행렬의 분석 함수

수학에서, 모든 분석 함수는 복잡한 항목이 있는 정사각형 행렬을 같은 크기의 정사각형 행렬에 매핑하는 행렬 함수를 정의하는 데 사용될 수 있다.

이것은 선형 미분방정식의 시스템의 폐쇄형 해법에 포함되는 행렬의 지수화를 정의하는 데 사용된다.

스칼라 함수를 행렬 함수로 확장

정사각형 매트릭스 기능으로 실제 함수를 들어올리는 여러 가지 기법이 있어 흥미로운 특성이 유지된다.다음의 모든 기법은 동일한 매트릭스 함수를 산출하지만, 함수가 정의된 도메인은 다를 수 있다.

파워 시리즈

분석 기능 f가 Taylor 확장성을 가지는 경우

${\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots }$

그런 다음 매트릭스 $함수{\displaystyle }$ A${\displaystyle f}$f (${\displaystyle A}$ )$${\$displaystyle A\mapsto$ f$(A)}$를 제곱 행렬로 대체하여 정의할$$ 수 있다. 파워는 매트릭스 파워가 되고, 추가는 매트릭스 합이 되며, 계수별 곱은 스칼라 곱이 된다.If the series converges for ${\displaystyle x <r}$, then the corresponding matrix series converges for matrices A such that ${\displaystyle \ A\ <r}$ for some matrix norm that satisfies ${\displaystyle \ AB\ \leq \ A\ \, B\ }$.

대각선 가능 행렬

정사각형 행렬 A는 대각선이 가능한 것으로, $D{\displaystyle }$= P${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A}$ P ${\displaystyle D=P^{-1}\,A\,P}$와 같은 변위성 행렬 P가 있으면$$ D는 대각 행렬, 즉 D는 형상을 가진다.

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&\cdots &0\\\\vdots &\dd}\nd{bmatrix}}.}$

$A{\displaystyle }$= ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D{}^{}}$ P${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$,${\displaystyle A=P\,D\,P^{1},}$를 설정하는 것은 당연하다.

${\displaystyle f(A)=P\,{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\cdots &0\\\vdots &\\0&\cdots &f(d_{n}}\end{bmatrix},P^{-1}.}$

매트릭스 f(A)가 P의 특정 선택에 의존하지 않음을 확인할 수 있다.

$예$를 들어, ${\displaystyle \mathrm{for}}$ (${\displaystyle }$A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{A}}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$! ${\displaystyle \Gamma (A)=(A-1)!}$을(를) 찾고 있다고 가정해 보십시오.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\2&1\end{bmatrix}.}$

가지고 있다

${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}1-{\sqrt{6}&0\\0&1+{\sqrt{6}\end{bmatrix}P^{-1},}$

을 위해

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt{6}}&{\sqrt{1}{6}}\nd{bmatrix}.}$

공식의 적용 후 단순 산출

${\displaystyle \Gamma (A)={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Gamma (1-{\sqrt {6}})&0\\0&\Gamma (1+{\sqrt {6}})\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}2.8114&0.4080\\0.2720&2.8114\end{bmatrix}}.}$

마찬가지로,

${\displaystyle A^{4}={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}(1-{\sqrt {6}})^{4}&0\\0&(1+{\sqrt {6}})^{4}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}73&84\\56&73\end{bmatrix}}~.}$

요르단 분해

모든 복잡한 행렬은 대각선이 가능하든 그렇지 않든 간에 요르단 정규 $형식{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$= ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle J{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$를 가지며, 여기서 매트릭스 J는 요르단 블록으로 구성된다.다음 블록을 개별적으로 고려하여 파워 시리즈를 Jordan 블록에 적용하십시오.

${\displaystyle f\left({\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\vdots &\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}{\frac {f(\lambda )}{0!}}}{{\frac {f'(\lambda )}{1!}}}{{\frac {f"(\\da )}{2!}}}&\cdots &{\frac {f^{(n)}(\flada )}{n!}}}\\0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}}{{\frac {f'(\lambda )}{1!}}}&\vdots &{\frac {f^{(n-1)}(\flada )}{{(n-1)!}}\\0&#0&\ddots &\vdots &\\vdots &\cdots &\ddots &{\frac {f(\f(\lambda )}{0!}}}{{\frac {f'(\lambda )}{1!}}\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {f(\fla )}{0!}}}\end{bmatrix}.}$

이 정의는 직렬의 수렴 반지름보다 작은 스펙트럼 반경을 가진 행렬 집합 이상으로 행렬 기능의 영역을 확장하는데 사용할 수 있다.분단된 차이에도 연관성이 있다는 점에 유의하십시오.

관련 개념은 요르단-체발리 분해인데, 이 분해는 행렬을 대각선이 가능한 부분과 영점 부분의 합으로 표현한다.

에르미트 행렬

은둔자 행렬은 모든 실제 고유값을 가지며 스펙트럼 정리에 따라 항상 단일 행렬 P에 의해 대각선화할 수 있다.이 경우 요르단 정의는 자연스럽다.더욱이 이 정의는 실제 기능에 대해 표준 불평등을 확장할 수 있도록 허용한다.

If ${\displaystyle f(a)\leq g(a)}$ for all eigenvalues of ${\displaystyle A}$, then ${\displaystyle f(A)\preceq g(A)}$. (As a convention, ${\displaystyle X\preceq Y\Leftrightarrow Y-X}$ is a positive-semidefinite matrix.)그 증거는 정의에서 직접 따온 것이다.

코시 적분

복잡한 분석에서 나온 Cauchy의 적분식은 또한 스칼라 함수를 매트릭스 함수에 일반화하는 데 사용될 수 있다.Cauchy의 통합 공식에 따르면, $집합{\displaystyle \mathbb{}}$ D {$$C {\$displaystyle \mathb${C$}$에 정의된 분석 함수 f는 다음과 같다$.$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}\}\point _{C}\!{\frac {f(z)}{z-x}\,\mathrm {d}z~,}$

여기서 C는 x를 둘러싸는 도메인 D 내의 닫힌 단순 곡선이다.

이제 x를 행렬 A로 대체하고 A의 모든 고유값을 둘러싸는 D 내의 경로 C를 고려한다.이를 달성할 수 있는 한 가지 가능성은 C가 임의 행렬 규범 ‖•‖에 대해 ‖A‖보다 큰 반경을 가진 원점 주위의 원이 되게 하는 것이다.그런 다음 f (A)는 다음에 의해 정의될 수 있다.

${\displaystyle f(A)={\frac {1}{2\pi i}\point _{C}f(z)\좌측(zI-A\오른쪽)^{-1}\mathrm {d}z~.}$

이 적분은 이 경우 기하급수적으로 수렴되는 트라페지움 규칙을 사용하여 쉽게 숫자로 평가할 수 있다.즉, 결과의 정밀도는 노드 수를 2배로 늘렸을 때 배가 된다는 것이다.통상적인 경우에는 실베스터의 공식에 의해 우회된다.

무한 행렬로 볼 수 있는 바나흐 공간의 경계 선형 연산자에게 적용된 이 아이디어는 홀로모르픽 기능 미적분학을 이끈다.

매트릭스 섭동

위의 테일러 파워 시리즈는 스칼라 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) 매트릭스로 교체할 수 있다.This is not true in general when expanding in terms of ${\displaystyle A(\eta )=A+\eta B}$ about ${\displaystyle \eta =0}$ unless ${\displaystyle [A,B]=0}$. A counterexample is ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$, which has a finite length Taylor series.우리는 이것을 두 가지 방법으로 계산한다.

• 분배 법칙:

${\displaystyle f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta(A^{2}B+)ABA+BA^{2}+\eta ^{2}(AB^{2}+B)AB+B^{2}A)+\eta^{3}B^{3}}}{3}}}$

• $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle f(a+\eta b)}$에 대해 스칼라 테일러 확장을 사용하고 마지막에$$ 스칼라를 행렬로 교체하는 방법:

${\displaystyle {\eta}f(a+\eta b)&=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!}}}+f'(a){\frac {(\eta b)^{2}}{2!}}}+f'(a){\frac {(\eta b)^{3}{3}{3!}}\\[.5em]&=a^{3}+3a^{2}(\eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\[.5em]&\to{3}=+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B)^{2}+(\eta B)^{3}\ended}}}}$

스칼라 표현식은 매트릭스 표현식이 아닌 동안 동일성을 가정하므로 [${\displaystyle A,}$ B ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [A,B]=0}$이(가) 아니면 직접 동일시할 수 없다$.$ 일부 f(x)의 경우 스칼라 테일러 시리즈와 동일한 방법을 사용하여 처리할 수 있다.For example, ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$. If ${\displaystyle A^{-1}}$ exists then ${\displaystyle f(A+\eta B)=f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)f(A)}$. The expansion of the first term then follows the power series given above,

${\displaystyle f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)=\mathbb {I} -\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-\eta A^{-1}B)^{n}}$

그런 다음 전력 시리즈의 수렴 기준을 적용하여${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{B}}^{}}$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle \Vert \eta A^{-1}B\Vert }$이(가) 적절한 매트릭스 규범 하에서 충분히 작아야 한다$$.두 행렬이 통근하는 방식으로 다시 작성할 수 없는 더 일반적인 문제에 대해서는 라이프니즈 규칙을 반복적으로 적용하여 생산된 매트릭스 제품의 순서를 추적해야 한다.

2×2 행렬의 임의 함수

2×2 매트릭스 A의 임의 함수 f(A)는 실베스터의 공식을 다음과 같이 단순화한다.

${\displaystyle f(A)={\frac {f(\lambda _{+})+f(\lambda _{-}}{2}}I+{\prac {A-\좌({\frac {tr(A)}{\2}}\우)\우)I}{{\sqrt {\frac {tr(A)}{2}}\오른쪽)^{2}-{2}- A}{}{\frac {f(\lambda _{+}-f(\lambda _{-}}}}},},}$

여기서 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$± ${\$은(는) 특성 방정식의 고유값인 A-λI =0이며 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \lambda _{\pm }={\frac {tr(A)}{2}}:00\pm {\sqrt {\\좌({\frac {tr(A)}{2}}\우)^{2}- A}}.}$

예

• 행렬 다항식
• 행렬 루트
• 행렬 로그
• 행렬 지수
• 행렬 부호 함수^[1]

행렬 함수 클래스

Using the semidefinite ordering (${\displaystyle X\preceq Y\Leftrightarrow Y-X}$ is positive-semidefinite and ${\displaystyle X\prec Y\Leftrightarrow Y-X}$ is positive definite), some of the classes of scalar functions can be extended to matrix functions of Hermitian matrices.^[2]

오퍼레이터 모노톤

함수 f는 f의 영역에 ${\displaystyle \mathrm{스펙트럼}}$이 있는 모든 자기 적응형 매트릭스 A, H에 $대해$ 0 ${\displaystyle \prec }$ A ${\displaystyle ⪯}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle ⪯}$ ${\displaystyle f}$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle ⪯}$ ${\displaystyle f}$ ⪯ f { f { f ${\displaystyle \{}$ f ( ${\displaystyle A}$ )$$\ $displaystystyle 0\preceq H\Rightarrow$f$(A)\preceq f(H)}$인 경우에만 연산자 모노톤이라고 불린다.이것은 스칼라 케이스의 단조함수와 유사하다.

오목/콘벡스 연산자

함수 f는 만약의 경우에 한해서만 연산자 오목이라 불린다.

$\displaystyle \tau f(A)+(1-\tau)f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau))H\right)}$

f와 $\tau$의 영역에 스펙트럼이 있는 모든 자기 적응 행렬 A,H에 대해${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \tau \in [0,1]}.$이 정의는 오목한 스칼라 함수와 유사하다.연산자 볼록함수는 위의 정의에서${\displaystyle }$⪯ ${\displaystyle \preceq }$을(를) $⪰{\displaystyle }$ ${\displaystyle \succeq }($으)로$$ 전환하여 정의할 수 있다.

예

행렬 로그는 연산자 모노톤과 연산자 오목형이다.행렬 사각형은 연산자 볼록이다.매트릭스 지수란 이것들 중 어느 것도 아니다.뢰너 정리는 개방된 간격의 함수가 상부 및 하부 복합 하프 평면에 대한 해석적 확장을 가지고 있어 상부 하프 평면이 자신에게 매핑되는 경우에만 연산자 단조라고 명시하고 있다.^[2]

참고 항목

• 대수 리카티 방정식
• 실베스터 공식
• 루우너주문
• 행렬 미적분학
• 추적 불평등
• 행렬의 삼각 함수

메모들

참조

• Higham, Nicholas J. (2008). Functions of matrices theory and computation. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 9780898717778.