지수 상승 및 하강

수학과 수학 물리학에서 지수를 올리고 내리는 것은 그 유형을 바꾸는 텐서들에 대한 연산이다.지수를 올리고 내리는 것은 텐서식에서의 지수조작의 한 형태다.

텐서형

Given a tensor field on a manifold M, in the presence of a nonsingular form on M (such as a Riemannian metric or Minkowski metric), one can raise or lower indices to change a type (a, b) tensor to a (a + 1, b − 1) tensor (raise index) or to a (a − 1, b + 1) tensor (lower index), where the notation (a, b) has been used to denote the tensor order a + b 상위 지수 및 하위 지수.

하나는 공변량 또는 역변량 미터법 텐서(tensor)를 곱한 다음 지수를 수축시키는 방법으로 이것을 하는데, 이는 두 지수를 동등하게 설정한 다음 반복된 지수(아인슈타인 표기법 적용)에 걸쳐 합계를 낸다는 것을 의미한다.아래 예제를 참조하십시오.

벡터(주문-1 텐서)

반대 미터법 텐서 g를^ij 곱하고 계약하면 상위 인덱스를 가진 또 다른 텐서가 생성된다.

$(\displaystyle g^{ij})A_{j}=A^{i}\...}$

이 새로운 텐서(new tensor)를 나타내기 위해 일반적으로 동일한 기본 기호가 사용되며, 이 새로운 텐서(new tensor)를 가리키기 위해 인덱스의 위치를 변경하는 것을 일반적으로 이 맥락에서 이해하며, 이를 지수 상승이라고 한다.

$(\displaystyle g^{ij})A_{j}=A^{i}\,}$

마찬가지로 공변량 메트릭 텐서(metric tensor)를 곱한 후 계약하면 지수가 낮아진다(기본 기호 재사용에 대해 동일한 이해).

${\displaystyle g_{ij}A^{j}=A_{i}\,}$

g_ij 형식은 지수를 낮추기 위해 비논리적일 필요는 없지만 역(따라서 지수를 상승)을 얻으려면 비논리일 수 있어야 한다.

동일한 지수(또는 반대로)를 올리고 내리는 것은 역연산이며, 공변량 및 역변량 메트릭 텐서들이 서로 역행하는 것에 반영된다.

${\displaystyle g^{ij}g_{jk}g_{jk}=g_{kj}g^{ji}={\i}={k}={k}}={\i}}}}}}}{k}^{k}}}}}:{i}}}}}}}}.$

여기서 Δ는ⁱ_k Kronecker delta 또는 ID 행렬이다.미터법 서명이 서로 다른 메트릭스(대각선 요소를 따르는 기호, 동일한 지수를 갖는 텐서 성분)의 선택이 다르기 때문에, 일반적으로 이름과 서명은 혼동을 방지하기 위해 표시된다.저자마다 다른 이유로 다른 측정 기준과 서명을 사용한다.

연상적으로(틀리기는 하지만) 메트릭과 다른 텐서 사이의 지수를 "취소"하고 지수를 상승 또는 하강시키는 지표를 생각할 수 있다.위의 예에서, 그러한 「취소」나 「단계」는 다음과 같다.

$(\displaystyle g^{ij})A_{j}={\cancel{g}^{i{\cancel{j}}}A_{\cancel{j}}=A^{i}\...}$

다시 말하지만, 유용한 지침이지만, 이것은 단지 연상일 뿐이고, 지표가 방정식처럼 취소되지 않기 때문에 텐서들의 속성이 아니다. 그것은 단지 표기법의 개념일 뿐이다.결과는 고차 텐서(즉, 더 많은 지수)에 대해 아래에 계속된다.

스페이스타임에 수량의 지수를 올릴 때, 합계를 "시간 성분"(지수가 0인 경우)과 "공간 성분"(지수가 1, 2, 3인 경우, 일반적으로 라틴 문자로 표현됨)으로 분해하는 데 도움이 된다.

민코프스키 스페이스타임의 예

공변량 4-위치는 다음과 같다.

${\displaystyle X_{\mu }=(-ct,x,y,z)}$

구성 요소 포함:

${\displaystyle X_{0}=-ct,\quad X_{1}=x,\quad X_{2}=y,\quad X_{3}=z}$

(여기서 x,y,z는 통상적인 데카르트 좌표(cartesian pockets)이며, 서명(+ + + +)이 있는 Minkowski 메트릭 텐서는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \eta_{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }={\pmatrix}-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&#0&0&0&1\end{pmatrix}}}}}}}}}}$

구성 요소:

${\displaystyle \eta \eta _{00}=-1,\displaystyle \eta _{i0}=\eta _{ij}=\ij}\, (i,j\neq 0)}$

지수를 높이려면 텐서 곱하기 및 계약:

${\displaystyle X^{\lambda }=\eta ^{\lambda \mu }}=\eta ^{\lambda 0}X_{0}+\eta ^{\lambda i}X_{i}}}}}$

그런 다음 0 = 0:

${\displaystyle X^{0}=\eta ^{00}X_{0}+\eta ^{0i}X_{i}=-X_{0}}}}$

및 = = j = 1, 2, 3의 경우:

${\displaystyle X^{j}=\eta ^{j0}X_{0}+\eta ^{ji}X_{i}=\delta ^{ji}X_{i}=X_{j}\,}$

따라서 지수 상승 반전 4 위치는 다음과 같다.

${\displaystyle X^{\mu }=(ct,x,y,z)\,.}$

텐서(높은 순서)

주문2길

주문-2 텐서의 경우, 상이한 메트릭 텐서(transcravariant metric tensor)를 곱하고 서로 다른 지수로 수축하면 각 지수가 상승한다.^[1]

${\displaystyle A^{\alpha \beta \beta }=g^{\alpha \gamma }g^{\beta \delta }A_{\gamma \delta }}}}}}}}$

공변량 메트릭 텐서(metric tensor)를 두 배로 곱하고 서로 다른 지수로 수축하면 각 지수가 낮아진다.

${\displaystyle A_{\alpha \beta \beta }=g_{\alpha \gamma }g_{\beta \delta }A^{\gamma \delta }}}}}}}}$

고전적 전자성과 특수상대성이론의 예

(+ -) 시그니처 내 반향성 전자기 텐서는 다음과 같이^[2] 주어진다.

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

구성 요소:

${\displaystyle F^{0i}=-{\frac {E^{i}}}{c}}},\quad F^{ij}=-\varepsilon ^{ijk}B_{k}}$

공변량 텐서 F를_αβ 구하려면 미터법 텐서 단위로 곱한 후 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle {\reasoned}F_{\alpha \beta }&=\eta _{\alpha \gamma }\eta _{\beta \delta }F^{\gamma \delta }\\&=\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta 0}F^{00}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}F^{i0}+\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}F^{0i}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}\end{aligned}}}$

그리고⁰⁰ F = 0, F⁰ⁱ = - F이기ⁱ⁰ 때문에 이 값은

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\왼쪽(\eta _{\alpha i}\eta _{\alpha 0}-\eta _{\beta i}\오른쪽)F^{i0}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j^{ij}}}$

이제 α = 0, β = k = 1, 2, 3:

${\displaystyle {\reasoned}F_{0k}&=\왼쪽(\eta _{0i}\eta _{k0}-\eta _{00}\eta _{ki}\오른쪽)F^{i0}+\eta _{0i}\eta _{kj^{ij}\\&={\bigl (}0-(-\delta _{ki}{\bigr )}}F^{i0}+0\\&=F^{k0}=-F^{0k}\\\end{aigned}}}}$

그리고 비대칭에 의해 α = k = 1, 2, 3, β = 0:

${\displaystyle F_{k0}=-F^{k0}}}$

마지막으로 α = k = 1, 2, 3, β = l = 1, 2, 3;

${\displaystyle {\reasoned}F_{kl}&=\왼쪽(\eta _{ki}\eta _{l0}-\eta _{k0}\eta _{li}\오른쪽)F^{i0}+\eta _{ki}\eta _{lj}{ij}\\&=0+\delta _{ki}\delta _{lj}f^{ij}\&=F^{kl}\\end{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}$

하한(공변량) 인덱싱된 텐서는 다음과 같다.

${\displaystyle F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

순서 n

벡터 공간에 내부 제품(또는 이 맥락에서 흔히 부르는 측정 기준)이 장착되어 있을 때, 반대편(상단) 지수를 공변량(하단) 지수로 변환하는 연산이 존재하며 그 반대의 경우도 존재한다.메트릭스 자체는 (대칭)(0,2)-텐서(tensor)이므로, 메트릭의 하위 지수 중 하나로 텐서(tensor)의 상위 지수를 수축할 수 있다.이는 이전과 동일한 지수 구조를 갖췄지만, 계약된 상위 지수 위치에서는 지수가 낮은 새로운 텐셔너를 생산한다.이 연산은 상당히 그래픽으로 지수를 낮추는 것으로 알려져 있다.반대로, 미터법은 역인 (2,0)-텐서를 가지고 있다.이 역 메트릭은 더 낮은 지수와 계약되어 상위 지수를 산출할 수 있다.이 작업을 지수 상승이라고 한다.

순서 n의 텐서인 경우 (위와의 호환)에 의해 지수가 상승한다.^[1]

${\displaystyle g^{j_{1}i_{1}i_{1}:{j_{2}i_{2}}\cdots g^{j_{n}i_{n}}}}}}}}}A_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}=A^{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}}$

그리고 다음과 같이 낮춘다.

${\displaystyle g_{j_{1}i_{1}g_{j_{2}i_{2}}\cdots g_{j_{n}i_{n}}}}}}}}}A^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}=A_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}}$

혼합 텐셔너의 경우:

${\displaystyle g_{p_{1}i_{1}i_{1}g_{p_{2}i_{2}}:\cdots g_{p_{n}i_{n}}}}}g^{1}g^{q_{2}j_}}}}}\cdots g^{q_{m}j_{m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}A^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}_{j_{1}j_{1}j_{2}\cdots j_{m}={{m}}}={{{}}}={{}}}}A_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}^{q_{1}q_{2}\cdots q_{m}}}}$

참고 항목

• 리치 미적분학
• 아인슈타인 표기법
• 미터법 텐서
• 음악적 이형성
• 이중 공간 § Bilinar 제품 및 이중 공간

참조