범주의 등가성

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추상 수학의 한 분야인 범주 이론에서 범주의 등가성은 이러한 범주가 "본질적으로 동일하다"고 확립하는 두 범주 사이의 관계다.수학의 많은 영역에서 나온 범주형 동등성의 예는 수없이 많다.등가성을 확립하는 것은 관련된 수학 구조들 사이의 강한 유사성을 증명하는 것을 포함한다.어떤 경우에, 이러한 구조들은 피상적이거나 직관적인 수준에서 관련이 없어 보여서 개념을 상당히 강력하게 만들 수도 있다: 그것은 다른 종류의 수학 구조들 사이에서 이론들을 "전환"할 수 있는 기회를 만들어내며, 그러한 이론들의 본질적인 의미가 번역 아래 보존되어 있다는 것을 알고 있다.

어떤 범주가 다른 범주의 반대(또는 이중)와 동일하다면, 어떤 범주의 이중성을 말하고, 두 범주는 사실상 동일하다고 말한다.

범주의 등가성은 관련 범주 간의 펑터로 구성되며, 여기에는 "역행" 펑터가 있어야 한다.그러나 대수적 설정에서 이형성에 공통적인 상황과는 대조적으로 펑터와 그 "역행"의 합성어가 반드시 아이덴티티 맵핑은 아니다.대신에 각 물체는 이 구성 하에서 그 이미지와 자연적으로 이질성이 있는 것으로 충분하다.따라서 어떤 이는 펑거품을 "이형성에 반하는" 것으로 묘사할 수 있다.엄격한 형태의 역 functor가 요구되는 범주의 이형성 개념이 실제로 존재하지만, 이것은 동등성 개념보다 훨씬 덜 실용적이다.

정의

형식적으로 범주 C와 D의 두 가지 범주를 주어, 범주의 동등성은 펑터 F : C → D, 펑터 G : D → C, 그리고 두 개의 자연 이형성 ε: FG→I와_D η : I_C→GF로 구성된다.여기서 FG : D→D와 GF : C→C는 F와 G의 각각의 구성을 나타내며, I_C : C→C와_D I : D→D는 C와 D에 있는 정체성 펑커를 나타내며 각 물체와 형태론을 자신에게 할당한다.만약 F와 G가 상반된 functor라면, 그 대신에 범주의 이중성을 말한다.

위의 데이터를 모두 명시하지 않는 경우가 많다.예를 들어 범주 C와 D 사이에 동등성(존중 이중성)이 존재한다면 범주 C와 D는 동등(존중하게 동등함)하다고 말한다.더욱이, 위와 같은 역 functor G와 자연 이형성이 존재한다면 F는 범주의 등가성이라고 우리는 말한다.그러나 F에 대한 지식은 일반적으로 G와 자연 이형성을 재구성하기에 충분하지 않다는 점에 유의하십시오: 많은 선택이 있을 수 있다(아래 예 참조).

대체 특성화

functor F : C → D는 다음과 같은 경우에만 범주의 동등성을 산출한다.

• 완전(full, 즉 C의 두 물체 c와₁ C에₂ 대해 F가 유도한 Hom_C(c₁,c₂) → Hom_D(Fc₁,Fc₂)은 굴절적이다.
• 충실한, 즉 C의 어떤 두 물체 c와₁ C에 대해₂ F가 유도한 Hom_C(c₁,c₂) → Hom_D(Fc₁,Fc₂) 지도는 주입식이다.
• 본질적으로 허탈적(감각), 즉 D의 각 물체는 C의 C에 대해 Fc 형식의 물체에 이형성이 있다.^[1]

FG, GF, ID 펑터 사이의 "역행" G와 자연 이형성을 명시적으로 구성할 필요가 없기 때문에 이것은 상당히 유용하고 일반적으로 적용되는 기준이다.한편, 위의 성질은 범주적 등가성의 존재를 보증하지만(기본 세트 이론에서 선택의 공리의 충분히 강한 버전을 감안할 때), 결측 데이터는 완전히 명시되지 않으며, 종종 많은 선택사항이 있다.가능하면 누락된 공사를 명시적으로 지정하는 것이 좋다.이러한 환경 때문에 이러한 성질을 가진 펑터를 범주의 약한 등가성이라고 부르기도 한다.(불행히도 이것은 호모토피 타입 이론의 용어들과 상충된다.)

또한 보조 펑커스 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⊣}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F\dashv G}$의 개념과도 밀접한 관계가 있는데$,$ 여기서 $우리$는 F${\displaystyle }$: C${\displaystyle }$→ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F:$라고 말한다.$C\오른쪽$ 화살표 $D}$은(는) ${\displaystyle G}$ :${\displaystyle }$D${\displaystyle }$→ C$${\$displaystyle G:D\오른쪽$ 화살표 $C$의 왼쪽 연결점 또는 마찬가지로 G는 F의 오른쪽 연결점이다.${\displaystyle 그}$ 다음, F${\displaystyle }$equivalent G {\$displaystyle F\dashv$ G$}$과 F와 G가 모두 충만하고 충실한 경우에만 C와 D는 동등하다(FG에서 I로_D, I에서_C GF로 자연 이형성이 존재한다는 점에서 정의한 바와 같다).

부선자 $F{\displaystyle }$⊣ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F\dashv G}$이(가) 충만하고 충실한 것이 아닐$$ 때, 우리는 부선자 관계를 범주의 "약한 형태의 동등성"을 표현하는 것으로 볼 수 있다.결합에 대한 자연적 변환이 주어진다고 가정할 때, 이 모든 공식은 필요한 데이터의 명시적 구성을 허용하며, 선택 원칙은 필요하지 않다.여기서 증명해야 할 핵심 속성은, 만일 올바른 연관이 충만하고 충실한 방조자일 경우에만, 부속의 상담이 이형사상이라는 것이다.

예

• 단일 개체 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$과$($와) 단일 형태론 1 $c{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 갖는$$ 범주 $C{\displaystyle }$${\displaystyle D}$과(와) 두 개체 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $d_$${1$ $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 및$$ 네 개의 형태: 두 개의 $ID{\displaystyle }$ 형태론을 갖는 범주$$ D를 $고려$하십시오.${\displaystyle {d_{}}_{}}$ ${\$1}:{$d_$${$$1$$\}\},$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$ d 2 ${\$2}}, $2개$의 이소모픽 $\alpha {\displaystyle }$: ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $d_{2$}}, $\beta {\displaystyle }$: d${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ →$$ = $d_{d_{$2}\$displaystyleasestylease$ stylease stylease stylease stylease stylease stylease stylease stylease d$.$범주 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$과 D ${\displaystyle$ $D$$}$은(예:) 동등하며$$, $F{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle c}$에서 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$까지 ${\$ $d_$${1}$및$$ G ${\displaystyle G}$의 $두{\displaystyle }$ 객체 모두 ${\displaystytyc}$과 모든 형태들을 매핑할 수 있다.o ${\displaystyle 1_{}}$ $c{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$
• 대조적으로 단일 개체와 단일 형태론을 갖는 $범주$ C ${\displaystyle C}$은(는) 두 개체와 두 개의 ID 형태만 있는$$ 범주 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$과(와) 같지 않다.$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에 있는 두 물체는 그들 사이에 형태변형이 없다는 점에서 이형성이 아니다.따라서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에서 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$까지의 모든 functor는 본질적으로 허탈하지 않을 것이다$$.
• Consider a category ${\displaystyle C}$ with one object ${\displaystyle c}$, and two morphisms ${\displaystyle 1_{c},f\colon c\to c}$. Let ${\displaystyle 1_{c}}$ be the identity morphism on ${\displaystyle c}$ and set ${\displaystyle f\circ f=1}$. Of course, ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$은(는) 그 자체와 동등하며, $펑터{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$와 자기 자신 사이에 필요한 자연 이형성 대신$$ 1 ${\displaystyle c_{}}$ ${\$를 취함으로써 나타낼 수 있다.그러나 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) ${\displaystyle {}_{}}$ C ${\$에서 저절로$$ 자연 이형성을 산출하는$$ 것도 사실이다.따라서 식별 펑터가 범주의 등가성을 형성한다는 정보를 고려할 때, 이 예에서는 여전히 각 방향에 대해 두 개의 자연 이형성 중 하나를 선택할 수 있다.
• 세트와 부분함수의 범주는 점 세트와 점보존 맵의 범주와 이형성이 동일하지만, 동일하지는 않다.^[2]
• 유한 차원 실제 벡터 공간의 $범주$ C ${\$${\displaystyle displaystyle\mathbb{}}$ $C},$ 모든 실제 행렬의 $범주$ D${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{M}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ t${\displaystyle }$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ D$=\matrixmatrix(\mathb {R}$ )를 고려하십시오$($후자 범주는 가법 범주에 대한 기사에서 설명됨).$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$과 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은(는) 동일하다.The functor ${\displaystyle G\colon D\to C}$ which maps the object ${\displaystyle A_{n}}$ of ${\displaystyle D}$ to the vector space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ and the matrices in ${\displaystyle D}$ to the corresponding linear maps is full, faithful and essentially surjective.
• 대수 기하학의 중심 테마 중 하나는 아핀 체계 범주의 이중성과 정류 고리의 범주에 있다.Functor $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은 링의 주요 이상에 의해 정의된 체계인 모든 정류 링과 그 스펙트럼을 연관시킨다$$.그것의 부호 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$는 모든 부속 문서와$$ 연관되어 있다.
• 기능 분석에서 아이덴티티를 가진 교감 C*-알게브라의 범주는 반비례적으로 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주와 동일하다.이 이중성 아래에서 모든 콤팩트한 하우스도르프 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$은$($는$)$ X {\$displaystyle X}$의 연속적인 복합 가치 함수의 대수학과 연관되며$$, 모든 상호 작용적인 C*-algebra는 그 최대 이상 공간과 연관된다.이것은 Gelfand의 대표작이다.
• 격자 이론에서, 특정 등급의 격자를 위상학적 공간의 등급에 연결하는 표현 이론에 기초하여 다수의 이중성이 있다.아마도 이런 종류의 가장 잘 알려진 정리는 스톤이 부울 알헤브라에 대한 대표 정리일 것인데, 스톤 이중성의 일반적인 체계 안에서 특별한 예일 것이다.각 Boolean $대수{\displaystyle }$B {\$displaystyle$ B$}$은(는)$$B {\$displaystyle$ B$}$의 울트라필터 집합의 특정 위상에 매핑된다$$$.$ 반대로 어떤 위상에 대해서도 Clopen(즉, 닫히고 열린) 하위 집합은 Boolean 대수값을 산출한다.부울 알헤브라의 범주(동형성)와 스톤 공간(연속 매핑) 사이의 이중성을 얻는다.스톤 이중성의 또 다른 예는 버크호프의 표현 정리로서 유한 부분 순서와 유한 분배 격자 사이의 이중성을 명시하고 있다.
• 무의미한 토폴로지에서 공간적 로케스의 범주는 정상적 공간 범주의 이중과 동등한 것으로 알려져 있다.
• 두 개의 링 R과 S에 대해 제품 범주 R-ModxS-Mod는 (R×S)-Mod와 동일하다.^{[citation needed]}
• 어떤 범주라도 그것의 골격과 같다.

특성.

경험의 법칙으로서, 범주의 동등성은 모든 "범주적" 개념과 속성을 보존한다.F : C → D가 동등하다면, 다음 문장은 모두 참이다.

• C의 개체 C는 초기 개체(또는 터미널 개체 또는 0 개체)이며, Fc가 D의 초기 개체(또는 터미널 개체 또는 0 개체)인 경우에만 해당된다.
• C에서 형태론 α는 단형주의(또는 인식주의, 또는 이형주의)이며, 만약 Fα가 D에서 단형주의(또는 인식주의, 또는 이형주의)인 경우만 해당한다.
• functor H : I → C는 functor FH : I → D가 limit (또는 colimit) Fl이 있는 경우에만 제한 (또는 colimit) l이 있다.이것은 이퀄라이저, 제품 및 공동 생산물에 적용할 수 있다.그것을 커널과 코커넬에 적용하면 등가성 F는 정확한 functor임을 알 수 있다.
• C는 D가 Cartesian Clos(또는 Topos)인 경우에만 데카르트 폐쇄 범주(또는 토포스)이다.

이중성은 "모든 개념을 돌려놓는다": 그것들은 초기 사물을 단자체로, 단형성을 인식으로, 커널을 코커넬로, 한계 등을 의미한다.

F : C → D가 범주의 등가성이고 G와₁ G가₂ F의 2 invers라면 G와₁ G는₂ 자연적으로 이형성이 된다.

F : C → D가 범주의 등가물이고, C가 가법전 범주(또는 가법 범주 또는 아벨 범주)인 경우, F가 가법전 범주(또는 가법 범주, 또는 아벨 범주)로 바뀔 수 있다.반면에, 첨가제 범주들 간의 모든 등가성은 반드시 부가적이다. (참고 후자의 문장은 첨가제 이전 범주들 사이의 등가물에 대해서는 사실이 아니다.)

범주 C의 자동 등가치는 등가 F : C → C이다.C의 자동 등가성은 우리가 자연적으로 이형성이 있는 두 개의 자동 등가성을 동일하다고 생각한다면 구성 중인 그룹을 형성한다.이 그룹은 C의 필수적인 "대칭성"을 포착한다(한 가지 주의사항: C가 작은 범주가 아닌 경우 C의 자동 등가성은 집합이 아닌 적절한 등급을 형성할 수 있다).

참고 항목

• 수학 구조의 등가 정의

참조

• nLab에서 범주의 동등성
• "Equivalence of categories", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the working mathematician. New York: Springer. pp. xii+314. ISBN 0-387-98403-8.