벡터(수학과 물리학)

Vector (mathematics and physics)

수학과 물리학에서 벡터는 하나의 (스칼라)로 표현할 수 없는 일부 양이나 일부 벡터 공간의 원소를 구어적으로 지칭하는 용어입니다.

역사적으로 벡터는 변위, , 속도와 같이 크기와 방향을 모두 갖는 양에 대해 기하학과 물리학(일반적으로 역학)에 도입되었습니다.그러한 양은 거리, 질량, 시간이 실수로 표현되는 것과 같은 방식으로 기하학적 벡터로 표현됩니다.

벡터라는 용어는 어떤 맥락에서는 고정된 길이의 숫자들의 유한한 시퀀스튜플에 대해서도 사용됩니다.

기하학적 벡터와 튜플을 모두 추가하고 확장할 수 있으며, 이러한 벡터 연산은 위와 같은 종류의 벡터에 대한 연산의 주요 특성을 일반화하는 일부 공리를 충족하는 벡터 덧셈스칼라 곱셈을 갖춘 집합인 벡터 공간의 개념으로 이어졌습니다.기하학적 벡터로 이루어진 벡터 공간을 유클리드 벡터 공간, 튜플로 이루어진 벡터 공간을 좌표 벡터 공간이라고 합니다.

수학에서는 확장장, 다항식환, 대수, 함수공간 등 많은 벡터공간이 고려됩니다.벡터라는 용어는 일반적으로 이러한 벡터 공간의 요소에는 사용되지 않으며, 일반적으로 기하 벡터, 튜플 및 불특정 벡터 공간의 요소(예를 들어 벡터 공간의 일반적인 속성을 논의할 때)에 대해 예약됩니다.

유클리드 기하학의 벡터

A에서 B를 가리키는 벡터

수학, 물리학, 공학에서 유클리드 벡터 또는 단순히 벡터(때로는 기하학 벡터 또는[1] 공간 벡터라고도[2] 함)는 크기(또는 길이)와 방향을 가진 기하학적 물체입니다.벡터 대수에 따라 벡터를 다른 벡터에 추가할 수 있습니다.유클리드 벡터는 종종 방향 선분으로 표시되거나, 그래픽으로 초기A종단 점 B를 연결하는 화살표로 표시되며, ⟶로 표시됩니다. {\AB}}}

벡터는 점 A를 점 B로 "운반"하기 위해 필요한 것입니다. 라틴어 단어 벡터는 "운반자"를 의미합니다.[4]태양 주위의 행성 공전을 조사하는 18세기 천문학자들에 의해 처음으로 사용되었습니다.[5]벡터의 크기는 두 점 사이의 거리이며, 방향은 A에서 B까지의 변위 방향을 말합니다.덧셈, 뺄셈, 곱셈, 음수와 같은 실수에 대한 많은 대수 연산들은 벡터,[6] 교환성, 연상성, 분배성의 친숙한 대수 법칙을 따르는 연산에 대해 밀접한 유사성을 가지고 있습니다.이러한 연산 및 관련 법칙은 단순히 벡터 공간의 요소로 정의되는 벡터의 보다 일반적인 개념의 예로서 유클리드 벡터를 적합하게 합니다.

벡터는 물리학에서 중요한 역할을 합니다: 움직이는 물체의 속도가속도 그리고 그 위에 작용하는 은 모두 벡터로 설명될 수 있습니다.[7]다른 많은 물리량들은 벡터로 유용하게 생각될 수 있습니다.대부분은 거리(예: 위치 또는 변위)를 나타내지 않지만 크기와 방향은 여전히 화살표의 길이와 방향으로 나타낼 수 있습니다.물리적 벡터의 수학적 표현은 그것을 설명하는 데 사용되는 좌표계에 따라 달라집니다.물리량을 기술하고 좌표계의 변화에 따라 비슷한 방식으로 변환하는 벡터와 같은 다른 물체로는 의사벡터텐서가 있습니다.[8]

벡터공간

벡터 덧셈 및 스칼라 곱셈: 벡터 v(파란색)가 다른 벡터 w(빨간색, 위쪽 그림)에 추가됩니다.아래에서 w는 2배로 늘어져 합계 v + 2w를 산출합니다.

수학과 물리학에서 벡터 공간(, linear space)은 흔히 벡터라고 불리는 원소들이 더해지고 스칼라라고 불리는 숫자들에 곱해질 수 있는 집합입니다.스칼라는 종종 실수이지만 복소수일 수도 있고, 더 일반적으로 모든 필드의 요소일 수도 있습니다.벡터 덧셈과 스칼라 곱셈의 연산은 벡터 공리라고 불리는 특정 요구 사항을 충족해야 합니다.실수 벡터 공간과 복소 벡터 공간은 실제 좌표 공간 또는 복소 좌표 공간과 같은 다양한 종류의 스칼라에 기반한 일종의 벡터 공간입니다.

벡터 공간은 유클리드 벡터를 일반화하여 속도와 같은 물리량모델링할 수 있으며, 이를 통해 크기뿐만 아니라 방향도 가질 수 있습니다.벡터 공간의 개념은 벡터 공간에서 계산을 허용하는 행렬의 개념과 함께 선형 대수의 기본입니다.이것은 선형 방정식의 시스템을 조작하고 연구하는 간결하고 종합적인 방법을 제공합니다.

벡터 공간은 대략적으로 말하면 공간에서 독립적인 방향의 수를 지정하는 차원으로 특징지어집니다.이것은 주어진 필드 위에 동일한 차원을 갖는 두 벡터 공간에 대해 벡터-공간 구조에만 의존하는 속성이 정확히 동일하다는 것을 의미합니다(기술적으로 벡터 공간은 동형입니다).벡터 공간은 그 차원이 자연수일 경우 유한 차원입니다.그렇지 않으면, 그것은 무한 차원이고, 그것의 차원은 무한 기수입니다.유한 차원 벡터 공간은 기하학 및 관련 영역에서 자연스럽게 발생합니다.무한 차원 벡터 공간은 수학의 많은 영역에서 발생합니다.예를 들어, 다항식 고리 수 없이 많은 무한 차원 벡터 공간이며, 많은 함수 공간연속체의 카디널리티를 차원으로 갖습니다.

수학에서 고려되는 많은 벡터 공간들은 또한 다른 구조를 가지고 있습니다.이것은 필드 확장, 다항식 고리, 연관 대수 및 리 대수를 포함하는 대수의 경우입니다.이것은 함수 공간, 내부 곱 공간, 정칙 공간, 힐베르트 공간, 바나흐 공간을 포함하는 위상 벡터 공간의 경우이기도 합니다.

대수학의 벡터

필드 위의 모든 대수는 벡터 공간이지만, 대수의 요소는 일반적으로 벡터라고 하지 않습니다.그러나 주로 역사적인 이유로 벡터라고 불리는 경우도 있습니다.

  • 실수부가 0인 4원수 벡터 4원수
  • 벡터 공간의 외부 대수의 요소인 다중 벡터 또는 p-벡터.
  • 스핀 벡터라고도 불리는 스피너회전 벡터의 개념을 확장하기 위해 도입되었습니다.사실, 회전 벡터는 국소적으로는 잘 회전하지만 전체적으로는 잘 표현하지 않습니다. 왜냐하면 회전 벡터의 공간에 있는 닫힌 루프는 루프가 아닌 회전 공간에 곡선을 유도할 수 있기 때문입니다.또한 회전 벡터의 다양체는 방향을 잡을 수 있는 반면 회전 다양체는 그렇지 않습니다.스피너는 일부 클리포드 대수의 벡터 부분 공간의 요소입니다.
  • 비트 벡터, 이 링 위의 대수에 속하며 p-아딕 수에 대한 연산에서 캐리 전파를 처리하기 위해 도입된 교환 링의 요소의 무한한 시퀀스입니다.

벡터로 표시되는 데이터

n개의 실수 투플의 집합 R은 성분별 덧셈과 스칼라 곱셈으로 정의되는 벡터 공간의 자연스러운 구조를 가지고 있습니다.벡터 공간 연산이 적용되지 않는 컨텍스트에서도 이러한 튜플을 벡터라고 부르는 것이 일반적입니다.보다 일반적으로 일부 데이터를 벡터로 자연스럽게 표현할 수 있는 경우 벡터의 덧셈 및 스칼라 곱셈이 이러한 데이터에 대한 유효한 연산이 아닌 경우에도 종종 벡터라고 합니다.[disputed ]여기 몇 가지 예가 있어요.

미적분학의 벡터

미적분학은 벡터의 영역에서 기초적인 수학적 도구로서 물리학과 공학을 포함한 다양한 과학 분야에서 벡터량의 분석과 조작을 위한 체계를 제공합니다.출력이 벡터인 벡터 값 함수는 미적분학을 사용하여 정밀하게 조사되어 3차원 공간 내에서 운동에 대한 필수적인 통찰력을 도출합니다.벡터 미적분학은 전통적인 미적분학 원리를 벡터 분야로 확장하여 그래디언트, 발산, 과 같은 연산을 도입하여 물리학과 공학의 맥락에서 응용을 찾습니다.벡터해석학에서 미적분학의 실용적인 유용성을 보여주는 것은 힘장 내의 경로를 따라 일을 계산하는 데 중요한 역할을 하는 선적분학과 플럭스와 같은 양을 계산하는 데 사용되는 표면적분학이다.3차원 영역에 걸쳐 스칼라 또는 벡터 필드를 포함하는 계산에 필수적인 볼륨 적분질량 분포, 전하 밀도 및 유체 유량을 이해하는 데 기여합니다.[citation needed]

참고 항목

구조가 더 많은 벡터 공간

벡터장

벡터장은 일반적으로 (다양체와 같은) 차원의 정의역을 갖는 벡터함수입니다.

여러가지 종류의

  • 리치 미적분학
  • 벡터 미적분학에 관한 윌슨의 교과서인 벡터해석학은 1901년에 처음 출판되었는데, 3차원 선형대수학과 벡터 미적분학의 표기법과 어휘를 표준화하는 데 많은 기여를 했습니다.
  • 벡터 다발, 다른 공간에 의해 매개변수화된 벡터 공간군의 개념을 정확하게 만드는 위상적 구조
  • 벡터장의 미분과 적분을 다루는 수학의 한 분야인 벡터 미적분학
  • 미분 또는 del, nabla 기호 {\\nabla}로 표시되는 벡터 미분 연산자
  • 라플라스 연산자, 벡터 라플라스 연산자, 2 \^{2}}로 표시되는 벡터 라플라스 연산자는 벡터 필드 위에 정의된 미분 연산자입니다.
  • 벡터 표기법, 벡터 작업 시 사용되는 일반적인 표기법
  • 벡터 연산자, 벡터 미적분학에서 사용되는 미분 연산자의 한 종류
  • 3차원 유클리드 공간에서 두 벡터에 대한 연산으로 세 번째 3차원 유클리드 벡터를 생성하는 벡터 곱, 또는 교차 곱
  • 벡터 프로젝션(vector projection), 벡터 레졸루트(vector resolute) 또는 벡터 성분(vector component)이라고도 하는, 제2 벡터에 평행한 벡터를 생성하는 선형
  • 벡터함수, 벡터 공간을 코도메인으로 갖는 함수
  • 행렬을 열 벡터로 변환하는 선형 변환인 벡터화(수학)
  • 벡터 자기회귀모형(vector autoregression), 진화와 여러 시계열 간의 상호의존성을 포착하는 데 사용되는 계량경제학 모형
  • 벡터 보손, 스핀양자수가 1인 보손
  • 벡터 측도(vector measure), 집합의 집합에 정의되고 특정 성질을 만족하는 벡터 값을 취하는 함수
  • 벡터 중간자, 총 스핀 1과 홀수 패리티를 가진 중간자
  • 벡터 양자화, 신호 처리에 사용되는 양자화 기법
  • 벡터 솔리톤(Vector Soliton), 전파 동안 그 모양을 유지하는 여러 성분이 결합된 단일 파동
  • 오디오 합성의 한 종류인 벡터 합성
  • 위상벡터

메모들

  1. ^ 이바노프 2001
  2. ^ 하인보켈 2001
  3. ^ It p 1993, p. 1678; Pedoe 1988
  4. ^ 라틴어: vectus, 여기 완벽한 입자, "to carry" / veho = "I carry".벡터라는 단어의 역사적 발전은 다음을 참조하십시오. "vector n.". Oxford English Dictionary (Online ed.). Oxford University Press.(구독 또는 참여기관 가입이 필요합니다.)
  5. ^ The Oxford English Dictionary (2nd. ed.). London: Clarendon Press. 2001. ISBN 9780195219425.
  6. ^ "vector Definition & Facts". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2020-08-19.
  7. ^ "Vectors". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-19.
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Vector". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-19.

참고문헌