슈퍼매트릭스

수학과 이론 물리학에서 슈퍼매트릭스는 일반 매트릭스의 Z-graded₂ 아날로그다.특히 슈퍼매트릭스는 2×2 블록 매트릭스로, 슈퍼걸브러(또는 슈퍼링)에 입력된다.가장 중요한 예로는 역행성 초거대(그래스만 대수학 등) 또는 일반 분야(순전히 역행성 초거대사로 생각됨)에 항목이 있는 예들이다.

슈퍼매트릭스는 유한 차원 슈퍼 벡터 공간 또는 자유 슈퍼모듈 사이의 선형 변환의 좌표 표현으로 나타나는 슈퍼 선형 대수학 연구에서 발생한다.그들은 초대칭 분야에서 중요한 응용 프로그램을 가지고 있다.

정의 및 표기법

R을 고정된 초자연적, 연상적이라 가정한다.종종 R도 초범용이어야 한다고 요구한다(기본적으로 비고장 사례에서와 동일한 이유로).

p, q, r, s를 음이 아닌 정수로 한다.치수(r s)×(p q)의 슈퍼매트릭스는 2×2 블록 구조로 분할된 R에 입력된 행렬이다.

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}}}}}$

r+s의 총 행과 p+q의 총 열(하위 자 X는₀₀ 치수가 r×p이고 X는₁₁ 치수가 s×q가 되도록)을 포함.일반적인 (웅렬) 행렬은 q와 s가 모두 0인 슈퍼매트릭스로 생각할 수 있다.

제곱 슈퍼매트릭스는 (r s) = (p q)에 대한 것이다.이것은 분할되지 않은 행렬 X 사각형일 뿐만 아니라 대각선₀₀ 블록 X와 X도₁₁ 마찬가지라는 것을 의미한다.

짝수 슈퍼매트릭스는 대각선 블록(X와₀₀₁₁ X)이 R의 짝수 요소(즉, 패리티의 동질 요소 0)만으로 구성되고, 대각선 외부 블록(X와₀₁₁₀ X)은 R의 홀수 요소만으로 구성되는 것을 의미한다.

${\displaystyle {\bmatrix}\mathrm {even} &\mathrm {bmatrix}\\mathrm {reven} \end{bmatrix}}}$

홀수 슈퍼매트릭스는 대각선 블록이 홀수이고 대각선 블록이 짝수인 역이 고정되는 것이다.

${\displaystyle {\property{bmatrix}\mathrm {exon}\\mathrm {even} &\mathrm {result} \end{bmatrix}}}}$

스칼라 R이 순수하게 0이 아닌 홀수 원소가 없기 때문에 짝수 슈퍼매트릭스는 블록 대각선이고 홀수 슈퍼매트릭스는 비대각선이다.

슈퍼매트릭스는 균일하거나 홀수일 경우 균일하다.0이 아닌 균질 수퍼매트릭스 X의 패리티 X는 짝수인지 홀수인지에 따라 0 또는 1이다.모든 슈퍼매트릭스는 짝수 슈퍼매트릭스와 홀수의 합으로 독특하게 쓰여질 수 있다.

대수구조

호환 가능한 치수의 수퍼매트릭스는 일반 매트릭스와 마찬가지로 추가 또는 곱할 수 있다.이러한 운영은 블록이 호환 가능한 치수를 가질 때만 정의된다는 제약이 있는 일반 운영과 정확히 동일하다.또한 슈퍼매트릭스를 R의 요소(왼쪽이나 오른쪽)로 곱할 수 있지만, 이 연산은 R에 홀수 요소가 존재하기 때문에 비노이드 케이스와 다르다.

M_{r s×p q}(R)은 치수(r s)×(p q)로 R 위에 있는 모든 수퍼매트릭스의 집합을 나타내도록 한다.이 세트는 슈퍼매트릭스 덧셈과 스칼라 곱셈에서 R에 대한 슈퍼모듈을 형성한다.특히 R이 필드 K 위에 있는 초알지브라라면 M_{r s×p q}(R)은 K 위에 슈퍼 벡터 공간을 형성한다.

M_{p q}(R)은 치수(p q)×(p q)로 R 위에 있는 모든 제곱 수퍼매티 세트를 나타낸다.이 세트는 슈퍼매트릭스 덧셈과 곱셈을 통해 슈퍼링을 형성한다.더욱이, 만약 R이 역행성 슈퍼알지브라라면, 슈퍼매트릭스 곱셈은 이선 연산이다. 그래서_{p q} M(R)은 R 위에 슈퍼알지브라(Superalgebra)를 형성한다.

덧셈

치수(r s)×(p q)의 두 개의 수퍼매트릭스를 비노이드 케이스와 같이 추가하여 동일한 치수의 수퍼매트릭스를 얻을 수 있다.블록의 크기가 호환되기 때문에 추가 작업을 블록별로 수행할 수 있다.짝수 슈퍼매트릭스 2개의 합이 짝수이고 홀수 슈퍼매트릭스 2개의 합이 홀수임을 쉽게 알 수 있다.

곱하기

치수(r s)×(p q)에 치수(r s)×(p q)를 곱한 슈퍼매트릭스를 비노이드 케이스와 같이 치수(p q)×(k l)를 곱하여 치수(r s)×(k l)의 행렬을 구할 수 있다.다음과 같은 분명한 방법으로 블록 레벨에서 곱셈을 수행할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}}}}}Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{00}Y_{00}+X_{01}Y_{10}&X_{00}Y_{01}+X_{01}Y_{11}\\X_{10}Y_{00}+X_{11}Y_{10}&X_{10}Y_{01}+X_{11}Y_{11}\end{bmatrix}}.}$

제품 슈퍼매트릭스 Z = XY의 블록은 다음과 같이 제공된다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle Z_{ij}=X_{i0}Y_{0j}+X_{i1}Y_{1j}.\,}$

X와 Y가 parity X와 Y와 동종인 경우 XY는 패리티 X + Y와 동종이다. 즉, 짝수 또는 두 개의 홀수 수퍼매트릭스의 곱은 짝수인 반면 홀수인 수퍼매트릭스는 짝수인 것이다.

스칼라 곱하기

슈퍼매트릭스의 스칼라 곱셈은 R에 홀수 원소가 존재하기 때문에 비노이드 케이스와 다르다.X를 슈퍼매트릭스가 되게 하라.왼쪽 스칼라 곱하기 α ∈ R은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \alpha \cdot X={\begin{bmatrix}\alpha \,X_{00}&\x_{01}\\\\\hat {\x_{10}}}\\x_{11}\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}Alpha$

여기서 내부 스칼라 승수는 보통 무첨가이고 $\alpha {\displaystyle \hat{}}$ ${\$은 R에서 비자발 등급을 나타낸다.이것은 동질 원소에 대해 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\hat{\put }}=(-1)^{ \cHB }}$

α에 의한 우측 스칼라 곱셈은 다음과 유사하게 정의된다.

${\displaystyle X\cdot \alpha ={\begin{bmatrix}X_{00}\,\alpha &X_{01}\, {\hat{\alpha }\X_{11}\, {\hat {\nd{bmatrix}}}.}$

α가 $짝수$일 경우${\displaystyle }$α$^$ = ${\displaystyle \alpha }$ {\$displaystyle {\hat {\\alpha }}=\alpha }$이며 이 두 연산 모두 미지정 버전과 동일하다.α와 X가 균질하면 α·X와 X·α는 모두 패리티 α + X와 균질하다. 더욱이 R이 초역량이라면 다음이 있다.

${\displaystyle \alpha \cdot X=(-1)^{ \alpha X }X\cdot \alpha .}$

선형 변환으로

일반 행렬은 벡터 공간(또는 자유 모듈) 사이의 선형 지도의 좌표 표현으로 생각할 수 있다.마찬가지로, 수퍼매트릭스는 슈퍼 벡터 공간(또는 자유형 슈퍼모듈) 사이의 선형 지도의 좌표 표현으로 생각할 수 있다.그러나 등급이 매겨진 사례에는 중요한 차이가 있다.하나의 수퍼 벡터 공간에서 다른 공간으로의 동형성은 정의상 등급을 보존하는 것이다(즉, 짝수 원소를 짝수 원소에, 홀수 원소를 홀수 원소에 매핑한다).그러한 변환의 좌표 표현은 항상 짝수 슈퍼매트릭스다.홀수 수퍼매트릭스는 정지 작업을 반대로 하는 선형 변환에 해당한다.일반 수퍼매트릭스는 임의의 무순 선형 변환을 나타낸다.비록 등급이 매겨진 (짝짝짝) 변환보다는 덜하지만, 그러한 변환은 등급이 매겨진 사례에서 여전히 중요하다.

초거대 R 위에 있는 초거대 M은 그것이 자유로운 동질성을 가지고 있다면 자유롭다.만약 그러한 기초가 p 짝수 요소와 q 홀수 요소로 이루어진다면, M은 p q 등급을 갖는다고 한다. 만약 R이 슈퍼커머티브라면, 순위는 비노드 사례에서와 마찬가지로 기준 선택과 무관하다.

R을^{p q} 열 슈퍼벡터 공간—차원 (p q)×(1 0)의 슈퍼매트릭스로 한다.이것은 당연히 우측 좌표 공간이라고 불리는 우측 R-초점모듈이다.치수(r s)×(p q)의 수퍼매트릭스 T는 R-선형 지도로 생각할 수 있다.

$[\displaystyle T:R^{p q}\to R^{r s}\,}$

여기서 R에^{p q} 대한 T의 작용은 단지 슈퍼매트릭스 곱셈일 뿐이다(이 작용은 일반적으로 왼쪽 R-선형이 아니기 때문에 우리는^{p q} R을 오른쪽 슈퍼모듈로 생각한다).

M은 p q 등급의 자유 R-슈퍼모듈이 되고, N은 r 등급의 자유 R-슈퍼모듈이 되게 한다. (e_i) M의 자유근거가 되고_k (f) N 등급의 자유근거가 되게 한다.그러한 베이스 선택은 M에서 R까지^{p q} 그리고 N에서 R까지^{r s} 이형체의 선택과 동등하다.임의(비선형) 선형 지도

$[\displaystyle T:M\to N\,}$

선택한 베이스에 대해 (r s)×(p q) 슈퍼매트릭스로 쓸 수 있다.관련 슈퍼매트릭스의 성분은 다음 공식에 의해 결정된다.

${\displaystyle T(e_{i}}=\sum _{k=1}^{r+s}f_{k}\,{T^{k}}}_{i}.}$

슈퍼매트릭스 T의 블록 분해는 M과 N이 짝수 및 홀수 하위조로 분해되는 것에 해당한다.

${\displaystyle M=M_{0}\oplus M_{1}\oplus M_{1}\qquad N=N_{0}\oplus N_{1}.}$

운영

일반화가 항상 명확하거나 간단한 것은 아니지만, 일반 매트릭스에 대한 많은 연산은 슈퍼매트릭스로 일반화될 수 있다.

초전송

슈퍼매트릭스의 슈퍼트랜스포저는 트랜스포즈의 Z 그라데이션₂ 아날로그다.내버려두다

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$

동질(r)×(p q) 슈퍼매트릭스다.X의 슈퍼트랜스펙트는 (p q)×(r s) 슈퍼매트릭스다.

${\displaystyle X^{st}={\begin{bmatrix}A^{t}&(-1)^{{}C^{t}\\-(-1)^{X }B^{t}&D^{t}\end{bmatrix}}}}}}}}$

여기서 A는^t A의 일반적인 전치사를 나타낸다.이것은 선형성에 의해 임의의 수퍼매트릭스로 확장될 수 있다.일반적인 전치와는 달리, 초전치료는 일반적으로 비자발성이 아니라 오히려 순서 4를 가지고 있다.X가 제공하는 슈퍼매트릭스에 슈퍼트랜스포저를 두 번 적용

${\displaystyle (X^{st})^{st}={\begin{bmatrix}A&-B\\-C&D\end{bmatrix}}.}$

R이 슈퍼커머티브일 경우, 슈퍼트랜스포저는 아이덴티티를 만족시킨다.

${\displaystyle (XY)^{st}=(-1)^{XY }Y^{st}X^{st}.\,}$

패리티 전치

슈퍼매트릭스의 패리티 전치는 언노이드 아날로그가 없는 새로운 작업이다.내버려두다

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$

슈퍼매트릭스다X의 전치 패리티는 (s r)×(q p) 슈퍼매트릭스다.

${\displaystyle X^{\pi }={\begin{bmatrix}D&C\\B&A\end{bmatrix}.}$

즉, 전치 행렬의 (i,j) 블록은 원래 행렬의 (1-i,1-j) 블록이다.

패리티 전환 작업이 ID를 준수함

• ${\displaystyle (X+Y)^{\pi }=X^{\pi }+Y^{\pi }\,}$
• ${\displaystyle (XY)^{\pi }=X^{\pi }Y^{\pi }\,}$
• ${\displaystyle (\alpha \cdot X)^{\pi }={\hat {\alpha }}\cdot X^{\pi }}}}}$
• ${\displaystyle (X\cdot \alpha )^{\pi }=X^{\pi }\cdot {\hat {\alpha }}}}}}$

게다가

• ${\displaystyle \pi ^{2}=id\,}$
• ${\displaystyle \pi \cHB\pi \pi =(st)^{4}}$

여기서 st는 초전송작전을 나타낸다.

슈퍼트레이스

사각형 슈퍼매트릭스의 슈퍼 트레이스는 트레이스의 Z-graded₂ 아날로그다.그것은 공식에 의해 동질적인 수퍼매트릭스에 정의된다.

${\displaystyle \mathrm {str}(X)=\mathrm {tr}(X_{00}-(1)^{X }\mathrm {tr}(X_{11})\,}$

여기서 tr은 평범한 흔적을 나타낸다.

R이 슈퍼커머티브일 경우, 슈퍼트레이스는 아이덴티티를 만족시킨다.

${\displaystyle \mathrm {str}(XY)=(-1)^{ X Y }\mathrm {str}(YX)\,}$

동질 수퍼매트릭스 X와 Y의 경우.

베레지니아어

정사각형 슈퍼매트릭스의 베레지니아어(또는 초결정성)는 결정성의 Z-graded₂ 아날로그다.베레지니아인은 단지 균등하고, 상호 작용하는 초거대 R에 대한 불변의 초거수들에 대해 잘 정의되어 있을 뿐이다.이 경우 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {Ber}(X)=\det(X_{00}-X_{01}X_{11}^{11}^{-1}X_{10}}}\det(X_{11})^{-1}.}$

여기서 일반적인 결정인자를 나타낸다(교차 대수 R에₀ 입력된 제곱 행렬).

베레지니아인은 일반적인 결정요인과 유사한 성질을 만족시킨다.특히 초변성하에서는 승화성, 불변성이 있다.그것은 수식에 의한 초추적과 관련이 있다.

${\displaystyle \mathrm {Ber}(e^{X})=e^{\mathrm {str(X)} }.\,}$

참조

• Varadarajan, V. S. (2004). Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction. Courant Lecture Notes in Mathematics 11. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3574-2.
• Deligne, Pierre; Morgan, John W. (1999). "Notes on Supersymmetry (following Joseph Bernstein)". Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians. Vol. 1. American Mathematical Society. pp. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.