텐서장

Tensor field

수학과 물리학에서 텐서 장은 수학 공간의 각 지점(일반적으로 유클리드 공간 또는 다지관)에 텐서를 할당한다. 텐서 장은 미분 기하학, 대수 기하학, 일반 상대성, 재료의 스트레스와 긴장 분석, 그리고 물리 과학의 수많은 적용에 사용된다. 텐서(tensor)는 스칼라(예를 들어 속도를 나타내는 순수한 숫자)와 벡터(순수+방향+속도 등)의 일반화이므로, 텐서(tensor) 장은 스칼라장 또는 벡터장을 각각 공간의 각 지점에 할당하는 일반화다.

"텐서"라고 불리는 많은 수학 구조들은 텐서 필드다. 예를 들어, Riemann 곡률 텐서는 이름에서 알 수 있듯이 텐서가 아니라 텐서 필드: 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)의 이름을 따서 지었으며, 위상학적 공간리만 다지관의 각 지점에 텐서(tensor)를 연결한다.

기하학적 도입

직관적으로 벡터 장은 가변 길이와 방향을 가진 지역의 각 지점에 부착된 "화살표"로 가장 잘 시각화된다. 곡면 공간의 벡터장 예로는 지구 표면의 각 지점에서 수평 풍속을 보여주는 기상도가 있다.

텐서 분야의 일반적인 아이디어는, 예를 들어 미터법 텐서의 경우, 지점마다 다른 타원체 같은 더 풍부한 기하학의 요구 조건과 표면의 매핑 방법에 우리의 개념이 의존하는 것을 원하지 않는다는 생각을 결합한 것이다. 그것은 위도와 경도, 또는 우리가 숫자 좌표를 도입하기 위해 사용하고 있는 어떤 특정한 "카토그래픽 투영"과 독립적으로 존재해야 한다.

좌표 전환 사용

쇼텐(1951년)맥코넬(1957년)에 이어 텐서의 개념은 기준 프레임(또는 좌표계)의 개념에 의존하는데, 이 개념은 고정될 수 있지만(일부 배경 기준 프레임에 상대적일 수 있지만, 일반적으로 이러한 좌표계의 변환의 일부 등급 내에서 변화하도록 허용될 수 있다.[1]

예를 들어, n차원 좌표 공간 에 속하는 좌표는 임의의 부착 변환을 받을 수 있다.

(n-차원 지수 포함, 합계가 함축적임). 공변 벡터(covariant vector, 또는 cubctor)는 규칙에 의한 이 부속 변환 하에서 변환되는 함수 시스템이다.

The list of Cartesian coordinate basis vectors transforms as a covector, since under the affine transformation . A contravariant vector is a system of functions 좌표 중 이러한 부속 변환에서 변환을 수행하는 좌표

이것은 정확히 v v 수량이 선택한 좌표계에 의존하지 않는 불변량 개체임을 확인하는 데 필요한 요건이다. 보다 일반적으로, tensor of valence (p,q)는 아래층 지수와 위층 지수를 가지고 있으며, 변환 법칙은 다음과 같다.

텐서 필드의 개념은 허용되는 좌표 변환이 매끄러움(또는 구별 가능, 분석 등)을 전문화함으로써 얻을 수 있다. 코브터 필드(cubctor field)는 (주어진 클래스에서) 변환 함수의 제이콥스인에 의해 변환되는 좌표의 v 함수다. 마찬가지로 반대 벡터장 v는 역 자코비언에 의해 변형된다.

텐서 번들

텐서다발은 섬유다발이며, 섬유는 다지관인 기초 공간의 접선 공간 및/또는 부속 공간의 임의 개수의 복사된 텐서 제품이다. 이처럼 섬유는 벡터 공간이며 텐서다발은 특별한 종류의 벡터 번들이다.

벡터 번들은 "매개변수에 따라 연속적으로(또는 부드럽게) 벡터 공간"이라는 자연스러운 개념이다 – 매개변수는 다지관 M의 지점이다. 예를 들어 각도에 따라 1차원의 벡터 공간뫼비우스 띠처럼 보이거나 실린더처럼 보일 수 있다. M에 대한 벡터 번들 V를 주어지면, 해당 필드 개념을 번들의 섹션이라고 부른다: M에 따라 변화하는 m에 대해, 벡터의 선택이다.

Vmm in V,

여기서 Vm 벡터 공간 "at" m이다.

텐서 제품 개념은 어떤 기준에서든 독립적이기 때문에 M에 있는 두 벡터 번들의 텐서 제품을 사용하는 것은 일상적인 일이다. 접선 묶음(접선 공간의 묶음)부터 시작하여 부품 없는 텐서 처리 시 설명되는 전체 기구는 다시 소개에서 언급된 좌표와는 독립적으로 일상적인 방식으로 운반된다.

따라서 우리는 텐서 필드, 즉 텐서 묶음의 한 섹션으로 정의할 수 있다. (일례로 텐서 번들이 아닌 벡터 번들이 있다: 뫼비우스 밴드) 모든 것이 본질적인 방법으로 이루어졌기 때문에, 이것은 기하학적 내용이 보장된다. 더 정확히 말하면, 텐서 필드는 다지관의 주어진 지점에 공간의 텐서를 할당한다.

여기서 V는 그 지점의 접선 공간이고 V 등선 공간이다. 접선 번들접선 번들을 참조하십시오.

Given two tensor bundles EM and FM, a linear map A: Γ(E) → Γ(F) from the space of sections of E to sections of F can be considered itself as a tensor section of if and only if it satisfies A(fs) = fA(s), for each section s in Γ(E) and each smooth function f on M. 따라서 텐서 섹션은 섹션의 벡터 공간에 대한 선형 지도일 뿐만 아니라 섹션 모듈에 대한 C(M) 선형 지도일 뿐이다. 이 특성은 예를 들어, Lie 파생상품공변량 파생상품이 텐서가 아니라도 그것으로부터 구축된 비틀림과 곡률 텐서가 있는지 확인하는 데 사용된다.

표기법

텐서 필드의 표기법은 텐서 공간의 표기법과 혼동될 수 있다. 따라서 접선 번들 TM = T(M)은 때때로 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

접선 번들이 다지관 M의 (1,0) 텐서 필드(즉, 벡터 필드)의 범위 공간임을 강조한다. 이것은 매우 비슷하게 생긴 표기법과 혼동해서는 안 된다.

( ) ;

후자의 경우, 우리는 단지 하나의 텐서 공간을 가지고 있는 반면, 전자의 경우 다지관 M의 각 지점에 대해 정의된 텐서 공간을 가지고 있다.

곱슬(스크립트) 문자는 M에서 무한히 구별할 수 있는 텐서 필드의 집합을 나타내기 위해 가끔 사용된다. 그러므로,

M에 있는 (m,n) 텐서 번들의 섹션은 무한히 구별된다. 텐서 필드는 이 집합의 한 요소다.

C(M) 모듈 설명

다지관 M의 텐서 필드를 특징짓는 또 다른 추상적인 방법(그러나 종종 유용한)이 있는데, 이것은 텐서 필드를 정직한 텐서(, 단일 다중선 매핑)로 만드는 것이다. 비록 이것이 보통 어떤 사람이 정말로 "텐서 필드"를 의미할 때 "텐서"라고 말하는 이유는 아니지만. 첫째, M, ( M) 위의 표기법 섹션 참조)에 있는 모든 매끄러운 (C) 벡터 필드의 집합을 단일 공간, 즉 매끄러운 기능의 링 위에 있는 모듈 C(M)를 포인트 스칼라 곱으로 고려할 수 있다. 다층성과 텐서 제품의 개념은 어떤 교환에 있는 모듈의 경우까지 쉽게 확장된다.

동기부여의 예로서 부드러운 코브터 필드(1-폼)의 ( 공간을 고려하십시오. 이것들은 점별 평가, 즉 코브터 필드 Ω과 벡터 필드 X에 의해 매끄러운 기능을 산출하기 위해 매끄러운 벡터장에 작용한다.

(Ω(X))(p) = Ω(p)(X(p))).

관련된 모든 것의 점적 특성 때문에, X에서 Ω의 작용 C(M)-선형 지도, 즉,

(Ω(fX))(p) = f(p)Ω(p)(x)(p) = ()(p) = (fΩ)(x)(p) = ())

모든 p in M 및 smooth function f. 따라서 우리는 코브터 필드를 단지 코탄젠트 번들의 섹션뿐만 아니라 벡터 필드를 함수로 선형 매핑하는 것으로 간주할 수 있다. 이중 이중구조에 의해 벡터 필드는 유사하게 코브터 필드를 함수로 매핑하는 것으로 표현될 수 있다(명칭, 코브터 필드와 함께 "원래적으로" 시작하고 거기서부터 위로 작업할 수 있다).

평범한 싱글 tensors의 건설에 대해 완전한 병렬 M에 벡터와 covectors에 나머지 변수에 지도로( 아니텐서 분야!)에서 우리는 M에 C∞(M)-multilinear 지도 T(M){\displaystyle{{T\mathcal}}(M)의 나는 복사본을}정의된 T가부로(M)∗{\displaystyle 일반(k,l)텐서 분야 볼 수 있다. {을(를) C(M)에 넣는다.

Now, given any arbitrary mapping T from a product of k copies of and l copies of into C(M), it turns out that it arises from a tensor field on M if and only if it is multilinear over C(M). 따라서 이러한 종류의 다변성은 우리가 정말로 점으로 정의된 개체, 즉 하나의 지점에서 평가될 때조차 벡터장과 1-폼의 모든 값에 동시에 의존하는 함수와는 대조적으로, 우리가 정말로 점으로 정의된 개체, 즉 텐서 필드를 다루고 있다는 사실을 암묵적으로 표현하고 있다.

이 일반 규칙의 빈번한 적용 예는 부드러운 벡터 필드, Y) X 의 매핑인 Levi-Civita 연결이 벡터 필드 쌍을 벡터 필드로 가져가는 M의 텐서 필드를 정의하지 않는 것을 보여준다. This is because it is only R-linear in Y (in place of full C(M)-linearity, it satisfies the Leibniz rule, )). 그럼에도 불구하고 텐서(tensor) 장은 아니지만, 여전히 성분이 없는 해석을 가진 기하학적 물체로서의 자격을 갖추고 있다는 점을 강조해야 한다.

적용들

곡률 텐서는 미분 기하학에서 논의되며, 스트레스-에너지 텐서는 물리학에서 중요하며, 이 두 텐서는 아인슈타인의 일반 상대성 이론과 관련이 있다.

전자기학에서는 전기장과 자기장이 전자기 텐서장으로 결합된다.

다지관의 통합을 정의하는 데 사용되는 미분형태는 텐서장의 한 유형이라는 점에 주목할 필요가 있다.

텐서 미적분학

이론물리학이나 다른 분야에서는 텐서장(tensor fields)의 관점에서 제시된 미분방정식은 자연에서 기하학적으로(tensor 자연에 의해 보장됨)과 관습적으로 미분학과 연결된 관계를 표현하기 위한 매우 일반적인 방법을 제공한다. 그러한 방정식을 만드는 것 조차도 공변량 파생상품이라는 새로운 개념을 필요로 한다. 이것은 벡터장따라 텐서장의 변화형식을 처리한다. 후에 텐서 미적분학(tensor miculus)이라고 불리던 원래의 절대 미적분학 개념은 연결의 기하학적 개념의 격리로 이어졌다.

선다발로 비틀기

텐서장 아이디어의 확장은 M의 여분의 라인 번들 L을 통합한다. 만약 WL과 함께 V의 텐서 제품 번들이라면 WV와 동일한 차원의 벡터 공간 묶음이다. 이를 통해 텐서 필드의 '뒤틀린' 유형인 텐서 밀도의 개념을 정의할 수 있다. 텐서 밀도L다지관의 밀도 묶음, 즉 등탄재 묶음결정인 묶음인 특수한 경우다. (정확하게 하려면 전환 기능에도 절대값을 적용해야 한다. 이는 방향성 다지관의 경우 거의 차이가 없다.) 더 전통적인 설명은 텐서 밀도 기사를 참조하십시오.

밀도 묶음(방향성을 가정할 때) L의 한 가지 특징s L이 s의 실제 수 값에 대해 잘 정의되어 있다는 것이다; 이는 엄격히 양의 실제 값을 취하는 전환 함수에서 읽을 수 있다. 이것은 예를 들어 s = ½인 경우 반밀도를 취할 수 있다는 것을 의미한다. 일반적으로 우리는 Ls 있는 V의 텐서 제품인 W의 섹션을 가질 수 있고, 무게 s가 있는 텐서 밀도 필드를 고려할 수 있다.

다지관의 적분 연산자 정의, 기하학적 정량화와 같은 영역에 반감도가 적용된다.

플랫 케이스

M유클리드 공간이고 M의 벡터에 의한 번역에 의해 모든 필드가 불변으로 받아들여질 때, 텐서 필드가 텐서 필드와 동의어인 상황으로 되돌아간다. 이것은 큰 해를 끼치지 않으며, 응용에 자주 사용된다. 텐서 밀도에 적용하면 차이가 난다. 밀도의 묶음은 '점점'으로 정의될 수 없다. 따라서 텐서들의 현대 수학적 처리의 한계는 텐서 밀도가 우회적으로 정의된다는 것이다.

코코클과 체인 규칙

텐서 개념에 대한 고급 설명으로서, 변화를 조정하기 위해 적용되는 다변량 사례의 체인 룰을 텐서 분야를 발생시키는 텐서 자기 일치 개념에 대한 요건으로도 해석할 수 있다.

추상적으로, 우리는 체인 룰을 1코사이클로 식별할 수 있다. 접선 번들을 본질적인 방식으로 정의하는데 필요한 일관성을 제공한다. 텐서들의 다른 벡터 번들은 유사한 코키클을 가지고 있는데, 이것은 체인 규칙 자체에 텐서 구성의 functorial 특성을 적용하는 것에서 비롯된다; 이것이 그것들 또한 본질적인 (읽기, '자연적인') 개념인 이유다.

보통 텐서들에 대한 '일반적인' 접근법이라고 하는 것은 이것을 거꾸로 읽으려고 시도하며, 따라서 진정한 근본적 접근법이라기 보다는 경험적 접근법, 경험적 접근법이다. 좌표 변화 하에서 어떻게 변환하는가에 의해 텐셔너를 정의할 때 내포되어 있는 것은 코키클이 표현하는 자기 일치성의 일종이다. 텐서 밀도의 구조는 cocycle 수준에서 '뒤틀림'이다. 기하학자들은 텐서 수량기하학적 성질에 대해 어떠한 의심도 하지 않았다; 이러한 종류의 강하 논쟁은 전체 이론을 추상적으로 정당화한다.

일반화

텐서 밀도

텐서장 개념은 다르게 변형되는 물체를 고려함으로써 일반화될 수 있다. 좌표 변환 아래 일반 텐서 필드로 변환하는 물체를 w번째 전력에 대한 역좌표 변환의 야코비안의 결정 인수에 곱한 것을 제외하고는 w중량을 갖는 텐서 밀도라고 한다.[2] 변함없이 다중선 대수학 언어에서, 단지 R에서 그들의 값을 취하는 것이 아니라, n-폼의 (1차원) 공간과 같은 밀도 번들(여기서 n은 공간의 차원)에서 그들의 값을 취하는 다중선 지도로서 텐서 밀도를 생각할 수 있다. 더 높은 "중량"은 단지 이 범위에 이 공간을 두고 텐서 제품을 추가로 섭취하는 것에 해당한다.

특별한 경우는 스칼라 밀도다. 스칼라 1-결함은 다지관 위에 그들의 일체감을 정의하는 것이 이치에 맞기 때문에 특히 중요하다. 예를 들어, 그들은 아인슈타인에서 나타난다.일반 상대성에서의 힐버트 작용. 스칼라 1 밀도의 가장 일반적인 예는 부피 원소로, 미터법 텐서 g가 있는 경우 좌표 결정 인자의 제곱근으로, g {\ g라고 표시된다 미터법 텐서는 순서 2의 공변량 텐서로서 좌표 전환의 제곱에 의해 결정요소가 척도된다.

무게 +2의 스칼라 밀도에 대한 변환 법칙이다.

보다 일반적으로 텐서 밀도는 적절한 중량의 스칼라 밀도를 가진 보통 텐서의 산물이다. 벡터 번들의 언어에서 접선 번들의 결정론적 번들은 다른 번들을 w번 'twist'하는 데 사용할 수 있는 선 번들이다. 현지에서 보다 일반적인 변환 법칙을 사용하여 이러한 텐셔너를 인식할 수 있지만, 변환 법칙에 Jacobian 결정요인 또는 그 절대값을 기록할 수 있다는 점을 반영하여 세계적인 의문이 발생한다. 밀도 다발의 (양) 전이함수의 비통합적 힘은 타당하므로 밀도의 무게는, 그런 의미에서 정수값으로 제한되지 않는다. 마이너스 부호를 제거하는 일관된 글로벌 방법이 있기 때문에 방향성 다지관에서 양의 야코비안 결정인자를 가진 좌표 변경으로 제한될 수 있다. 그러나 그렇지 않으면 밀도의 선다발과 n-폼의 선다발이 구별된다. 내재적 의미에 대한 자세한 내용은 다지관의 밀도를 참조하십시오.

참고 항목

메모들

  1. ^ 슈텐의 영어 번역에 쓰이는 '아피너'라는 용어는 더 이상 사용되지 않는다.
  2. ^ "Tensor density", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

참조