유니터리 행렬

선형대수학에서 복합제곱 행렬 $U$ 는 그것의 결합이 $U$ 를^* 전치하는 것 또한 그것의 역인 경우, 즉, 만약

U^{*}U=UU^{*}=UU^{-1}=I,

$내$ 가 정체성 매트릭스인 곳이지

물리학에서, 특히 양자역학에서, 결합 전이는 행렬의 은둔자 부선(†線)이라고 하며, 단도(†道)로 나타내므로, 위의 방정식은 다음과 같이 된다.

U^{\doger}U=UU^{\doger }=I.

단일 행렬의 실제 아날로그는 직교 행렬이다. 단일 행렬은 규범, 즉 확률 진폭을 보존하기 때문에 양자 역학에서 중요한 의미를 갖는다.

특성.

크기가 유한한 모든 단일 $매트릭스$ U의 경우, 다음을 유지한다.

복잡한 벡터 $x$ 와 y가 $두$ 개 주어지면 $U$ 에 의한 곱셈은 그 내적인 제품, 즉 $⟨ Ux,$ $Uy ⟩$ = $⟨ x,$ y $⟩$ 을 보존한다.
$U$ 는 정상( $U^{*}U=UU^{*}$ $U^{*}U=UU^{*}$ $U^{*}U=UU^{*}$ = $U^{*}U=UU^{*}$ $U^{*}U=UU^{*}$ ${\$ U $^{*}U=U ^{*}}}).$
$U$ 는 대각선이 가능하다. 즉, $U$ 는 스펙트럼 정리의 결과로 대각 행렬과 단위적으로 유사하다. 따라서 $U$ 는 $U=VDV^{*},$ = $U=VDV^{*},$ $U=VDV^{*},$ $U=VDV^{*},$ $U=VDV^{*},$ ${\displaystyle U=VDV^{*},$ 여기서 $U=VDV^{*},$ $V$ 는 단일이고 $D$ 는 대각선이고 단일형이다.
$\left|\det(U)\right|=1$ ( $\left|\det(U)\right|=1$ ) $\left|\det(U)\right|=1$ = $\left|\det(U)\right|=1$ ${\displaystyle \left \det(U)\right =1$
그것의 근위축은 직교한다.
$U$ = e로 $쓸 iH$ 수 있는데 여기서 $e$ 는 행렬 지수, $i$ 는 가상 단위, $H$ 는 은둔 행렬이다.

음이 아닌 정수 n의 경우, 행렬 곱셈이 있는 모든 n × n 단일 행렬의 집합은 단일 군집 U(n)라고 불리는 그룹을 형성한다.

단위 유클리드 규범이 있는 정사각형 행렬은 두 개의 단일 행렬의 평균이다.^[1]

등가조건

U가 정사각형의 복잡한 행렬인 경우 다음과 같은 조건이 동일하다.^[2]

$U$ $U$ 은 $U$ (는) 단일하다.
$∗{\$ U $^{*}}}$ 는 단일병이다 $U^{*}$ .
$U$ $U$ 은(는) $U^{-1}=U^{*}$ - 1 $U^{-1}=U^{*}$ = $U^{-1}=U^{*}$ $U^{-1}=U^{*}$ ${\$ 을(를) 사용하여 변환할 수 없음 $U$ $U^{-1}=U^{*}$
$U$ $U$ 의 컬럼은 일반적인 내부 제품과 $\mathbb {C} ^{n}$ 하여 $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ {\ $displaystyle \mathb{C} ^n}$ 의 정형 기준을 형성한다 $U$ . $U^{*}U=I$ $U^{*}U=I$ $U^{*}U=I$ $U^{*}U=I$ = I ${\displaystyle$ U $^{*}U=I$
$U$ $U$ 행은 일반적인 내부 제품에 대해 $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ n ${\$ 의 정형 기준을 형성한다 $U$ . $UU^{*}=I$ U $UU^{*}=I$ ∗ $UU^{*}=I$ = $UU^{*}=I$ ${\displaystyle UU^{*}=I$
$U$ $U$ 는 $U$ 일반적인 규범과 관련된 등위법이다. That is, $\ Ux\ _{2}=\ x\ _{2}$ for all $x\in \mathbb {C} ^{n}$ , where ${\textstyle \ x\ _{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n} x_{i} ^{2}}}}$ .
U $U$ 은 $U$ (동일하게, 단위 원 위에 고유값이 놓여 있는 $U$ ${\displaystyle U$ 의 고유 벡터들에 의해 형성된 직교 기준이다.

기초구축

2 × 2 단일 행렬

2 × 2 단일 행렬의 일반적인 표현은 다음과 같다.

U={\begin{bmatrix}a&b\-e^{i\varphi }b^{*^{*}\a^{*\\\end\bmatrix}},\qquad \left a\right ^{2}+\right{2}=1,},

이는 4개의 실제 매개변수( $a$ 의 위상, $b$ 의 위상, $a$ 와 b 사이의 상대적 크기, $φ$ 각도)에 따라 달라진다. 그러한 행렬의 결정요인은

\det(U)=e^{i\varphi }

$\det(U)=1$ ) $\det(U)=1$ = $\det(U)=1$ ${\displaystyle \det(U)=1$ }이 $U$ $($ 가) 있는 요소 $U$ $U$ 의 하위 그룹을 특수 단일 그룹 SU(2)라고 $\det(U)=1$ 한다.

$매트릭스$ U는 다음과 같은 대체 형식으로 작성될 수도 있다.

U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1}}\cos \theta &e^{i\varphi _{2}}\sin \theta \\-e^{-i\varphi _{2}}\sin \theta &e^{-i\varphi _{1}}\cos \theta \\\end{bmatrix}},

φ₁ = ψ + Δ와 φ₂ = ψ - Δ를 도입함으로써 다음과 같은 인자를 취한다.

U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta }&0\\0&e^{-i\Delta }\end{bmatrix}}.

이 표현은 각도 $θ$ 의 2 × 2 단일 행렬과 2 × 2 직교 행렬 사이의 관계를 강조한다.

또^[3] 다른 요인은

U={\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &\sin \beta \\-\sin \beta &\cos \beta \\\end{bmatrix}}.

기본 행렬에서 단일 행렬의 많은 다른 요소들이 가능하다.^[4]^[5]^[6]^[7]

참고 항목

참조

^ Li, Chi-Kwong; Poon, Edward (2002). "Additive decomposition of real matrices". Linear and Multilinear Algebra. 50 (4): 321–326. doi:10.1080/03081080290025507.
^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis. Cambridge University Press. doi:10.1017/9781139020411. ISBN 9781139020411.
^ Führ, Hartmut; Rzeszotnik, Ziemowit (2018). "A note on factoring unitary matrices". Linear Algebra and Its Applications. 547: 32–44. doi:10.1016/j.laa.2018.02.017. ISSN 0024-3795.
^ Williams, Colin P. (2011), Williams, Colin P. (ed.), "Quantum Gates", Explorations in Quantum Computing, Texts in Computer Science, London: Springer, p. 82, doi:10.1007/978-1-84628-887-6_2, ISBN 978-1-84628-887-6, retrieved 2021-05-14
^ Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac (2010). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge: Cambridge University Press. p. 20. ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC 43641333.
^ Barenco, 아드리아노;베넷, 찰스 H;Cleve, 리처드, DiVincenzo, 데이비드 P.;Margolus, 노먼. Shor, 피터, Sleator, 티코;Smolin, 존 A.,.Weinfurter, 하랄(1995-11-01)."양자 계산을 위하초등 문".물리학 비평호에 A형입니다.미국 물리 학회(APS적용을). 52(5):3457–3467. arXiv:quant-ph/9503016. doi:10.1103/physreva.52.3457.ISSN 1050-2947., 8페이지
^ Marvian, Iman (2022-01-10). "Restrictions on realizable unitary operations imposed by symmetry and locality". Nature Physics: 1–7. arXiv:2003.05524. doi:10.1038/s41567-021-01464-0. ISSN 1745-2481.참고 항목:"대칭에 의해 금지됨"

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Unitary Matrix". MathWorld. Todd Rowland.
Ivanova, O. A. (2001) [1994], "Unitary matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
"Show that the eigenvalues of a unitary matrix have modulus 1". Stack Exchange. March 28, 2016.

[1] Li, Chi-Kwong; Poon, Edward (2002). "Additive decomposition of real matrices". Linear and Multilinear Algebra. 50 (4): 321–326. doi:10.1080/03081080290025507.

[2] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis. Cambridge University Press. doi:10.1017/9781139020411. ISBN 9781139020411.

[3] Führ, Hartmut; Rzeszotnik, Ziemowit (2018). "A note on factoring unitary matrices". Linear Algebra and Its Applications. 547: 32–44. doi:10.1016/j.laa.2018.02.017. ISSN 0024-3795.

[4] Williams, Colin P. (2011), Williams, Colin P. (ed.), "Quantum Gates", Explorations in Quantum Computing, Texts in Computer Science, London: Springer, p. 82, doi:10.1007/978-1-84628-887-6_2, ISBN 978-1-84628-887-6, retrieved 2021-05-14

[5] Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac (2010). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge: Cambridge University Press. p. 20. ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC 43641333.

[Barenco-6] Barenco, 아드리아노;베넷, 찰스 H;Cleve, 리처드, DiVincenzo, 데이비드 P.;Margolus, 노먼. Shor, 피터, Sleator, 티코;Smolin, 존 A.,.Weinfurter, 하랄(1995-11-01)."양자 계산을 위하초등 문".물리학 비평호에 A형입니다.미국 물리 학회(APS적용을). 52(5):3457–3467. arXiv:quant-ph/9503016. doi:10.1103/physreva.52.3457.ISSN 1050-2947., 8페이지

[7] Marvian, Iman (2022-01-10). "Restrictions on realizable unitary operations imposed by symmetry and locality". Nature Physics: 1–7. arXiv:2003.05524. doi:10.1038/s41567-021-01464-0. ISSN 1745-2481.참고 항목:"대칭에 의해 금지됨"

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제한된 항목	교번트 반대각형 반헤르미티아누스 반대칭 화살촉 밴드 비다이각형 이대칭 블록 대각선 블록 블록삼각형 부울 카우치 중심대칭 회의 콤플렉스 하다마드 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초급 등가 프로베니우스 일반화 순열 하다마드 행클 에르미트어 헤센베르크 할로우 정수 논리적인 매트릭스 단위 메츨러 무어 비음성 펜타디각형 순열 당칭 다항식 쿼터니온어 서명 스큐헤르미티안 스큐 대칭 스카이라인 스파스 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형 삼두각형 유니타리 반데르몽드 월시 Z
상수	교환 힐베르트 아이덴티티 레머 1개 중 파스칼 파울리 레데퍼 시프트 영
고유값 또는 고유벡터 조건	동반자 수렴성 결함이 있는 대각선 가능 후르비츠 포지티브-확정성 슈틸트제스
제품 또는 역에 대한 만족도 조건	컨그루엔트 Idempotent 또는 Projection 되돌릴 수 없는 비자발적 닐포텐트 정상 직교 단모듈라 전지전능 완전히 단변성 체중 측정
특정 애플리케이션 사용	애드주게이트 교대 부호 증강됨 베주트 칼레만 카르탄 서큘런트 공동 인자 정류 혼란 콕시터 거리 중복 및 제거 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 제너레이터 그램 헤시안 세대주 야코비안 모멘트 모두 다 갚다, 청산하다 뽑다 무작위 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 완전히 긍정적이다. 변환
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 디자인 이중 확률적 피셔 정보 모자 정밀도 스토카스틱 전이
그래프 이론에 사용됨	인접 바이애드제이컨시 정도 에드먼즈 발생 라플라시안 사이델 인접 투테
이공계에 사용됨	카비보-코바야시-마사와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연관성 감마 겔만 해밀턴어 불규칙한 겹치다 S 국가전환 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정상 형태 선형독립 행렬 지수 원뿔 단면의 행렬 표현 퍼펙트 매트릭스 사이비인버스 행 에슐론 양식 룬스키안
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