내형성 고리

수학에서는 아벨 그룹 X의 내형성이 반지를 형성한다.이 반지는 End(X)가 가리키는 Endomorphism ring X라고 불리며, X의 모든 동형성을 그 자체로 집합시킨다.내형성의 추가는 점으로 볼 때 자연적으로 발생하며 내형성 구성을 통한 곱셈이 된다.이러한 연산을 사용하여 아벨리아 그룹의 내형성 집합은 (유니탈) ${\textstyle 0:x\mapsto 0}$ 을 형성하며, 0 지도 ${\textstyle 0:x\mapsto 0}$ : ${\textstyle 0:x\mapsto 0}$ ${\textstyle 0:x\mapsto 0}$ 0 ${\textstyle 0:x\mapsto$ 0 $}$ 은 ${\textstyle 0:x\mapsto 0}$ 가법성, ID ${\textstyle 1:x\mapsto x}$ 1 ${\textstyle 1:x\mapsto x}$ : ${\textstyle 1:x\mapsto x}$ ${\textstyle 1:x\mapsto x}$ ${\textstyle 1:x\mapsto x}$ ↦ x ${\textstyle 1:x\mapsto x}$ 은 곱셈성 정체성으로 ${\textstyle 1:x\mapsto x}$ 구성한다.^[1]^[2]

관련된 기능은 고려 대상의 범주에 따라 달라지는 맥락에서 동형성으로 정의되는 것으로 제한된다.내형성 링은 결과적으로 물체의 몇 가지 내부 특성을 암호화한다.그 결과 물체는 종종 어떤 고리 R에 대한 대수이기 때문에 이것을 내형성 대수라고도 할 수 있다.

아벨 그룹이란 초기 고리인 정수의 링 위에 있는 모듈과 같은 것이다.비슷한 방식으로, 만약 R이 어떤 교환 고리라면, 그것의 모듈의 내형성 모노이드들은 같은 공리와 파생에 의해 R 위에 알헤브라를 형성한다.특히 R이 필드 F인 경우 모듈 M은 벡터 스페이스 V, 이들의 내형성 링은 필드 F 위에 있는 알헤브라스다.

설명

렛 (A, +)은 아벨 그룹이고 우리는 A에서 A로 그룹 동형성을 고려한다.그리고 또 다른 집단의 동형성을 생성하기 위해 두 개의 그러한 동형성의 추가를 점으로 정의할 수 있다.명시적으로 그러한 동형상 f와 ${\textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x)}$ 를 두 가지로 볼 때 f와 g의 합은 동형상 ${\textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x)}$ [ ${\textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x)}$ + ${\textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x)}$ ${\textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x)}$ ( ${\textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x)}$ ) ${\textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x)}$ : ${\textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x)}$ ( x ${\textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x)}$ ) ${\textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x)}$ + g ( ${\textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x)}$ ) ${\textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x$ 이 작전 하에서 End(A)는 아벨 그룹이다.동형체 구성의 부가적인 조작으로 End(A)는 승적 정체성을 가진 고리다.이 구성은 명시적으로 ${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$ ( ${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$ g ${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$ ) ${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$ ( x ${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$ ) ${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$ ${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$ ( ${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$ ( ${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$ x ${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$ ) ${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$ ) ${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$ 입니다 ${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$ 승수정체는 A에 있는 정체성 동형성이다.

만약 세트 A가 아벨 집단을 형성하지 않는다면, 위의 구성은 반드시 부가적인 것은 아니며, 이는 두 동형성의 합이 동형성일 필요는 없기 때문이다.^[3]이 내형성 집합은 링이 아닌 근링의 표준적인 예다.

특성.

내형성 링은 항상 제로맵과 아이덴티티 맵 각각에 가법성과 승법성을 가진다.
내형성 고리들은 연관성이 있지만 전형적으로 뚜렷하지 않다.
만약 모듈이 단순하다면, 그 내형성 링은 디비전 링(이것을 슈르의 보조정리라고도 한다)^[4]이다.
모듈은 그 내형성 링에 비종교적 특이점 요소가 포함되어 있지 않은 경우에만 외향적이다.^[5]모듈이 주입 모듈인 경우 외향성은 내형성 링이 국부 링인 것과 동일하다.^[6]
반이행 모듈의 경우 내형성 링은 폰 노이만 일반 링이다.
0이 아닌 우측 단분모듈의 내형성 링은 한 두 개의 최대 우측 이상을 가지고 있다.만약 모듈이 아르티니아인, 노메테리아인, 투영적이거나 주입적인 것이라면, 내형성 링은 독특한 최대 이상을 가지고 있어서 국부 링이다.
아르티니아 제복 모듈의 내형성 링은 국부적인 링이다.^[7]
구성 길이가 유한한 모듈의 내형성 링은 반림성 링이다.
연속 모듈이나 이산 모듈의 내형성 링은 깨끗한 링이다.^[8]
R 모듈이 미세하게 생성되고 투영적인 경우(즉, 프로제너레이터) 모듈 및 R의 내형성 링은 모든 모리타 불변성 특성을 공유한다.모리타 이론의 근본적인 결과는 R에 해당하는 모든 고리가 프로제너레이터의 내형성 고리로 발생한다는 것이다.

예

R모듈의 범주에서 R모듈 M의 내형성 링은 R모듈 동형성만을 사용하며, 일반적으로 아벨 그룹 동형성의 적절한 부분집합이다.^[9]M이 정밀하게 생성된 투영 모듈일 때, 내형성 링은 모듈 범주의 모리타 동등성의 중심이다.
For any abelian group $A$ , $M_{n}(\operatorname {End} (A))\cong \operatorname {End} (A^{n})$ , since any matrix in $M_{n}(\operatorname {End} (A))$ carries a natural homomorphism structure of ${\display$ $A$ 스타일:

{\begin{pmatrix}\varphi _{11}&\cdots &\varphi _{1n}\\\vdots &&\vdots \\\varphi _{n1}&\cdots &\varphi _{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{1i}(a_{i})\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}\varphi _{ni}(a_{i})\end{pmatrix}}.

이러한 이형성을 이용하여 많은 비확정적 내형성 고리를 구성할 수 있다.For example:

\operatorname {End} (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} )\cong M_{2}(\mathbb {Z} )

, since

\operatorname {End} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}

.

Also, when

R=K

is a field, there is a canonical isomorphism

\operatorname {End} (K)\cong K

, so

\operatorname {End} (K^{n})\cong M_{n}(K)

, that is, the endomorphism ring of a

K

-vector space is iden

K

K

에 항목이 있는 n-by-n 행렬의 링으로 todified

K

^[10] 보다 일반적으로 자유

M=R^{n}

M =

M=R^{n}

n

M=R^{n}

{\

displaystyle M=R^{

n

}

의 내형성 대수로는

링

R

{\

displaystystyle R

에 항목이 있는

n

으로

n {\

displaysty n}

이

n

n

된다

M=R^{n}

.

마지막 지점의 특별한 예로서, 단결을 가진 모든 링 R에 대해 End(R_R) = R(R)의 요소가 R에 왼쪽 곱셈에 의해 작용한다.
일반적으로 내형성 링은 어떤 부가성 이전의 범주의 개체에 대해 정의될 수 있다.

메모들

^ 프레일리(1976, 페이지 211)
^ 패스먼(1991, 페이지 4–5)
^ 더미트 & 풋, 페이지 347)
^ 제이콥슨 2009, 페이지 118.
^ Jacobson 2009, 페이지 111, prop. 3.1.
^ 위스바우어 1991, 페이지 163.
^ 위스바우어 1991, 페이지 263.
^ 카밀로 외 2006년
^ 아벨리안 집단은 정수의 링 위에 있는 모듈로도 볼 수 있다.
^ Drozd & Kirichenko 1994, 페이지 23–31.

참조

Camillo, V. P.; Khurana, D.; Lam, T. Y.; Nicholson, W. K.; Zhou, Y. (2006), "Continuous modules are clean", J. Algebra, 304 (1): 94–111, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.06.032, ISSN 0021-8693, MR 2255822
Drozd, Yu. A.; Kirichenko, V.V. (1994), Finite Dimensional Algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X
Dummit, David; Foote, Richard, Algebra

Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
"Endomorphism ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, vol. 2 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
Passman, Donald S. (1991), A Course in Ring Theory, Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8
Wisbauer, Robert (1991), Foundations of module and ring theory, Algebra, Logic and Applications, vol. 3 (Revised and translated from the 1988 German ed.), Philadelphia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, pp. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, MR 1144522 연구 및 연구를 위한 지침서

[1] 프레일리(1976, 페이지 211)

[2] 패스먼(1991, 페이지 4–5)

[3] 더미트 & 풋, 페이지 347)

[FOOTNOTEJacobson2009p._118-4] 제이콥슨 2009, 페이지 118.

[FOOTNOTEJacobson2009p._111,_Prop._3.1-5] Jacobson 2009, 페이지 111, prop. 3.1.

[FOOTNOTEWisbauer1991p._163-6] 위스바우어 1991, 페이지 163.

[FOOTNOTEWisbauer1991p._263-7] 위스바우어 1991, 페이지 263.

[FOOTNOTECamilloKhuranaLamNicholson2006-8] 카밀로 외 2006년

[9] 아벨리안 집단은 정수의 링 위에 있는 모듈로도 볼 수 있다.

[FOOTNOTEDrozdKirichenko1994pp._23–31-10] Drozd & Kirichenko 1994, 페이지 23–31.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Search

내형성 고리

네임스페이스

더

목차

설명

특성.

예

메모들

참조