공변 미분

수학에서, 공변 도함수는 다지관의 접선 벡터를 따라 도함수를 지정하는 방법이다.대안으로, 공변 도함수는 프레임 번들에 대한 주요 연결에서 제공되는 접근법과 대조되도록 미분 연산자를 통해 다지관 연결을 도입하고 사용하는 방법입니다. 아핀 연결을 참조하십시오.더 높은 차원의 유클리드 공간에 등각적으로 내장된 다지관의 특별한 경우, 공변 도함수는 다지관의 접선 공간에 대한 유클리드 방향 도함수의 직교 투영으로 볼 수 있다.이 경우, 유클리드 도함수는 외인성 정규 성분(내포에 의존)과 내적 공변 미분 성분(instellent 공변성 성분)의 두 부분으로 나뉜다.

이 이름은 물리학에서 좌표 변화의 중요성에 의해 모티브가 부여되었다: 공변 도함수는 일반적인 좌표 변환, ^[1]즉 변환의 야코비 행렬을 통해 선형적으로 변환된다.

이 기사는 좌표 자유 언어 및 로컬 좌표계와 전통적인 지수 표기법을 모두 사용하여 벡터장과 관련된 벡터장의 공변 도함수에 대한 소개를 제공한다.텐서 필드의 공변 도함수는 동일한 개념의 확장으로 나타난다.공변 도함수는 Koszul 연결이라고도 하는 벡터 번들의 연결과 관련된 미분 개념으로 쉽게 일반화됩니다.

역사

역사적으로, 20세기 초에, 공변 미분은 그레고리오 리치-쿠르바스트로와 툴리오 리바이-시비타에 의해 리만 기하학과 의사-리만 ^[2]기하학 이론에서 도입되었다.Ricci와 Levi-Civita(엘윈 브루노 크리스토펠의 아이디어에 따라)는 곡률을 정의하는 데 사용되는 크리스토펠 기호가 ^[3]^[4]다양체의 벡터장의 고전적인 방향 도함수를 일반화하는 미분 개념을 제공할 수 있다는 것을 관찰했다.이 새로운 도함수인 Levi-Civita 연결은 기하학에서 물체가 특정 좌표계에서 설명과 독립적이어야 한다는 리만의 요구사항을 충족한다는 점에서 공변적이었다.

헤르만 바일, 얀 아놀두스 슈텐, 그리고 엘리 ^[5]카르탕과 같은 다른 수학자들에 의해 공변 미분은 메트릭의 존재 없이 추상적으로 정의될 수 있다는 것이 곧 주목되었다.중요한 특징은 측정기준에 대한 특별한 의존이 아니라 크리스토펠 기호가 정확한 2차 변환 법칙을 충족한다는 것이었다.이 변환 법칙은 공변량 방식으로 도함수를 정의하는 시작점이 될 수 있습니다.따라서 공변 미분 이론은 엄밀하게는 리만 문맥으로부터 더 넓은 범위의 가능한 기하학을 포함하기 위해 분리되었다.

1940년대에, 미분 기하학의 실무자들은 다지관의 텐서 분석의 일부가 아닌 기하학에 대한 고전적인 관심 다발과 대조적으로 일반적인 벡터 다발에 공변 미분 개념을 도입하기 시작했다.대체로, 이러한 일반화 공변 미분들은 연결 개념의 일부 버전에 의해 임시로 지정되어야 했습니다.1950년, 장 루이 코줄은 오늘날 코줄 연결 또는 벡터 ^[6]다발 위의 연결로 알려진 것을 통해 벡터 다발에 공변 미분이라는 새로운 아이디어를 통합했습니다.리 대수 코호몰로지로부터의 아이디어를 이용하여, 코줄은 공변 미분학의 많은 분석적 특징들을 대수적 특징들로 성공적으로 변환했다.특히 Koszul 연결은 미분 기하학에서 크리스토펠 기호(및 기타 유사한 비장식 객체)를 어색하게 조작할 필요성을 없앴다.따라서 그들은 1950년 이후의 많은 대상 치료에서 공변 미분이라는 고전적인 개념을 빠르게 대체했다.

동기

공변 도함수는 벡터 미적분학의 방향 도함수의 일반화이다.방향도함수와 마찬가지로 공변도함수는 (1) 점 P에 정의되는 벡터, u 및 (2) $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }$ ^[7]근방에 정의되는 벡터장 v를 입력으로 하는 규칙 $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }$ u $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }$ \ $displaystyle \nabla$ _ ${\mathbf {u}} {\mathbf {v$ 이다.출력은 벡터 $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }(P)$ v $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }(P)$ ( $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }(P)$ P ) \ $displaystyle$ \ $nabla$ _{\ $mathbf$ { $u}$ {\ $mathbf {v}$ 입니다.또, P점에서도 마찬가지입니다.일반적인 방향 도함수와의 주된 차이점은 $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }$ v $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }$ v \ $displaystyle$ \ $nabla _{\mathbf$ {u} {\ $mathbf$ { $v}}}$ 은 $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }$ (는) 정확한 의미에서 좌표계에서 표현되는 방식과 독립적이어야 한다는 것이다.

벡터는 기저에 관해서는 숫자의 리스트로 기술될 수 있지만, 기하학적 객체로서 벡터는 어떻게 기술되는지에 관계없이 그 동일성을 유지한다.하나의 기준과 관련하여 성분에 기재된 기하학적 벡터의 경우, 기준이 변경되면 성분은 공변변변환된 좌표와 함께 기저변환식에 따라 변환된다.공변 도함수는 좌표 변경 시 기준과 동일한 방식으로 공변 변환을 통해 변환해야 합니다(따라서 이름).

유클리드 공간의 경우, 일반적으로 벡터장의 방향 도함수를 두 인근 지점의 두 벡터 간의 차이로 정의한다.이러한 시스템에서 한 벡터를 다른 벡터의 원점으로 변환하여 평행하게 유지한 다음 동일한 벡터 공간 내에서 이들의 차이를 취합니다.데카르트(고정 직교 정규) 좌표계의 경우 "평행 유지"는 구성요소를 일정하게 유지하는 것입니다.유클리드 공간의 이 일반적인 방향 도함수는 공변 도함수의 첫 번째 예시이다.

다음은 좌표계의 변화를 고려해야 한다.예를 들어 을라이드 평면을 극좌표로 기술하는 경우 좌표 그리드 자체가 "회전"하므로 "평행"을 유지한다고 해서 극성분이 변환 중에 일정하게 유지되는 것은 아니다.따라서 극좌표로 작성된 동일한 공변 도함수에는 좌표 그리드 자체가 어떻게 회전하는지 또는 보다 일반적인 좌표에서 그리드가 어떻게 팽창, 수축, 비틀림, 인터위브 등을 설명하는 추가 항이 포함되어 있다.

유클리드 평면에서 곡선 $θ$ ( $t)$ 를 따라 이동하는 예를 생각해 보자.극좌표에서 $θ$ 는 반지름 좌표 및 각도 $좌표$ 의 관점에서 $θ (t$ )= ( $r (t),$ $θ ($ t))로 표기할 수 있다.특별한 시간 t[8](인스턴스의 곡선의 가속도)에 있는 벡터(er, eθ){\displaystyle(\mathbf{e}_{r},\mathbf{e}_{\theta})}, er{\displaystyle \mathbf{e}_{r}}의 관점에서 이 클래스를 eθ{\displaystyle \mathbf{e}_{\theta}}은 단위 접선 벡터 표시된다. 실내 변기lar 좌표, 반지름 및 접선 성분의 관점에서 벡터를 분해하는 기준으로 사용됩니다.조금 늦게 극좌표에서 새로운 베이스는 첫 번째 세트에 대해 약간 회전된 것처럼 보입니다.기저 벡터(Christofel 기호)의 공변 도함수는 이러한 변화를 표현하는 데 도움이 됩니다.

지구 표면과 같은 곡면 공간에서는 서로 다른 점들 사이의 접선 벡터의 변환이 잘 정의되지 않으며, 그 아날로그 병렬 전송은 벡터가 변환되는 경로에 따라 달라집니다.적도의 점 Q에 있는 지구상의 벡터는 북쪽으로 향한다.먼저 벡터를 적도를 따라 P점으로 이동한 다음 자오선을 따라 N극으로 끌어다 다른 자오선을 따라 Q로 다시 전송합니다.그러면 폐회로를 따라 병렬로 전송되는 벡터는 같은 벡터로 반환되지 않고 다른 방향이 있음을 알 수 있습니다.이것은 유클리드 공간에서는 일어나지 않을 것이고 지구 표면의 곡률에 의해 발생한다.벡터를 무한히 작은 닫힌 표면을 따라 두 방향을 따라 드래그했다가 다시 드래그하면 동일한 효과가 발생합니다.벡터의 이 미세한 변화는 곡률의 측정값이며 공변 도함수로 정의할 수 있습니다.

언급

공변량 도함수의 정의에서는 공간의 메트릭을 사용하지 않습니다.그러나, 각 메트릭에 대해, 메트릭의 공변 미분이 0이 되도록 Levi-Civita 연결이라고 불리는 독특한 비틀림 없는 공변 미분이 있다.
도함수의 특성은 $\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u}$ $\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u}$ v {\ $displaystyle \nabla$ _ ${\mathbf {v}\mathbf {u}}$ 가 $\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u}$ 점 p의 임의의 작은 근방에 대한 u의 값에 의존한다는 것을 의미한다. 예를 들어 주어진 점 p에서의 스칼라 함수 f의 도함수는 임의의 작은 근방의 값에 의존한다는 것과 같다./p.
공변량 도함수의 점 p 근방에 대한 정보를 사용하여 벡터의 병렬 전송을 정의할 수 있습니다.또한 곡률, 비틀림 및 측지학은 공변도함수 또는 선형접속 개념에 관한 기타 관련 변동의 관점에서만 정의할 수 있다.

유클리드 공간에 임베딩을 사용한 비공식 정의

는 d{\displaystyle d}-dimensional 리만 다양체 M{M\displaystyle}의 개방된 부분 집합 U{U\displaystyle}유클리드 공간(R,⟨ ⋅,⋅ ⟩){\displaystyle(\mathbb{R}^{n},\langle\cdot ,\cdot \rangle)}에 2배continuously-differentiable(지휘 통제)매핑 Ψ →을 통해 포함됩니다:R. 가정하자 ${\vec {\Psi }}(p)\in M$ ${\vec {\Psi }}:\mathbb {R} ^{d}\supset U\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\vec {\Psi }}:\mathbb {R} ^{d}\supset U\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\vec {\Psi }}:\mathbb {R} ^{d}\supset U\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\vec {\Psi }}:\mathbb {R} ^{d}\supset U\to \mathbb {R} ^{n}$ ( \ $display$ style \ $spec$ { $R$ } : \ $mathbb$ { R $}$ ^ { d } \ $supset$ U \ $to$ \ $mathbb$ { R } $^$ { $n$ ${\vec {\Psi }}(p)\in M$ $display$ ${\vec {\Psi }}(p)\in M$ → M display \ displaystyle \ Psi }} at at ${\vec {\Psi }}(p)\in M$ ( $p$ ) by M ${\vec {\Psi }}(p)\in M$ by ${\vec {\Psi }}(p)\in M$ by by at at at at at at \ vac at at at at at at at at at at at at $at$ at at at at at at at at at at at at at at at

\displaystyle \left.\frac \frac \partial x^{i}\right _{p:i\in\1,\dots,d\}\right\}

\mathbb {R} ^{n}

곱

\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle

⟨

\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle

、 display 、

\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle

display

、

display

\mathbb {R} ^{n}

（ \

displaystyle

\

left

\ langle \

cdot

, \ cdot \

right

\

rangle

}은

M의 메트릭과 호환성이 있습니다.

(*displaystyle g_{ij}= 왼쪽 frac {\vec x^{i}}, {\frac {\psi }}, {\frac {\psi }, {\frac x^{j}}, {\right\rangle})

(다양체 메트릭은 항상 규칙적이라고 가정하기 때문에 호환성 조건은 편도함수 접선 벡터의 선형 독립성을 의미합니다.)

탄젠트 벡터 필드의 ${\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}$ , ${\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}$ ${\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}$ ${\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}$ j ${\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}$ → ${\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}$ x ${\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}$ j { style { $display$ { $V$ } → v^ { j ${\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}$ } { \ $frac$ { $\ vec$ { Psi } } { \ $frac$ { \ vec $x$ ^ { j ${\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}$ 、

(\displaystyle {\frac {V}} {\partial x^{i} = frac {\frac {\frac {\partial x^{i}} {\frac {\frac {\Psi }} {\fright} = frac {\frac {\partial x^{i}} {\f} {\f} {\frac} {\f} {\f} {\f} {\f} {\frac} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}}

마지막 항은 M에 대한 접선은 아니지만 크리스토펠 기호를 선형 인자로 사용하여 접선 공간 기준 벡터의 선형 조합과 접선 공간에 직교하는 벡터로 나타낼 수 있습니다.

{\frac ^{2}{\vec x^{i},\frac x^{k}_ij}{\frac {\frac x^{k}}+{\cn}}.

Levi-Civita 연결의 경우, 공변 도함수 $\nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}$ i $\nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}$ $→$ {\ $displaystyle \displayla$ _ ${\mathbf {e} _{i}}$ {\ $vec {V$ 는 또한 $\nabla _{i}{\vec {V}}$ i $\nabla _{i}{\vec {V}}$ $→$ {\ $displaystyle \displa$ _{ $i}{\cvec$ {V $\nabla _{i}{\vec {V}}$ {\c $}}}$ 로 되어 있으며, 또한 직교 도함수로 정의된다.

\displaystyle \mathbf {e} _{i} {\vec {V} : = partial x^{i}} - {\vec {n} = left \ frac {\bec v^{k} {\bec x^{i}} {\gam} ^{gam} ^{\gam}}

Levi-Civita 연결에 대한 Christofel 기호와 메트릭 사이의 관계를 얻으려면 먼저 이전 방정식의 ${\vec {n}}$ {\ $displaystyle$ {n $}}$ 이(가) 접선 공간에 직교한다는 ${\vec {n}}$ 에 유의해야 합니다.

\displaystyle \frac {\vec ^{2} {\vec x^{i}, {\frac x^{j}}, {\frac {\vec {Psi}}, {\frac x^{l}\rangle =\frac}, {\frac {\frac}\frac {\vec x^{k}, {\frac x^{l}}, {\frac}, {\frac x^{l}, right\rangle ={Gamma ^{k}_{ij},g_{frac}.

둘째, 측정지표 구성요소의 부분파생물은 다음과 같다.

{\frac g_{ab} = frac {\frac x^{c} } left \ frac {\frac x^{a}, {\frac {\frac x^{Psi } } } left \ frac {\frac {\frac }}\right\rangle +\left\langle {frac {\partial x^{a}}, {\frac {\partial ^{2}{\vec }, {\partial x^{c},\right\rangle

는, 스칼라 곱의 대칭을 사용해 부분 미분 순서를 교환하는 것을 $x^{i},x^{j},x^{k}$ 으로 $x^{i},x^{j},x^{k}$ i $x^{i},x^{j},x^{k}$ $x^{i},x^{j},x^{k}$ j $x^{i},x^{j},x^{k}$ $x^{i},x^{j},x^{k}$ ({ $displaystyle$ x $^{i}, x^{j}, x^{k$ 의 의미를 나타내고 있습니다.

{\displaystyle{\begin{pmatrix}{\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^{나는}}}\\{\frac{\partial g_{해법.}}{\partial x^{j}}}\\{\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&, 1&, 1\\1&, 0&, 1\\1&, 1&, 0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\left\langle{\frac{\partial{\vec{\Psi}}}{\partial x^{나는}}},{\frac{\partial ^{2}{\ve.c{\Psi}}}{\partial x^{j},\partial x^{k}\rangle\frac {\partial x^{j},{\frac {\partial x^{2}{\vec {PSI }},{\partial x^{k},\langle \frac {\frac {\partial x^{\fsi}}\le

을 두 세 번째 .

{\frac g_{jk} {\frac x^{i}} {\frac {\frac g_{ij} {\frac x^{k} = 2\fracle {\frac g_{c} {\frac} {\frac} {\frac} {\frac

측정 기준 측면에서 Levi-Civita 연결에 대한 Christofel 기호를 생성합니다.

({displaystyle g_{kl}{\Gamma ^{k}}_{ij}=frac {1}{2}\frac {\frac x^{i}}+{\frac {\frac g_{li}}-{\fl}-{\frac g_{ij}}}xl})}

위의 설명의 핵심을 포착하는 매우 간단한 예시는 평평한 종이에 원을 그리십시오.원을 일정한 속도로 돌아라.속도의 도함수인 가속도 벡터는 항상 방사상으로 안쪽으로 향합니다.이 종이를 원통형으로 말아 주세요.(유클리드)속도의 미분은 때로 원기둥의 축을 가리키는 성분을 가지고 있습니다.원기둥의 축과 평행하게 움직이는 원기둥의 점에서는 안쪽으로의 가속이 없습니다.반대로 속도가 실린더의 굴곡을 따라가는 점(나중에 원의 1/4)에서는 내향 가속도가 최대가 된다.이것이 (유클리드) 정상 성분이다.공변 미분 성분은 실린더 표면에 평행한 성분으로, 시트를 실린더로 굴리기 전과 동일합니다.

형식적 정의

공변 도함수는 접선 다발 및 기타 텐서 다발 위의 (Koszul) 연결입니다. 이것은 함수의 일반적인 미분과 유사한 방식으로 벡터 필드를 구분합니다.정의는 텐서 곱과 트레이스 연산(텐서 수축)과의 호환성을 보장하는 고유한 방법으로 벡터장(즉, 코벡터장)의 쌍대 및 임의 텐서장에 대한 미분(differention)으로 확장된다.

기능들

$M$ 의 $p\in M$ p $p\in M$ M {\ $displaystyle$ $p\in M$ m $M$ 이 $p\in M$ 주어지면 실제 $f:M\to \mathbb {R}$ : M $f:M\to \mathbb {R}$ {\ $displaystyle$ f $:$ 다지관의 $M\to$ \mathbb {R $}}$ 과 $f:M\to \mathbb {R}$ ( $)$ 탄젠트 $\mathbf {v} \in T_{p}M$ v $\mathbf {v} \in T_{p}M$ T p M {\ $displaystyle \mathbf {v$ $}$ \ $in$ T_ ${p}M$ v에 $따른$ $p$ 에서의 $f$ 의 공변 도함수는 $p$ 에서의 스칼라이며 $\left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}$ ( $\left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}$ ) $\left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}$ {\ $displaystyleft \(\nabla_{\f$ } {\mathb} {\f} {\f} {\ $f$ $}$ } } } } } $}$ 로 표시됩니다.f $f$ 의 인수가 극소 $변위$ 벡터 v에 의해 변화하는 경우( $이것$ 은 벡터 v에 대해 평가된 f의 $미분$ 이다).형식적으로, $\phi (0)=p$ (0) $=$ p \ $\phi (0$ ) $= p$ ( $\phi '(0)=\mathbf {v}$ $\phi '(0)=\mathbf {v}$ ( $0)$ = $v \displaystyle$ \phi ' (0) = \mathbf { $v$ 와 $\phi :[-1,1]\to M$ 같이 미분 가능한 곡선 $\phi :[-1,1]\to M$ : $\phi :[-1,1]\to M$ [ - $\phi :[-1,1]\to M$ , 1 ] $→$ M $\phi :[-1,1]\to M$ { $displaystyle$ \phi : [ - $1$ $}$ 이 있습니다.

\displaystyle \left(\displaystyle _{\mathbf {v} f\right)_{p}=\left(f\displaystyle \fright)=\lim _{t\to 0}{f(\fi \left(t)}-f(p)}{t}{t}}}.}

v $\mathbf {v} :M\to T_{p}M$ : $\mathbf {v} :M\to T_{p}M$ $\mathbf {v} :M\to T_{p}M$ $\mathbf {v} :M\to T_{p}M$ $\mathbf {v} :M\to T_{p}M$ $\mathbf {v} :M\to T_{p}M$ {\ $displaystyle \mathbf {v}$ : $M\to T_{p}M}$ 이 $\mathbf {v} :M\to T_{p}M$ M {\ $displaystyle$ M $M$ 위의 벡터 필드인 $경우$ $\mathbf {v} :M\to T_{p}M$ 도함수 $\nabla _{\mathbf {v} }f:M\to \mathbb {R}$ ative v $\nabla _{\mathbf {v} }f:M\to \mathbb {R}$ : $\nabla _{\mathbf {v} }f:M\to \mathbb {R}$ $\nabla _{\mathbf {v} }f:M\to \mathbb {R}$ $\nabla _{\mathbf {v} }f:M\to \mathbb {R}$ {\ $displaystyle \la$ _ ${\mathbf {v}}$ M $\to \mathbb {R}$ 은 $\nabla _{\mathbf {v} }f:M\to \mathbb {R}$ f와 v 스칼라 $\left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}$ $\left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}$ p \ $displaystyle _{\nabla$ _ ${\mathbf {v} f\right}$ _{p $_{p}$ 의 공통 영역 내의 각 점 p에 관련짓는 $함수$ 입니다.

스칼라 함수 f 및 벡터 필드 v의 경우 공변 도함수 $\nabla _{\mathbf {v} }f$ $\nabla _{\mathbf {v} }f$ f $\nabla _{\mathbf {v} }f$ \ $displaystyle \nabla$ _ { \ $mathbf { v } f$ 는 $\nabla _{\mathbf {v} }f$ Lie $L_{v}(f)$ L $L_{v}(f)$ v ( $f$ ) { $displaystyle$ $L$ _ { $v$ $df(v)$ } ( $L_{v}(f)$ f ) $L_{v}(f)$ 및 외부 $df(v)$ $df(v)$ $($ ) 와 일치합니다.

벡터 필드

$매니폴드$ M의 점 $p$ ${\$ $displaystyle$ M $p$ $M$ {\displaystyle p $}$ {\ $displaystyle\mathbf {u}$ : $M\to$ T_ ${p}M}$ 와 $\mathbf {u} :M\to T_{p}M$ 접선 $\mathbf {v} \in T_{p}M$ v $\mathbf {v} \in T_{p}M$ ${\displaystyle$ \ $mathbf {V}$ {\ $in}P}$ 의 근방에 정의된 $\mathbf {u} :M\to T_{p}M$ u : $\mathbf {u} :M\to T_{p}M$ $\mathbf {u} :M\to T_{p}M$ $\mathbf {u} :M\to T_{p}M$ {\displaystyledisplaystyledisplaystyle\disterf {u}이 주어집니다.r at p ( $(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}$ $(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}$ u ) $(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}$ \ $displaystyle$ ( \ $displaystyle$ _ { \ $mathbf$ { $v }$ \ $mathbf {$ $u }$ ) $_$ p $}$ 。이러한 속성은 p의 접선 벡터 v, x 및 y, p의 근방에 정의되어 있는 벡터 필드 u 및 p의 근방에 정의되어 있는 스칼라 값 g 및 phood에 정의되어 있는 scalar 함수입니다.

$\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ u ) $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ {\ $displaystyle \left(\displaystyle$ _ ${\mathbf {v}$ }\ $mathbf {u}$ \ $right)_{p}$ 는 $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ v $\mathbf {v}$ {\ $displaystyle \mathbf {v}}$ 의 $\mathbf {v}$ 선형입니다. $\displaystyle \left(\displaystyle _{g\mathbf {x} +h\mathbf {y})_{p}={p}\left(\displaystyle _{g\mathbf {x})_{p}\left(\displaystyla _{\mathbf {\mathbf} {x} {x})$
$\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ u ) $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ {\ $displaystyle \left(\displaystyle$ _ ${\mathbf {v}$ }\ $mathbf {u}$ \ $right})_{$ p $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ }는 $\mathbf {u}$ u {\ $displaystyle \mathbf$ { $u}}$ 의 $\mathbf {u}$ 가법입니다. $\displaystyle \left(\displaystyle _{\mathbf {v} } \left[\mathbf {u} +\mathbf {w} \right]_{p}=\left(\displayla _{\mathbf} \right})_{p} {p}$
$(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}$ $(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}$ u ) $(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}$ {\ $displaystyle (\displaystyle$ _ ${\mathbf {v}$ }\ $mathbf {u})_{p$ }}}은 $(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}$ (는 $\nabla _{\mathbf {v} }f$ 제품 규칙을 따릅니다.즉, 여기서 $\nabla _{\mathbf {v} }f$ " $\nabla _{\mathbf {v} }f$ \ $displaystyle \displaystyle$ _ ${\mathbf {v}"$ 는 위에서 정의되어 $\nabla _{\mathbf {v} }f$ 있습니다. $\displaystyle \left(\displaystyle _{\mathbf {v}}\left[f\mathbf {u}\right]_{p}=f(p)\left(\displaystyle _{\mathbf}\f})_{p}+(\right)}$

$\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ v $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ \ $displaystyle \left (\nabla$ _ ${\mathbf {v} }\mathbf$ {u} \right $})_{$ p $}$ 는 마지막 속성인 곱규칙 때문에 p의 극소 근방의 u 값에 의존합니다.

$u$ 와 v가 모두 공통 도메인 상에 정의된 벡터 필드인 경우, $\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u}$ v $\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u}$ u \ $displaystyle \nabla$ _ { \ $mathbf { v$ } \ $mathbf { }$ 는 도메인의 $\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u}$ 각 점 p가 탄젠트 벡터 $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ v $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ ) $\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}$ p \ $displaystyle$ \ left ( \ $nabla$ _ { \ $mathbf {$ v } \ $mathbf$ })인 벡터 필드를 나타냅니다.

코벡터 필드

p 근방에 정의된 코벡터(또는 일형식) $\alpha$ $\alpha$ 필드가 $\alpha$ 주어졌을 때, 그 공변 도함수 $(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}$ θ $(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}$ ) $(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}$ p {\ $displaystyle(\nabla _{\mathbf {v}\alpha})_{$ p $(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}$ })_{p}는 결과적으로 텐서 수축 및 곱규칙에 적합하도록 정의된다.즉 $(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}$ ( $(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}$ $(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}$ α ) $(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}$ \ $displaystyle (\nabla$ _ ${\mathbf {v}$ }\ $alpha )_{p}$ 는 $(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}$ p 근방의 모든 벡터 필드 u에 대해 다음 동일성이 충족되도록 p에서 하나의 형식으로 정의됩니다.

\displaystyle \left(\mathbf {v}\alpha \right)_{p}\left(\mathbf {u}_{p}\right)=\displaystyle _{\left(\alpha \left(\mathbf {u}\right)\left]_{p}_{p}\left}}

벡터 $필드$ v에 따른 코벡터 필드의 공변 도함수는 다시 코벡터 필드입니다.

텐서장

벡터 및 코벡터 필드에 대해 공변 미분을 정의한 후에는 p점 부근에 있는 텐서 필드 $\varphi$ (\ $displaystyle \varphi})$ 및 $\varphi$ $\psi$ (\ $displaystyle$ \psi $)$ 쌍에 대해 다음 ID를 적용함으로써 임의의 텐서 필드에 대해 정의할 수 있습니다.

\displaystyle \mathbf {v}\left(\varphi \otimes \psi \right)_{p}=\left(\varphi \right)_{p}\otimes \psi (p)+\varphi (p)\times \left(\la {f})

및 같은 값의

{\(\displaystyle \varphi)

및

\varphi

\psi

{\(\

displaystyle \psi)

에

\psi

대해

\displaystyle \mathbf {v} } （ varphi + \psi ) _ {p} = ( \ varphi _ { \ mathbf { v } \ varphi ) _ { p } + ( \ displaystyle _ { \ mathbf { v } \ p } ) _ { p } } } } } }

벡터장 v에 따른 텐서장의 공변 도함수는 다시 같은 유형의 텐서장이다.

명시적으로 T를 유형(p, q)의 텐서장으로 한다.T는 코탄젠트 다발^∗ TM의 매끄러운 부분α¹,α², …,α^q 및 접선 다발 TM의 부분₁ X, X₂, …, X_p, …의¹²₁₂ 미분 가능한 다중 선형 지도라고 간주한다.Y를 따르는 T의 공변 도함수는 다음 공식에 의해 주어진다.

{\begin{aligned}(\nabla_{Y}T)\left(\alpha_{1},\ldots,X_{2},\ldots\right)=&{}Y\left(T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots,X_{2},\ldots \right)\\&,{}(\nabla_{Y}\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha_{1},\nabla_{Y}\alpha_{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-\cdots \\&,{}(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots ,\nabla_{Y}X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots ,X_{1},\nabla_{Y}X_{2},\ldots \right)-\cdots \end{권투 선수 muhammedali는.gned}}

좌표 설명

지정된 좌표 함수

x^{i},\i=0,1,2,\display

어떤 탄젠트 벡터는 기초에서 그것의 구성요소에 의해 설명될 수 있다.

({displaystyle\mathbf {e}_{i}=blac {\displaystyle x^{i}}).}

베이스 벡터를 따라가는 베이스 벡터의 공변 도함수는 다시 벡터이므로 선형 조합 $\Gamma ^{k}\mathbf {e} _{k}$ k $\Gamma ^{k}\mathbf {e} _{k}$ \ $display$ \ $Gamma$ ^ { $k$ } \ $mathbf$ { $e$ } $_ { k$ } 로 표현될 수 있다. 각 베이스 벡터 $\mathbf {e} _{i}$ 의 공변 도함수를 지정하기 위해서는 $\mathbf {e} _{i}$ \ $displaystyle$ \ $mathb$ $f$ { $e }$ _ { $i$ } 、 $\mathbf {e} _{j}$ j \ $displaystyle$ \ $mathbf$ { $e } _$ { $j$ 。

\displaystyle \mathbf {e} _{j} \mathbf {e} _{i} = gam Gamma ^{k} _{ij} \mathbf {e} _{k}

계수 $\Gamma _{ij}^{k}$ $\Gamma _{ij}^{k}$ $\Gamma _{ij}^{k}$ k { $displaystyle \Gamma$ _ ${ij}^{k}}$ 는 $\Gamma _{ij}^{k}$ 로컬 좌표계에 대한 연결의 구성요소이다.리만 다양체 이론과 의사 리만 다양체 이론에서, 지역 좌표계에 대한 리바이-시비타 연결의 구성 요소는 크리스토펠 기호라고 불립니다.

그런 다음 정의의 규칙을 사용하여 일반 벡터 $\mathbf {v} =v^{j}\mathbf {e} _{j}$ v $\mathbf {v} =v^{j}\mathbf {e} _{j}$ $\mathbf {v} =v^{j}\mathbf {e} _{j}$ $\mathbf {v} =v^{j}\mathbf {e} _{j}$ $\mathbf {v} =v^{j}\mathbf {e} _{j}$ \ $displaystyle \mathbf {v}$ $=v$ $^{j}\mathbf {e}$ ${$ $j}$ 및 $\mathbf {u} =u^{i}\mathbf {e} _{i}$ $i \displaystyle \mathbf$ {u} _mathbf { $e}$ 에 $\mathbf {v} =v^{j}\mathbf {e} _{j}$ $\mathbf {u} =u^{i}\mathbf {e} _{i}$ 대해 $다음을$ 얻을 수 있습니다 $.$

^{j}{\partial u^{i} \over \mathbf {e} _{i}\end{aligned}} \mathbf {e}

그렇게

\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {u} = \left(v^{j}u^{i}}_{ij}+v^{j}{\gamma u^{k}\over \mathbf {e}_k}.}

이 공식의 첫 번째 항은 공변 도함수에 대한 좌표계를 "비틀어" 놓고 두 번째 항은 벡터장 u의 성분 변화에 대해 책임이 있다.특히

\displaystyle \mathbf {e} _{j} \mathbf {u} =\displayla _{j} \mathbf {u} =\display\frac {\display x^{i}} +u^{k} {\Gammathbi} {\mathbf} {u} =\displaysty} _j} {\mathbf} {u}

즉, 공변 도함수는 좌표가 어떻게 변화하는지 알려주는 보정 항이 있는 좌표를 따르는 일반적인 도함수입니다.

코벡터에게도 마찬가지로

\displaystyle \mathbf {e} _{j} {\mathbf {theta } = \frac \frac {{i}} {\display x^{j}} - \theta _{k} {\Gamma ^{k}} {ij} {\right} ^{\mathbf {e}} ^*} } } ^*}

${\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}$ 서 e ${\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}$ ${\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}$ （ ${\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}$ j ） ${\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}$ ${\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}$ ${\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}$ { $display$ style { $mathbf { e$ } ^ { * } ^ i ${\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}$ } （ \ $mathbf$ { e ${\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}$ } _ { j } = ^{{ ^ { $i$ } $_$ { j } ${\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}$ 。

$e_{c}$ c $e_{c}$ {\ $displaystyle e_{c}}$ 에 $e_c$ 따른 유형 $(r,$ $s)$ 텐서 필드의 공변 도함수는 다음과 같이 구한다.

{{displaystyle_{e_{c}}T}^{a_{1}\ldots a_{r}}_{b_{1}\ldots b_{s}={}&{\frac {\frac}{\frac}{\frac x^{c}}}}}{\d}}}}}}}{\T^{a_{1}\ldots a_{r}}_{b_{1}\ldots b_{s}}\&+,{\Gamma^{a_{1}}_{dc}{T^{da_{2}\ldots a_{r}}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\cdots +{\Gamma^{a_{r}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r-1}d}_{b_{1}\ldots b_{s}}\&-, {\Gamma ^{d}}_{b_{1}c}{B}}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}_{db_{2}\ldots b_{s}}-\cdots-{\Gamma ^{d}}_{b_{s}c}{\Gamma ^{d}}T^{a_{1}\ldots a_{r}}_{b_{1}\ldots b_{s-1}d}.\end { aligned}}

또는 텐서의 편도함수를 취하여 $b_{i}$ $a_{i}$ 마다 $+{\Gamma ^{a_{i}}}_{dc}$ + $+{\Gamma ^{a_{i}}}_{dc}$ a $+{\Gamma ^{a_{i}}}_{dc}$ $+{\Gamma ^{a_{i}}}_{dc}$ c { $displaystyle$ + { \ $Gamma$ ^ { $a$ _ { $i$ $}$ } _ { $dc$ } $-{\Gamma ^{d}}_{b_{i}c}$ - - $-{\Gamma ^{d}}_{b_{i}c}$ $b_{i}$ { ${$ { 、 \ $displaystyle -$ { \ $Gamma ^$ { $i$ ^ { $dc$ } $-{\Gamma ^{d}}_{b_{i}c}$ } } ::::: i for $for$ for index index index index::::: : 。

텐서 대신 텐서 밀도(무게 +1)를 미분하려고 하면 항도 추가합니다.

- {\Gamma ^{d}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}_{b_{1}\ldots b_{s}}.

중량 W의 텐서 밀도라면 그 항에 W를 곱한다.예를 들어 -

{\textstyle {\sqrt {-g}}}

{\

textstyle

{\

sqrt

{-

g}}

는

{\textstyle {\sqrt {-g}}}

{\textstyle {\sqrt {-g}}}

무게 +1의) 스칼라 밀도이므로 다음과 같이 됩니다.

{-displaystyle \leftrt {-g}_{c}=\leftright {-g}}}{c}}{\right}{c}}}{\c}}}{displaystyleftright right right}}}{c}}}}}}}{c}}}}}}}}}}}}

여기서 세미콜론 ";"은 공변 미분을 나타내고 쉼표 "는 부분 미분을 나타냅니다.0으로 하다 왜냐하면 메트릭만의 함수의 공변 미분은 항상 0이기 때문입니다.

표기법

물리학 교과서에서 공변 미분은 때때로 이 방정식의 성분으로 간단히 언급된다.

공변 미분에는 세미콜론을 붙이고 정규 부분 미분에는 쉼표를 붙이는 표기법이 종종 사용됩니다.이 표기법에서는 다음과 같이 씁니다.

\displaystyle \displaystyle _{e_{j}\mathbf {v}\{stackrel {mathrm {def}{=}{=}}{v^{s}_{;j}\mathbf {e}_{s}\;\;\;\;\;{v^{i}}{v},{v}}{k}

에 두 개.

\displaystyle _{e_{k}\left(\displayla _{e_{j}\mathbf {v}\right)\{stackrel {mathrm {def} {=}\{v^{s}}_{;kj}\mathbf {e})_{s}

일부 오래된 텍스트(특히 애들러, 바진 & 쉬퍼, 일반상대성 입문)에서 공변 도함수는 이중 파이프로, 부분 도함수는 단일 파이프로 표시된다.

\displaystyle \mathbf {v} \ { stackrel { mathrm { def } { = } \ { v^ { i } = { v } _ { j } + v ^ { k } { \ Gamma ^ { i } _ { k } } { k } }

필드 유형별 공변 미분

스칼라 $\phi \,$ ${\$ { $displaystyle \phi$ 의 경우 공변 미분이란 단순히 부분 미분입니다.

\displaystyle \phi _{;a}\equiv \equiv _{a}\phi }

반변 벡터 필드 $\lambda ^{a}$ a $\lambda ^{a}$ \ $displaystyle \lambda$ ^{ $a$ 의 경우 다음과 같이 됩니다.

{lambda ^{a}_{;b}\equiv \partial _{b}\lambda ^{a}+{\Gamma ^{a}_{bc}\lambda ^{c}}

공변 벡터 필드 $\lambda _{a}$ {\ $displaystyle \lambda$ _ ${a$ 에는 다음이 있습니다.

_^{displaystyle \lambda _{a;c}\equiv \lambda _{c}-{a}\}

타입 (2,0) 텐서필드 $\tau ^{ab}$ b $\tau ^{ab}$ \ $tau$ ^{ $ab$ 에는 다음이 있습니다.

^{tau^{^{displaystyle \tau ^{ab}_{c}\c}\equal

타입(0,2) 텐서필드 $\tau _{ab}$ b $\tau _{ab}$ {\ $displaystyle \tau$ _ ${ab$ 에는 다음이 있습니다.

\displaystyle \tau _{ab;c}\equiv \partial _{c}-{\Gamma ^{d}_{db}-{\Gamma ^{d}}_{cb}\tau _{ad}}

타입(1,1) 텐서 필드 ${\tau ^{a}}_{b}$ ${\tau ^{a}}_{b}$ ${\$ ^{ $a}}_{b$ 의 경우 다음과 같이 처리됩니다.

{tau ^{a}_{b;c}\equiv \partial _{c}{\tau ^{a}+{\Gamma ^{a}}_{cd}{\tau ^{d}-{\Gamma ^{d}}_{tau ^{d}}}}_{cb}}{tau

위의 표기법은 다음과 같은 의미로 사용됩니다.

{b}_{;c}\equiv \left(\displayla _{\mathbf {e} _{c}}\displaystyle \right})^{ab

특성.

일반적으로 공변 미분은 이동하지 않습니다. $\lambda _{a;bc}\neq \lambda _{a;cb}$ 를 들어 벡터장 $\lambda _{a;bc}\neq \lambda _{a;cb}$ a ; $\lambda _{a;bc}\neq \lambda _{a;cb}$ $\lambda _{a;bc}\neq \lambda _{a;cb}$ $\lambda _{a;bc}\neq \lambda _{a;cb}$ a $\lambda _{a;bc}\neq \lambda _{a;cb}$ ; $\lambda _{a;bc}\neq \lambda _{a;cb}$ b \ $displaystyle$ \ $lambda$ _ { $a$ ; $bc }$ \ $neq$ \ $lambda$ _ { a ; cb $\lambda _{a;bc}\neq \lambda _{a;cb}$ } . Riemann ${R^{d}}_{abc}$ ${R^{d}}_{abc}$ d ${R^{d}}_{abc}$ \ $displaystyle$ { R^ { $d}$ } _ { abc $}$ }의 ${R^{d}}_{abc}$ 공변량 도함수는 다음과 같이 정의됩니다.

}-\ _{a;cb_{displaystyle \displaystyle _{a;bc}-\displaystyle _{a;cb}={R^{a}_{abc}\lambd}\d}

「」라고 하는 의미입니다.

^{displaystyle {dbc}_{a}-{\displaystyle a}-{cbcb}-{dbcb})

는 다음을 (2,1) - 서서음 음음 음음 음음 음음 음음 음음 음음 음음 음음 。

displaystyle ^{ab}_{cd}-{\dc}-{dc}-{dc}-{dc}-{d})

후자는 (일반성을 잃지 않고) $\tau ^{ab}=\lambda ^{a}\mu ^{b}$ $=$ $\tau ^{ab}=\lambda ^{a}\mu ^{b}$ b ${\display$ \ $display ^{ab$ }=\ $displayda$ ^{ $a}\mu$ ^{ $b$ 을 취함으로써 나타낼 수 있습니다.

곡선을 따라 도함수

$p점$ 에서의 $p$ $텐서장$ T의 $T$ 공변도함수 $\nabla _{X}T$ $\gamma (t)$ $\nabla _{X}T$ T $(\$ $displaystyle\$ $nabla_{X}T)$ 는 $\nabla _{X}T$ $p점$ 에서의 $벡터장$ X $(\$ $displaystyle$ p $)$ 의 $X$ $p$ 값에만 의존하므로 부드러운 곡선을 따라 공변도함수 δ $\gamma (t)$ displ $\gamma (t)$ 를 정의할 수 있다 $.$ $aystyle \syslog(t$

D_{t}T=\nabla _{\dot {\dot }}(t)T.

텐서

필드

T(\

displaystyle

T

)

는

T

곡선

)

에

\gamma (t)

정의되어야만 이

정의

를 이해할 수 있습니다.

특히, ${\dot {\gamma }}(t)$ ( t ${\dot {\gamma }}(t)$ ) { $displaystyle \$ $dot$ ${\dot {\gamma }}(t)$ \ $gamma$ $\gamma$ } （ $t$ ）는 $\dot{\gamma}(t)$ $\gamma$ 곡선상의 벡터 $필드입니다.$ if $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)$ $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)$ t $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)$ ） $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)$ $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)$ t $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)$ ）{\ $dot \nabla$ _ ${\dot$ {\gamma }}( $t)}{\dot$ {\ $gamma }}}(t)}$ 이 $\nabla_{\dot\gamma(t)}\dot\gamma(t)$ 소실되면 곡선은 공변 유도체의 측지학이라고 한다.공변 도함수가 양의 정의 메트릭의 Levi-Civita 연결인 경우, 연결을 위한 측지학이 정확히 호 길이로 매개 변수화된 메트릭의 측지학입니다.

또한 곡선을 따라 도함수는 곡선을 따라 평행 운송을 정의하는 데 사용됩니다.

때때로 곡선을 따라 공변 도함수를 절대 도함수 또는 내적 도함수라고 합니다.

Lie 도함수와의 관계

공변 도함수는 인접 탄젠트 공간의 벡터를 비교할 수 있는 추가적인 기하학적 구조를 다지관에 도입한다: 표준 좌표계가 없기 때문에 다른 탄젠트 공간의 벡터를 비교할 수 있는 표준 방법이 없다.

그러나 표준적인 방향 도함수의 또 다른 일반화가 있는데, 그것은 다른 벡터장의 흐름을 따라 한 벡터장의 변화를 평가하는 Lie 도함수이다.따라서, 한 지점에서뿐만 아니라 열린 근방에서 두 벡터 필드를 모두 알아야 합니다.한편, 공변 도함수는 주어진 방향의 벡터에 대한 자체 변화를 가져오며, 점의 열린 근방의 벡터장이 아니라 단일 점의 벡터 방향에만 의존합니다.즉, 공변 미분은 방향 인수에서 선형(C^∞(M) 이상)인 반면 Lie 미분은 두 인수 모두에서 선형입니다.

Note that the antisymmetrized covariant derivative $\nabla u v - \nabla v u$ , and the Lie derivative $L u v$ differ by the torsion of the connection, so that if a connection is torsion free, then its antisymmetrization is the Lie derivative.

Notes

^ Einstein, Albert (1922). "The General Theory of Relativity". The Meaning of Relativity.
^ Ricci, G.; Levi-Civita, T. (1901). "Méthodes de calcul différential absolu et leurs applications". Mathematische Annalen. 54: 125–201. doi:10.1007/bf01454201.
^ Riemann, G. F. B. (1866). "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen". Gesammelte Mathematische Werke.; reprint, ed. Weber, H. (1953), New York: Dover.
^ Christoffel, E. B. (1869). "Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 70: 46–70.
^ cf. with Cartan, É (1923). "Sur les variétés à connexion affine et la theorie de la relativité généralisée". Annales, École Normale. 40: 325–412.
^ Koszul, J. L. (1950). "Homologie et cohomologie des algebres de Lie". Bulletin de la Société Mathématique. 78: 65–127.
^ The covariant derivative is also denoted variously by $\partial$ _vu, D_vu, or other notations.
^ In many applications, it may be better not to think of $t$ as corresponding to time, at least for applications in general relativity. It is simply regarded as an abstract parameter varying smoothly and monotonically along the path.

References

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I.Kh. Sabitov (2001) [1994], "Covariant differentiation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice-Hall.
Spivak, Michael (1999). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two). Publish or Perish, Inc.

[1] Einstein, Albert (1922). "The General Theory of Relativity". The Meaning of Relativity.

[2] Ricci, G.; Levi-Civita, T. (1901). "Méthodes de calcul différential absolu et leurs applications". Mathematische Annalen. 54: 125–201. doi:10.1007/bf01454201.

[3] Riemann, G. F. B. (1866). "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen". Gesammelte Mathematische Werke.; reprint, ed. Weber, H. (1953), New York: Dover.

[4] Christoffel, E. B. (1869). "Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 70: 46–70.

[5] . with Cartan, É (1923). "Sur les variétés à connexion affine et la theorie de la relativité généralisée". Annales, École Normale. 40: 325–412.

[6] Koszul, J. L. (1950). "Homologie et cohomologie des algebres de Lie". Bulletin de la Société Mathématique. 78: 65–127.

[7] The covariant derivative is also denoted variously by $\partial$ _vu, D_vu, or other notations.

[8] In many applications, it may be better not to think of $t$ as corresponding to time, at least for applications in general relativity. It is simply regarded as an abstract parameter varying smoothly and monotonically along the path.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v t Riemannian geometry (Glossary)
Basic concepts	Curvature tensor Scalar Ricci Sectional Exponential map Geodesic Inner product Metric tensor Levi-Civita connection Covariant derivative Signature Raising and lowering indices/Musical isomorphism Parallel transport Riemannian manifold Pseudo-Riemannian manifold Riemannian volume form
Structures on manifolds involving Riemannian geometry	Hermitian Hyperbolic Kähler Kenmotsu
Main topics	Fundamental theorem of Riemannian geometry Gauss's lemma Hopf–Rinow theorem Nash embedding theorem Ricci flow Schur's lemma
Generalizations	Finsler Hilbert manifold Sub-Riemannian
Applications	General relativity Geometrization conjecture Poincaré conjecture Uniformization theorem

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