블록 행렬

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수학에서 블록 행렬 또는 분할 행렬은 블록 또는 하위 행렬이라고 하는 섹션으로 분할된 것으로 해석되는 행렬이다.^[1] 직관적으로 블록 매트릭스로 해석되는 매트릭스는 수평선과 수직선의 집합으로, 이를 분해하거나 분할하여 더 작은 매트릭스의 집합으로 본래의 매트릭스로 시각화할 수 있다.^[2] 행렬은 하나 이상의 방법으로 블록 행렬로 해석될 수 있으며, 각 해석은 행과 열이 분할되는 방법에 의해 정의된다.

$이러한{\displaystyle }$ 개념은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$$}$을$($를) 집합 행 ${\displaystyle \text{그룹}}$ ${\$으로 분할한$$ 다음$$$m{\displaystyle }$ ${\$displa}을$($를) 집합 ${\displaystyle \text{콜그룹}}$ ${\$}로 분할하여$$ m {\$displa$$}$ m에 대해 보다 $정밀$하게 만들 수 있다.$ystyle {\text{colgroups}}$. 원본 매트릭스의${\displaystyle }$(${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$) ${\displaystyle (i,j)}$ 항목이$$ 일부$({\displaystyle s}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle t}$)$${\$displaystyle (s,t$$)\}$ 오프셋$$ 항목과 1 대 1로 일치한다는 점에서, 여기서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ 행 ${\displaystyle \text{그룹}}$ ${\$$displaystyle(x,y)$ {\$styleget\}$의 "total"로 간주된다.$$${\$$text{rowgroups}$ 및$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{colgroups}}$ {\$displaystyle$ y$\in {\text${colgroups$}}$.

블록 행렬 대수학은 일반적으로 행렬의 범주의 두피 유도로부터 발생한다.^[3]

예

행렬

${\displaystyle \mathbf{P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&4\3&6&7\end{bmatrix}}}}}}$

4개의 2×2 블록으로 분할할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.}$

분할된 행렬은 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}$

블록 행렬 곱하기

인자의 하위표에서는 대수만을 포함하는 블록 분할 매트릭스 제품을 사용할 수 있다. 그러나 요소의 파티셔닝은 임의적이지 않으며, 사용할 모든 서브매트릭스 제품이 정의되도록$$ $두{\displaystyle }$ 행렬 A$[\displaystyle A}$과 B$[\displaystyle B}$ 사이에 "적합한 파티션"^[4]이 필요하다.^[5] $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $(m\time p)}$ 행렬$$ $A{\displaystyle \mathbf{}}$ {\$displaystyle$ $q}$ 행$$ 파티션과 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$ 열$$ 파티션이 있는$$${\displaystyle }$${\$displaystyle $\mathbf {A}}}}}$ 행렬이 지정됨

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}}$

$및{\displaystyle }$ s ${\displaystyle s}$ 행$$ $파티션$과 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ r$}$ 열$$ 파티션이 있는$$ (${\displaystyle p}$ $n$ )${\$$displaystyle \mathbf {B}}$ 행렬$$ B ${\$displaystyle r}

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}},}$

매트릭스 $제품인$A$${\$displaystyle A}$의 파티션과 호환되는

${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \mathbf {B} }$

$q{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \mathbf {C}을($를) q {\$displaystyle q}$ 행 파티션과$$ $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ 열 파티션이$$ 있는 $({\displaystyle m}$ ${\displaystyle \times }$ n${\displaystyle }$) ${\displaystyle (m\times n)}$ 행렬로$$$$ 생성하여 블록으로 구성할 수 있다. 결과 행렬 $C{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 행렬은 다음을 곱하여 계산한다$$.

${\displaystyle \mathbf {C} _{qr}=\sum _{i=1}^{s}\mathbf {A} _{qi}\mathbf {B} _{ir}.}$

또는 반복된 지수를 암묵적으로 요약한 아인슈타인 표기법을 사용한다.

${\displaystyle \mathbf {C} _{qr}=\mathbf {A} _{qi}\mathbf {B} _{ir}.}$

블록 행렬 반전

매트릭스를 4개의 블록으로 분할하면 다음과 같이 블록을 반전시킬 수 있다.

${\displaystyle \mathbf{P}={\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{B}\\\mathbf{C}&\mathbf{D}\end{bmatrix}}^{)}={\begin{bmatrix}\mathbf{A}^{)}+\mathbf{A}^{)}\mathbf{B}\left(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}\right)^{)}\mathbf{CA}^{)}&, -\mathbf{A}^{)}\mathbf{B}\left(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{)}\mathbf{B}. \right)^{)}\\-\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}},}$

여기서 A와 D는 임의 크기의 정사각형이고 B와 C는 분할에 적합하다. 또한, A와 P: P/A = D - CAB에서⁻¹ A의 슈르 보충물은 반드시 변위성이 있어야 한다.^[6]

마찬가지로 블럭을 허용하여 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle \mathbf{P}={\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{B}\\\mathbf{C}&\mathbf{D}\end{bmatrix}}^ᆱ=ᆲ\left(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C}\right)^{)}&, -\left(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C}\right)^{)}\mathbf{BD}^{)}\\-\mathbf{D}^{)}\mathbf{C}\left(\mathbf{A}-\mathbf{BD}. ^{)}\mathbf {C} \right)^{-1}&\quad \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix}}.}$

여기에서, D와 P: P/D = A - BDC의⁻¹ D의 슈르 보충물은 변위성이 있어야 한다.

A와 D가 모두 변환 불가능한 경우:

${\displaystyle{\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{B}\\\mathbf{C}&\mathbf{D}\end{bmatrix}}^ᆰ=ᆱ\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}\right)^{)}&, \mathbf{0}\\\mathbf{0}&\left(\mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\right)^{)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf{나는}&.앰프, -\mathbf{B}\mathbf {D} ^{-1}\-\mathbf {C} \mathbf {A} \mathbf {I} \end{bmatrix}.}$

와인스타인-아론자즈엔 정체성에 의해 블록-대각 행렬의 두 행렬 중 하나는 다른 행렬이 있을 때 정확히 되돌릴 수 없다.

블록 행렬 결정 인자

위의 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2\times$2} - 매트릭스의$$ 결정 인자에 대한 공식은 적절한 추가 가정 하에서 4개의 하위 $행렬{\displaystyle }$ A${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D}${\$displaystyle$ A$,B,C,D$}로 구성된 행렬에 대해 계속 유지된다$.$ 이러한 공식은 라이프니즈 공식 또는 S를 포함하는 인자를 사용하여 증명될 수 있다.츄르보어, is

${\displaystyle \det {\pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}=\det(A)\det(D)=\det(\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}.}$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 변환할 수 없는 경우($그리고{\displaystyle }$ 마찬가지로$$D {\$displaystyle D}$도 변환할^[7] 수 없는 경우)에는

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\\C&D\end{pmatrix}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right).}$

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) $1{\displaystyle \mathrm{}}$× ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ 1$\times$ 1$}$ - 매트릭스인$$ 경우, ${\displaystyle \mathrm{이렇게}}$ 하면 (${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle D}$- C${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaysty \det(A)(D-CA^{-1}B)}}$로 단순화된다$.$

블럭이 같은 크기의 제곱 행렬이면 공식이 추가로 유지된다. 예를 들어, $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$ 및 $D$ ${\displaystyle D}$ 통근$$($예{\displaystyle }$: C ${\displaystyle D}$= ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle CD=DC})$이(가)$$되면 다음이 유지된다.

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\det(AD-BC)}$

이 공식은 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ 2$[\displaystyle 2\times 2$}개$$ 이상의 블록으로 구성된 행렬로 일반화되었으며, 다시 개별 블록 간의 적절한 공통성 조건 하에서 일반화되었다.^[9]

$A{\displaystyle }$= ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A=D}$ 및$$ ${\displaystyle B}$= C ${\displaystyle B=C}$의$$경우 다음 공식은 유지된다($A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaysty B}$이(가) 통근하지 않더라도$$).^{[citation needed]}

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}=\det(A-B)\det(A+B)}$

블록 대각 행렬

블록 대각 행렬은 주 대각선 블록이 사각 행렬이고 모든 대각선 블록이 0 행렬이 되도록 사각 행렬인 블록 행렬이다. 즉, 블록 대각 행렬 A에는 형태가 있다.

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}}$

여기서 A는_k 모든 k = 1, ..., n에 대한 제곱 행렬이다. 즉, 행렬 A는₁ A, ..., A의_n 직접 합이다. 또한₁ A ⊕ A로₂ 나타낼 수도 있다. ⊕ A_n 또는 diag(A₁, A₂, ..., A_n) (후자는 대각 행렬에 사용되는 것과 동일한 형식주의임). 모든 사각 행렬은 단지 하나의 블록만을 가진 블록 대각 행렬로 대수롭지 않게 간주될 수 있다.

결정요소와 추적의 경우 다음 속성은 유지된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\det \mathbf {A} &=\det \mathbf {A} _{1}\times \cdots \times \det \mathbf {A} _{n},\\\operatorname {tr} \mathbf {A} &=\operatorname {tr} \mathbf {A} _{1}+\cdots +\operatorname {tr} \mathbf {A} _{n}.\end{정렬}}}$

블록 대각 행렬은 각각의 주 대각선 블록이 반전 가능한 경우에만 변환할 수 있으며, 이 경우 그 역행렬은 다음과 같이 주어진 또 다른 블록 대각 행렬이다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}\mathbf{A}_{1}&, 0&, \cdots, 0\\0&,\mathbf{A}_{2}&, \cdots &, 0\\\vdots &, \vdots &, \ddots &, \vdots \\0&, 0&, \cdots &, \mathbf{A}_{n}\end{bmatrix}}{A}_{1}^{)}& ^{)}={\begin{bmatrix}\mathbf, 0&, \cdots &, 0\\0&,\mathbf{A}_{2}^{)}&, \cdots &, 0\\\vdots &, \vdots&&.심장;\ddots, \vdots \\0&, 0&, \cdots & &, \mathbf{A}_{n}^{)}\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle A}$의 고유값과 고유 벡터는 단순히$$ $A{\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\$1} 및 ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$2 {\$displaystyle A_{2$}}$$및$$ ...${\displaystyle {와}_{}}$ A$$n {\$displaystyle A_{n}$을 조합한 값이다$$.

블록삼각형 행렬

블록 3각 행렬은 또 다른 특수 블록 행렬로서, 블록 대각 행렬의 사각 행렬(블록)이 하단 대각선 행렬, 주 대각선 행렬 및 상부 대각선에 있고, 다른 모든 블록은 0 행렬이다. 그것은 본질적으로 3각형 기질이지만, 스칼라의 위치에 하위 기질들을 가지고 있다. 블록 3각형 매트릭스 A는 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle \mathbf{A}={\begin{bmatrix}\mathbf{B}_{1}&,\mathbf{C}_{1}&,&&\cdots &,&0\\\mathbf{A}_{2}&,\mathbf{B}_{2}&,\mathbf{C}_{2}&,&&&\\&, \ddots, \ddots, \ddots & & &,&&\vdots \\&,&\mathbf{A}_{k}&,\mathbf{B}_{k}&,\mathbf{C}_{k}&,&\\\vdots &, &a.Mp,&\ddots, \ddots &, \ddots & &, \\&,&&&\mathbf{A}_{n-1}&,\mathbf{B}_{n-1}&,\mathbf{C}_{n-1}\\0&,&\cdots &,&.&\mathbf {A} _{n}&\mathbf {B} _{n}\end{bmatrix}}}$

여기서 A_k, B_k, C는_k 각각 하단 대각선, 주 대각선 및 상부 대각선의 정사각형 하위 행렬이다.

블록 3각형 행렬은 종종 엔지니어링 문제의 수치적 해결책(예: 계산 유체 역학)에서 마주친다. LU 인자화를 위한 최적화된 수치방법이 이용가능하며, 따라서 계수 행렬로서 블록 삼지각 행렬을 갖는 방정식 시스템에 대한 효율적인 솔루션 알고리즘이 있다. 삼지각 행렬을 포함하는 방정식 시스템의 효율적인 해법에 사용되는 토마스 알고리즘은 삼지각 행렬을 차단하기 위한 행렬 연산을 사용하여 적용할 수도 있다(블록 LU 분해 참조).

블록 토플리츠 행렬

블록 토플리츠 매트릭스는 또 다른 특수 블록 매트릭스로, 토플리츠 매트릭스에는 대각선 아래로 반복되는 원소가 있기 때문에 매트릭스의 대각선 아래로 반복되는 블록이 포함되어 있다.

블록 토플리츠 매트릭스 A에는 형태가 있다.

${\displaystyle \mathbf{A}={\begin{bmatrix}\mathbf{A}_{(1,1)}&,\mathbf{A}_{(1,2)}&,&&\cdots &, \mathbf{A}_{(1,n-1)}&, \mathbf{A}_{(1,n)}\\\mathbf{A}_{(2,1)}&,\mathbf{A}_{(1,1)}&,\mathbf{A}_{(1,2)}&,&&&\mathbf{A}_{(1,n-1)}\\&, \ddots, \ddots, \ddots & &,&&\vdots \\& &,&\.Mathbf{A}_{(2,1)}&,\mathbf{A}_{(1,1)}&,\mathbf{A}_{(1,2)}&,&\\\vdots &,&&, \ddot.s &\ddots &\ddots &\\\mathbf {A} _{(n-1,1)}&&&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}\\\mathbf {A} _{(n,1)}&\mathbf {A} _{(n-1,1)}&\cdots &&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}\end{bmatrix}}.}$

블록 전치

개별 블록이 재순서되지만 전치되지 않는 블록 행렬에 대해서도 특별한 형태의 전치 행렬을 정의할 수 있다. Let ${\displaystyle A=(B_{ij})}$ be a ${\displaystyle k\times l}$ block matrix with ${\displaystyle m\times n}$ blocks ${\displaystyle B_{ij}}$, the block transpose of ${\displaystyle A}$ is the ${\displaystyle l\times k}$ block matrix ${\displaystyl$$e$ $m{\displaystyle }$$$${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\times n}$블록$$$({\displaystyle {{AB}^{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{Bj}}_{}}$ i ${\${ij}=B_{b_}}}}.^[10]

As with the conventional trace operator, the block transpose is a linear mapping such that ${\displaystyle (A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}}$. However, in general the property ${\displaystyle (AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}$$A^{\mathcal{B}}}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$와 C ${\displaystyle C}$의 블록이 통근하지$$ 않는 한 유지되지 않는다$$.

직합

임의 행렬 A(크기 m × n)와 B(크기 p × q)의 경우, A와 B의 직접 합계가 있으며, A $\oplus {\displaystyle }$ ${\$디스플레이 $스타일 \oplus }$로 표시되고 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathbf{A}\oplus\mathbf{B}={\begin{bmatrix}a_{11}&, \cdots, a_{1n}&, 0&, \cdots &, 0\\\vdots &, \ddots &, \vdots &, \vdots &, \ddots &, \vdots \\a_{m1}&, \cdots & &, a_{중성자의 정지 질량}&, 0&, \cdots &, 0\\0&, \cdots &, 0&, b_{11}&, \cdots, b_{1q}\\\vdots, \ddots & &, \vdots &, \vdots & &, \ddot.S&\vdots, \cdots &, 0&, b_{p1}&, \cdots &, b_{pq}\end{bmatrix}}\\0&.}$

예를 들어.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

이 작업은 임의의 치수 배열로 자연스럽게 일반화된다(A와 B의 치수 수가 동일할 경우).

행렬의 두 벡터 공간의 직접 합에 있는 원소는 두 행렬의 직접 합으로 나타낼 수 있다는 점에 유의하십시오.

적용

선형 대수학 용어에서 블록 행렬의 사용은 기본 벡터의 해당 '분지'라는 관점에서 생각하는 선형 매핑 사고를 갖는 것에 해당한다. 그것은 다시 도메인과 범위의 직접적인 총액 분해를 구별하는 아이디어와 일치한다. 블럭이 영점 행렬인 경우, 요약이 서브섬으로 매핑되는 정보를 전달하는 것은 항상 특히 중요하다.

선형 매핑과 직접 합계를 통한 해석을 고려할 때 사각 행렬(사례 m = n)에 대해 발생하는 특별한 유형의 블록 행렬이 있다. 그러한 사람들에게 우리는 n차원 공간 V의 내형성으로서 해석을 가정할 수 있다; 행과 열의 묶음이 같은 블록 구조가 중요하다. 왜냐하면 그것은 V에 단일의 직접 합을 분해하는 것에 해당하기 때문이다. 그 경우, 예를 들어, 분명한 의미에서의 대각선 블록은 모두 정사각형이다. 요르단 정상 형태를 설명하려면 이러한 유형의 구조가 필요하다.

이 기법은 행렬, 기둥-열 확장 및 VLSI 칩 설계를 포함한 많은 컴퓨터 과학 응용 프로그램의 계산을 줄이는 데 사용된다. 빠른 매트릭스 곱셈을 위한 Strassen 알고리즘과 데이터 전송의 오류 감지 및 복구를 위한 Hamming(7,4) 인코딩이 그 예다.

참고 항목

• Kronecker 제품(블록 매트릭스를 생성하는 매트릭스 직접 제품)

메모들

참조

• Strang, Gilbert (1999). "Lecture 3: Multiplication and inverse matrices". MIT Open Course ware. 18:30–21:10.