거짓말 파생상품

Lie derivative

미분 기하학에서 Wwadyswaw śbodzińsky의 Sophus Lie의 이름을 딴 Lie 파생상품 / /liː/는 다른 벡터 장에 의해 정의된 흐름을 따라 텐서장(스칼라 함수, 벡터장, 원폼 포함)의 변화를 평가한다.[1][2] 이 변화는 좌표 불변하므로 Lie 파생상품은 모든 다른 다지관에서 정의된다.

기능, 텐서장, 형태는 벡터장에 대해 구별할 수 있다. If T is a tensor field and X is a vector field, then the Lie derivative of T with respect to X is denoted . The differential operator is a derivation of the algebra of tensor fields of the underlying manifold.

리 파생상품은 수축과 외부 파생상품차등형태로 통한다.

미분 기하학에서 파생상품을 취한다는 개념은 많지만, 분화되는 표현이 함수인지 스칼라 분야인지에 대해서는 모두 동의한다. 따라서 이 경우 "거짓말"이라는 단어는 삭제되고, 한 사람은 단순히 함수의 파생어를 말한다.

다른 벡터 필드 X와 관련하여 벡터 필드 Y의 Lie 파생형은 Y의 "Lie Bracket"으로 알려져 있으며, 종종 X( ) 대신 [X,Y]로 표기된다 벡터장의 공간은 이 리 브라켓에 관해서 리 대수학을 형성한다. 리 파생상품은 정체성 때문에 이 리 대수학의 무한 차원 리 대수적 표현을 구성한다.

벡터 필드 XY 및 텐서 필드 T에 유효하다.

벡터 필드를 M에서 흐름극소수 생성자(즉, 차이점형성1차원 그룹)로 고려할 때, Lie 파생상품은 Lie group에서 그룹표현과 관련된 극소수 표현으로 Lie 대수표현과 유사하게 텐서장 상에서 차이점형 집단을 나타내는 차이다.오리의

스피너 필드, 연결부있는 섬유 번들 및 벡터 값 미분 형식에 대한 일반화가 존재한다.

동기

벡터장 관련 텐서장 파생성을 정의하려는 'nauve' 시도는 텐서장 구성요소를 취하고 벡터장 파생물을 각 구성요소의 방향파생물을 취하는 것이다. 그러나 이 정의는 좌표계의 변경에 따라 불변하지 않기 때문에 바람직하지 않다. 예를 들어 극좌표 또는 구형 좌표로 표현된 순진한 파생상품은 데카르트 좌표에서 구성요소의 순진한 파생상품과 다르다. 추상적인 다양성에서 그러한 정의는 무의미하고 정의가 잘못되어 있다. 미분 기하학에서는 텐서 필드의 분화에 대한 세 가지 주요 좌표 독립 개념이 있다. 파생 모델, 연결에 관한 파생 모델 및 완전히 반대칭(공변량) 텐서 또는 차동 형태외부 파생 모델. 연결에 관한 Lie 파생상품과 파생상품의 주요 차이점은 접선 벡터에 관한 텐서 필드의 후기 파생상품이 벡터 필드로 접선 벡터를 확장하는 방법을 명시하지 않았더라도 잘 정의되어 있다는 것이다. 그러나 연결은 다지관의 추가 기하학적 구조(예: 리만 미터법 또는 추상적 연결)를 선택해야 한다. 이와는 대조적으로, Lie 파생상품을 취할 때 다지관의 추가 구조는 필요하지 않지만, 하나의 접선 벡터에 관해서 텐서장 X에 관한 텐서장 Rie 파생상품의 가치는 이웃집 X의 가치에 따라 달라지기 때문에, 하나의 접선 벡터에 관해서 텐서장 Lie 파생상품에 대해서 말하는 것은 불가능하다.P자체만이 아니라 많은 p자체. 마지막으로, 차등형식의 외부 파생상품은 추가 선택이 필요하지 않고, 차등형(기능 포함)의 잘 정의된 파생상품일 뿐이다.

정의

거짓말 파생상품은 몇 가지 동등한 방법으로 정의될 수 있다. 단순성을 유지하기 위해 우리는 일반 텐서 정의로 넘어가기 전에 스칼라 함수와 벡터 필드에 작용하는 리 파생 모델을 정의하는 것으로 시작한다.

함수의 (거짓) 파생상품

f :→ R 다지관의 M(는 x + {\은(는) 변위 x + h{\이(가)가 정의되지 않아 문제가 있다.

f: → R 지점 M에서 벡터 필드 에 대한 이(가) 함수임

where is the point to which the flow defined by the vector field maps the point at time instant In the vicinity of is the unique solution of 제도

접선 공간 P( , p) P( , )= p. {\ (p)=p).

다지관 , M U, U 좌표 차트, )에 대해 d : x ( ) }^{n{\는 접선 선형 지도가 된다. 위의 미분방정식은 계통으로서 더욱 명시적으로 쓰여진다.

, 에서 초기 조건은 ( ( 0 p)= ( ). 입니다. 솔루션 ( , ) 이(가) 좌표 차트의 선택과 무관하다는 것은 쉽게 검증할 수 있다.

= 를 설정하면 방향 파생상품이 있는 함수의 Lie 파생상품이 식별된다.

벡터 필드의 Lie 파생 모델

XY가 모두 벡터 필드라면, X와 Y에 관한 Y의 Lie 파생상품도 XY의 Lie Bracket으로 알려져 있으며 때로는 [, ] 로 표기되기도 한다 모두 동일한 Lie Bracket을 정의하는 여러 가지 접근법이 있다. 위에 주어진 벡터 필드의 두 가지 정의에 해당하는 두 가지 정의를 여기에 나열한다.

  • X와 Y의 Lie Bracket at p는 공식에 의해 국부 좌표로 주어진다.
    여기서 Y 각각 XY에 대해 방향파생상품을 취하는 작업을 나타낸다. 여기서 우리는 n차원 공간의 벡터를 n-투플로 취급하고 있다. 그래서 그것의 방향성 파생물은 단순히 좌표의 방향성 유도체로 구성된 튜플이다. Although the final expression appearing in this definition does not depend on the choice of local coordinates, the individual terms and do 좌표의 선택에 따라 달라진다.
  • XY가 두 번째 정의에 따라 다지관 M의 벡터 필드인 경우 연산자 =[ , {L으로 정의된 Y
    M의 평활함수 대수에서 순서 0의 파생이다. 즉, 이 연산자는 두 번째 정의에 따른 벡터장이다.

텐서 필드의 리 파생 모델

흐름의 정의

Lie 파생상품은 흐름에 의한 공간변형에서 텐서장이 변하는 속도를 말한다.

공식적으로, 부드러운 다지관 , 구별 가능한(시간 독립적인) 벡터 필드 을(를) 부여한다. : → M (는) 해당 로컬 흐름이며 X ID 맵이다. 은(는) 각 p M, 에 대한 국부적인 차이점형성(local differiatomptomptorism)이기 때문에 역행렬은 역행렬이다.

차등 t)의{\동형성고유하게 확장된다.

공간 ( p) M (와) . 마찬가지로 풀백 맵 사이.

독특한 텐서 대수의 동형성으로 끌어올리다.

, 에 대해 으로 Y 와 동일한 크기의 텐서 필드가 .

If is an - or -type tensor field, then the Lie derivative of along a vector field is defined at point M

결과 텐서 필드 는) s와 동일하다.

대수적 정의

우리는 이제 대수적 정의를 내린다. 텐서 필드의 Lie 파생상품에 대한 대수적 정의는 다음의 네 가지 공리에서 온다.

공리법 1. 함수의 Lie 파생상품은 함수의 방향적 파생상품과 동일하다. 이 사실은 종종 공식으로 표현된다.
악시오 2. 리 파생상품은 라이프니츠의 법칙의 다음 버전을 따른다. 모든 텐서 필드 ST는
Axiom 3. 파생상품은 라이프니즈 규정에 따른다.
Axiom 4. Lie 파생상품은 기능상 외부 파생상품과 통용된다.

이러한 공리가 유지되는 경우, Y )= Y {\displaystyle }_}에 Lie 파생상품 L X {\ {\mathcal을 적용하면 다음과 같은 결과가 나타난다.

이것은 눕는 브래킷에 대한 표준 정의 중 하나이다.

다른 형태로 작용하는 Lie 파생상품은 외부 파생상품과 함께 내부제품안티코무터다. 그래서 α가 미분형이라면

이는 표현이 외부 파생물과 통용되고, 파생(등급 파생의 반공칭자)이며, 기능에 올바른 역할을 하는지를 확인함으로써 쉽게 이어진다.

명시적으로 T를 type의 tensor 필드(p, q)로 한다. T는 T(α1, α22, ..., 등가 번들 TM α11, α, α, αp, α2, α, 접선 번들 TM섹션2 X, X1, Xq)를 R로 표기하여 서로 다른 형태다선형 지도라고 간주한다. 공식으로 Y를 따라 T의 Lie 파생 모델 정의

분석적 정의와 대수적 정의는 분화를 위한 푸시포워드와 라이프니즈 규칙의 특성을 사용하여 동등하다는 것을 증명할 수 있다. Lie 파생상품은 수축과 통한다.

Differential Form의 Lie 파생 모델

텐서 필드의 특히 중요한 세분류는 미분형이다. Lie 파생상품이 차등형태의 공간에 한정되는 것은 외부 파생상품과 밀접한 관련이 있다. Lie 파생상품과 외부 파생상품 모두 다른 방식으로 파생상품의 아이디어를 포착하려고 시도한다. 이러한 차이점들은 인테리어 제품의 아이디어를 도입함으로써 연결될 수 있으며, 그 후에 관계는 카르탄의 공식으로 알려진 정체성으로 나타난다. 카르탄의 공식은 또한 다른 형태의 공간에 있는 리 파생상품의 정의로도 사용될 수 있다.

M을 다지관으로 하고 M에 벡터장을 X로 한다. Let be a (k + 1)-form, i.e. for each , is an alternating multilinear map from to the real numbers. XΩ내부 제품은 다음과 같이 정의된 k-form X 이다.

차동 형식 i 을(를) XΩ수축이라고도 하며,

및 i (는 {\ \wedge}(차등 형태의 wedge 제품)-antiderivation이다. 즉, R-선형이며,

( M) {\in \M)} 및 another 또 다른 차등 형식. 또한, f 0 ( ){\f\^{ 즉, M에 대한 실제 또는 복합 값 함수는 다음과 같다.

여기서 fX의 곱을 나타낸다. 이어 외부 파생상품과 리 파생상품의 관계를 다음과 같이 요약할 수 있다. 첫째, 벡터장 X에 관한 함수 f의 Lie 파생상품은 방향파생상품 X(f)와 동일하므로, X에 대한 f의 외부파생상품의 수축과도 같다.

일반적인 미분형에서, 리 파생상품은 마찬가지로 수축이며, X의 변동을 고려한다.

이 정체성은 카르탄 공식, 카르탄 호모토피 공식 또는 카르탄의 마법 공식으로 다양하게 알려져 있다. 자세한 내용은 내부 제품을 참조하십시오. 카르탄 공식은 차등 형태의 Lie 파생상품의 정의로 사용될 수 있다. 카르탄의 공식은 특히 다음과 같은 것을 보여준다.

Lie 파생상품은 또한 관계를 충족시킨다.

좌표식

참고: 반복 지수를 요약하는 아인슈타인 종합 관례가 아래에 사용된다.

로컬 좌표 표기법에서 유형(r, s) 텐서 T 에 대해 X(를) 따르는 Lie 파생형은

여기서 표기법 = \ x x^{a 또는 비틀림 없는 연결: Levi Civita 연결)을 사용하는 경우 부분파생물을 취함을 의미한다 can be replaced with the covariant derivative which means replacing with (by abuse of notation) where the are the Christoffel coefficients.

텐서(tensor)의 Lie 파생상품은 같은 유형의 또 다른 텐서(tensor)로, 즉, 표현에서 개별 용어들이 좌표계의 선택에 따라 달라지더라도 전체 표현은 텐서(tensor)가 된다.

좌표계와 독립적이며 T과 동일한 유형

그 정의는 텐서 밀도로 더 확장될 수 있다. T가 일부 실수 평가 중량 w의 텐서 밀도(예: 중량 1의 부피 밀도)인 경우, 그 Lie 파생상품은 동일한 유형과 중량의 텐서 밀도다.

표현식의 끝에 새로운 용어를 주목하라.

선형 연결 = ( b ) 의 경우 X{\ X[3](를) 따르는 Lie 파생형은

명확히 하기 위해 우리는 이제 지역 좌표 표기법으로 다음과 같은 예를 보여준다.

스칼라 필드 ( c) F( ) 경우:

X )= X ()= a}\a}\

Hence for the scalar field and the vector field the corresponding Lie derivative becomes

상위 순위 차등 형식의 예에서는 이전 예에서 2-폼 = ( 2+ y ) d 벡터 X 를 고려하십시오. 그러면

좀 더 추상적인 예들.

.

따라서 코브터 필드의 경우, 즉 차등 인 A= ( ) d a{\A=a}){ 다음과 같다.

마지막 식의 계수는 Lie 파생상품의 국소 좌표식이다.

공변량 순위 2 텐서 필드 = a ( ) x d x {\T=에 대해 다음이 있다.

= (가) 대칭 메트릭 텐서일 경우 Levi Civita 연결(공변량 파생상품이라고 함)에 대해 평행하며, 연결을 사용하면 생산성이 높아진다. 이는 모든 파생상품을 공변량 파생상품으로 대체해 주는 효과가 있다.

특성.

Lie 파생상품은 많은 특성을 가지고 있다. ( ) 을(를) 다지관 M에 정의된 함수의 대수라고 한다. 그러면

대수 ( ) 에 대한 파생어 즉, {는 R-선형이고

마찬가지로 ( ) ( M) {F {\{에 대한 파생이며, XM(cf)의 벡터 필드 집합이다. 기사 6의 정리: 니치타, F.F. 통일 이론: 새로운 결과 및 예. Axiomes 2019, 8, 60:

등가 표기법으로도 표기할 수 있다.

여기서 텐서 제품 기호 사용하여 함수 곱이 벡터 필드를 전체 다지관 위로 가져간다는 사실을 강조한다.

추가 특성은 Liebracket의 특성과 일치한다. 따라서, 예를 들어 벡터 필드에서 파생된 것으로 간주된다.

사람들은 위의 것들이 단지 자코비 정체성일 뿐이라고 생각한다. 따라서, Lie Bracket을 장착한 M 위에 있는 벡터장의 공간이 Lie 대수학(Lie 대수학)을 형성한다는 중요한 결과를 얻게 된다.

Lie 파생상품은 또한 미분형에서 작용하는 경우 중요한 성질을 가진다. M에서 αβ를 두 개의 미분 형태로 하고, XY를 두 개의 벡터장이 되게 한다. 그러면

  • where i denotes interior product defined above and it is clear whether [·,·] denotes the commutator or the Lie bracket of vector fields.

일반화

Lie 파생상품의 다양한 일반화는 미분 기하학에서 중요한 역할을 한다.

스피너 필드의 리 파생 모델

일반(시료도) 리만 다지관의 일반적(시료도) 리만 다지관에서 킬링(Killing one)이 아닌 일반 스페이스타임 벡터장을 따라 스피너의 리 파생상품에 대한 정의는 이미 1971년 이베트 코스만에 의해 제안되었다.[4] 나중에, 그것은 (게이지 공변량) 필드 이론에 가장 적합한 영역으로 판명된 자연 번들의 게이지의 명시적인 맥락에서 섬유 묶음[5] 대한 리 파생 모델의 일반적인 프레임워크 내에서 그녀의 특별 처방을 정당화하는 기하학적 프레임워크를 제공받았다.[6]

In a given spin manifold, that is in a Riemannian manifold admitting a spin structure, the Lie derivative of a spinor field can be defined by first defining it with respect to infinitesimal isometries (Killing vector fields) via the André Lichnerowicz's local expression given in 1963:[7]

where , as is assumed to be a Killing vector field, and are Dirac matrices.

그런 다음 일반 벡터 필드 에 대한 리히너로위츠의 로컬 식을 유지하되 명시적으로 b }}의 대칭 부분을 취함으로써 리히너로위츠의 정의를 모든 벡터 필드(일반적으로 무한 변환)로 확장할 수 있다.[4] 보다 분명히 1972년 코스만의 지역적 표현은 다음과 같다.[4]

where is the commutator, is exterior derivative, is the dual 1 form corresponding to 아래 yle 즉, 지수가 낮음) 및 (는) Clifford 곱셈이다.

스피너 리 파생상품은 측정지표와 독립적이며, 따라서 연결에도 영향을 미치지 않는다는 점에 유의할 필요가 있다. 이는 코스만의 국부적 표현에서 오른쪽이 스핀 연결(공변성 파생상품), 벡터장의 이원화(지수의 낮음) 및 스피너 번들의 클리포드 곱셈을 통해 메트릭에 의존하는 것처럼 보이기 때문에 오른쪽에서 보면 분명하지 않다. 코즈만의 국부적 표현에서 오른쪽의 수량이 결합되어 모든 미터법과 연결 종속 용어를 취소한다.

하나 스피너 필드의 리 고 계도 함수의 정의 섬유 다발의 절과 YKosmann에 의해 스피너에 직접적인 방법의 리 파생 상품의 이론의 더 일반적인 틀 속에 위치하는 원래 article,[8][9]를 나타낼 수 있다 스피너 분야의 리 파생 상품의long-debated 개념에 대해 더 깊이 이해하려면.사건 코스만 리프트라고 불리는 새로운 기하학적 개념의 형태로 자연 묶음을 측정하기 위해 일반화되었다.

공변량 리 유도체

만일 우리가 G를 구조물 그룹으로 하여 다지관 M 위에 주성분 묶음을 가지고 있고, 주성분 접선 공간의 섹션으로 X를 공변량 벡터장으로 선택한다면(즉 수평 및 수직 구성요소를 가지고 있다), 공변량 리 파생상품은 주성분 위의 X에 관한 리 파생상품일 뿐이다.

이제 M에 대한 벡터 필드 Y를 부여받았지만(주요 번들은 제외) 기본 번들에 대한 연결도 부여받으면, 우리는 기본 번들에 대한 벡터 필드 X를 정의하여 수평 구성요소가 Y와 일치하고 수직 구성요소가 연결에 동의하도록 할 수 있다. 이것은 공변량 Lie 파생상품이다.

자세한 내용은 연결 양식을 참조하십시오.

니젠후이스-리 파생상품

Albert Nijenhuis에 의한 또 다른 일반화는 접선다발에서 값을 갖는 차동형식의 번들 Ωk(M, TM)의 어느 구간을 따라 차동형식의 Lie 파생형을 정의할 수 있다. K ∈ Ωk(M, TM)과 α가 미분 p형이라면 K와 α의 내부 제품 αK 정의할 수 있다. Nijenhuis-Lie 파생상품은 내부제품과 외부파생상품의 안티코무터가 된다.

역사

1931년, Wwadyswaw bodbodzziskiski는 새로운 미분 연산자를 도입하였는데, 후에 David van Dantzighih가 Scalar, 벡터, 텐서 및 압착 연결부에 적용할 수 있으며, 이 연산자는 자동화 그룹의 연구에서 강력한 도구로 입증되었다.

일반적인 기하학적 물체의 Lie 유도체(즉, 천연 섬유 묶음의 단면)는 A가 연구한 것이다. 니젠후이스, Y. 타시로와 K. 야노야

꽤 오랜 시간 동안 물리학자들은 수학자들의 연구와 관련 없이 Lie파생물을 사용해 왔다. 1940년, 레옹 Rosenfeld[10]—and 그를 전에(1921[11]에)볼프강 Pauli[12]—introduced 그는. 어느 암 어떤{\displaystyle\delta ^{\ast}A ∗는 기하학적 개체의‘지역 변화’ δ}한{\displaystyle A\,}의 좌표가 극미한 변형은 벡터 영역에 의해 X{\displaystyle X\,}생성에 의해 유도되라고 불렀다n 쉽게 pr그의 Δ {\^{\\ast이(가 - X( ) 라고 과대평가한다

참고 항목

메모들

  1. ^ Trautman, A. (2008). "Remarks on the history of the notion of Lie differentiation". In Krupková, O.; Saunders, D. J. (eds.). Variations, Geometry and Physics: In honour of Demeter Krupka’s sixty-fifth birthday. New York: Nova Science. pp. 297–302. ISBN 978-1-60456-920-9.
  2. ^ Ślebodziński, W. (1931). "Sur les équations de Hamilton". Bull. Acad. Roy. d. Belg. 17 (5): 864–870.
  3. ^ Yano, K. (1957). The Theory of Lie Derivatives and its Applications. North-Holland. p. 8. ISBN 978-0-7204-2104-0.
  4. ^ Jump up to: a b c Kosmann, Y. (1971). "Dérivées de Lie des spineurs". Ann. Mat. Pura Appl. 91 (4): 317–395. doi:10.1007/BF02428822.
  5. ^ Trautman, A. (1972). "Invariance of Lagrangian Systems". In O'Raifeartaigh, L. (ed.). General Relativity: Papers in honour of J. L. Synge. Oxford: Clarenden Press. p. 85. ISBN 0-19-851126-4.
  6. ^ Fatibene, L.; Francaviglia, M. (2003). Natural and Gauge Natural Formalism for Classical Field Theories. Dordrecht: Kluwer Academic.
  7. ^ Lichnerowicz, A. (1963). "Spineurs harmoniques". C. R. Acad. Sci. Paris. 257: 7–9.
  8. ^ Fatibene, L.; Ferraris, M.; Francaviglia, M.; Godina, M. (1996). "A geometric definition of Lie derivative for Spinor Fields". In Janyska, J.; Kolář, I.; Slovák, J. (eds.). Proceedings of the 6th International Conference on Differential Geometry and Applications, August 28th–September 1st 1995 (Brno, Czech Republic). Brno: Masaryk University. pp. 549–558. arXiv:gr-qc/9608003v1. Bibcode:1996gr.qc.....8003F. ISBN 80-210-1369-9.
  9. ^ Godina, M.; Matteucci, P. (2003). "Reductive G-structures and Lie derivatives". Journal of Geometry and Physics. 47: 66–86. arXiv:math/0201235. Bibcode:2003JGP....47...66G. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2.
  10. ^ Rosenfeld, L. (1940). "Sur le tenseur d'impulsion-énergie". Mémoires Acad. Roy. d. Belg. 18 (6): 1–30.
  11. ^ Pauli의 상대성에 관한 책.
  12. ^ Pauli, W. (1981) [1921]. Theory of Relativity (First ed.). New York: Dover. ISBN 978-0-486-64152-2. 섹션 23 참조

참조

외부 링크