미분 기하학 에서 Wwadyswaw śbodzińsky의 Sophus Lie 의 이름을 딴 Lie 파생상품 / /는 다른 벡터 장에 의해 정의된 흐름 을 따라 텐서장 (스칼라 함수, 벡터장 , 원폼 포함)의 변화를 평가한다. [1] [2] 이 변화는 좌표 불변하므로 Lie 파생상품은 모든 다른 다지관 에서 정의된다.
기능, 텐서장, 형태는 벡터장에 대해 구별할 수 있다. If T is a tensor field and X is a vector field, then the Lie derivative of T with respect to X is denoted L X ( T ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(T)} . The differential operator T ↦ L X ( T ) {\displaystyle T\mapsto {\mathcal {L}}_{X}(T)} is a derivation of the algebra of tensor fields of the underlying manifold.
리 파생상품은 수축 과 외부 파생상품 과 차등형태 로 통한다.
미분 기하학에서 파생상품을 취한다는 개념은 많지만, 분화되는 표현이 함수인지 스칼라 분야인지 에 대해서는 모두 동의한다. 따라서 이 경우 "거짓말"이라는 단어는 삭제되고, 한 사람은 단순히 함수의 파생어를 말한다.
다른 벡터 필드 X 와 관련하여 벡터 필드 Y 의 Lie 파생형은 X 와 Y 의 "Lie Bracket "으로 알려져 있으며, 종종 L X (Y ) {\displaystyle {\mathcal{L}_{X}(Y)} 대신 [X ,Y ]로 표기된다. 벡터장의 공간은 이 리 브라켓에 관해서 리 대수학 을 형성한다. 리 파생상품은 정체성 때문에 이 리 대수학의 무한 차원 리 대수적 표현 을 구성한다.
L [ X , Y ] T = L X L Y T − L Y L X T , {\displaystyle {\mathcal{L}_{[X,Y]} T={\mathcal{L}_{X}{\mathcal {L}_{Y}T-{\mathcal{L}}_{{\mathcal {L}_{{\mathcal}}}{{{}}}}}}{\mathcal Y}{\mathcal{L}_{X}T,} 벡터 필드 X 와 Y 및 텐서 필드 T 에 유효하다.
벡터 필드를 M 에서 흐름 의 극소수 생성자(즉, 차이점형성 의 1차원 그룹)로 고려할 때, Lie 파생상품은 Lie group 에서 그룹표현 과 관련된 극소수 표현 으로 Lie 대수표현과 유사하게 텐서장 상에서 차이점형 집단 을 나타내는 차이 다. 오리의
스피너 필드, 연결부 가 있는 섬유 번들 및 벡터 값 미분 형식 에 대한 일반화가 존재한다.
동기 벡터장 관련 텐서장 파생성을 정의하려는 'nauve' 시도는 텐서장 구성요소 를 취하고 벡터장 파생물을 각 구성요소의 방향파생물을 취하는 것이다. 그러나 이 정의는 좌표계의 변경 에 따라 불변하지 않기 때문에 바람직하지 않다. 예를 들어 극좌표 또는 구형 좌표 로 표현된 순진한 파생상품은 데카르트 좌표 에서 구성요소의 순진한 파생상품과 다르다. 추상적인 다양성 에서 그러한 정의는 무의미하고 정의가 잘못되어 있다. 미분 기하학 에서는 텐서 필드의 분화에 대한 세 가지 주요 좌표 독립 개념이 있다. 파생 모델, 연결 에 관한 파생 모델 및 완전히 반대칭(공변량) 텐서 또는 차동 형태 의 외부 파생 모델. 연결에 관한 Lie 파생상품과 파생상품의 주요 차이점은 접선 벡터 에 관한 텐서 필드의 후기 파생상품이 벡터 필드로 접선 벡터를 확장하는 방법을 명시하지 않았더라도 잘 정의되어 있다는 것이다. 그러나 연결은 다지관의 추가 기하학적 구조(예: 리만 미터법 또는 추상적 연결 )를 선택해야 한다. 이와는 대조적으로, Lie 파생상품을 취할 때 다지관의 추가 구조는 필요하지 않지만, 하나 의 접선 벡터에 관해서 텐서장 X 에 관한 텐서장 Rie 파생상품의 가치는 이웃집 X 의 가치에 따라 달라지기 때문에, 하나의 접선 벡터에 관해서 텐서장 Lie 파생상품에 대해서 말하는 것은 불가능하다. P자체 만이 아니라 많은 p자체. 마지막으로, 차등형식의 외부 파생상품은 추가 선택이 필요하지 않고, 차등형(기능 포함)의 잘 정의된 파생상품일 뿐이다.
정의 거짓말 파생상품은 몇 가지 동등한 방법으로 정의될 수 있다. 단순성을 유지하기 위해 우리는 일반 텐서 정의로 넘어가기 전에 스칼라 함수와 벡터 필드에 작용하는 리 파생 모델을 정의하는 것으로 시작한다.
함수의 (거짓) 파생상품 함수 f : M → R {\ displaystyle f: 다지관의 M\ to {\mathb { R }}}} 은 (는) 변위 x + h {\displaystyle \textstyle(f(x+h)-f(x)/h} 은(는) 변위 x + h {\displaysty x+h} 이(가)가 정의되지 않아 문제가 있다.
함수 f : M → R {\ displaystyle f: 지점 p ∈ M {\displaystyle p\in M} 에서 벡터 필드 X {\displaystyle X} 에 대한 M\to {\mathb {R}}}}}} 이(가) 함수임
( L X f ) ( p ) = 임이 있는 t → 0 f ( P ( t , p ) ) − f ( p ) t : M → R , {\displaystyle({\mathcal{L}_{X}f)=\lim_{t\to 0}{\frac {f(t,p)-f(p)}{t}: M\to {\mathb {R}},} where P ( t , p ) {\displaystyle P(t,p)} is the point to which the flow defined by the vector field X {\displaystyle X} maps the point p {\displaystyle p} at time instant t . {\displaystyle t.} In the vicinity of t = 0 , {\displaystyle t=0,} P ( t , p ) {\displaystyle P(t,p)} is the unique solution of 제도
d d t P ( t , p ) = X ( P ( t , p ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}P(t,p)=X(P(t,p))} 접선 공간 T P ( t , p ) M {\displaystyle T_{P( t ,p)}M} 과( 와) P ( 0 , p ) = p . {\displaystyle P (0, p)=p). }
다지관 M , {\displaystyle M,} 및 x ∈ U , {\displaystyle x\in U,} 의 좌표 차트( U , u,\varphi )에 대해 d φ x : T x U → T φ ( x ) R n {\displaystydvarphi _{x}: T_{x}U\to T_{\varphi (x)}{\mathb {R}^{n }^{n}\cong {\mathb {R}^{n}}}}}}}}}}}}}}} 는 접선 선형 지도가 된다 . 위의 미분방정식은 계통으로서 더욱 명시적으로 쓰여진다.
d d t φ ( P ( t , p ) ) = d φ P ( t , p ) X ( P ( t , p ) ) {\dplaystyle {\frac {d}{dt}\varphi(P(t,p))=d\varphi _{P(t,p)}X(P(t,p)}}}} R n , {\displaystyle {\mathb {R} }^{n}} 에서 초기 조건은 φ ( P ( 0, p ) = φ ( p ) . {\displaysty \varphi (P (0,p)) 입니다.=\varphi(p). } 솔루션 P ( t , p ) {\displaystyle P(t,p)} 이(가) 좌표 차트의 선택과 무관하다는 것은 쉽게 검증할 수 있다.
L X f = ∇ X f {\displaystyle {\mathcal {L}_{X}f=\nabla _{X}f} 를 설정하면 방향 파생상품 이 있는 함수의 Lie 파생상품이 식별된다 .
벡터 필드의 Lie 파생 모델 X 와 Y 가 모두 벡터 필드라면, X 와 Y에 관한 Y의 Lie 파생상품도 X 와 Y 의 Lie Bracket 으로 알려져 있으며, 때로는 [X , Y ] {\displaystyle [X,Y]}} 로 표기되기도 한다. 모두 동일한 Lie Bracket을 정의하는 여러 가지 접근법이 있다. 위에 주어진 벡터 필드의 두 가지 정의에 해당하는 두 가지 정의를 여기에 나열한다.
X 와 Y의 Lie Bracket at p 는 공식에 의해 국부 좌표로 주어진다. L X Y ( p ) = [ X , Y ] ( p ) = ∂ X Y ( p ) − ∂ Y X ( p ) , {\displaystyle {\mathcal{L}_{X}Y(p)=[X,Y](p)=\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p),} 여기서 ∂ X {\ displaystyle \partial _{X} 및 ∂ Y {\ displaystyle \partial _{Y} 는 각각 X 와 Y 에 대해 방향파생상품 을 취하는 작업을 나타낸다. 여기서 우리는 n차원 공간의 벡터를 n-투플로 취급하고 있다. 그래서 그것의 방향성 파생물은 단순히 좌표의 방향성 유도체로 구성된 튜플이다. Although the final expression ∂ X Y ( p ) − ∂ Y X ( p ) {\displaystyle \partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p)} appearing in this definition does not depend on the choice of local coordinates, the individual terms ∂ X Y ( p ) {\displaystyle \partial _{X}Y(p)} and ∂ Y X ( p ) {\displaystyle \partial _{Y}X(p)} do 좌표의 선택에 따라 달라진다. X 와 Y 가 두 번째 정의에 따라 다지관 M 의 벡터 필드인 경우 연산자 L X Y = [ X , Y ] {\displaystyle {\mathcal {L}_{X} 공식 으로 정의된 Y=[X,Y]} [ X , Y ] : C ∞ ( M ) → C ∞ ( M ) {\displaystyle [X,Y]: C^{\nothy }(M)\오른쪽 화살표 C^{\nothy }} [ X , Y ] ( f ) = X ( Y ( f ) ) − Y ( X ( f ) ) {\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f)-Y(X)(f) } M 의 평활함수 대수에서 순서 0의 파생이다. 즉, 이 연산자는 두 번째 정의에 따른 벡터장이다. 텐서 필드의 리 파생 모델 흐름의 정의 Lie 파생상품은 흐름에 의한 공간변형에서 텐서장이 변하는 속도를 말한다.
공식적으로, 부드러운 다지관 M , {\displaystyle M,} 에 구별 가능한(시간 독립적인) 벡터 필드 X {\displaystyle X} 을(를) 부여한다 . γ X t : M → M {\displaystyle \Gamma _{X}^{t}: M\to M} 은 (는) 해당 로컬 흐름이며 and X 0 {\ displaystyle \Gamma _{X}^{0}}} ID 맵이다. γ X t {\ displaystyle \Gamma _{X}^{t}}} 은(는) 각 t {\displaystyle t } 및 p ∈ M , {\displaystyp p\in M} 에 대한 국부적인 차이점형성(local differiatomptomptorism)이기 때문에 역행렬은 역행렬이다.
( d p Γ X t ) − 1 : T Γ X t ( p ) M → T p M {\displaystyle \left(d_{p}\Gamma _{X}^{t}\오른쪽)^{-1: T_{\감마_{X}^{t}(p)} M\to T_{p}M} 차등 (d P γ X t )의 {\displaystyle \left(d_{p}\Gamma _{X}^{t}\right) 은 동형성 에 고유 하게 확장된다 .
h p t : T ( T Γ X t ( p ) M ) → T ( T p M ) {\displaystyle h_{p}^{t}: T\왼쪽(T_{\Gamma _{X}^{t}(p)} M\right)\to T(T_{p}M)} 접선 공간 T γ X t ( p ) M {\displaystyle T_{\Gamma _{X}^{t(p)}M} 과 (와) T p . {\displaystyle T_{p}M.} 마찬가지로 풀백 맵 사이.
( Γ X t ) p ∗ : T Γ X t ( p ) ∗ M → T p ∗ M {\displaystyle \left(\Gamma _{X}^{t}\right)_{p}^{*}: T_{\감마_{X}^{t}(p)^{*}M\to T_{p}^{*}M} 독특한 텐서 대수의 동형성으로 끌어올리다.
h p t : T ( T Γ X t ( p ) ∗ M ) → T ( T p ∗ M ) . {\displaystyle h_{p}^{t}: T\왼쪽(T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}^{*}M\right)\t(T_{p}^{*}M). } 모든 t , {\displaystyle t ,} 에 대해 결과적 으로 Y {\displaystyle h_{p}^{t}Y } 와 동일한 크기의 텐서 필드가 있다 .
If Y {\displaystyle Y} is an ( r , 0 ) {\displaystyle (r,0)} - or ( 0 , s ) {\displaystyle (0,s)} -type tensor field, then the Lie derivative L X Y {\displaystyle {\cal {L}}_{X}Y} of Y {\displaystyle Y} along a vector field X {\displaystyle X} is defined at point p ∈ M {\displaystyle p\in 예정 M}
L X Y ( p ) = d d t t = 0 ( h p t [ Y ( Γ X t ( p ) ) ] ) = 임이 있는 t → 0 h p t [ Y ( Γ X t ( p ) ) ] − Y ( p ) t . {\displaystyle {\cal{L}_{X}Y(p)={\frac {d}{dt}}{\biggl }{t=0}\왼쪽(h_{p}^{t}\왼쪽[] Y\왼쪽(\Gamma _{X}^{t}(p)\right)\right]=\lim _{t\t\to 0}{\frac {h_{p}^{t}\왼쪽[] Y\왼쪽(\Gamma _{X}^{t}(p)\right)\right]-Y(p)}{t}}. } 결과 텐서 필드 L X Y {\displaystyle {\cal{L}_{X} Y} 은( 는) Y {\displaystyle Y} s와 동일하다.
대수적 정의 우리는 이제 대수적 정의를 내린다. 텐서 필드의 Lie 파생상품에 대한 대수적 정의는 다음의 네 가지 공리에서 온다.
공리법 1. 함수의 Lie 파생상품은 함수의 방향적 파생상품과 동일하다. 이 사실은 종종 공식으로 표현된다. L Y f = Y ( f ) {\displaystyle {\mathcal{L}_{Y}f=Y(f)} 악시오 2. 리 파생상품은 라이프니츠의 법칙의 다음 버전을 따른다. 모든 텐서 필드 S 와 T는 L Y ( S ⊗ T ) = ( L Y S ) ⊗ T + S ⊗ ( L Y T ) . {\displaystyle {\mathcal {L}_{Y}(S\otimes T)=({\mathcal {L}_{Y}S)\otimes T+S\otimes({\mathcal {L}_{Y}T). } Axiom 3. 리 파생상품은 라이프니즈 규정에 따른다. L X ( T ( Y 1 , … , Y n ) ) = ( L X T ) ( Y 1 , … , Y n ) + T ( ( L X Y 1 ) , … , Y n ) + ⋯ + T ( Y 1 , … , ( L X Y n ) ) {\displaystyle {\mathcal {L}_{X}(T)(Y_{1},\ldots,Y_{n})=({\mathcal {L}_{X})(Y_{1},\ldots,Y_{n})+T({\mathcal {L}_{X}) Y_{1}),\ldots ,Y_{n}+\cdots +T(Y_{1},\ldots ,({\mathcal{L}_{X}) Y_{n})} Axiom 4. Lie 파생상품은 기능상 외부 파생상품과 통용된다. [ L X , d ] = 0 {\displaystyle [{\mathcal{L}_{X}d]=0} 이러한 공리가 유지되는 경우, 관계 d f ( Y ) = Y( f ) {\displaystyle {\l }_{ X }에 Lie 파생상품 L X {\displaystyle {\mathcal{L}_ {X} 을 적용하면 다음과 같은 결과가 나타난다 .
L X Y ( f ) = X ( Y ( f ) ) − Y ( X ( f ) ) , {\displaystyle {\mathcal{L}_{X}Y(f)=X(f)-Y(X(f)),} 이것 은 눕는 브래킷 에 대한 표준 정의 중 하나이다.
다른 형태로 작용하는 Lie 파생상품은 외부 파생상품과 함께 내부제품 의 안티코무터다 . 그래서 α가 미분형이라면
L Y α = i Y d α + d i Y α . {\displaystyle {\mathcal{L}_{Y}\알파 =i_{{ Y}d\알파 +di_{ Y}\알파 .} 이는 표현이 외부 파생물과 통용되고, 파생(등급 파생의 반공칭자)이며, 기능에 올바른 역할을 하는지를 확인함으로써 쉽게 이어진다.
명시적으로 T 를 type의 tensor 필드(p, q )로 한다. T 는 T(α 1 , α2 2 , ..., 등가 번들 TM 의∗ α1 1 , α, α, α p , α 2 , α , 접선 번들 TM 의 섹션 2 X, X 1 , X q )를 R로 표기하여 서로 다른 형태 의 다선형 지도 라고 간주한다. 공식으로 Y 를 따라 T 의 Lie 파생 모델 정의
( L Y T ) ( α 1 , α 2 , … , X 1 , X 2 , … ) = Y ( T ( α 1 , α 2 , … , X 1 , X 2 , … ) ) {\displaystyle({\mathcal{L}_{Y}T)(\alpha _{1},\alpha _{1}, X_{1},\ldots )=Y(T)(\alpha _{1},\ldots _{1}, X_{1}, {1}, X_{2},\ldots)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}. − T ( L Y α 1 , α 2 , … , X 1 , X 2 , … ) − T ( α 1 , L Y α 2 , … , X 1 , X 2 , … ) − … {\displaystyle -T({\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},{\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-\ldots } − T ( α 1 , α 2 , … , L Y X 1 , X 2 , … ) − T ( α 1 , α 2 , … , X 1 , L Y X 2 , … ) − … {\displaystyle -T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{Y}X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},{\mathcal {L}}_{Y}X_{2},\ldots )-\ldots } 분석적 정의와 대수적 정의는 분화를 위한 푸시포워드와 라이프니즈 규칙 의 특성을 사용하여 동등하다는 것을 증명할 수 있다. Lie 파생상품은 수축과 통한다.
Differential Form의 Lie 파생 모델 텐서 필드의 특히 중요한 세분류는 미분형 이다. Lie 파생상품이 차등형태의 공간에 한정되는 것은 외부 파생상품 과 밀접한 관련이 있다. Lie 파생상품과 외부 파생상품 모두 다른 방식으로 파생상품의 아이디어를 포착하려고 시도한다. 이러한 차이점들은 인테리어 제품 의 아이디어를 도입함으로써 연결될 수 있으며, 그 후에 관계는 카르탄 의 공식으로 알려진 정체성으로 나타난다. 카르탄의 공식은 또한 다른 형태의 공간에 있는 리 파생상품의 정의로도 사용될 수 있다.
M 을 다지관으로 하고 M 에 벡터장을 X 로 한다. Let ω ∈ Λ k + 1 ( M ) {\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k+1}(M)} be a (k + 1) -form , i.e. for each p ∈ M {\displaystyle p\in M} , ω ( p ) {\displaystyle \omega (p)} is an alternating multilinear map from ( T p M ) k + 1 {\displaystyle (T_{p}M)^{k+1}} to the real numbers. X 와 Ω 의 내부 제품 은 다음과 같이 정의된 k-form i X X Ω {\displaystyle i_{X}\omega } 이다.
( i X ω ) ( X 1 , … , X k ) = ω ( X , X 1 , … , X k ) {\displaystyle(i_{X}\omega )(X_{1},\ldots,X_{k}=\omega(X,X_{1},\ldots,X_{k}),} 차동 형식 i X Ω {\displaystyle i_{X}\omega } 을(를) X 로 Ω 의 수축이라고 도 하며 ,
i X : Λ k + 1 ( M ) → Λ k ( M ) {\displaystyle i_{X}: \Lambda ^{k+1}(M)\오른쪽 화살표 \Lambda ^{k}(M)} 및 i X {\ displaystyle i_{X}} 은 (는) display {\displaystyle \wedge }( 차등 형태의 wedge 제품)-antiderivation 이다. 즉, i X {\ displaystyle i_{X} 는 R-선형이며,
i X ( ω ∧ η ) = ( i X ω ) ∧ η + ( − 1 ) k ω ∧ ( i X η ) {\displaystyle i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1) ^{k}\omega \웨지(i_{X}\eta )} Ω ∈ λ k k ( M ) {\displaystyle \omega \ in \Lambda ^{k}( M )} 및 another 또 다른 차등 형식. 또한, 함수 f 0 0 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Lambda ^{0}(M )}, 즉, M 에 대한 실제 또는 복합 값 함수는 다음과 같다.
i f X ω = f i X ω {\displaystyle i_{fX}\omega =f\,i_{X}\omega } 여기서 f {\displaystyle fX} 은 f 와 X 의 곱을 나타낸다. 이어 외부 파생상품 과 리 파생상품의 관계를 다음과 같이 요약할 수 있다. 첫째, 벡터장 X 에 관한 함수 f 의 Lie 파생상품은 방향파생상품 X(f )와 동일하므로, X 에 대한 f 의 외부파생상품의 수축 과도 같다.
L X f = i X d f {\displaystyle {\mathcal{L}_{X}f=i_{X}\,df} 일반적인 미분형에서, 리 파생상품은 마찬가지 로 수축이며, X의 변동을 고려한다.
L X ω = i X d ω + d ( i X ω ) . {\displaystyle {\mathcal{L}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega). } 이 정체성은 카르탄 공식 , 카르탄 호모토피 공식 또는 카르탄의 마법 공식 으로 다양하게 알려져 있다. 자세한 내용은 내부 제품 을 참조하십시오. 카르탄 공식은 차등 형태의 Lie 파생상품의 정의로 사용될 수 있다. 카르탄의 공식은 특히 다음과 같은 것을 보여준다.
d L X ω = L X ( d ω ) . {\displaystyle d{\mathcal {L}_{X}\omega = {\mathcal {L}{X}(d\omega). } Lie 파생상품은 또한 관계를 충족시킨다.
L f X ω = f L X ω + d f ∧ i X ω . {\displaystyle {\mathcal {L}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}{X}\omega +df\wedge i_{X}\mathcal .}
좌표식 참고: 반복 지수를 요약하는 아인슈타인 종합 관례 가 아래에 사용된다. 로컬 좌표 표기법에서 유형(r , s) 텐서 필드 T {\displaystyle T } 에 대해 X {\displaystyle X} 을 (를) 따르는 Lie 파생형은
( L X T ) a 1 … a r b 1 … b s = X c ( ∂ c T a 1 … a r b 1 … b s ) − ( ∂ c X a 1 ) T c a 2 … a r b 1 … b s − … − ( ∂ c X a r ) T a 1 … a r − 1 c b 1 … b s + ( ∂ b 1 X c ) T a 1 … a r c b 2 … b s + … + ( ∂ b s X c ) T a 1 … a r b 1 … b s − 1 c {\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&{}-{}(\partial _{c}X^{a_{1}}) T^{ca_{2}\ldots a_{r}{}}{{b_{1}}\ldots b_{s}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}}) T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}{{b_{1}}\ldots b_{s}\\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c}) T^{a_{1}\ldots a_{r}{}}{cb_{2}\ldots b_{s}+\ldots +(\partial _{b_}}}X^{c}) T^{a_{1}\ldots a_{r}}{{b_{1}}\ldots b_{s-1}c}\ended}}}} 여기서 표기법 ∂ a = ∂ x \ x \partial _{a}={\frac {\partial x^{a }}{\ partial x^{a}}}}}} 또는 비틀림 없는 연결 ( 예 : Levi Civita 연결 )을 사용하는 경우 부분파생물을 취함을 의미한다. ∂ a {\displaystyle \partial _{a}} can be replaced with the covariant derivative which means replacing ∂ a X b {\displaystyle \partial _{a}X^{b}} with (by abuse of notation) ∇ a X b = X ; a b := ( ∇ X ) a b = ∂ a X b + Γ a c b X c {\displaystyle \nabla _{a}X^{b}=X_{;a}^{b}:=(\na bla X)_{a}^{\ b}=\partial _{a}X^{b}+\Gamma _{ac}^{b}X^{c}} where the Γ b c a = Γ c b a {\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}} are the Christoffel coefficients .
텐서(tensor)의 Lie 파생상품은 같은 유형의 또 다른 텐서(tensor)로, 즉, 표현에서 개별 용어들이 좌표계의 선택에 따라 달라지더라도 전체 표현은 텐서(tensor)가 된다.
( L X T ) a 1 … a r b 1 … b s ∂ a 1 ⊗ ⋯ ⊗ ∂ a r ⊗ d x b 1 ⊗ ⋯ ⊗ d x b s {\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\partial _{a_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{a_{r}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{b_{s}}} 좌표계와 독립적이며 T {\displaystyle T} 과 동일한 유형.
그 정의는 텐서 밀도로 더 확장될 수 있다. T 가 일부 실수 평가 중량 w 의 텐서 밀도(예: 중량 1의 부피 밀도)인 경우, 그 Lie 파생상품은 동일한 유형과 중량의 텐서 밀도다.
( L X T ) a 1 … a r b 1 … b s = X c ( ∂ c T a 1 … a r b 1 … b s ) − ( ∂ c X a 1 ) T c a 2 … a r b 1 … b s − … − ( ∂ c X a r ) T a 1 … a r − 1 c b 1 … b s + + ( ∂ b 1 X c ) T a 1 … a r c b 2 … b s + … + ( ∂ b s X c ) T a 1 … a r b 1 … b s − 1 c + w ( ∂ c X c ) T a 1 … a r b 1 … b s {\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\partial _{c}X^{a_{1}}) T^{ca_{2}\ldots a_{r}{}}{{b_{1}}\ldots b_{s}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}}) T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}{{b_{1}}\ldots b_{s}+\&+(\partial _{b_}}}}X^{c}) T^{a_{1}\ldots a_{r}{}}{cb_{2}\ldots b_{s}+\ldots +(\partial _{b_}}}X^{c}) T^{a_{1}\ldots a_{r}{}}{{b_{1}}\ldots b_{s-1}c}+w(\partial _{c}X^{c}}) T^{a_{1}\ldots a_{r}}{{b_{1}}\ldots b_{s}}\end{arged}}} 표현식의 끝에 새로운 용어를 주목하라.
선형 연결 γ = ( γ b c a ) {\displaystyle \Gamma =(\Gamma _{bc}^{a }}}) 의 경우 X {\displaystyle X} 을[3] (를) 따르는 Lie 파생형은
( L X Γ ) b c a = X d ∂ d Γ b c a + ∂ b ∂ c X a − Γ b c d ∂ d X a + Γ d c a ∂ b X d + Γ b d a ∂ c X d {\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\Gamma )_{bc}^{a}=X^{d}\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\partial _{b}\partial _{c}X^{a}-\Gamma _{bc}^{d}\partial _{d}X^{a}+\Gamma _{dc}^{a}\partial _{b}X^{d}+\Gamma _{bd}^{a}\partial _{c}X^{d}} 예 명확히 하기 위해 우리는 이제 지역 좌표 표기법으로 다음과 같은 예를 보여준다.
스칼라 필드 ϕ ( x c ) ∈ F ( M ) {\displaystyle \pi (x^{c}\\\mathcal {F}(M)} 의 경우:
( L X ϕ ) = X ( ϕ ) = X a ∂ {\displaystyle({\mathcal{L}_{X}\phi )=X(\phi )=X^{ a}\partial _{ a}\phi }. Hence for the scalar field ϕ ( x , y ) = x 2 − sin ( y ) {\displaystyle \phi (x,y)=x^{2}-\sin(y)} and the vector field X = sin ( x ) ∂ y − y 2 ∂ x {\displaystyle X=\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}} the corresponding Lie derivative becomes
L X ϕ = ( 죄를 짓다 ( x ) ∂ y − y 2 ∂ x ) ( x 2 − 죄를 짓다 ( y ) ) = 죄를 짓다 ( x ) ∂ y ( x 2 − 죄를 짓다 ( y ) ) − y 2 ∂ x ( x 2 − 죄를 짓다 ( y ) ) = − 죄를 짓다 ( x ) cas ( y ) − 2 x y 2 {\displaystyle {\begin{aignatedat}{3}{\mathcal {L}_{X}\phi &=(\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x})(x^{2}-\sin(y) \\&=\sin(x)\properties _{y}(x^{2}-\sin(y)-y^{2}\properties _{x}(x^{2}-\sin(y)) \\&=-\sin(x)\cos(y)-2xy^{2}\\\end{aignatedat}}}
상위 순위 차등 형식의 예에서는 이전 예에서 2-폼 Ω = ( x 2 + y 2 ) d x ∧ d z {\displaystyle \omega =(x^{2}+y^{2})dx\wedge dz} 와 벡터 필드 X {\displaysty X} 를 고려하십시오. 그러면
L X ω = d ( i 죄를 짓다 ( x ) ∂ y − y 2 ∂ x ( ( x 2 + y 2 ) d x ∧ d z ) ) + i 죄를 짓다 ( x ) ∂ y − y 2 ∂ x ( d ( ( x 2 + y 2 ) d x ∧ d z ) ) = d ( − y 2 ( x 2 + y 2 ) d z ) + i 죄를 짓다 ( x ) ∂ y − y 2 ∂ x ( 2 y d y ∧ d x ∧ d z ) = ( − 2 x y 2 d x + ( − 2 y x 2 − 4 y 3 ) d y ) ∧ d z + ( 2 y 죄를 짓다 ( x ) d x ∧ d z + 2 y 3 d y ∧ d z ) = ( − 2 x y 2 + 2 y 죄를 짓다 ( x ) ) d x ∧ d z + ( − 2 y x 2 − 2 y 3 ) d y ∧ d z {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}\omega &=d(i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(d((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz)) \\&=d(-y^{2}(x^{2}+y^{2}dz)+i_{\sin(x)\i_{y}-y^{2}\i1\i1\{x}}(2ydy\cHB\i1dz) \\&=\left2xy^{2}dx+(-2yx^{2}-4y^{3}dy\right)\dz+(2y\sin(x)dx\dz+2y^{3}dy\dy\dydy\dz) \&=\left2xy^{2}+2y\sin(x)\right)dx\dz+(-2yx^{2}-2y^{3}dy\miss dz\end{aigned}}}}}}}
좀 더 추상적인 예들.
L X ( d x b ) = d i X ( d x b ) = d X b = ∂ a X b d x a {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=di_{X}(dx^{b})=dX^{b}=\partial _{a}X^{b}dx^{a}} . 따라서 코브터 필드 의 경우, 즉 차등 형식 인 A = A a ( x b ) d x x a {\displaystyle A=A_{a}(x^{b}dx^{ a}){a} 는 다음과 같다.
L X A = X ( A a ) d x a + A b L X ( d x b ) = ( X b ∂ b A a + A b ∂ a ( X b ) ) d x a {\displaystyle {\mathcal{L}_{X}A=X(A_{a})dx^{a}+ A_{b}{\mathcal{L}_{X}(dx^{b})=(X^{b}\partial _{b} A_{a}+A_{b}\partial _{a}(X^{b})dx^{a}}} 마지막 식의 계수는 Lie 파생상품의 국소 좌표식이다.
공변량 순위 2 텐서 필드 T = T a b ( x c ) d x x d d x b {\dplaystyle T=T_{ab}(x^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}} 에 대해 다음이 있다.
( L X T ) = ( L X T ) a b d x a ⊗ d x b = X ( T a b ) d x a ⊗ d x b + T c b L X ( d x c ) ⊗ d x b + T a c d x a ⊗ L X ( d x c ) = ( X c ∂ c T a b + T c b ∂ a X c + T a c ∂ b X c ) d x a ⊗ d x b {\displaystyle {\begin{begin}({\mathcal {L}_{X}T)&=({\mathcal {L}_{X}T)_{ab}dx^{a}\notimes dx^{b}\x^{b+} T_{cb}{\mathcal{L}_{X}(dx^{c})\otimes dx^{b}+ T_{ac}dx^{a}\otimes {\mathcal {L}_{X}(dx^{c})\\&=(X^{c}\partial _{c}T_{ab}+ T_{cb}\partial _{a}X^{c}+ T_{ac}\partial _{b}X^{c}dx^{a}\otimes dx^{b}\\ended}}}}
T = g {\displaystyle T=g} 이 (가) 대칭 메트릭 텐서일 경우 Levi Civita 연결(공변량 파생상품이라고 함)에 대해 평행하며, 연결을 사용하면 생산성이 높아진다. 이는 모든 파생상품을 공변량 파생상품으로 대체해 주는 효과가 있다.
( L X g ) = ( X c g a b ; c + g c b X ; a c + g a c X ; b c ) d x a ⊗ d x b = ( X b ; a + X a ; b ) d x a ⊗ d x b {\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}g)=(X^{c}g_{ab;c}+g_{cb}X_{;a}^{c}+g_{ac}X_{;b}^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}=(X_{b;a}+X_{a;b})dx^{a}\otimes dx^{b}} 특성. Lie 파생상품은 많은 특성을 가지고 있다. F ( M ) {\displaystyle {\mathcal {F}(M)} 을(를) 다지관 M 에 정의된 함수의 대수 라고 한다. 그러면
L X : F ( M ) → F ( M ) {\displaystyle {\mathcal {L}_{X}:{\mathcal {F}(M)\오른쪽 화살표 {\mathcal {F}(M)} 대수 F ( M ) {\displaystyle {\mathcal {F}(M)} 에 대한 파생어 . 즉, L X {\ displaystyle {\mathcal {L}_{X} 는 R-선형이고
L X ( f g ) = ( L X f ) g + f L X g . {\displaystyle {\mathcal {L}_{X}(fg)=({\mathcal {L}_{X}f)g+f{\mathcal {L}_{X}g.} 마찬가지로 F ( M ) × X ( M ) {\displaystyle {\mathcal {F}(M )\ time {\mathcal {X}(M )} 에 대한 파생이며, 여기 서 X(M ) 는 M (cf)의 벡터 필드 집합이다 . 기사 6의 정리: 니치타, F.F. 통일 이론: 새로운 결과 및 예. Axiomes 2019, 8, 60:
L X ( f Y ) = ( L X f ) Y + f L X Y {\displaystyle {\mathcal {L}_{X}(fY)=({\mathcal {L}_{X}f) Y+f{\mathcal{L}_{X} Y} 등가 표기법으로도 표기할 수 있다.
L X ( f ⊗ Y ) = ( L X f ) ⊗ Y + f ⊗ L X Y {\displaystyle {\mathcal {L}_{X}(f\otimes Y)=({\mathcal {L}_{X}f)\otimes Y+f\mathcal {L}{X}} Y} 여기서 텐서 제품 기호 ⊗{\displaystyle \otimumes } 을 사용하여 함수 곱이 벡터 필드를 전체 다지관 위로 가져간다는 사실을 강조한다.
추가 특성은 Liebracket 의 특성과 일치한다. 따라서, 예를 들어 벡터 필드에서 파생된 것으로 간주된다.
L X [ Y , Z ] = [ L X Y , Z ] + [ Y , L X Z ] {\displaystyle {\mathcal {L}_{X}=[{\mathcal {L}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}_{X}Z]}}} 사람들은 위의 것들이 단지 자코비 정체성 일 뿐이라고 생각한다. 따라서, Lie Bracket을 장착한 M 위에 있는 벡터장의 공간이 Lie 대수학 (Lie 대수학)을 형성한다는 중요한 결과를 얻게 된다.
Lie 파생상품은 또한 미분형에서 작용하는 경우 중요한 성질을 가진다. M 에서 α 와 β 를 두 개의 미분 형태로 하고, X 와 Y 를 두 개의 벡터장이 되게 한다. 그러면
L X ( α ∧ β ) = ( L X α ) ∧ β + α ∧ ( L X β ) {\displaystyle {\mathcal{L}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}_{X}\alpha )\wedge \beta \wedge({\mathcal {L}}}\x}\beta )}}} [ L X , L Y ] α := L X L Y α − L Y L X α = L [ X , Y ] α {\displaystyle [{\mathcal {L}_{X},{\mathcal {L}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}_{X}{\mathcal {L}}\alpha -{\mathcal}}}{L}}}}}}{{\mathcalphalphalphalphalph}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}} Y}{\mathcal{L}_{X}\alpha ={\mathcal {L}_{[X,Y]}\alpha }} [ L X , i Y ] α = [ i X , L Y ] α = i [ X , Y ] α , {\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha ,} where i denotes interior product defined above and it is clear whether [·,·] denotes the commutator or the Lie bracket of vector fields .
일반화 Lie 파생상품의 다양한 일반화는 미분 기하학에서 중요한 역할을 한다.
스피너 필드의 리 파생 모델 일반(시료도) 리만 다지관 의 일반적(시료도) 리만 다지관에서 킬링(Killing one)이 아닌 일반 스페이스타임 벡터장을 따라 스피너 의 리 파생상품에 대한 정의는 이미 1971년 이베트 코스만 에 의해 제안되었다.[4] 나중에, 그것은 (게이지 공변량) 필드 이론에 가장 적합한 영역으로 판명된 자연 번들의 게이지의 명시적인 맥락에서 섬유 묶음 에[5] 대한 리 파생 모델의 일반적인 프레임워크 내에서 그녀의 특별 처방을 정당화하는 기하학적 프레임워크를 제공받았다.[6]
In a given spin manifold , that is in a Riemannian manifold ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} admitting a spin structure , the Lie derivative of a spinor field ψ {\displaystyle \psi } can be defined by first defining it with respect to infinitesimal isometries (Killing vector fields) via the André Lichnerowicz 's local expression given i n 1963:[7]
L X ψ := X a ∇ a ψ − 1 4 ∇ a X b γ a γ b ψ , {\displaystyle {\mathcal{L}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{1}{1}}}\nabla _{a}X_{b}\gamma ^{b}\psi \...} where ∇ a X b = ∇ [ a X b ] {\displaystyle \nabla _{a}X_{b}=\nabla _{[a}X_{b]}} , as X = X a ∂ a {\displaystyle X=X^{a}\partial _{a}} is assumed to be a Killing vector field , and γ a {\displaystyle \gamma ^{a}} are Dirac matrices .
그런 다음 일반 벡터 필드 X {\displaystyle X} 에 대한 리히너로위츠의 로컬 식을 유지하되, 명시적으로 X b {\ displaystyle \nabla _{a}X_{b }}의 대칭 부분을 취함으로써 리히너로위츠의 정의를 모든 벡터 필드(일반적으로 무한 변환)로 확장할 수 있다.[4] 보다 분명히 1972년 코스만의 지역적 표현은 다음과 같다.[4]
L X ψ := X a ∇ a ψ − 1 8 ∇ [ a X b ] [ γ a , γ b ] ψ = ∇ X ψ − 1 4 ( d X ♭ ) ⋅ ψ , {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{8}}\nabla _{[a}X_{b]}[\gamma ^{a},\gamma ^{b}]\psi \,=\nabla _{X}\psi -{\frac {1}{4}}(dX^{\flat })\cdot \psi \,,} where [ γ a , γ b ] = γ a γ b − γ b γ a {\displaystyle [\gamma ^{a},\gamma ^{b}]=\gamma ^{a}\gamma ^{b}-\gamma ^{b}\gamma ^{a}} is the commutator, d {\displaystyle d} is exterior derivative , X ♭ = g ( X , − ) {\displaystyle X^{\flat }=g(X,-)} is the dual 1 form corresponding to X {\displayst 미터법 아래 yle X}( 즉, 지수가 낮음) 및 ⋅ {\displaystyle \cdot } 은 (는) Clifford 곱셈이다.
스피너 리 파생상품은 측정지표와 독립적이며, 따라서 연결 에도 영향을 미치지 않는다는 점에 유의할 필요가 있다. 이는 코스만의 국부적 표현에서 오른쪽이 스핀 연결(공변성 파생상품), 벡터장의 이원화(지수의 낮음) 및 스피너 번들 의 클리포드 곱셈을 통해 메트릭에 의존하는 것처럼 보이기 때문에 오른쪽에서 보면 분명하지 않다. 코즈만의 국부적 표현에서 오른쪽의 수량이 결합되어 모든 미터법과 연결 종속 용어를 취소한다.
하나 스피너 필드의 리 고 계도 함수의 정의 섬유 다발의 절과 YKosmann에 의해 스피너에 직접적인 방법의 리 파생 상품의 이론의 더 일반적인 틀 속에 위치하는 원래 article,[8][9]를 나타낼 수 있다 스피너 분야의 리 파생 상품의long-debated 개념에 대해 더 깊이 이해하려면.사건 코스만 리프트 라고 불리는 새로운 기하학적 개념의 형태로 자연 묶음을 측정하기 위해 일반화되었다.
공변량 리 유도체 만일 우리가 G를 구조물 그룹으로 하여 다지관 M 위에 주성분 묶음을 가지고 있고, 주성분 접선 공간의 섹션으로 X를 공변량 벡터장으로 선택한다면(즉 수평 및 수직 구성요소를 가지고 있다), 공변량 리 파생상품은 주성분 위의 X에 관한 리 파생상품일 뿐이다.
이제 M 에 대한 벡터 필드 Y 를 부여받았지만(주요 번들은 제외) 기본 번들에 대한 연결 도 부여받으면, 우리는 기본 번들에 대한 벡터 필드 X를 정의하여 수평 구성요소가 Y 와 일치하고 수직 구성요소가 연결에 동의하도록 할 수 있다. 이것은 공변량 Lie 파생상품이다.
자세한 내용은 연결 양식 을 참조하십시오.
니젠후이스-리 파생상품 Albert Nijenhuis 에 의한 또 다른 일반화는 접선다발에서 값을 갖는 차동형식의 번들 Ωk (M , TM)의 어느 구간을 따라 차동형식의 Lie 파생형을 정의할 수 있다. K ∈ Ωk (M , TM)과 α가 미분 p형이라면 K 와 α의 내부 제품 α 를K 정의할 수 있다. Nijenhuis-Lie 파생상품은 내부제품과 외부파생상품의 안티코무터가 된다.
L K α = [ d , i K ] α = d i K α − ( − 1 ) k − 1 i K d α . {\displaystyle {\mathcal{L}_{K}\알파 =[d,i_{K}]\알파 =di_{K}\알파 -(-1)^{k-1i_{K}\d\알파 .} 역사 1931년, Wwadyswaw bodbodzziskiski는 새로운 미분 연산자를 도입하였는데, 후에 David van Dantzighih 가 Scalar, 벡터, 텐서 및 압착 연결부에 적용할 수 있으며, 이 연산자는 자동화 그룹의 연구에서 강력한 도구로 입증되었다.
일반적인 기하학적 물체의 Lie 유도체 (즉, 천연 섬유 묶음 의 단면)는 A 가 연구한 것이다. 니젠후이스 , Y. 타시로와 K. 야노야
꽤 오랜 시간 동안 물리학자들은 수학자들의 연구와 관련 없이 Lie파생물을 사용해 왔다. 1940년, 레옹 Rosenfeld[10]—and 그를 전에(1921[11]에)볼프강 Pauli[12]—introduced 그는. 어느 암 어떤{\displaystyle\delta ^{\ast}A ∗는 기하학적 개체의‘지역 변화’ δ}한{\displaystyle A\,}의 좌표가 극미한 변형은 벡터 영역에 의해 X{\displaystyle X\,}생성에 의해 유도되라고 불렀다n 쉽게 pr 그의 Δ Δ A {\displaystyle \delta ^{\\ast }A} 이(가) - L X ( A ) {\ displaystyle -{\mathcal{L}_{X}(A)\,} 라고 과대평가한다.
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