레비-시비타 기호

수학에서, 특히 선형 대수학, 텐서 해석학, 미분기하학에서, 레비-시비타 기호 또는 레비-시비타 엡실론은 어떤 양의 정수 n에 대한 자연수 1, 2, ..., n의 치환의 부호로부터 정의되는 수들의 집합을 나타냅니다. 이 이름은 이탈리아의 수학자이자 물리학자인 툴리오 레비-시비타의 이름을 따서 지어졌습니다. 다른 이름에는 순열 기호, 반대칭 기호 또는 교대 기호가 포함되며 순열에 대한 반대칭 속성 및 정의를 나타냅니다.

레비-시비타 기호를 나타내는 표준 문자는 그리스 소문자 엡실론 ε 또는 ϵ 또는 데카르트 참조 시스템의 e-매트릭스에 대한 라틴 소문자 e입니다. 인덱스 표기법을 사용하면 텐서 분석과 호환되는 방식으로 순열을 표시할 수 있습니다.

여기서 각 인덱스 i, i, ..., i는 값 1, 2, ..., n을 취합니다. n개의 인덱스가 있는 ε 값은 n차원 배열로 배열될 수 있습니다. 기호의 주요 정의 속성은 지수의 전체 반대칭입니다. 두 지수가 같거나 아니거나 상호 교환되면 기호는 음수가 됩니다.

두 지수가 같으면 기호는 0입니다. 모든 지수가 동일하지 않을 때, 우리는 다음을 가집니다.

여기서 p(순열의 패리티라고 함)는 i₁, i, ..., i를_n 1, 2₂, ..., n의 순서로 스크램블 해제하는 데 필요한 인덱스들의 쌍방향 교환들의 수이며, 인수 (-1)^p를 순열의 부호 또는 서명이라고 합니다. 값 ε를 정의해야 합니다. 그렇지 않으면 모든 순열에 대한 기호의 특정 값이 불확실합니다. 대부분의 저자는 ε = +1을 선택합니다. 이는 지수가 모두 동일하지 않을 때 레비-시비타 기호는 순열의 부호와 같다는 것을 의미합니다. 이 선택은 이 기사 전반에 걸쳐 사용됩니다.

"n차원 레비-시비타 기호"란 기호 n의 인덱스 수가 유클리드 또는 비유클리드일 수 있는 문제의 벡터 공간의 차원과 일치한다는 사실을 말합니다. 예를 들어 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$ 또는$$ 민코프스키 공간. Levi-Civita 기호의 값은 메트릭 텐서 및 좌표계와 무관합니다. 또한 "기호"라는 특정 용어는 좌표계 간 변환 방식 때문에 텐서가 아니라는 점을 강조하지만 텐서 밀도로 해석할 수 있습니다.

레비-시비타 기호는 정방 행렬의 행렬식과 3차원 유클리드 공간에서 두 벡터의 교차 곱을 아인슈타인 지수 표기법으로 표현할 수 있게 합니다.

정의.

Levi-Civita 기호는 3차원과 4차원에서 가장 많이 사용되며, 2차원에서 어느 정도 사용되므로 일반적인 경우를 정의하기 전에 여기에 제공됩니다.

이차원

2차원에서 Levi-Civita 기호는 다음과 같이 정의됩니다.

값은 2 × 2 반대칭 행렬로 배열할 수 있습니다.

2차원 기호의 사용은 응축된 물질과 초대칭^[1] 및 트위스터 이론과 같은 특정 전문화된 고에너지 주제에서 일반적으로 사용되며,^[2] 여기서 2-스피너의 맥락에서 나타납니다.

입체감

3차원에서 Levi-Civita 기호는 다음과 같이 정의됩니다.^[3]

즉, (i, j, k)가 (1, 2, 3)의 짝수 순열이면 ε이 1이고, 홀수 순열이면 -1이고, 어떤 지수라도 반복되면 0입니다. 3차원에서만 (1, 2, 3)의 순환 순열은 모두 짝수 순열이고, 마찬가지로 반순환 순열은 모두 홀수 순열입니다. 이것은 3d에서 (1, 2, 3)의 순환 또는 반순환 순열을 취하고 모든 짝수 또는 홀수 순열을 쉽게 얻는 것으로 충분하다는 것을 의미합니다.

2차원 행렬과 유사하게, 3차원 Levi-Civita 기호의 값은 3×3×3 배열로 배열될 수 있습니다.

여기서 i는 깊이(파란색: i = 1, 빨간색: i = 2, 녹색: i = 3)이며, j는 행이고 k는 열입니다.

몇 가지 예:

사차원

4차원에서 Levi-Civita 기호는 다음과 같이 정의됩니다.

이러한 값은 4차원 이상에서는 그리기가 어렵지만 4×4×4 배열로 배열할 수 있습니다.

몇 가지 예:

n차원으로의 일반화

일반적으로 n차원에서 레비-시비타 기호는 다음과 같이 정의됩니다.^[4]

따라서 순열의 경우 순열의 부호이고, 그렇지 않으면 0입니다.

일반적인 숫자의 곱셈에 대문자 pi 표기법 π를 사용하면 기호에 대한 명시적인 표현식은 다음과 같습니다.

여기서 signum 함수(sgn으로 표시됨)는 인수의 부호를 반환하고 0이 아닌 경우 절대값을 폐기합니다. 이 공식은 모든 지수 값과 임의의 n에 대해 유효합니다(n = 0 또는 n = 1인 경우, 이것이 빈 곱입니다). 그러나 위의 공식을 순수하게 계산하는 것은² O(n)의 시간 복잡성을 갖는 반면, 부호는 O(n log(n)) 비용으로만 분리된 사이클의 순열 패리티에서 계산할 수 있습니다.

특성.

정규 기저에 있는 성분이 Levi-Civita 심볼(공변 랭크 n의 텐서)에 의해 제공되는 텐서를 순열 텐서라고 부르기도 합니다.

텐서에 대한 일반적인 변환 규칙에 따르면 레비-시비타 기호는 순수 회전 하에서는 변하지 않으며, 이는 직교 변환과 관련된 모든 좌표계에서 동일하다는 것과 일치합니다. 그러나 Levi-Civita 심볼은 예를 들어 홀수 차원에서의 반사와 같은 Jacobian 행렬식 -1의 직교 변환 하에서 텐서일 경우 마이너스 부호를 획득해야 하기 때문에 의사 텐서입니다. 전혀 변하지 않으므로 레비-시비타 기호는 정의상 의사텐서입니다.

Levi-Civita 기호는 의사텐서이므로 교차 곱을 취한 결과는 벡터가 아닌 의사벡터입니다.^[5]

일반적인 좌표 변화 하에서, 순열 텐서의 성분은 변환 행렬의 자코비안에 곱해집니다. 이는 텐서가 정의된 것과 다른 좌표계에서 그 구성요소가 전체적인 요인에 의해 Levi-Civita 심볼의 구성요소와 다를 수 있음을 의미합니다. 프레임이 정상인 경우 프레임의 방향이 동일한지 여부에 따라 인자는 ±1이 됩니다.^[5]

인덱스가 없는 텐서 표기에서는 Levi-Civita 기호가 호지 듀얼의 개념으로 대체됩니다.

합 기호는 아인슈타인 표기법을 사용하여 제거할 수 있으며, 여기서 두 개 이상의 항 사이에서 반복되는 지수는 해당 지수에 대한 합을 나타냅니다. 예를들면,

${\displaystyle {}_{}{}_{}}$≡${\displaystyle {}_{}}$∑ $i$ ε의 ${\displaystyle j_{}}$k${\displaystyle \underset{}{\epsilon }}$ = 1, ${\displaystyle 2_{}}$, 3 ε${\displaystyle {}_{}}$ijk ε in {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}\equiv \su${\displaystyle m_{}}$ _{i=1, 2, 3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}}.

다음 예에서는 아인슈타인 표기법을 사용합니다.

이차원

2차원에서, 모든 i, j, m, n이 각각 1과 2의 값을 취할 때:^[3]

${\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}={\delta _{i}}^{m}{\delta _{j}}^{n}-{\delta _{i}}^{\n}{\delta _{j}}^{m}$

(1)

${\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}={\delta _{j}}^{n}}$

(2)

${\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{ij}=2.}$

(3)

입체감

인덱스 및 기호 값

3차원에서 모든 i, j, k, m, n이 각각 1, 2, 3의 값을 취할 때:^[3]

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{pqk}=\ delta _{i}}^{p}\ delta _{j}^{q}-\ delta _{i}^{q}\ delta _{j}^{p}}$

(4)

^[6]

${\displaystyle \varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=2{\delta _{j}}^{i}}$

(5)

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6.}$

(6)

제품.

레비-시비타 기호가 반응합니다. $ε${\$displaystyle$ \varepsilon}$$-텐서는 라플라스 확장 정리에 의해 크로네커 델타와 관련이 있습니다. ^{[4] [7]} 3차원에서 이 관계는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta {_{ijk}}^{lmn}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{jl}&\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\delta _{kl}&\delta _{km}\\end{vmatrix}\[6pt]&\\\\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jm}\right) _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right)\end{aligned}}$

${\displaystyle$\delta } - 6차 symbol의 δ을 사용합니다. 여기서 수직선은 행렬식을 나타냅니다.

이 결과의 특별한 경우는 4차 크로네커 델타와의 그라스만 항등식입니다.

${\displaystyle \delta {_{jk}}{^{mn}}=\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}$

때때로 "수축된 엡실론 정체성"이라고 불립니다.

$더$ 수축하면$$δ {\displaystyle \delta} - ID가 발생합니다.

${\displaystyle 2\;\delta {_{k}}{^{n}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijn}}$

그리고.

${\displaystyle 2\;\delta {_{k}}{^{k}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6.}$

아인슈타인 표기법에서 i, j, k 지수의 중복은 i resp. j와 k의 합을 의미하며, 위의 합 기호는 생략될 수 있습니다.

텐서 변환을 사용하여 the upper ${\displaystyle \delta }$-identity may be used to determine an associated unknown contravariant vector basis ${\displaystyle \;{\vec {g}}{^{\beta }}=g_{i}{^{\beta }}\;{\vec {e}}{^{i}}}$ directly from the given covariant vector basis ${\displaystyle \overrightarrow{g}{}_{\gamma }=g^{}}$${\displaystyle r^{}}$ ${\displaystyle {\gamma }^{}}$ e ${\displaystyle {\to }^{}}$ r ${\displaystyle \;{\vec {g$}}{_{\$}}$^{r}{_{\${\displaystyle {\mathrm{gamma}}^{}}$}}\;{\vec {e}}{_{r}} - 기저 벡터의 회전 및 정규화만으로 - 행렬 반전 없이! 공분산 $메트릭$ g γ λ = ${\displaystyle {\mathrm{gr}}_{}}$γ ∗ gr λ {\displaystyle g_{\gamma \lambda }=g{^{r}}{_{\gamma }}*g{^{r}}{_{{\lambda }}{_{\γ λ}}의 필요한 행렬식 g는 볼륨 형태$$g=det(g lambda )에서 얻어집니다. {\displaystyle g=det(g_{\gamma \ \}).$}$

$이$를 위해 다음과 같이$$몇 가지 수정을 통해 δ {\displaystyle$$\delta} - 2차 ID를 마이스너 ID로 변환합니다.

in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}:\;\;}$ :${\displaystyle \delta {}_i{}^k=1/2\ast e{}_i{}_r{}_p\ast \delta {}^r{}_l\ast \delta {}^p{}_m\ast \epsilon {}^k{}^l{}^{m}resp.}$${\displaystyle \delta {{_{i}}{^{k}}}=1/2*e{{_{i}}{_{r}}{_{p}}}*\delta {{^{r}}{_{l}}}*\delta {{^{p}}{_{m}}}*\varepsilon {^{k}}{^{l}}{^{m}}\;\;\;\;resp.$$\;\;\;\;\delta {^{i}{^{k}}}=1/2*\varepsilon {{^{i}}{^{r}}{^{p}}}*\delta {{_{r}}{_{l}}}*\delta {{_{p}}{_{m}}}*\varepsilon {{^{k}}{^{l}}{^{m}}},}$

in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}:\;\;}$ :${\displaystyle \delta {}_i{}^k=e{}_i{}_r\ast \delta {}^r{}_l\ast \epsilon {}^k{}^{l}resp.\delta {}^i{}^k=\epsilon {}^i{}^r\ast \delta {}_r{}_l\ast \epsilon {}^k{}^l,}$${\displaystyle \delta{_{i}}{^{k}}=e{{_{i}}{_{r}}*\delta{^{r}}{_{l}}}*\varepsilon{^{k}}{_{l}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;resp.$$\;\;\;\;\delta {{^{i}}{^{k}}}=\varepsilon {{^{i}}{^{r}}}*\delta {_{r}}{_{l}}*\varepsilon {{^{k}}{^{l}}},}$

위에서 정의한 Levi-Civita 심볼의 값 ± 1 {\$displaystyle$\pm 1}인 $e-$matrix e ${\displaystyle p}$ =$$e^{irp}는 일반적으로 유효한 ε {\displaystyle \varepsilon} - tens서의 퇴화를 나타냅니다(특히 직교 데카르트 기준 시스템의 경우). 비대칭 참조 시스템의$$ε ${\$displaystyle \varepsilon} -텐서는 e-매트릭스에서 다음 텐서 공식을 유도하지 않고 볼륨$요소$ g${\displaystyle {\$sqrt {g}}와$공변$ ε {\displaystyle $\$$varepsilon$} -텐서 achieved을 사용하여 달성됩니다.${\displaystyle \varepsilon {_{\beta }}{_{\gamma }}{_{\kappa }}={\sqrt {g}}*e{_{\beta }}{_{\gamma }}{_{\kappa }}}$ as for the contravariant ${\displaystyle \varepsilon }$-tensor ${\displaystyle \epsilon {}^{\beta }{}^{\gamma }{}^{\kappa }=1/\sqrt{g}\ast e{}^{\beta }{}^{\gamma }{}^{\kappa }.}$${\displaystyle \varepsilon {^{\beta }}{^{\gamma }}{^{\kappa }}=1/{\sqrt {g}}*e{^{\beta }}{^{\gamma }}{^{\kappa }}.$$}$

따라서 편향된 참조 시스템으로의 적절한 텐서 변환은 여러 인덱스 이름 변경에 의해 다음에 대한 위반 마이스너 기저 변환으로 이어집니다.

the three-dimensional contravariant basis vectors ${\displaystyle g{_{i}}\;{^{\beta }}=1/2*e{_{i}}{_{r}}{_{p}}*g{^{r}}{_{\gamma }}*g{^{p}}{_{\kappa }}*\varepsilon {^{\beta }}{^{\gamma }}{^{\kappa }}}$

and the contravariant metric tensor ${\displaystyle g{}^{\alpha }{}^{\beta }=1/2\ast \epsilon {}^{\alpha }{}^{\gamma }{}^{\kappa }\ast g{}_{\gamma }{}_{\lambda }\ast g{}_{\kappa }{}_{\mu }\ast \epsilon {}^{\beta }{}^{\lambda }{}^{\mu },}$${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;;\;\;;\;\;;\;;\;;\;;\;;;\;;\;;;\;;;\;;;\;g{{\alpha }=1/2*\varepsilon {^{\alpha gamma }{^{\alpha }}{\gamma }}*g{_{\kappa lambda }}*g{_{\kappa }}}{_{\mu }}*\varepsilon {^{\beta }}{^{\mu }}}$

에 대하여 각각

$2차원$ 상반 기저 벡터 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ = 각 ∗ gr γ ∗ ε β γ {\displaystyle g {{_{i}}{^{\beta $}}$=e{_{i}}{_{r}}*g{^{r}}{_{\gamma }}*\varepsilon{^{\beta }}{^{\gamma }}}}}

and the contravariant metric tensor :${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;g{{^{\alpha }}{^{\beta }}}=\varepsilon {{^{\alpha }}{^{\gamma }}}*g{{_{\gamma }}{_{\lambda }}}*\varepsilon {{^{\beta }}{^{\lambda }}}.}$

n차원

인덱스 및 기호 값

n차원에서, 모든 i₁,i_n1,j,...,j가_n 1,2,...,n값을 취할 때:

${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=\delta _{i_{1}\dots i_{n}}^{j_{1}\dots j_{n}}}$

(7)

${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}=\delta _{i_{1}\ldots i_{k}~i_{k+1}\ldots i_{n}}^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\ldots j_{n}}=k!~\delta _{i_{k+1}\dots i_{n}}^{j_{k+1}\dots j_{n}}}$

(8)

${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!}$

(9)

여기서 느낌표(!)는 요인을 나타내고 δ는 일반화된 크로네커 델타입니다. 여하튼 부동산은

${\displaystyle \sum_{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon_{ijk\dots }\varepsilon_{ijk\dots }=n!}$

라는 사실로 미루어 볼 때

• 모든 순열은 짝수이거나 홀수입니다.
• (+1)² = (−1)² = 1, and
• 임의의 n-element 집합의 순열의 수는 정확히 n!입니다.

$k$ = n$$-$$2 {\textstyle k = n-2}인 (8)의 특별한 경우는

제품.

일반적으로 n차원에서는 두 개의 레비-시비타 기호의 곱을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

증명: 양쪽은 두 지수를 바꾸면 ${\displaystyle {부호}_{}}$가 바뀌므로 일반성의 손실 없이 i ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ⋯ ≤ $in$ j ${\displaystyle 1_{}}$ ≤ ⋯ ≤ j ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle i_{1$}\$leq \cdots \leq$ i_${n$},j_${1$}\$leq$ \leq j_{$n$}}라고 가정합니다. 일부 ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$ =$i$ + 1${\displaystyle$ i_{$c$} = i_{c+1}이면 왼쪽이 0입니다. 그리고 오른쪽도 두 행이 같기 때문에 0입니다. ${\displaystyle j_{}}$ c = j ${\displaystyle c_{}}$+ 1 {\displaystyle j_{c} = j_{c+1}}의 경우도 마찬가지입니다. 으로 1< ⋯ < 에서$1$ < ⋯ < j {\displaystyle i_{1} <\cdots < i_{n}, j_{1} <\cdots < j_{n}이면 양변은 1입니다.

증명

(1)의 경우, 양변은 ij와 mn에 대해 반대칭입니다. 따라서 우리는 i ≠ j와 m ≠ n인 경우만 고려하면 됩니다. 치환에 의해, 우리는 방정식이 εε, 즉 i = m = 1과 j = n = 2에 대해 성립함을 알 수 있습니다. (양변 모두 하나입니다.) 방정식이 ij와 mn에서 반대대칭이므로 이들에 대한 값의 집합은 위의 경우로 축소될 수 있습니다. 따라서 방정식은 ij와 mn의 모든 값에 대해 성립합니다.

(1)을 사용하면 (2)에 대해

${\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}=\ delta _{i}^{i}\ delta _{j}^{n}-\ delta _{i}^{n}-\ delta _{j}^{i}=2\ delta _{j}^{n}-\ delta _{j}^{n}=\ delta _{j}^{n}\.}$

여기서 우리는 1에서 2로 가는 아인슈타인의 요약 규칙을 사용했습니다. 다음으로 (3)은 (2)와 유사하게 따라갑니다.

(5)를 설정하려면, 내가 j를 ≠하면 양쪽이 모두 사라짐을 유의하십시오. 실제로 i가 j를 ≠하면 왼쪽의 두 치환 기호가 0이 아닌 m과 n을 선택할 수 없습니다. 그러면 i = j를 고정한 상태에서 나머지 두 지수에서 m과 n을 선택하는 방법은 두 가지뿐입니다. 그러한 지수의 경우, 우리는

${\displaystyle \varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=\left(\varepsilon ^{imn}\right)^{2}=1}$

(합계 없음), 결과는 다음과 같습니다.

그러면 (6)은 3! = 6 이며, 값 1, 2, 3을 취하는 임의의 구별되는 인덱스 i, j, k에 대하여, 우리는 다음을 갖습니다.

$ijk$ ε${\displaystyle {}_{}}$ijk = 1 {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^${\displaystyle {\{}_{}}$ijk}= 1} (합 없음, 구별 i, j, k)

응용프로그램 및 예제

결정요인

선형 대수학에서 3 × 3 제곱 행렬 A = [a] 의 행렬식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}}$

마찬가지로 n × n 행렬 A = [a] 의 행렬식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \det(\mathbf {A})=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{1i_{1}}\dots a_{ni_{n}}$

여기서 각각의_r i는 1, ..., n 또는 동등하게 합산되어야 합니다.

${\displaystyle \det(\mathbf {A}) = {\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\dots a_{i_{n}j_{n}},}$

여기서_r 각 i와_r 각 j는 1, ..., n 이상으로 합산되어야 합니다. 더 일반적으로, 우리는 항등식을^[5] 갖습니다.

${\displaystyle \sum _{i_{1},i_{2},\dots }\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{i_{1}\,j_{1}}\dots a_{i_{n}\,j_{n}}=\det(\mathbf {A} )\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}}$

벡터교차곱

교차곱(두 벡터)

$({\displaystyle e{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {e\mathbf{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {e\mathbf{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (\mathbf {e_{1}},\mathbf {e_{2}},\mathbf {e_{3})}$를 벡터 공간의 정사규 기저라고 하자$$. 만약 (a¹², a, a³)와 (b¹, b², b³)가 이 기저에서 벡터 a와 b의 좌표라면, 그들의 교차 곱은 행렬식으로 쓸 수 있습니다.^[5]

${\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a^{1}&a^{2}&a^{3}\\b^{1}&b^{2}&b^{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}a^{j}b^{k}}$

따라서 Levi-Civita 기호를 사용하기도 하며, 좀 더 간단히 다음과 같습니다.

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )^{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.}$

아인슈타인 표기법에서, 합 기호들은 생략될 수 있고, 그들의 교차 곱의 i번째 성분은 다음과^[4] 같습니다.

${\displaystyle(\mathbf {a\times b})^{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}}$

첫 번째 구성요소는.

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )^{1}=a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\,,}$

그리고 1, 2, 3의 순환 순열에 의해 다른 것들은 위의 공식들로부터 명시적으로 계산하지 않고 바로 유도될 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a\times b} )^{2}&=a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\,,\\(\mathbf {a\times b} )^{3}&=a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\,.\end{align}}}$

삼중 스칼라 곱(3개의 벡터)

크로스 제품에 대한 위의 식에서 우리는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbf{a}}$× ${\displaystyle \mathbf{b}}$ =${\displaystyle }$-$b$ × {\displaystyle \mathbf {a\time${\displaystyle \mathbf{s}}$ b} =-\mathbf {b\times a}.

c = (c, c, c)가 세 번째 벡터인 경우, 삼중 스칼라 곱은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot(\mathbf {b\times c})=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}$

이 표현식으로부터 어떤 쌍의 인수를 교환할 때 삼중 스칼라 곱이 반대칭임을 알 수 있습니다. 예를들면,

${\displaystyle \mathbf{}}$⋅${\displaystyle }$($b$ ) =${\displaystyle \mathbf{}}$- b ⋅ (a × c) {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times ${\displaystyle \mathbf{c}}$} ) =-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a\times c} )}

컬(한 벡터장)

F = (F, F, F)가 위치 x = (x, x, x)의 함수로 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}의 일부 열린 집합에 정의된 벡터 필드라면 (직각좌표를 사용하여). 그러면 F의 컬의 i번째 성분은 다음과^[4] 같습니다.

${\displaystyle(\n)bla \times \mathbf {F})^{i}(\mathbf {x})=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}F^{k}(\mathbf {x} ),}$

위의 교차 곱 식에서 구배 벡터 연산자(nabla)의 성분을 치환하는 것으로 이어집니다.

텐서 밀도

임의의 곡선 좌표계 및 매니폴드에 메트릭이 없는 경우에도 위에서 정의한 바와 같은 Levi-Civita 심볼은 두 가지 다른 방식으로 텐서 밀도 필드로 간주될 수 있습니다. 가중치 +1의 상반 텐서 밀도 또는 가중치 -1의 공변 텐서 밀도로 간주될 수 있습니다. 일반화된 크로네커 델타를 사용한 n차원에서,^[10][11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}&=\delta _{\,1\,\dots \,n}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}\,\\varepsilon _{\n}u_{1}\dots \nu _{n}}&=\delta _{\nu_{1}\dots \nu_{n}}^{\,1\,\dots \,n}\,\end{aligned}}}$

수치적으로 동일하다는 점에 유의하십시오. 특히 간판은 똑같습니다.

레비시비타 텐서

의사 리만 다양체에서는 좌표 시스템이 어디에 있든지 Levi-Civita 심볼과 좌표 표현이 일치하는 좌표 불변 공변 텐서 필드를 정의하여 접선 공간의 기초가 메트릭에 대해 직교하고 선택된 방향과 일치할 수 있습니다. 이 텐서는 위에서 언급한 텐서 밀도 필드와 혼동되어서는 안 됩니다. 이 섹션의 프레젠테이션은 Carroll 2004와 밀접하게 관련되어 있습니다.

선택한 방향과 일치하는 모든 좌표계에서 공변 레비-시비타 텐서(리만 볼륨 형태라고도 함)는

${\displaystyle E_{a_{1}\dots a_{n}}={\sqrt {\left \det[g_{ab}]\right}}\,\varepsilon_{a_{1}\dots a_{n}\,}$

여기서_ab g는 해당 좌표계에서의 메트릭의 표현입니다. 마찬가지로 평상시처럼 메트릭으로 지수를 높임으로써 상반된 레비-시비타 텐서를 고려할 수 있습니다.

${\displaystyle E^{a_{1}\dots a_{n}}=E_{b_{1}\dots b_{n}}\prod _{i=1}^{n}g^{a_{i}b_{i}}\,,}$

그러나 메트릭 서명이 홀수 개의 음의 고유값 q를 포함하는 경우 이 텐서의 구성 요소의 부호가 표준 Levi-Civita 기호와 다르다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle E^{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {\operatorname {sgn} \left(\det[g_{ab}]\right)}{\sqrt {\left \det[g_{ab}]\right}}\,\varepsilon ^{a_{1}\dots a_{n}}}$

여기서 sgn(det[g] = (-1) 및${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ε a 1${\displaystyle {{}_{}}^{}}$… ${\displaystyle$ \$varepsilon$^{$a_{1}\$dots a_{n}}은 이 문서의 나머지 부분에서 논의되는 일반적인 레비-시비타 기호입니다. $보다$ 구체적으로, E01${}_{}$… $n_{}$ =$$+ $\sqrt{det}$[$gab$ ] {\textstyle E_{01\dots n} = +{\sqrt {\left \det[g_{ab}]\right}}이 되도록 텐서와 기저 방향을 선택하면, ${\mathrm{E01}}_{}$은 다음과 같습니다${\displaystyle {.}^{}}$$sgn$$}{\sqrt {\left \det[g_{ab}]\right$

이것으로 정체를 추론할 수 있습니다.

${\displaystyle E^{\mu_{1}\dots \mu_{p}\alpha_{1}\dots \alpha_{n-p}E_{\mu_{1}\beta \mu_{p}\beta _{1}\dots \(- _{n-p}}=delta1)^{q}p!\dots _{\beta _{1}\beta \dots _{n-p}^{\alpha_{1}\dots \alpha _{n-p}\,}$

어디에

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}=(n-p)!\delta _{\beta _{1}}^{\lbrack \alpha _{1}}\dots \delta _{\beta _{n-p}}^{\alpha _{n-p}\rbrack }}$

일반화된 크로네커 삼각주입니다.

예제: 민코프스키 공간

민코프스키 공간(특수 상대성 이론의 4차원 시공간)에서 공변 레비-시비타 텐서는

${\displaystyle E_{\alpha \beta \gamma}=\pm {\sqrt {\left \det[g_{\mu \nu}]\right}}\,\varepsilon_{\alpha \beta \gamma}\,}$

기호는 기초의 방향에 따라 달라집니다. 상반된 레비-시비타 텐서는

${\displaystyle E^{\alpha \beta \gamma}=g^{\alpha \zeta }g^{\beta \theta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }E_{\zeta \theta \iota }\,}$

다음은 민코프스키 공간에 특화된 위의 일반적인 아이덴티티의 예입니다(두 기호 규칙에서 메트릭 텐서의 서명에서 홀수의 음수로 인해 발생하는 음의 부호).

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \mu \nu}&=-g_{\alpha \zeta }g_{\beta \eta }g_{\gamma \theta }g_{\delta \iota }\delta _{\rho \sigma \mu \nu }^{\zeta \eta \theta \iota }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E^{\rho \sigma \mu \nu}&=-g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }\delta _{\zeta \theta \iota }^{\rho \sigma \mu \nu }\\\E^{\alpha \beta \gamma}E_{\alpha \beta \gamma \delta }&=-24\E^{\alpha \beta \gamma}E_{\rho \beta \delta \gamma}E_{\rho \delta}&=-6\beta _{\rho }^{\alpha }\\\E^{\alpha \gamma \delta beta}E_{\rho \sigma }^{\delta }&=-2\delta _{\rho \sigma }^{\alpha \beta }\\E^{\rho \gamma }E_{\rho \sigma }\delta \delta =-\rho \sigma \theta }&_{\rho \delta \theta }^{\alpha \gamma \delta gamma \beta}\,\end{align}}}$

참고 항목

• 순열 토픽 목록
• 대칭 텐서

메모들

참고문헌

• Misner, C.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A. (1973). Gravitation. W. H. Freeman & Co. pp. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.
• Neuenschwander, D. E. (2015). Tensor Calculus for Physics. Johns Hopkins University Press. pp. 11, 29, 95. ISBN 978-1-4214-1565-9.
• Carroll, Sean M. (2004), Spacetime and Geometry, Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8732-3

외부 링크

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• Weisstein, Eric W. "Permutation Tensor". MathWorld.