외형성

기하 대수학에서 벡터 공간 사이의 선형함수의 외형성은 임의의 다중점까지 지도를 자연적으로 확장한 것이다.^[1] 벡터 공간에 대한 제약이 본래의 기능인 외부 알헤브라의 독특한 단발대수 동형성이다.^[a]

정의

Let ${\displaystyle f}$ be an ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear map from ${\displaystyle V}$ to ${\displaystyle W}$. The extension of ${\displaystyle f}$ to an outermorphism is the unique map ${\displaystyle \textstyle {\underline {\mathsf {f}}}:\bigwedge (V)\to \bi$$gwedge(W)}$ 만족$$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}(1)=1}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}(x)=f(x)}$

${\displaystyle {\mathsf {f}(A\wedge B)={\underline {\mathsf {f}(A)}\wedge {\underline {\mathsf {f}(B)}$

${\displaystyle {\mathsf {f}(A+B)={\underline {\mathsf {f}}(A)+{\underline {\mathsf {f}(B)}$

모든 벡터 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및 모든$$ 다중 벡터 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ $및{\displaystyle }$ B$$ ${\$$displaystyle$$B}$에 대해$,$ 여기서 $\bigwedge {\displaystyle }$ $V)$는 V$${\$displaystyle V}$에 대한 외부 대수학을 나타낸다$.$ 즉, 외형성은 외부 알고리즘 사이의 일변수 동형이다.

외형성은 원래 선형 지도의 선형성 특성을 계승한다. 예를 들어 스칼라 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha },$$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$ 및 벡터 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$\},$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y$ z ${\displaysty z}$의 경우$$외형성이 바이벡터 위에 선형적이라는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\mathsf {f}}}(\alpha x\wedge z+\beta y\wedge z)&={\underline {\mathsf {f}}}((\alpha x+\beta y)\wedge z)\\[6pt]&=f(\alpha x+\beta y)\wedge f(z)\\[6pt]&=(\alpha f(x)+\beta f(y))\wedge f(z)\\[6pt]&=\alpha (f(x)\wedge f(z))+\beta (f(y)\wedge f(z))\\[6pt]&=\cHB \,{\underline {\mathsf {f}(x\based z)+\cHB \,{\underline {\mathsf {f}(y\based z),\end{aigned}}}}}}}}}}$

위의 추가에 대한 분배성의 공리를 통해 모든 다중 벡터에 대한 선형성을 확장한다.

조정

$f{\displaystyle \underset{}{\mathsf{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\$을(를) 외형(外形)이$$ 되게 하라. $우리$는 f$'{\$ {\$mathsf{$f}}}}의 연관을 그 성질을 만족시키는 외형성이라고$$ 정의한다.

${\displaystyle {\mathsf {f}(a)\cdot b=a=a\cdot {\underline {\mathsf {f}(b)}$

모든 벡터에 $대해{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b$ 여기서 $\cdot {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$은(는) 비degenergenerate 대칭 이선형(vilinar product of 벡터) 형식이다.

이 경우 다음 속성이 발생한다.

${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}(A)*B=A*{\underline {\mathsf{f}}(B)}$

모든 다중 벡터 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 대해$,$ 여기서 $\ast {\displaystyle }$ ${\displaystyle *}$은 다중 벡터의 스칼라 제품이다.

기하학적 미적분학을 사용할 수 있는 경우, 조정은 보다 직접적으로 추출될 수 있다.

${\displaystyle {\mathsf{f}}(a)=\bla _{b}\left\langle a{\underline {\mathsf {f}(b)\right\angle .}$

위의 조정의 정의는 행렬 이론에서의 전치 정의와 같다. 문맥이 명확하면 함수 아래의 밑줄이 생략되는 경우가 많다.

특성.

다단자 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 외형성이 등급 보존이라는$$ 것은 시작의 정의에서 따온 것이다.^[2]

${\displaystyle {\mathsf {f}(\왼쪽\langle A\right\angle _{r}=\왼쪽\langle {\mathsf {f}(A)}\right\angle _{r})}$

여기서 표기법 ${\displaystyle \text{⟨}{}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ -vector$$ 부분을 나타낸다$$$.$

이후 어떤 벡터){\displaystyle)}x=1∧){\displaystyle x=1\wedge)}같이 쓸 수 있기 때문에 하나만 pseudoscalar을 스칼라 승수는 것이다, scalars f에 영향을 받지 않는다_(1)=1{\displaystyle{\underline{\mathsf{f}}}(1)=1}.[b]마찬가지로 다음, 우린 꼭 해야 할 f_(나는)∝ 나는{.\di$splaystyle {\underline {\mathsf {f}(I)\propto I}$. 결정 인자는 비례 인자로 정의된다.^[3]

${\displaystyle \det{\mathsf{f}={\underline {\mathsf {f}}(I)I^{-1}$

함수의 결정요소가 그 조정의 결정요인과 같기 때문에 이 맥락에서 밑줄은 필요하지 않다. 함수 구성의 결정 요인은 다음과 같은 결정 요인의 산물이다.

${\displaystyle \det({\mathsf {f}\mathsf {g}}=\det {\mathsf {f}\det {\mathsf {g}}}$

함수의 결정 요인이 0이 아닌 경우 함수는 다음과 같은 역수를 갖는다.

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}^{-1(X)={\frac {{\overline {\mathsf {f}}(XI)I^{-1}{\det {\mathsf{f}}}={\overline {f}}(XI)[{\overline {\mathsf {f}}(I)]^{-1}}}}$

그리고 그것의 조정 또한 다음과 같이 한다.

${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}^{-1}(X)={\frac {I^{-1}{\underline {\mathsf {f}}}(IX)}{\det {\mathsf {f}}}}=[{\underline {\mathsf {f}}}(I)]^{-1}{\underline {\mathsf {f}}}(IX).}$

고유값과 고유 벡터의 개념은 외형성에 일반화될 수 있다. $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$을(를) 실제 숫자로 하고$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) $등급{\displaystyle }$ r ${\displaysty r}$의 (nonzero) 블레이드로 한다$$$.$ 만일$$^[4] $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $B}$은 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ {\$lambda }$을(으)을(으)로 하는 함수의 고유블레이드라고$$ 한다.

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}(B)=\lambda B.}$

선형 대수에서 모든 실제 항목이 포함된 행렬의 고유값은 복잡한 고유값을 가질 수 있기 때문에 실제 고유값만 고려하는 것은 이상하게 보일 수 있다. 그러나 기하 대수학에서 다른 등급의 칼날은 복잡한 구조를 나타낼 수 있다. 벡터와 유사벡터 모두 고유블레이드 역할을 할 수 있기 때문에, 그들은 각각 일반 선형대수학에서 발견될 복잡한 고유값의 자유도와 일치하는 고유값 집합을 가질 수 있다.

예

심플 맵

신분 지도와 스칼라 투영 연산자는 외형성이다.

베르사르스

로터 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 의한 벡터 회전은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle f(x)=RxR^{-1}$

외형적으로

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}(X)=RXR^{-1}.}$

우리는 이것이 외형적인 것의 올바른 형태인지 확인한다. 회전은 분배 속성을 가진 기하학적 제품에서 만들어지기 때문에 선형이어야 한다. 회전 또한 외형성이라는 것을 알기 위해 회전은 벡터 사이의 각도를 보존한다는 것을 기억한다.^[5]

${\displaystyle x\cdot y=(RxR^{-1})\cdot(RryR^{-1})$

다음으로, 더 높은 등급의 요소를 입력하여 벡터의 원래 회전과 일치하는지 확인하십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\mathsf {f}}}(x\wedge y)&=R(x\wedge y)R^{-1}\\&=R(xy-x\cdot y)R^{-1}\\&=RxyR^{-1}-R(x\cdot y)R^{-1}\\&=RxR^{-1}RyR^{-1}-x\cdot y\\&=(RxR^{-1})\wedge (RyR^{-1})+(RxR^{-1})\cdot (RyR^{-1})-x\cdot y\\&=(RxR^{-1})\wedge (RyR^{-1})+x\cdot y-x\cdot y\\&=f(x)\wedge f(y)\end{aligned}}}$

직교 투영 연산자

블레이드 $B{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle {\mathcal {P}_{B}$에 직교 투영 연산자 ${\displaystyle P_{}}$ ${\$$displaystyle B}$은(는) 외형이다.

${\displaystyle {\mathcal{P}_{B}(x\wedge y)={\mathcal {P}}{B}(x)\mathcal {P}{B}(y)={\mathcal {\mathcal}.}$

비표본 – 직교 제거 연산자

직교 투영 연산자와는 대조적으로, $블레이드{\displaystyle }$ B {\$displaystyle {\p$}^{{$B}^{\perp }}}$ 블레이드 B$${\$displaystyle$B}에$$ 의한 직교 $거부{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ P ${\displaystyle B_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}${\displaystystyle ${\$p}은 선형이지만$$ 외형성은 아니다.

${\displaystyle {\mathcal{P}_{B}^{\perp }(1)=1-{\mathcal{P}}(1)=0\neq 1.}$

Nonxample – 경사 투영 연산자

선형이지만 외형성이 아닌 다중점수의 다중점수 함수의 예로는 등급이 0이 아닌 경사 투영(예: 등급 1에 투영)이다.

${\displaystyle \langle x\backle _{1}=0}$

${\displaystyle \langle x\rangle _{1}\langle y\rangle _{1}=x\langle y}$

메모들

인용구

참조

• Hestenes, D.; Sobczyk, G. (1987), Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics, Fundamental Theories of Physics, vol. 5, Springer, ISBN 90-277-2561-6
• Crumeyrolle, A.; Ablamowicz, R.; Lounesto, P. (1995), Clifford Algebras and Spinor Structures: A Special Volume Dedicated to the Memory of Albert Crumeyrolle (1919–1992), Mathematics and Its Applications, vol. 321, Springer, p. 105, ISBN 0-7923-3366-7
• Baylis, W.E. (1996), Clifford (Geometric) Algebras: With Applications in Physics, Mathematics, and Engineering, Springer, p. 71, ISBN 0-8176-3868-7
• Dorst, L.; Doran, C.J.L.; Lasenby, J. (2001), Applications of geometric algebra in computer science and engineering, Springer, p. 61, ISBN 0-8176-4267-6
• D'Orangeville, C.; Anthony, A.; Lasenby, N. (2003), Geometric Algebra For Physicists, Cambridge University Press, p. 343, ISBN 0-521-48022-1
• Perwass, C. (2008), Geometric Algebra with Applications in Engineering, Geometry and Computing, vol. 4, Springer, p. 23, ISBN 3-540-89067-X
• Joot, P. (2014), Exploring physics with Geometric Algebra, p. 157