맥시멈과 미니마
Maxima and minima
수학 해석학에서, 집합적으로 극단(복수의 극단)으로 알려진 함수의 최대값과 최소값(최대값과 최소값의 각 복수값)은 주어진 범위(국소적 또는 상대적 극단) 내에서 또는 전체 영역(지구적 또는 절대적 극단)[1][2][3]에서 함수의 최대값과 최소값이다.피에르 드 페르마는 함수의 최대값과 최소값을 구하기 위한 일반적인 기술인 적정성을 제안한 최초의 수학자들 중 한 명이었다.
집합론에서 정의된 바와 같이 집합의 최대값과 최소값은 집합에서 각각 최대값과 최소값입니다.실수의 집합과 같은 무한 무한 집합에는 최소값 또는 최대값이 없습니다.
정의.
도메인 X에 정의되어 있는 실수치 함수 f는 X의 모든 x에 대해 f(x∗) f f(x)이면 x에 글로벌∗(또는 절대) 최대점을 가진다.마찬가지로 함수는 x의 모든 x에 대해 f(x∗) f f(x)이면 x에 글로벌∗(또는 절대) 최소점이 있습니다.최대점에서의 함수 값은함수의 ( f () x)})라고 하며, 최소점에서의 함수 값은 함수의 최소치라고 합니다.기호적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
- 0X ( \ x { } \ X)는 함수f : X , \ f : X \ \ { R} if( x ) ( ). { ( \ X ) \、 ） f . { } 。
함수
전역 최소점의 정의도 비슷하게 진행됩니다.
도메인이 X는 미터 법 우주, f약간ε 을 존재하는 점 x∗에, 지방(또는 상대)최대 논점이 없는 것;x∗의 0과 X에서 모든 x에 거리에 f(x∗)≥ f())ε다고 한다.x∗의 X에서 모든 x에 거리에 f(x∗)≤ f())ε 마찬가지로 기능 x∗에서 지역 최소 핵심을 짚고 있습니다.X은 비슷한 정의 사용될 수 있다.토폴로지 공간, 즉 방금 주어진 정의를 이웃의 관점에서 바꿀 수 있기 때문이다.수학적으로 주어진 정의는 다음과 같이 작성됩니다.
- 만약(∃ ε>0){\displaystyle(\exists;0을 \varepsilon)}그런(∀)∈(X, dX){\displaystyle(X,d_{X})} 미터 법 공간과 함수 f:X→ R{\displaystyle f:X\to \mathbb{R}}. 그리고 X0∈ X{\displaystyle x_{0}\in x 기능 f의}은 지역 최대 지점{\displaystyle f}자.X)
로컬 최소점의 정의도 마찬가지로 진행할 수 있습니다.
글로벌 케이스와 로컬 케이스 모두에서 엄밀한 극단의 개념을 정의할 수 있습니다.예를 들어 x x∗ x의 모든 x에 대해 f(x∗) > f(x)가 있는 경우 x는∗ 엄밀한 글로벌 최대점이며, x∗ > 0이 있는 경우 x는 엄밀한 로컬 최대점이며, x x∗ x의 거리∗ of에 대해 f(x∗) > f(x)가 있는 경우 엄밀한 로컬 최대점이 됩니다.점은 고유한 글로벌 최대점인 경우에만 엄격한 글로벌 최대점이며, 최소점도 이와 유사합니다.
콤팩트 도메인을 가진 연속 실수치 함수는 항상 최대점과 최소점을 가집니다.중요한 예로는 도메인이 닫힌 유계된 실수 간격인 함수를 들 수 있습니다(위 그래프 참조).
서치
글로벌 최대값과 최소값을 찾는 것이 수학적 최적화의 목표입니다.함수가 닫힌 간격에서 연속적인 경우, 극단값 정리에 의해 전역 최대값과 최소값이 존재합니다.또한 글로벌 최대값(또는 최소값)은 도메인 내부의 로컬 최대값(또는 최소값)이거나 도메인의 경계에 있어야 합니다.따라서 전역 최대값(또는 최소값)을 구하는 방법은 내부 모든 국소 최대값(또는 최소값)을 살펴보고 경계상의 점의 최대값(또는 최소값)을 가장 큰 값(또는 가장 작은 값)을 취하는 것입니다.
미분 가능한 함수의 경우, 페르마의 정리는 도메인 내부의 국소 극단이 임계점(또는 도함수가 [4]0인 점)에서 발생해야 한다고 기술한다.그러나 모든 임계점이 극단인 것은 아니다.임계점이 국소 최대값인지 국소 최소값인지는 충분한 미분성이 주어지면 [5]첫 번째 미분 시험, 두 번째 미분 시험 또는 고차 미분 시험을 사용하여 구별할 수 있다.
부분별로 정의된 함수의 경우 각 조각의 최대값(또는 최소값)을 개별적으로 찾은 다음 어느 것이 가장 큰지(또는 가장 작은지)를 확인하여 최대값(또는 최소값)을 구합니다.
예
| 기능. | 맥시멈과 미니마 |
|---|---|
| x2 | x = 0인 고유 전역 최소값입니다. |
| x3 | 전역 최소값 또는 최대값이 없습니다.첫 번째 도함수(3x2)는 x = 0에서 0이지만, 이것은 변곡점이다. (두 번째 도함수는 그 점에서 0이다.) |
| x = e에서 고유한 글로벌 최대값(오른쪽 그림 참조) | |
| x−x | x = 1/e에서 양의 실수에 대한 고유한 전역 최대값입니다. |
| x3/3 − x | 1차 도함수2 x - 1 및 2차 도함수 2x.첫 번째 도함수를 0으로 설정하고 x에 대해 해결하면 -1과 +1의 정지점이 됩니다.두 번째 도함수의 부호를 통해 -1은 국소 최대값이고 +1은 국소 최소값임을 알 수 있습니다.이 함수에는 글로벌 최대값 또는 최소값이 없습니다. |
| x | 도함수가 x = 0에 없으므로 도함수를 취하여 찾을 수 없는 x = 0의 전역 최소값입니다. |
| cos(x) | 0, ±2µ, ±4µ, ...에서 무한히 많은 글로벌 최대값과 ±3µ, ±5µ, ...에서 무한히 많은 글로벌 최소값 |
| 2 cos(x) − x | 로컬 최대값과 최소값은 무한히 많지만 글로벌 최대값과 최소값은 없습니다. |
| cos(3gx)/x (0.1 µx) | x = 0.1(경계), x = 0.3 부근의 글로벌 최소값, x = 0.6 부근의 로컬 최대값 및 x = 1.0 부근의 로컬 최소값(페이지 상단 그림 참조). |
| x3 + 3x2 - 2x + 1 (세그먼트)에 걸쳐 정의 [-4,2] | 로컬 최대값은 x = -1-11815/3, 로컬 최소값은 x = -1+18015/3, 글로벌 최대값은 x = 2 및 글로벌 최소값은 x = -4입니다. |
![{\sqrt[{x}]{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b4a0a76158849854a302fc639dfc882ec16008)
예를 들어 누군가가 펜스를 있고 직사각형 인클로저의 평방피트를 최대화하려고 하는 상황을 가정합니다.{ x }는 y { y}는 폭, y { xy는 면적입니다.
면적입니다.
x x에 파생값은 다음과 같습니다.
이 값을0으로 (\ 0
x x이 유일한 중요 포인트임을 .x x가 제한되는 간격을 하고 엔드포인트를 가져옵니다.이후로 너비가 긍정적인 다음>0{\displaystyle x>0}, 그리고 의미를 내포하고 이후)=100−는 y{\displaystyle x=100-y}, x<>100{\displaystyle x<, 100}. 대입하는데 있어 매우 중요한 지점 50{50\displaystyle}, 뿐만 아니라 엔드 포인트 0{0\displaystyle}과 100{100\displaystyle}로)y= x(10.0− x){ xy 결과는 각각 2500 0 및 0 2500, 0)입니다.
. 따라서 사각형의 할 수 있는최대 면적은 50 × { 50 \ 50[6]}입니다.
둘 이상의 변수의 함수
변수가 둘 이상인 함수의 경우 유사한 조건이 적용됩니다.예를 들어, 오른쪽의 (확대 가능한) 그림에서 로컬 최대값에 필요한 조건은 변수가 하나만 있는 함수의 조건과 유사합니다.z(최대화할 변수)에 대한 첫 번째 부분 도함수는 최대값에서 0입니다(그림 상단의 빛나는 점).두 번째 부분 도함수는 음수이다.이는 안장 지점의 가능성 때문에 국소 최대치를 위한 필요 조건일 뿐이며 충분하지 않다.이러한 조건을 사용하여 최대값을 해결하려면 함수 z도 전체적으로 미분 가능해야 합니다.두 번째 편도함수 테스트는 점을 상대 최대값 또는 상대 최소값으로 분류하는 데 도움이 됩니다.이와는 대조적으로, 한 변수의 함수와 두 개 이상의 변수의 함수는 전역 극단의 식별에 있어 상당한 차이가 있다.예를 들어, 실선의 닫힌 구간에 정의된 유계 미분 가능 함수 f가 국소 최소인 단일 임계점을 갖는 경우, 그것은 또한 전역 최소값이다(이를 모순으로 증명하기 위해 중간값 정리 및 롤의 정리를 사용).2차원 이상에서는 이 주장은 실패한다.이는 기능에 의해 설명됩니다.
임계점은 f(0,0) = 0인 국소 최소점인 (0,0)이다. 그러나 f(2,3) = -5이므로 전역 최소점이 될 수 없다.
함수의 최대 또는 최소
극단을 찾아야 하는 함수의 영역이 그 자체로 함수로 구성되어 있는 경우(즉 극단을 함수에서 찾아야 하는 경우), 극단은 변이의 미적분을 사용하여 구한다.
집합과 관련하여
세트에 대해 Maxima 및 Minima를 정의할 수도 있습니다.일반적으로 순서 집합 S가 가장 큰 원소 m을 갖는 경우 m은 집합의 최대 요소이며 max라고도 한다.또한 S가 순서 집합 T의 서브셋이고, m이 (T에 의해 유도되는 순서에 대해) S의 최대 요소라면 m은 T의 최소 상한이다.최소 요소, 최소 요소 및 최대 하한에 대해서도 유사한 결과가 유지됩니다.집합의 최대 및 최소 함수는 데이터베이스에서 사용되며, 집합의 최대(또는 최소)는 파티션의 최대값에서 계산할 수 있기 때문에 빠르게 계산할 수 있습니다. 형식적으로는 자체 분해 가능한 집계 함수입니다.
일반적인 부분 순서의 경우, 최소 요소(즉, 다른 요소보다 작은 요소)를 최소 요소(작은 요소 없음)와 혼동해서는 안 된다.마찬가지로, 부분 순서 집합(양자)의 최대 원소는 집합 내에 포함된 집합의 상한인 반면, 양자 A의 최대 원소 m은 m µ b(A의 임의의 b에 대해)이면 m = b인 A의 원소이다.포셋의 최소 요소 또는 최대 요소는 고유하지만 포셋은 여러 개의 최소 또는 최대 요소를 가질 수 있습니다.포셋에 여러 개의 최대 요소가 있는 경우 이러한 요소는 서로 비교할 수 없습니다.
완전 순서 집합 또는 체인에서는 모든 요소가 상호 비교 가능하기 때문에 이러한 집합은 최소 1개의 요소와 최대 1개의 요소를 가질 수 있다.그러면 상호 비교 가능성 때문에 최소 요소도 최소 요소가 되고 최대 요소도 최대 요소가 됩니다.따라서 전체 순서 집합에서는 최소값과 최대값이라는 용어를 사용할 수 있습니다.
체인이 유한하면 항상 최대값과 최소값이 됩니다.체인이 무한대인 경우 최대값 또는 최소값을 가질 필요가 없습니다.예를 들어, 자연수 집합에는 최소값이 있지만 최대값은 없습니다.무한쇄 S가 유계되면 집합의 폐색 Cl(S)은 때때로 최소값과 최대값을 가지며, 이 경우 집합 S의 최대하한과 최소상한으로 각각 불린다.
「 」를 참조해 주세요.
레퍼런스
- ^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.
- ^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-547-16702-2.
- ^ Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-58876-0.
- ^ Weisstein, Eric W. "Minimum". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-30.
- ^ Weisstein, Eric W. "Maximum". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-30.
- ^ a b Garrett, Paul. "Minimization and maximization refresher".
외부 링크
- 컨버전스의 맥시마와 미니마에 대한 토마스 심슨의 연구
- Maxima 및 Minima를 해결된 문제의 하위 페이지에 적용
- Jolliffe, Arthur Ernest (1911). . Encyclopædia Britannica. Vol. 17 (11th ed.). pp. 918–920.
