정규 표현
Regular representation수학, 특히 집단표현 이론에서, 그룹 G의 규칙적인 표현은 G의 집단행동이 스스로 번역에 의해 제공하는 선형표현이다.
하나는 왼쪽 정규 표현 representation이 왼쪽 번역에 의해 주어지는 것과 오른쪽 번역의 역에 의해 주어지는 오른쪽 정규 표현 distinguishes을 구별한다.
유한군
유한집단 G의 경우, 왼쪽 정규표현 λ (필드 K 위에)은 G의 요소에 의해 자유롭게 생성되는 K-벡터 공간 V에 대한 선형표현이다. 즉, 그것들은 V의 기초로 식별할 수 있다. g g G, λ은g g에 의한 왼쪽 번역에 의해 그 작용에 의해 결정되는 선형지도이다.
올바른 정규 표현 ρ의 경우 표현 공리를 만족시키기 위해 역전이 일어나야 한다.구체적으로는 g g G에 주어진 ρ은g g에−1 의한 올바른 번역, 즉 g에 의한 올바른 번역에 근거한 그것의 작용에 의해 결정되는 V의 선형 지도다.
또는 모든 함수 G → K의 K-벡터 공간 W에서 이러한 표현을 정의할 수 있다. 이 형식에서 정규표현은 Lie 그룹과 같은 위상학 그룹으로 일반화된다.
W에 관한 구체적인 정의는 다음과 같다.함수 f : G → K와 원소 g g G가 주어지면
그리고
그룹의 정규 표현에 대한 유의성
모든 G 그룹은 번역에 의해 스스로 행동한다.이 동작을 순열 표현으로 간주하면 단일 궤도를 가지고 G의 ID 하위 그룹 {e}을(를) 안정화시키는 것으로 특화된다.주어진 필드 K에 대해 G의 정규 표현은 이 순열 표현을 K에 대한 벡터 공간의 기본 벡터 집합으로 취함으로써 이루어진 선형 표현이다.중요한 것은 순열 표현은 분해되지 않지만 - 그것은 전이적이다 - 일반적으로 정규 표현은 더 작은 표현으로 분할된다는 것이다.예를 들어 G가 유한집단이고 K가 복합수분야인 경우 정규표현은 수정불가표현의 직접합으로 분해되며, 각 수정불가표시는 그 차원을 곱하여 분해에 나타난다.이러한 비확산물의 수는 G의 결합 등급의 수와 같다.
위의 사실은 성격 이론으로 설명할 수 있다.정규표현 ((g)의 문자는 정규표현 V에 작용하는 g의 고정점수임을 상기한다.고정점수 χ(g)는 g가 id가 아닐 때 0이고, 그렇지 않을 경우 G를 의미한다.렛 V는 분해 vaV를ii 가지며, 여기서 V는i G를 다시 설명할 수 없는 표현이고i, a는 해당 승수다.성격 이론에 의해 a를i 다음과 같이 계산할 수 있는 다중성
which means the multiplicity of 각각의 불가해한 표현은 그것의 차원이다.
그룹 링에 관한 기사는 유한집단에 대한 정규표현을 기술하고 있으며, 정규표현이 모듈로 어떻게 받아들여질 수 있는지를 보여준다.
모듈 이론 관점
좀 더 추상적으로 말하면 그룹 링 K[G]는 스스로 모듈로 간주된다.(여기서는 좌행 또는 우행의 선택이 있지만, 그것은 표기법 외에는 중요하지 않다.)G가 유한하고 K의 특성이 G를 나누지 않는다면, 이것은 반이행 고리로서 우리는 그것의 왼쪽(오른쪽) 고리 이상을 보고 있는 것이다.이 이론은 매우 심층적으로 연구되어 왔다.특히 정규표현의 직접합분해에는 K에 대한 G의 수정불가능한 선형표현의 모든 이형성계급의 대표성이 포함되어 있는 것으로 알려져 있다.정규표현이 표현이론, 이 경우 포괄적이라고 할 수 있다.K의 특성이 G를 분할할 때 모듈형 케이스는 주로 K[G]가 반이 구현되지 않은 상태에서 표현은 직접 합으로 분할하지 않고 다시 해석할 수 없기 때문에 더 어렵다.
유한 순환군 구조
n 순서의 g에 의해 생성되는 순환군 C의 경우, 곱셈에 의해 K[C]에 작용하는 K[C] 요소의 행렬 형태는 자연적 근거를 참조할 때, 순환 행렬이라고 알려진 독특한 형태를 취하는데, 이 행렬은 각 행이 위의 행의 오른쪽으로 이동한다(즉, 왼쪽의 가장 오른쪽 원소가 나타나는 순환 순서).
- 1, g, g2, ..., gn−1.
필드 K에 원시적인 n번째 단결의 루트가 포함되어 있을 때, 모든 n×n 순환체에 대해 n개의 선형 독립적 동시 고유 벡터를 적음으로써 C의 표현을 대각선으로 할 수 있다.사실 ζ이 통일의 n번째 근원이면 원소는
- 1 + ζg + ζ2g2 + ...+ ζn−1gn−1
고유값을 갖는 곱셈에 의한 g의 작용에 대한 고유 벡터
- ζ−1
g의 모든 힘과 그 선형 결합의 고유 벡터.
이것은 이 추상적 결과의 경우 K의 특성(초기수 p일 경우)이 G의 순서를 나누지 않는다면 대수적으로 닫힌 필드 K(복잡한 숫자 등)에 대해 G의 정규표현이 완전히 축소될 수 있다는 명시적 형식이다.그것을 마슈케의 정리라고 한다.이 경우 특성의 조건은 원시적 n번째 통합의 근원이 존재한다는 것으로 함축되어 있는데, 이는 원시적 특성 p가 n을 나누는 경우 발생할 수 없다.
순환 결정요인은 19세기 수학에서 처음 만났고, 그들의 대각선의 결과는 도출되었다.즉, 순환제의 결정 인자는 위에서 설명한 n 고유 벡터에 대한 n 고유값의 산물이다.그룹표현에 관한 프로베니우스의 기본적인 작업은 유한 G에 대한 그룹 결정요인의 유사 인자, 즉 G에서 주어진 기본 요소에 따라 곱셈에 의해 작용하는 K[G]의 요소를 나타내는 임의 행렬의 결정요인을 찾으려는 동기에서 시작되었다.G가 아벨리안인 경우를 제외하고, 인자화에는 G 도 > 1의 불가역적 표현에 해당하는 비선형 인자가 포함되어야 한다.
위상군 케이스
위상학 그룹 G의 경우, 위의 의미에서의 정규 표현은 G의 적절한 함수 공간으로 대체되어야 하며, G는 번역에 의해 작용해야 한다.컴팩트 케이스는 피터-와일 정리를 참조하십시오.G가 리 그룹이지만 콤팩트하지도 아벨도 아니라면 이것은 조화 분석의 어려운 문제다.국지적으로 콤팩트한 아벨의 경우는 폰트랴긴 이원론(Pontrygin duality 이론의 일부분이다.
갈루아 이론의 일반적 근거
갈루아 이론에서 필드 L과 L의 자동화 유한군 G의 경우 G의 고정된 필드 K는 [L:K] = G. 사실 더 말할 수 있다: K[G]-모듈로 보는 L이 정규 표현이다.이것은 정상 기준 정리의 내용이며, G에서 g에 대한 g(x)가 K에 대한 벡터 공간 기초가 되는 L의 요소 x이다.그런 x가 존재하며, 각각 L에서 K[G]까지 K[G] 이형성을 부여한다.대수적 수 이론의 관점에서 볼 때, 우리가 L과 K를 그들이 포함하는 대수적 정수의 링으로 대체하려고 하는 일반적인 적분 베이스를 연구하는 것이 흥미롭다.가우스 정수의 경우 그러한 기초가 존재하지 않을 수 있다는 것을 이미 알 수 있다: + bi와 - bi는 1이 정수 조합이 될 수 없기 때문에 Z[i]의 Z-모듈 기준을 형성할 수 없다.그 이유는 갈루아 모듈 이론에서 심층적으로 연구된다.
더 일반 알헤브라스
그룹 링의 정규 표현은 왼손과 오른손의 정규 표현은 이형적인 모듈을 주는 것과 같다(그리고 우리는 종종 사례를 구별할 필요가 없다).A영역에 대한 대수학적으로 볼 때, A영역이 자기 위에 있는 좌모듈과 우모듈의 관계에 대해 묻는 것은 즉시 이치에 맞지 않는다.그룹 케이스에서 역원소를 취하여 정의한 K[G]의 기초요소 g에 대한 매핑은 반대편 링에 K[G]의 이형성을 부여한다.A 장군에게는 그러한 구조를 프로베니우스 대수라고 한다.이름에서 알 수 있듯이, 이것들은 19세기에 프로베니우스에 의해 소개되었다.그것들은 특정한 거미줄 가설의 예에 의해 1 + 1차원의 위상학적 양자장 이론과 관련이 있는 것으로 밝혀졌다.
참고 항목
참조
- Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
