기${\displaystyle }$위해 이토제트 투영법이 도입되었습니다.그것은 미터법 투영의 개념에 기초합니다.

$다지관{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$$S_${\$$displaystyle$p\$$in L$^{2$}}($또는{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \in }$ $L2 {$ L$^{2$에 대한 $밀도{\displaystyle }$ p$$ ${\displaystyle {L2}^{}}$의 미터법 투영$Theta$}}($$또는 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1${\displaystyle {}_{}^{}}$/$$ {\$displaystyle S_{\)$${\displaystyle {세타\mathrm{}}_{}}$ $}^{1/2$는 Sθ의$가장$ 가까운 $점입니다.$$Theta$}}($$$또는{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1${\displaystyle {}_{}^{}}$/$$ {\$displaystyle S_{\)$$Theta }^{1/$2$\}\}$ ) $top$ p($$$또는\sqrt{}$p ${{sqrt {p$}}).$$$\pi$($p$) \$pi (p$로 표시합니다. 메트릭 투영은 정의상, 선택된 메트릭에 따라 S $θ \$ \ \ displaystyle $S_{\$에서 $p$를 $근사화$하기 위해 할 수 있는 최선입니다.$Theta$ 즉, 메트릭 투영에 가능한 한 가까운 투영 필터를 찾는 것입니다.즉, 기준${\displaystyle {\theta }_{}}$ 0 + ${\displaystyle {\delta }_{}}$ ${\displaystyle {\text{argmin}}_{}}$ ${\displaystyle \theta }$( ${\displaystyle {}_{0\mathrm{}}}$ + ${\displaystyle \delta {}_{}}$t${\displaystyle }$) -${\displaystyle p}$ ( ${\displaystyle \cdot }$ , )$$ . \$displaystyle$ \$theta _{$0+\$deltat}\approx$ \$mbox{argmin}}$_{\$theta}\pi(p_{$0+\$delta})-p(\cdot,\ta$)를 고려합니다$.$

${\displaystyle \mathrm{자세한}}$ 계산은 길고 힘들지만 ^[7]결과 근사치는 (${\displaystyle {\delta t\mathrm{}}^{}}$ 2${$ 수렴을${\displaystyle }$달성합니다.실제로, 이토 제트 투영은 다음과 같은 최적성 기준을 달성합니다.이것은 γ \deltat 차수 항을 0으로 하고, γ (p0 + γ) \delta}와 p (p_0 + \delta) 사이의 L2 L^{2}의 평균 제곱 거리에 대한 테일러 확장의 (γ) 2 \delta \delta} 차수 항을 최소화한다.

이토 벡터와 이토 제트 투영 모두 작은 ^[7]시간 동안 정확한 필터 진화에 가장 근접하는 매개 변수 ${\delta }_{}$\$theta_{t}$에 대해 관측 $dyY$에$$의해 구동되는 최종 SDE를 생성합니다.

적용들

존스와 소토(2011)는 시각 관성 항법, ^[12]매핑 및 현지화에서 온라인 추정을 위한 가능한 알고리듬으로 투영 필터를 언급하는 반면, 항법에서는 아지미-사드자디 및 크리슈나프라사드(2005)^[13]는 투영 필터 알고리듬을 사용합니다.프로젝션 ^[14]필터는 Lermusiaux 2006에 의해 해양 역학에 적용하기 위해 고려되었습니다.Kutschireiter, Rast 및 Drugowitsch(2022)^[15]는 연속적인 시간 순환 필터링의 맥락에서 투영 필터를 참조합니다.양자 시스템 응용의 경우, 양자 광학에 양자 투영 필터를 적용한 반 헨델과 마부치(2005)^[16]를 참조하여 광학 공동에서 강하게 결합된 2단계 원자의 광학 위상 쌍안정성의 양자 모델을 연구합니다.양자 시스템에 대한 추가 적용은 가오, 장 및 피터슨(2019)^[17]에서 고려됩니다.Ma, Zhao, Chen 및 Chang(2015)은 위험 위치 추정의 맥락에서 투영 필터를 참조하며, Vellekoop 및 Clark(2006)^[18]는 변화점 감지를 처리하기 위해 투영 필터 이론을 일반화합니다.Harrel, Meir 및 Opper(2015)^[19]는 신경 인코딩에 대한 응용 프로그램이 있는 최적의 포인트 프로세스 필터링에 가정된 밀도 형태의 투영 필터를 적용합니다.Broker와 Parlitz(2000)^[20]는 혼돈 시계열에서 노이즈 감소를 위한 투영 필터 방법을 연구합니다.Zhang, Wang, Wu 및 Xu(2014)는 추정 기법의 일부로 가우스 투영 필터를 적용하여 용융 비직조의 섬유 직경 측정을 처리합니다.

참고 항목

• 필터링 문제
• 일반화 필터링
• 비선형 필터
• 확장 칼만 필터
• 재귀적 베이지안 추정

레퍼런스