텐서(intrinic definition)

수학에서 텐서 이론에 대한 현대적 구성요소가 없는 접근법은 텐서를 추상적인 대상으로 보고, 어떤 확실한 형태의 다선 개념을 표현한다. 그들의 특성은 선형 지도 또는 더 일반적으로 그들의 정의에서 도출될 수 있다; 그리고 텐서 조작에 대한 규칙은 다선형 대수학의 확장으로서 발생한다.

미분 기하학에서 본질적인^{[definition needed]} 기하학적 문장은 다지관의 텐서 필드에 의해 설명될 수 있으며, 그런 다음 좌표를 전혀 참조할 필요가 없다. 물리적 특성을 설명하는 텐서(tensor) 분야의 일반 상대성에서도 마찬가지다. 구성요소 없는 접근법은 또한 추상대수학 및 동질대수학에서도 광범위하게 사용되는데, 여기서 텐서가 자연적으로 발생한다.

참고: 이 글에서는 선택된 기초가 없는 벡터 공간의 텐서 곱에 대한 이해를 가정한다. 주제의 개요는 주요 텐서 기사에서 찾을 수 있다.

벡터 공간의 텐서 곱을 통한 정의

공통 필드 F에 대한 벡터 공간의 유한 집합 {V_1n, ..., V }이(가) 주어지면 텐서 제품 V₁ ⊗ ...을 형성할 수 있다. ⊗ V_n, 그 원소를 텐서(tensor)라고 한다.

벡터 공간 V에 있는 텐서는 다음과 같은 형태의 벡터 공간의 요소(즉, 벡터 입력)로 정의된다.

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}}}}}}$

여기서 V는^∗ V의 이중 공간이다.

우리 제품에 V의 m 복사본과 V의^∗ 복사본이 n개 있는 경우, 텐서는 주문 m과 공변량 주문 n과 총 주문 m + n의 (m, n) 타입과 상쇄형이라고 한다. 순서 0의 텐더는 스칼라(F 필드의 원소)일 뿐이고, 반대 순서 1의 텐서는 V의 벡터(V의 벡터)이며, 공변^∗ 순서 1의 텐서는 V의 단일 형태(이러한 이유로 마지막 두 공간을 흔히 반대 및 공변량 벡터(contravariant 및 공변량 벡터)라고 한다. 모든 텐서 유형(m, n)의 공간이 표시됨

${\displaystyle T_{n}^{n}(V)=\underbrace {V\otes \otimes V} _{m}\otimes \ots \otimes V^{*}}}}}}{n}}.}$

예 1. 타입 (${\displaystyle 1}$, 1) 텐서, ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}}$V${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T_{1}^{$1}^{$1}(V)=V\otimes V^{*}}$의 공간은 V에서 V로 선형 변환하는 공간으로 자연적으로 이형성이 있다$$.

예 2. A bilinear form on a real vector space V, ${\displaystyle V\times V\to F,}$ corresponds in a natural way to a type (0, 2) tensor in ${\displaystyle T_{2}^{0}(V)=V^{*}\otimes V^{*}.}$ An example of such a bilinear form may be defined, termed the associated metric tensor, and is usually g로 표시된

텐서 순위

단순 텐서(서열 1위, 초등 텐서 또는 분해 텐서(Hackbusch 2012, 페이지 4)라고도 함)는 형태의 텐서(tensor)의 산물로 쓸 수 있는 텐서다.

$\displaystyle T=a\otimes b\otimes \cdots \otime d}$

여기서 a, b, ..., d는 0이 아니며, V 또는^∗ V로, 즉 텐서가 0이 아니고 완전히 인수 가능한 경우. 모든 텐서들은 단순한 텐서들의 합으로 표현될 수 있다. 텐서 T의 순위는 T에 합한 최소 단순 텐서 수입니다(Bourbaki 1989, II, §7, no. 8).

제로 텐서는 0위를 가지고 있다. 0이 아닌 순서는 0 또는 1 텐서이면 항상 1위를 가진다. 0이 아닌 순서 2 이상의 텐서의 순위는 텐서가 표현될 수 있는 (제품의 합계)에서 가장 높은차원 벡터를 제외한 모든 벡터의 치수 곱보다 작거나 같으며, 각 제품이 차원 d의 유한차원 벡터 공간에서 벡터인 경우 d이다ⁿ⁻¹.

텐서(tensor)의 순번(또는 정도)을 의미하는 용어도 종종 사용되지만, 텐서(tensor)의 순번(또는 도)을 의미하는 용어는 선형대수학에서 행렬의 순위 개념을 확장한다. 행렬의 순위는 행렬의 범위를 확장하는 데 필요한 최소 열 벡터 수입니다. 따라서 0이 아닌 두 벡터의 외부 제품으로 기록할 수 있는 경우 매트릭스는 1위를 갖는다.

${\displaystyle A=vw^{\mathrm {T} }}$

매트릭스 A의 순위는 다음과 같이 요약할 수 있는 가장 작은 외부 제품 수입니다.

${\displaystyle A=v_{1}w_{1}^{\mathrm {T}}}+\cdots +v_{k}w_{k}^{\mathrm {T}}}}}}$

지수에서 순위 1의 텐서(tensor)는 형식의 텐서(tensor)이다.

${\displaystyle T_{ij\dots }^{k\ell \dots }=a_{i}b_{j}\cdots c^{k}d^{k^{\ell }\cdots .}}$

순서 2의 텐서 순위는 텐서가 행렬(Halmos 1974, §51)로 간주될 때 순위와 일치하며, 예를 들어 가우스 제거에서 결정될 수 있다. 그러나 3 이상의 텐서의 순위는 결정하기가 매우 어려운 경우가 많으며, 텐터의 낮은 순위 분해는 때때로 매우 실질적인 관심을 가진다(de Groote 1987). 행렬의 효율적인 곱셈과 다항식의 효율적인 평가와 같은 계산 작업은 이항형식의 집합을 동시에 평가하는 문제로서 다시 수행될 수 있다.

${\displaystyle z_{k}=\sum _{ij}T_{ijk}x_{i}y_{j}}}}$

지정된 입력에_i 대해 x 및 y_j. 텐서 T의 낮은 등급의 분해가 알려진 경우, 효율적인 평가 전략이 알려져 있다(Knuth 1998, 페이지 506–508).

보편적 재산

공간 ${\displaystyle {Tn}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle T_{n}^{m}(V)}$은 다중선 매핑 측면에서 범용 속성으로 특징지어질$$ 수 있다. 이 접근법의 장점 중 하나는 많은 선형 매핑이 "자연적" 또는 "기하학적"이라는 것을 보여줄 수 있는 방법을 제공한다는 것이다(즉, 어떤 기초 선택에도 무관하다). 그런 다음, 명시적인 계산 정보를 베이스를 사용하여 기록할 수 있으며, 이 우선순위는 공식이 자연적인 매핑을 발생시킨다는 것을 증명하는 것보다 더 편리할 수 있다. 또 다른 측면은 텐서 제품이 무료 모듈에만 사용되는 것이 아니며, "범용" 접근법은 더 일반적인 상황으로 쉽게 넘어간다는 것이다.

벡터 공간의 데카르트 제품(또는 직접 합)에 대한 스칼라 값 함수

${\displaystyle f:V_{1}\time \cdots \time V_{N}\to F}$

각 인수에 선형인 경우 다중 선입니다. V₁ ×의 모든 다중 라인 매핑 공간... × V_N ~ W는 L^N(V₁, ..., V_N; W)로 표시된다. N = 1일 때 다중선형 매핑은 일반적인 선형 매핑일 뿐이며, V에서 W까지의 모든 선형 매핑의 공간은 L(V; W)으로 표시된다.

텐서 제품의 범용적 특성은 각 다중선 함수에 대해 다음을 함축한다.

${\displaystyle f\in L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots,V^{*}) _{m}, {v,\ldots,V};W)}$

($W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$이(가) 스칼라, 벡터 공간 또는 텐서 공간의 필드를 나타낼 수 있음$$) 고유한 선형 함수가 있음

${\displaystyle T_{f}\in L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}) _{m}\m}\otimes \otimes \cdots \otime V} _{n};;W)}$

그런

${\displaystyle f(\displaystyle _{1},\ldots,\ldots, {n}=T_{f}(\alpha _{1}\otimes \cdots \otimes \alpha _{m}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimotimes v_{n}}}}}})$

모든 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{i}\in V}$ 및$$ $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\in$ V$^{*}}}$에 대해

보편적 특성을 이용하여 (m,n)-tensors의 공간은 자연적인 이형성을 인정한다는 것을 따른다.

${\displaystyle T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};F)\cong L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};F).}$

텐서 정의에 있는 각 V는 선형 지도의 인수 안에^* 있는 V에 해당하며, 그 반대의 경우도 마찬가지 입니다(참고, 앞의 경우에는 V의^* m 복사본과 n개의 복사본이 있고, 후자의 경우에는 V 복사본이 있다). 특히 한 사람이 가지고 있다.

${\displaystyle {\reasoned}T_{0}^{1}(V)&\cong L(V^{*};F)\cong V\\\T_{1}^{0}(V)&\cong L(V;F)=V^{*}\\T_{1}^{1}^{1}(V)&\cong L(V;V)\ended}}}$

텐서 필드

미분 기하학, 물리학, 공학은 종종 부드러운 다지관의 텐서 필드를 다루어야 한다. 텐서(tensor)라는 용어는 텐서(tensor) 분야의 속어로 쓰이기도 한다. 텐서 장은 다지관의 포인트에 따라 달라지는 텐서의 개념을 표현한다.

참조

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1985), Foundations of Mechanics (2 ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-40840-6.
• Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of Mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• de Groote, H. F. (1987), Lectures on the Complexity of Bilinear Problems, Lecture Notes in Computer Science, 245, Springer, ISBN 3-540-17205-X.
• Halmos, Paul (1974), Finite-dimensional Vector Spaces, Springer, ISBN 0-387-90093-4.
• Jeevanjee, Nadir (2011), An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists, ISBN 978-0-8176-4714-8
• Knuth, Donald E. (1998) [1969], The Art of Computer Programming vol. 2 (3rd ed.), pp. 145–146, ISBN 978-0-201-89684-8.
• Hackbusch, Wolfgang (2012), Tensor Spaces and Numerical Tensor Calculus, Springer, p. 4, ISBN 978-3-642-28027-6.