반대칭 텐서

수학 및 이론 물리학에서, 텐서는 부분 집합의 두 개의 지수를 ^[1]^[2]교환할 때 부호(+/-)를 번갈아 사용할 경우 지수 부분 집합에서 (또는 그에 대해) 반대칭이다.지수 부분 집합은 일반적으로 모두 공변량 또는 모두 반변량이어야 합니다.

예를들면,

{displaystyle T_{ijk\dots}=-T_{jik\dots}=-T_{kji\dots}=T_{ki\dots}=-T_{ikj\dots}}

텐서가 처음 세 지수에 대해 반대칭일 때 고정됩니다.

각 지수 쌍이 교환될 때 텐서가 부호를 바꾸면 텐서는 완전히 (또는 완전히) 반대칭이다. $k$ 의 완전 $k$ 반대칭 공변 텐서장 k는 $차분$ k $\표시$ 스타일k-형식 $k$ , 완전 반대칭 텐서장은 $\표시 스타일$ k}-벡터장이라고 $k$ 할 수 있다.

반대칭 텐서 및 대칭 텐서

$i$ 와 $i$ $j$ 에서 $j$ 반대칭인 텐서A는 $i$ 와 $i$ $j$ 에서 $j$ 대칭인 텐서 B와의 수축이 동일하게 0인 특성을 가진다.

$U_{ijk\dots }$ j $U_{ijk\dots }$ $…(\$ $U_{ijk\dots }$ 과 $U_{ijk\dots}$ $지수$ 쌍 i(\ $displaystyle$ i $}$ 및 $i$ $(\displaystyle$ j $,\$ dots})를 $j,$ 포함하는 일반 텐서 U의 경우, U는 다음과 같이 정의된 대칭 및 반대칭 부품을 가집니다.

$({displaystyle U_{(ij)k\dots}=flac {1}{2}}(U_{ijk\dots}+U_{jik\dots})})$		(주문 부분)
$({displaystyle U_{ij]k\dots}=param frac {1}{2}}(U_{ijk\dots}-U_{jik\dots})})$		(대칭 부품).

다른 지수 쌍에도 유사한 정의를 내릴 수 있다."부품"이라는 용어가 시사하는 바와 같이, 텐서는 다음과 같이 주어진 지수 쌍에 대한 대칭 부분과 반대칭 부분의 합이다.

U_{ijk\dots}=U_{(ij)k\dots}+U_{[ij]k\dots}

표기법

반대칭화를 위한 줄임말 표기는 대괄호 쌍으로 나타난다.예를 들어, 임의의 차원에서는 2차 공변량 텐서 M에 대해

M_{[ab]}=flac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),

그리고 3차 공변 텐서 T의 경우,

T_{abc}=black {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba})

임의의 2차원 및 3차원에서, 이것들은 다음과 같이 쓸 수 있다.

디스플레이 스타일M_{[ab]}&=sqfrac {1}{2!}},\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&=flac {1}{3!}},\filename _{filename}^{def}T_{def}.\end { aligned}}

여기서

\delta _{ab\dots }^{cd\dots }

\delta _{ab\dots }^{cd\dots }

b

\delta _{ab\dots }^{cd\dots }

…

\delta _{ab\dots }^{cd\dots }

d

\delta _{ab\dots }^{cd\dots }

… {

style \delta

_ {

ab\dots

}^{

cd\dots}}

는

\delta_{ab\dots}^{cd\dots}

일반화 크로네커 델타이며, 아인슈타인 표기법을 사용하여 유사한 지수를 가산합니다.

보다 일반적으로 차원 수에 관계없이 p{\ $displaystyle$ p $}$ 지수에 $p$ $대한$ 반대칭화는 다음과 같이 표현될 수 있다.

T_{[a_{1}\dots a_{p}}=flac {1}{p!}}\param_{a_{1}\parama_{p}^{b_{1}\paramb_{p}T_{b_{1}\dots b_{p}}.

일반적으로 랭크 2의 모든 텐서는 다음과 같이 대칭 및 반대칭 쌍으로 분해할 수 있다.

T_{ij}=black {1}{2}}(T_{ij}+)T_{ji}+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji}).

이 분해는 일반적으로 보다 복잡한 대칭을 가진 3등급 이상의 텐서에서는 해당되지 않습니다.

예

완전 반대칭 텐서는 다음과 같습니다.

일반적으로 모든 스칼라와 벡터(순서 0과 1의 텐서)는 완전히 반대칭(및 완전히 대칭)입니다.
전자기 $F_{\mu \nu }$ , $F_{\mu \nu }$ μ $F_{\mu \nu }$ {\ $displaystyle$ F_ ${\mu$ \nu $F_{\mu \nu }$ }}.
리만 부피는 의사 리만 다양체에 형성된다.

「」를 참조해 주세요.

반대칭 행렬
외부 대수 – 다선형 대수 및 기하학에서 사용되는 대수 구조
Levi-Civita 기호 – 텐서에 작용하는 반대칭 치환 객체
리치 미적분 – 텐서 기반 계산을 위한 텐서 지수 표기법
대칭 텐서 – 작용하는 벡터의 순열 하에서의 텐서 불변량
대칭화

메모들

^ K.F. Riley; M.P. Hobson; S.J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
^ Juan Ramón Ruíz-Tolosa; Enrique Castillo (2005). From Vectors to Tensors. Springer. p. 225. ISBN 978-3-540-22887-5. 제7조

레퍼런스

Penrose, Roger (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1.
J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. pp. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.

외부 링크

반대칭 텐서 – 수학 세계.wolfram.com

[1] K.F. Riley; M.P. Hobson; S.J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.

[2] Juan Ramón Ruíz-Tolosa; Enrique Castillo (2005). From Vectors to Tensors. Springer. p. 225. ISBN 978-3-540-22887-5. 제7조

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