트리플 제품

기하학이나 대수학에서 트리플 제품은 3차원 벡터, 대개 유클리드 벡터(유클리드 벡터)의 3개 제품이다. "트리플 제품"이라는 명칭은 두 가지 다른 제품인 스칼라 값 스칼라 트리플 제품과 벡터 값 벡터 트리플 제품에는 덜 자주 사용된다.

스칼라 트리플 제품

스칼라 트리플 제품(혼합 제품, 박스 제품 또는 트리플 스칼라 제품이라고도 함)은 벡터 중 한 개의 도트 제품과 다른 두 개의 교차 제품으로 정의된다.

기하학적 해석

기하학적으로, 스칼라 트리플 제품

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot(\mathbf {b} \mathbf {c})}$

주어진 3개의 벡터에 의해 정의된 병렬 처리의 (서명된) 볼륨이다. 여기서는 도트 제품을 먼저 평가할 수 없기 때문에 모호성을 유발하지 않고 괄호를 생략할 수 있다. 만약 그렇다면, 그것은 스칼라와 벡터의 교차 생산물을 남길 것이고, 이것은 정의되지 않았다.

특성.

• 스칼라 트리플 제품은 세 피연산자(a, b, c):

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot(\mathbf {b} \mathbf {c}=\mathbf {c} \cdot(\mathbf {a}\mathbf {c}) \cdot(\mathbf {a}\mathbf {bf {bf {bf {b} ) }}}}} \bf {b} \b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

• 피연산자를 재주문하지 않고 작업자의 위치를 맞바꾸는 것은 3중 제품을 변경하지 않는다. 이는 선행 속성 및 도트 제품의 상호 교환 속성에서 다음과 같다.

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \mathbf {c})=(\mathbf {a} \mathbf {b})\cdot \mathbf {c}}}$

• 세 명의 피연산자 중 두 명을 교환하면 세 개의 제품이 무효가 된다. 이는 교차 제품의 원형 교대 특성과 반공통성에서 나타난다.

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{aligned}}}$

• 스칼라 트리플 제품은 또한 3개의 벡터를 행이나 기둥으로 갖는 3×3 행렬의 결정 인자로 이해할 수 있다(행렬은 전치물과 동일한 결정 인자를 갖는다).

  ${\displaystyle \mathbf{}\cdot(\mathbf{b}\mathbf{c}\times)=\det{\begin{bmatrix}a_{1}&, a_{2}&, a_{3}\\b_{1}&, b_{2}&, b_{3}\\c_{1}&, c_{2}&, c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det{\begin{bmatrix}a_{1}&, b_{1}&, c_{1}\\a_{2}&, b_{2}&, c_{2}\\a_{3}&, b_{3}&, c_{3}\end{bmatrix}}=\det{\begin{bmatrix}\mathbf{를}&\mathbf{b}&.앰프,\mathbf{c}\end{bmatrix}}.}$

• 스칼라 트리플 제품이 0과 같을 경우, 세 벡터 a, b, c는 동일 평면이며 부피가 없기 때문이다.
• 스칼라 트리플 제품에서 벡터 두 개가 같을 경우 그 값은 0이다.

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {b} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0}$

• 또한:

  ${\displaystyle(\mathbf {a} \cdot(\mathbf {b} \mathbf {c})\,\mathbf {a} =(\mathbf {b} \mathbf {b} )\mathbf {c}}$

• 두 개의 트리플 제품(또는 트리플 제품의 제곱)의 단순 제품은 도트 제품 측면에서 확장될 수 있다.^[1]
  $${\displaystyle((\mathbf{}\mathbf{b}\times)\cdot \mathbf{c})\;((\mathbf{d}\mathbf{e\times})\cdot\mathbf{f})=\det{\begin{bmatrix}\mathbf{를}\cdot \mathbf{d}&\mathbf{를}\cdot \mathbf{e}&\mathbf{를}\cdot \mathbf{f}\\\mathbf{b}\cdot \mathbf{d}&\mathbf{b}\cdot \mathbf{e}&\mathbf{b}\cdot \mathbf{f}\\\.mathbf{c}\cdot \mathbf {d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}}}}}$$

  
  이것은 두 3×3 행렬의 결정요인의 산물이 행렬 곱의 결정요인과 같다는 것을 벡터 표기법으로 증명한다. 특별한 경우로서, 3중 제품의 제곱은 그램 결정인자다.
• 세 가지 벡터 규범의 곱과 세 가지 벡터 규범의 곱의 비율을 극 사인이라고 한다.
  $${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\ {\mathbf {a} }\ \ {\mathbf {b} }\ \ {\mathbf {c} }\ }}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$$

  
  -1과 1 사이의 범위.

스칼라 또는 유사칼라

스칼라 트리플 제품은 병렬 처리된 부피를 제공하지만, 프레임의 방향이나 벡터의 순열의 패리티에 따라 서명된 부피, 즉 부호가 된다. 이것은 예를 들어 패리티 변환에 의해 방향이 뒤바뀌면 제품이 부정된다는 것을 의미하며, 따라서 방향이 바뀔 수 있다면 유사성(pseoscalar)으로 더 적절하게 설명된다.

이것은 또한 교차 제품의 손길과도 관련이 있다; 교차 제품은 패리티 변환 하에서 유사벡터로서 변환되므로 유사벡터로서 적절하게 설명된다. 두 벡터의 도트 곱은 스칼라지만 유사 벡터와 벡터의 도트 곱은 유사수치이므로 스칼라 곱은 유사수치여야 한다.

T가 회전 연산자일 경우

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot(\mathbf {Tc} \mathbf {a} \cdot(\mathbf {b} \times \mathbf {c}),}$

T가 부적절한 회전이라면

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot(\mathbf {Tc} \mathbf {a}=-\mathbf {a} \c} \cdot(\mathbf {b} \times \mathbf {c}).}$

외부제품으로

외부 대수학 및 기하학 대수학에서 2 벡터의 외부 생산물은 2벡터인 반면, 3 벡터의 외부 생산물은 3벡터다. 이벡터는 지향적인 평면 요소이고 삼벡터는 방향화된 볼륨 요소로서 벡터가 지향적인 선 요소인 것과 같다.

벡터 a, b, c, 제품

${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} \mathbf {c}$

스칼라 트리플 제품과 동일한 크기를 가진 3개 벡터.

${\displaystyle \mathbf{a}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle b\mathbf{}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle c\mathbf{}}$= ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (b\mathbf{}}$ ${\displaystyle \times }$ c${\displaystyle }$) $displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf${b} =$\mathbf${a}$\cdot(\mathbf {b} \mathbf$ {$c}$ ) },$$$},$ }, },

그리고 스칼라 트리플 제품의 호지 듀얼이다. 외관제품은 연관형이기 때문에 제품 내 벡터 순서는 중요하나 first b와 b ∧ c 중 어느 것을 먼저 계산하는지는 중요하지 않기 때문에 필요 없다. 기하학적으로 trivector a ∧ b c c는 a, b, c에 의해 확장되는 parallelelelepiped에 해당하며, parallelelepiped의 평행도 면과 일치하는 bivecector a ctors b, b ∧ c와 함께 한다.

삼선 함수로서

트리플 제품은 내부 제품을 통해 벡터에 적용된 유클리드 3공간의 볼륨 형태와 동일하다. 또한 형식(또는 볼륨 사이비 형식과 동등한 유사점)에 해당하는 3등급 텐서(rack-tensor)로 벡터의 수축으로 표현될 수 있다. 아래를 참조한다.

벡터 트리플 제품

벡터 트리플 제품은 한 벡터와 다른 두 벡터의 교차 곱으로 정의된다. 다음과 같은 관계가 유지된다.

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$.

이것은 3중 제품 확장, 즉 라그랑주의 공식으로 알려져 있지만,^[2][3] 후자의 이름은 몇 가지 다른 공식에도 사용된다. 그것의 오른손은 어떤 벡터가 함께 점철되어 있는지 유념할 수 있는 니모닉 "ACB - ABC"를 사용함으로써 기억될 수 있다. 아래에 증거가 제시되어 있다. Some textbooks write the identity as ${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$ such that a more familiar mnemonic "BAC − CAB" is obtained, as in “back of the cab”.

교차 제품은 반공산물이므로 이 공식은 다음과 같이 (문자의 순열까지) 작성될 수 있다.

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }$

라그랑주의 공식에서 벡터 트리플 제품은 다음과 같이 만족한다.

${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c}+\mathbf {b} \mathbf {c} \mathbf {a}+\mathbf \c} \mathbf {b} \mathbf {0}}}}}$

교차 제품의 자코비 아이덴티티 입니다. 또 다른 유용한 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle(\mathbf {a} \mathbf {b} )\mathbf {c} \mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {b}-\mathbf {b} \mathbf {c} \mathbf {c} \mathbf {c}$

이러한 공식들은 물리학의 벡터 계산을 단순화하는 데 매우 유용하다. 구배와 관련된 식별자로 벡터 미적분학에서 유용하며 라그랑쥬의 벡터 교차 제품 정체성 공식은 다음과 같다.^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} }$

이는 보다 일반적인 라플라스-데 람 연산자 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle \Delta }$ +${\displaystyle \Delta }$ d ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$의 특별한 경우로도 볼 수 있다$.$

증명

${\displaystyle \times }$(${\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\displaystyle \times }$ w${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {u} \time(\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$의 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 구성$$ 요소는 다음과 같이 지정된다$$.

${\displaystyle{\begin{정렬}(\mathbf{너}\times(\mathbf{v}\times \mathbf{w}))_{)}&, =\mathbf{u}_ᆮ(\mathbf{v}_{x}\mathbf{w}_{y}-\mathbf{v}_{y}\mathbf{w}_{x})-\mathbf{u}_ᆰ(\mathbf{v}_{z}\mathbf{w}_{x}-\mathbf{v}_{x}\mathbf{w}_{z})\\&, =\mathbf{v}_{)}(\mathbf{u}_{y}\mathbf{w}_{y}+\mathbf{u}_{z}\mathbf{w}_{.z})-\matHbf{w}_ᆬ(\mathbf{너}_{y}\mathbf{v}_{y}+\mathbf{너}_{z}\mathbf{v}_{z})\\&, =\mathbf{v}_ᆮ(\mathbf{너}_{y}\mathbf{w}_{y}+\mathbf{너}_{z}\mathbf{w}_{z})-\mathbf{w}_ᆰ(\mathbf{너}_{y}\mathbf{v}_{y}+\mathbf{너}_{z}\mathbf{v}_{z})+(\mathbf{u}_{)}\mathbf{v}_{)}\mathbf{w}_{)}-\mathbf{u}_{)}\mathbf{v}_{)}\mathbf{w}.{)})\\&, =\mathbf{v}_ᆭ(\mathbf{너}_{x}\mathbf{w}_{x}+\mathbf{너}_{y}\mathbf{w}_{y}+\mathbf{너}_{z}\mathbf{w}_{z})-\mathbf{w}_ᆯ(\mathbf{너}_{x}\mathbf{v}_{x}+\mathbf{너}_{y}\mathbf{v}_{y}+\mathbf{너}_{z}\mathbf{v}_{z})\\&, =(\mathbf{너}\cdot{w}\mathbf)\mathbf{w}_{)}\end _ᆱ-(\mathbf{너}\cdot{v\mathbf})\mathbf{v}.{정렬}}}$

$마찬가지$로 ${\displaystyle \times }$(${\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle w\mathbf{}}$) ${\displaystyle \mathbf {u} \time(\mathbf {v} \times \mathbf {w})$의 y ${\displaystyle z}$ 구성$$$$ 요소는 다음과 같이 지정된다$$.

${\displaystyle{\begin{정렬}(\mathbf{너}\times(\mathbf{v}\times \mathbf{w}))_{y}&, =(\mathbf{너}\cdot{w}\mathbf)\mathbf{v}_ᆱ-(\mathbf{너}\cdot{v\mathbf})\mathbf{w}_ᆳ\\(\mathbf{너}\times(\mathbf{v}\times \mathbf{w}))_{z}&, =(\mathbf{너}\cdot{w}\mathbf)\mathbf{v}_ᆶ-(\mathbf{너}\cdot{v\mathbf})\mathbf{w}._{z}\end{정렬}}}$

이 세 가지 구성요소를 결합함으로써 우리는 다음을 얻는다.

${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} \mathbf {w}=(\mathbf {w})\mathbf {v}\cdot \mathbf {v}\mathbf {w}}}}$^[5]

기하 대수 사용

기하 대수학을 사용할 경우 벡터의 교차 제품 b × c는 외부 제품 b∧c로 표현된다. 두 번째 교차 제품은 외부 제품으로 표현할 수 없으며 그렇지 않으면 스칼라 트리플 제품이 나올 것이다. 대신에 왼쪽 수축이^[6] 사용될 수 있기 때문에 공식은^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{aligned}}}$

그 증거는 수축의 속성에서 따온 것이다.^[6] 결과는 × (b × c)를 사용하여 계산한 것과 같은 벡터다.

해석

텐서 미적분학

tensor 표기법으로 3중 제품은 Levi-Civita 기호를 사용하여 표현된다.^[8]

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \mathbf {c} ]=\varepsilon _{ijk}a^{i^{j}c^{k}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon _{k\ell m}b^{\ell }c^{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}a^{j}b^{\ell }c^{m}}$,

결과 벡터의 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ i$}$ th $구성$ 요소를 참조하십시오$$. This can be simplified by performing a contraction on the Levi-Civita symbols, ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}=-\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{m\ell k}=\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{\ell j}}$ where $$${\displaystyle {\Delta }_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$= 0 ${\displaystyle \cHB_{ij}=0}$인 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle }$i =${\displaystyle {}_{}{j}_{}}$ ${\displaystyle i\neq$ j$}$이고 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle i_{}}$ = ${\displaystyle 1}$${\displaystyle }$${\displaystyle \cHB_{ij}=$1}인$$경우$$Δ$$ i = ${\displaystyleyle$ i$=j$} . 인덱스 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$이(가) $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$와 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j$$}$만 남기고 요약된다는$$ 것을 인식하여 이 정체성을 추론할 수 있다$.$ 첫 번째 학기에는 ${\displaystyle i}$= l ${\$$displaystyle$ i$=l},$ 따라서$$ $j{\displaystyle }$= $.$ 마찬가지로 두 번째 $학기$에도 i${\displaystyle }$= m ${\disc$.$e i=m},$ 따라서$$ ${\displaystyle l}$= j ${\displaystyle l=j$

트리플 크로스 제품으로 돌아가면

${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{\ell j})a^{j}b^{\ell }c^{m}=a^{j}b^{i}c^{j}-a^{j}b^{j}c^{i}=\mathbf {b} _{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} _{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

벡터 미적분학

Consider the flux integral of the vector field ${\displaystyle \mathbf {F} }$ across the parametrically-defined surface ${\displaystyle S=\mathbf {r} (u,v)}$: ${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {F} \mathbf {\cdot } \mathbf {N} \,dS}$. The unit normal vector ${\displaystyle \ma$$thbf {N} }$ to the surface is given by ${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{ \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v} }}}$, so the integrand ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\frac$${(\mathbf {r} _{u}\mathbf {r} _{v}}{\mathbf {r} _{v$}}}}}{\$mathbf _{v}}}}}}}}}}$은 스칼라 삼중 제품이다$$.

이 구간은 확장이 필요하다. 덧셈으로 도와줘도 된다. (2014년 1월)

참고 항목

• 쿼드러플 제품
• 벡터 대수 관계

메모들

참조

• Lass, Harry (1950). Vector and Tensor Analysis. McGraw-Hill Book Company, Inc. pp. 23–25.

외부 링크

• 칸 아카데미 3중 제품 확장 증명 영상