선형 조합

Linear combination

수학에서, 선형 결합은 각 항에 상수를 곱하고 결과를 더함으로써 일련의 항으로 구성된 이다. (예를 들어, x와 y의 선형 결합은 ab[1][2][3][4]상수인 ax + by 형식의 표현일 것이다.)선형 조합의 개념은 선형 대수학과 수학의 관련 분야의 중심이다.이 기사의 대부분은 필드 위의 벡터 공간의 맥락에서 선형 조합을 다루고 있으며, 기사의 마지막에 몇 가지 일반화가 제시되어 있다.

정의.

V를 필드 K 위의 벡터 공간이라고 하자.평소처럼 V 벡터의 요소, K 스칼라의 요소라고 부릅니다.v,...vn 벡터이고1 a,...an 스칼라일 경우1 이들 벡터와 계수의 스칼라와의 선형 조합은 다음과 같다.

"선형 결합"이라는 용어의 사용에는 표현식을 참조하는지 또는 그 값을 참조하는지 여부에 대한 애매한 부분이 있습니다.대부분의 경우 "v,...vn 모든1 선형 조합 집합은 항상 부분 공간을 형성한다"는 어설션에서와 같이 값이 강조된다.그러나 "두 개의 서로 다른 선형 조합이 동일한 값을 가질 수 있습니다"라고 말할 수도 있습니다. 이 경우 이 표현식에 대한 참조가 됩니다.이들 용도의 미묘한 차이는 선형 의존성의 개념의 본질이다. 즉, F에 있는 벡터들의 어떤 선형 조합도 (값으로서의) 독특하게 (표현으로서의) 경우 F는 정확하게 선형 독립적이다.어떤 경우에도 표현식으로 볼 때 선형 조합에 대한 중요한 것은 i v의 계수입니다. 항을 허용하거나 계수가 0인 항을 추가하는 것과 같은 사소한 수정은 뚜렷한 선형 조합을 생성하지 않습니다.

주어진 상황에서는 K와 V를 명시적으로 지정하거나 컨텍스트에서 명확하게 지정할 수 있습니다.이 경우, 우리는 종종 벡터1 v, …, vn 선형 조합에 대해 언급하지만, 계수는 지정되지 않았다(K에 속해야 한다).또는 S가 V의 부분 집합인 경우, S에서 벡터의 선형 조합을 말할 수 있습니다. 여기서 벡터는 집합 S에 속해야 하며 계수는 K에 속해야 합니다.마지막으로, 우리는 간단히 선형 조합을 말할 수 있는데, 여기서 아무것도 명시되지 않았다(벡터는 V에 속해야 하고 계수는 K에 속해야 한다). 이 경우 V의 모든 벡터는 확실히 어떤 선형 조합의 값이기 때문에 아마도 식을 참조하고 있을 것이다.

정의상 선형 조합에는 최종적인 수의 벡터만 포함됩니다(아래의 일반화에 설명되어 있는 경우는 제외).그러나 벡터가 추출된 집합 S는 여전히 무한할 수 있습니다. 각 개별 선형 조합은 완전히 많은 벡터만 포함합니다.또한 n이 0일없는 이유는 없습니다. 이 경우, 우리는 관례에 따라 선형 조합의 결과가 V의 0 벡터임을 선언합니다.

예와 반례

유클리드 벡터

필드 K를 실수의 집합 R로 하고 벡터 공간 V를 유클리드 공간3 R로 하자.e12 = (1,0,0), e = (0,1,0)e3 = (0,0,1) 벡터를 고려합니다.R3 벡터는 e, e2, e3 선형1 조합입니다.

R에서 임의3 벡터(a1,a2,a3)를 취하여 다음과 같이 적습니다.

기능들

K를 모든 복소수 집합 C로 하고, V를 실선 R에서 복소 평면 C에 이르는 모든 연속 함수의 집합C C(R)로 한다.f(t) := eitg(t) := eit 정의되는 벡터 f 및 g를 생각해 보자. (여기서 e는 자연 로그의 밑부분인 약 2.71828...이고 i는 -1의 제곱근인 상상의 단위이다.)f와 g의 선형 조합은 다음과 같습니다.

한편, 상수 함수 3은 f와 g의 선형 조합이 아니다.이를 확인하기 위해 3을 eit e의 선형it 조합으로 쓸 수 있다고 가정합니다.이는 모든 실수 t에 대해 aeit + 3이 되도록 복잡한it 스칼라 a와 b가 존재함을 의미한다.t = 0 t = gives를 설정하면 a + b = 3a + b = -3 방정식이 제공되며, 이는 분명히 발생할 수 없습니다.오일러의 정체를 보세요.

다항식

K를 R, C 또는 임의의 필드라고 하고, V를 필드 K에서 가져온 계수를 갖는 모든 다항식집합 P라고 하자.벡터(차분) p1 := 1, p2 := x + 1, p := x2 + x + 13 고려합니다.

다항식2 x - 1은 p, p2, p3 선형1 조합입니까?이 벡터들의 임의의 선형 조합을 고려해서 원하는2 벡터 x - 1과 언제 일치하는지 확인해보십시오. 임의1 계수 a2, a3, a, a를 선택합니다.

다항식을 곱하면

x의 거듭제곱을 취합하면

두 다항식은 대응하는 계수가 같을 경우에만 동일하므로 다음과 같이 결론을 내릴 수 있습니다.

이 선형 방정식은 쉽게 풀 수 있다.첫째, 첫 번째 방정식은 a가 1이라는 것을 알고3 있으면 두 번째 방정식2 -1을 풀 수 있다.마지막으로, 마지막 방정식은 a도 -1임을 나타냅니다1.따라서 선형 조합을 얻을 수 있는 유일한 방법은 이러한 계수를 사용하는 것입니다.실제로.

x2 - 1은 p, p2, p3 선형1 조합입니다.

반면에, 다항식3 x - 1은 어떤가요?이 벡터를 p, p2, p3 선형1 조합으로 만들려고 하면 이전과 같은 과정을 따라 방정식을 얻을 수 있습니다.

그러나, 이 경우에 대응하는 계수를 동일하게 설정하면, x에 대한3 방정식은

항상 거짓이죠따라서 이 방법은 사용할 수 없으며3 x - 1은 p, p2 3 p의 선형1 조합이 아닙니다.

선형 스팬

임의의 필드 K, 임의의 벡터 공간 V를 취하여 v, ...,vn 벡터(V 단위)로 한다1.이 벡터들의 모든 선형 조합의 집합을 고려하는 것은 흥미롭다.이 집합을 벡터의 선형 스팬(또는 그냥 스팬)이라고 합니다(: S = {v1, ..., vn). S의 스팬을 스팬(S)[5][6] 또는 sp(S)로 씁니다.

선형 독립성

벡터1 v,...vn 일부 집합에서 단일 벡터가 두 가지 다른 방법으로 이들의 선형 조합으로 쓰여질 수 있다고 가정합니다.

이 값은 다음 값( : - b \ c { i : =_ { } - _ { } )을 뺀 [7][8]값입니다.

이것1 가능하다면, vn, ...,v는 선형 의존이라고 불리고, 그렇지 않으면 선형 독립이다.마찬가지로, 우리는 벡터들의 임의의 집합 S의 선형 의존성 또는 독립성에 대해 말할 수 있다.

S가 선형 독립적이고 S의 스팬이 V이면 S는 V기준이다.

아핀, 원뿔 및 볼록 조합

선형 조합에 사용되는 계수를 제한함으로써 아핀 조합, 원뿔 조합 볼록 조합의 관련 개념과 이러한 연산 하에서 닫힌 집합의 관련 개념을 정의할 수 있다.

조합의 종류 계수에 대한 제한 집합명 모델 공간
선형 조합 제한 없음 벡터 부분 공간
아핀 조합 아핀 부분공간 아핀 초평면
원추형 조합 볼록 원뿔 사분면, 팔분면 또는 직교
볼록 조합 0) i a_}=1} 볼록 집합 심플렉스

이것들은 보다 제한된 연산이기 때문에, 더 많은 서브셋이 그 아래에서 닫히기 때문에, 아핀 부분 집합, 볼록 원뿔 및 볼록 집합은 벡터 부분 공간의 일반화입니다. 벡터 부분 공간도 아핀 부분 공간, 볼록 원뿔 및 볼록 집합이지만, 볼록 집합은 벡터 부분 공간, 아핀 또는 볼록 원뿔일 필요는 없습니다.

이러한 개념은 어떤 것이 아닌 특정 개체의 선형 조합을 취할 수 있을 때 종종 발생한다. 예를 들어 확률 분포는 볼록한 조합에서 닫히지만 원뿔 또는 아핀 조합(또는 선형)은 아니며, 의 척도는 원뿔 조합에서 닫히지만 아핀 또는 선형은 아니다. 따라서 하나의 방어부호 있는 측정값을 선형 폐쇄로 입력한다.

선형 및 아핀 조합은 임의의 필드(또는 링)에 걸쳐 정의할 수 있지만 원추형 및 볼록형 조합은 ""의 개념을 필요로 하므로 순서 필드(또는 순서 ), 일반적으로 실수에 대해서만 정의할 수 있습니다.

덧셈이 아닌 스칼라 곱셈만 허용하면 (꼭 볼록하지는 않은) 원뿔을 얻게 된다. 종종 정의를 양의 스칼라에 의한 곱셈만 허용하도록 제한한다.

이러한 모든 개념은 독립적으로 공리화되지 않고 주변 벡터 공간의 부분 집합으로 정의된다(원점을 잊은 벡터 공간으로도 간주되는 아핀 공간 제외).

오퍼라드 이론

더 추상적으로, 오퍼라드 이론의 언어로, 벡터 공간을 Rδ(\^{\ 위의 대수라고 생각할 수 있다. (무한 직합, 따라서 으로는 많은 항만이 0이 아니다; 이것은 벡터 조합을 변수화하는 것에 해당한다5,, )(를 들어, {2, 3, 0, \ 선형 2 1+ v - v+ 0 4 +{ 2 \ { \ { } _ { } _ { { 2 . 5 \ } ) _ 0 } ) _ 0 f 。각각 항이 1이고, 모든 항이 음이 아닌 경우 또는 둘 다인 하위 연산자에 해당하는 양이온입니다.그래피컬로는 무한 아핀 하이퍼플레인, 무한 하이퍼옥탄트 및 무한 심플렉스입니다.는 R \ being 또는 표준 단순체가 모델 공간임을 의미하며, 모든 경계 볼록 폴리토프가 단순체의 이미지라는 관찰을 공식화한다.여기서 하위 연산자는 더 제한된 연산자이며 따라서 더 일반적인 이론에 해당합니다.

이러한 관점에서, 우리는 선형 결합을 벡터 공간에서의 가장 일반적인 종류의 연산이라고 생각할 수 있다 – 벡터 공간이 선형 결합의 연산자 위에 있는 대수라고 하는 것은 정확히 벡터 공간에서 가능한 모든 대수 연산이 선형 결합이라는 진술이다.

덧셈과 스칼라 곱셈의 기본 연산은 가법적 동일성 및 가법적 역의 존재와 함께 일반 선형 결합보다 더 복잡한 방법으로 결합될 수 없습니다. 기본 연산은 모든 선형 결합의 연산자를 위한 생성 집합입니다.

궁극적으로, 이 사실은 벡터 공간 연구에서 선형 결합의 유용성의 핵심에 있다.

일반화

V가 위상 벡터 공간인 경우 V의 위상을 사용하여 특정 무한 선형 조합을 이해할 수 있는 방법이 있을 수 있습니다.예를 들어 av + av22 + av33 + ,이 영원하다고 말할11 수 있습니다.이러한 무한 선형 조합이 항상 이치에 맞는 것은 아닙니다.이러한 조합이 있으면 수렴이라고 부릅니다.이 경우 더 많은 선형 조합을 허용하면 스팬, 선형 독립성 및 기준의 개념이 달라질 수 있습니다.위상 벡터 공간의 다양한 맛에 대한 기사는 이에 대해 더 자세히 설명합니다.

K가 필드가 아닌 가환환일 경우 선형 조합에 대해 위에서 설명한 모든 내용은 이 경우 변경되지 않고 일반화됩니다.유일한 차이점은 벡터 공간이 아니라 이 V 모듈과 같은 공간을 호출한다는 것입니다.K가 비변환 링인 경우에도 개념은 일반화되어 다음 주의사항이 있습니다.비대칭 링을 사용한 모듈은 좌우 버전으로 제공되기 때문에 이러한 버전의 어느 쪽이든 해당 모듈에 적합한 것으로 선형 조합이 제공될 수 있습니다.이것은 단순히 올바른 방향으로 스칼라 곱셈을 하는 것의 문제입니다.

복잡한 반전은 V가 KR K라는 L 개의 링 위에 있는 바이모듈일 때 발생합니다.이 경우, 가장 일반적인 선형 조합은 다음과 같습니다.

여기1 a,…an KL, b1, …,bnn KR,v1 V에 속한다.

어플

선형 조합의 중요한 적용은 양자역학에서 함수파동시키는 것이다.

「 」를 참조해 주세요.

인용문

  1. ^ Stren (2016) 페이지 3, § 1.1
  2. ^ 레이, 레이 & 맥도날드 (2016) 페이지 28, ch.1
  3. ^ Axler (2015) 페이지 28, § 2.3
  4. ^ nLab (2015) 선형 조합.
  5. ^ Axler (2015) 페이지 29-30, § 2.5, 2.8
  6. ^ Katznelson & Katznelson (2008) 9페이지, © 1.2.3
  7. ^ Axler (2015) 페이지 32-33, § 2.17, 2.19
  8. ^ Katznelson & Katznelson (2008) 페이지 14, © 1.3.2

레퍼런스

교재

  • Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
  • Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
  • Lay, David C.; Lay, Steven R.; McDonald, Judi J. (2016). Linear Algebra and its Applications (5th ed.). Pearson. ISBN 978-0-321-98238-4.
  • Strang, Gilbert (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-7-6.

외부 링크