다중지수 표기법

Multi-index notation

다중지수 표기법은 순서가 정해진 지수의 튜플정수지수의 개념을 일반화함으로써 다변량 미적분, 부분 미분 방정식, 분포 이론에 사용되는 공식을 단순화하는 수학적 표기법이다.

정의 및 기본 속성

n차원 다중지수n투플이다.

이 아닌 정수(즉, 자연수 n차원 집합의 요소로서, 0 로 표시된다.

For multi-indices and one defines:

구성 요소별 합계와 차이
부분순서
성분 합계(절대값)
요인
이항 계수
다항계수
여기서 α N k
= n {\ x}^{1}^{1}^{12}^
고차부분파생상품
여기서 i i / x α i}^{}=\또한 4-13 참조). D = 라는 표기법도 사용된다.[1]

일부 응용 프로그램

다중 지수 표기법은 기초 미적분학에서 해당 다변량 사례로 많은 공식을 확장할 수 있다. 다음은 몇 가지 예다. In all the following, (or ), , and (또는 → R )

다항정리
다이항정리
참고로 x + y는 벡터이고 α는 다중 지수이므로 왼쪽의 식은 (x1 + y1)⋯(α1xn + y)⋯(x + yn)의 약칭이다.αn
라이프니즈 공식
부드러운 기능의 경우 f 및 g
테일러 시리즈
n개의 변수에 대한 분석 함수f는 다음과 같다.
사실, 충분히 매끄러운 기능을 위해, 우리는 비슷한 테일러 확장을 가지고 있다.
여기서 마지막 용어(남은 용어)는 테일러의 공식의 정확한 버전에 따라 달라진다. 예를 들어, Cauchy 공식(적분 잔차 포함)의 경우,
일반 선형 부분 미분 연산자
공식 선형 N번째 순서 부분 미분 연산자는 n 변수에 다음과 같이 기록된다.
부품별 통합
경계 도메인 R 에서 콤팩트하게 지원되는 부드러운 기능의 경우
이 공식은 분포취약한 파생상품의 정의에 사용된다.

예시 정리

, N n 이(가) 다중 지수와 =( , , ){\.

증명

증명은 일반 파생 모델에 대한 전원 규칙에서 따르며, αβ가 {0, 1, 2, …}에 있으면 다음과 같다.

(1)

Suppose , , and . 그럼 우리에겐 그런게 있지

{1, …, n}의 각 i에 대해 함수 x 에만 의존하며 위의 경우 각 부분분화 //\ 따라 해당 일반분화 / d / d / d / d/ 표시 스타일 d/dx_{i 따라서 등식 (1)부터 x {\ αi > βi {1, …, n}에서 하나 이상 사라지면 소멸된다. 만약 이것이 아니라면, 즉 αβ를 다중 지수로 하는 경우,

대해 정리가 뒤따른다. Q.E.D.

참고 항목

참조

  1. ^ Reed, M.; Simon, B. (1980). Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I (Revised and enlarged ed.). San Diego: Academic Press. p. 319. ISBN 0-12-585050-6.
  • 세인트 레이먼드, 사비에르(1991) 유사추상 연산자 이론의 기초 소개. CHAP 1.1. CRC 프레스. ISBN 0-8493-7158-9

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨라이크 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 파워에 대한 다중 인덱스 파생 자료가 통합되어 있다.