슈르 분해

선형대수의 수학적 규율에서 이사이 슈르의 이름을 딴 슈르 분해 또는 슈르 삼각측정은 행렬 분해다.대각선 원소가 원래 행렬의 고유값인 상위 삼각 행렬과 단위 당량적으로 동등한 임의 복합 사각 행렬을 작성할 수 있다.

성명서

슈르 분해는 다음과 같이 읽는다: A가 복잡한 항목이 있는 n × n 제곱 행렬이라면 A는 다음과^[1]^[2]^[3] 같이 표현할 수 있다.

(\displaystyle A=QUQ^{-1}

여기서 Q는 단일 행렬이고(그래서 그 역⁻¹ Q는 Q의 결합 전이 Q*이기도 하다), U는 상위 삼각 행렬로, 이를 A의 Schur 형태라고 한다.U는 A와 비슷하기 때문에 스펙트럼이 같고, 삼각형이기 때문에 고유값은 U의 대각선 입력이다.

슈르 분해는 A-invariant 하위공간 ${0}$ = $V 0$ ⊂ $V 1$ ⋯ ⊂ ⊂= V = $C$ 의ⁿ 중첩된 시퀀스가 존재하며, 중첩된 시퀀스에서 발생하는 각 i에 대해 첫 번째 i basis 벡터 스팬 $V$ 를_i 나타내는 정렬된 정사각형 기준( $C$ 의ⁿ 표준 형식에 $대하여 n$ )이 존재함을 의미한다.다소 다르게 표현된, 첫 번째 부분은 복잡한 유한차원 벡터 공간의 선형 연산자 J가 완전한 플래그 $(V 1,\dots,$ V)를_n 안정화시킨다고 말한다 $.$

증명

슈르 분해에 대한 건설적인 증거는 다음과 같다: 복합 유한차원 벡터 공간의 모든 연산자 A는 일부 아이겐스페이스 V에_λ 해당하는 고유값 λ을 가지고 있다.V를_λ^⊥ 직교보완제로 합시다.이 직교 분해와 관련하여 A는 매트릭스 표현을 가지고 있음(각각_λ V와 V에_λ^⊥ 걸쳐 있는 직교 기준 Z와₁ Z를₂ 여기서 선택할 수 있음)이 분명하다.

{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}

여기서_λ_λ 나는 V의 ID 교환원이다.위의₂₂ 매트릭스는 A 블록을 제외하고 삼각형 상단일 것이다.그러나 정확히 동일한 절차를 V의_λ^⊥ 연산자로 보는 서브 매트릭스 A와₂₂ 그 하위 매트릭스에 적용할 수 있다.결과 행렬이 삼각형 위가 될 때까지 이 방법을 계속하십시오.각 결합은 상위 삼각형 블록의 치수를 적어도 하나 이상 증가시키기 때문에, 이 과정은 최대 n단계를 취한다.따라서 공간 C는ⁿ 소진될 것이고 그 절차는 원하는 결과를 산출할 것이다.

위의 논거는 다음과 같이 약간 재작성할 수 있다: λ은 어떤 eigenspace V에_λ 해당하는 A의 고유값이 되도록 한다.A는 연산자 T를 C/V로ⁿ_λ 유도한다.이 운영자는 정확히 위에서부터₂₂ A 잠수부다.이전처럼 T는 Eigenspace를 가질 것이다, 라고_μ 말한다. Wⁿ mod C modulo_λ V.지수 지도 아래 W의_μ 사전 이미지는 V를_λ 포함하는 A의 불변 하위 공간이라는 점에 유의하십시오.결과의 지수 공간이 차원 0을 가질 때까지 이 방법을 계속하십시오.그러면 각 단계에서 발견된 에겐스페이스의 연속적인 프리이미징은 A가 안정시키는 깃발을 형성한다.

메모들

비록 모든 정사각형 행렬이 슈르 분해를 가지고 있지만, 일반적으로 이러한 분해가 독특한 것은 아니다.예를 들어, Eigenspace V는_λ 치수보다 1을 가질 수 있으며, 이 경우 V에_λ 대한 정형화된 기준이 원하는 결과를 초래할 수 있다.

삼각 행렬 U를 U = D + N으로 쓰십시오. 여기서 D는 대각선이고 N은 엄격히 상위 삼각 행렬(따라서 nilpotent 행렬).대각 행렬 D는 임의의 순서로 A의 고유값을 포함한다(그 프로베니우스 규범, 제곱은 A의 고유값의 제곱 모듈리의 합이고, 제곱은 A의 프로베니우스 규범, 제곱은 A의 제곱 단수값의 합이다).nilpotent 부분 N도 일반적으로 고유하지는 않지만, 그것의 프로베니우스 규범은 A에 의해 독특하게 결정된다(A의 프로베니우스 규범이 U = D + N의 프로베니우스 규범과 동일하다는 이유만으로).

A가 정규 행렬이라면 슈르 분해의 U는 대각 행렬이어야 하며 Q의 열 벡터는 A의 고유 벡터라는 것은 분명하다.따라서 슈르 분해는 스펙트럼 분해를 확장한다.특히 A가 양수확정일 경우 A의 슈르 분해와 그 스펙트럼 분해, 그리고 그 단수값 분해는 일치한다.

통근 행렬의 {A_i} 패밀리는 동시에 삼각형을 이룰 수 있다. 즉, 주어진 패밀리의 모든 A에_i 대해 Q A Q_i*가 상위 삼각형을 이루는 단일 매트릭스 Q가 존재한다.이것은 위의 증거에서 쉽게 추론할 수 있다.{A_i}에서 요소 A를 가져오고 다시 eigenspace V를_A 고려하십시오.그러면_A V는 {A_i}의 모든 행렬에서 불변한다.따라서 {A_i}의 모든 행렬은 V의_A 공통 고유 벡터를 공유해야 한다.이어 유도가 그 주장을 입증한다.산호로서, 우리는 정상적인 매트릭스의 모든 통근 가정은 동시에 대각선화 될 수 있다.

무한 치수 설정에서 Banach 공간의 모든 경계 연산자가 불변 하위 공간을 갖는 것은 아니다.그러나 임의의 사각 행렬의 삼각형 상위는 소형 연산자에 일반화된다.복잡한 Banach 공간의 모든 소형 운영자는 닫힌 불변형 서브 스페이스의 둥지를 가지고 있다.

연산

주어진 행렬의 슈르 분해는 QR 알고리즘 또는 그 변형으로 수치적으로 계산된다.즉, 슐르 분해를 얻기 위해 행렬에 해당하는 특성 다항식의 뿌리를 반드시 미리 계산하지는 않는다.반대로 QR 알고리즘은 동반 매트릭스의 슈르 분해도를 찾아 주어진 특성 다항식의 뿌리를 계산하는 데 사용할 수 있다.마찬가지로 QR 알고리즘은 슈르 분해의 상위 삼각 행렬의 대각선 항목인 주어진 행렬의 고유값을 계산하는 데 사용된다.QR 알고리즘은 공식적으로 무한정 작동 시퀀스지만 기계 정밀도에 대한 수렴은 실질적으로 ${\mathcal {O}}(n^{3})$ ( ${\mathcal {O}}(n^{3})$ n ${\mathcal {O}}(n^{3})$ ) ${\displaystyle {\mathcal {O}(n^{3})$ 작동에서 ${\mathcal {O}}(n^{3})$ 이루어진다.^[4]LAPACK 사용자 안내서의 비대칭 Eigenprobms 섹션을 참조하십시오.^[5]

적용들

거짓말 이론 적용은 다음을 포함한다.

모든 변환 불가능한 연산자는 보렐 그룹에 포함된다.
모든 조작자는 깃발 다지관의 한 지점을 고정한다.

일반화 슈르 분해

정사각형 행렬 A와 B가 주어진 경우 일반화된 슈르 분해 인자는 두 행렬을 $A=QSZ^{*}$ A $A=QSZ^{*}$ = Q $A=QSZ^{*}$ $A=QSZ^{*}$ ∗ ${\$ $B=QTZ^{*}$ = $B=QTZ^{*}$ $B=QTZ^{*}$ Z $B=QTZ^{*}$ { $B=QTZ^{*}$ {\ $displaystystyle$ B $=Q$ 로 나눈다.TZ $B=QTZ^{*}$ Q와 Z가 단일하며 S와 T는 상위 삼각형이다.일반화된 슈르 분해는 QZ 분해라고도 불린다.^[2]^{: 375}

일반화된 고유값 문제를 해결하는 $\lambda$ 일반화된 고유값 $\lambda$ $A\mathbf {x} =\lambda B\mathbf {x}$ = $A\mathbf {x} =\lambda B\mathbf {x}$ $A\mathbf {x} =\lambda B\mathbf {x}$ $A\mathbf {x} =\lambda B\mathbf {x}$ ${\$ 여기서 x는 알 수 없는 0 벡터)는 S의 대각선 요소의 비율로 계산할 수 있다.즉, 행렬 요소를 나타내기 위해 첨자를 사용하여 일반화된 고유값 $\lambda _{i}$ i ${\$ 를 $\lambda _{i}=T_{ii}/S_{ii}$ 시키면서 = $\lambda _{i}=T_{ii}/S_{ii}$ = $\lambda _{i}=T_{ii}/S_{ii}$ $/$ $\lambda _{i}=T_{ii}/S_{ii}$ {\ $displaystyle$ \ $lambda _{$ }=를 $\lambda _{i}$ 만족한다. $T_{i}/S_{i}}}$ .

참조

^ Horn, R.A. & Johnson, C.R. (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.(제2.3절 이상 79페이지)
^ ^a ^b Golub, G.H. & Van Loan, C.F. (1996). Matrix Computations (3rd ed.). Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8.(313페이지의 섹션 7.7)
^ Schott, James R. (2016). Matrix Analysis for Statistics (3rd ed.). New York: John Wiley & Sons. pp. 175–178. ISBN 978-1-119-09247-6.
^ Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997). Numerical linear algebra. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. pp. 193–194. ISBN 0-89871-361-7. OCLC 36084666.{{cite book}}: CS1 maint: 날짜 및 연도(링크)
^ Anderson, E; Bai, Z; Bischof, C; Blackford, S; Demmel, J; Dongarra, J; Du Croz, J; Greenbaum, A; Hammarling, S; McKenny, A; Sorensen, D (1995). LAPACK Users guide. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0-89871-447-8.

[horn1985-1] Horn, R.A. & Johnson, C.R. (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.(제2.3절 이상 79페이지)

[Golub1996-2] Golub, G.H. & Van Loan, C.F. (1996). Matrix Computations (3rd ed.). Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8.(313페이지의 섹션 7.7)

[3] Schott, James R. (2016). Matrix Analysis for Statistics (3rd ed.). New York: John Wiley & Sons. pp. 175–178. ISBN 978-1-119-09247-6.

[4] Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997). Numerical linear algebra. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. pp. 193–194. ISBN 0-89871-361-7. OCLC 36084666.{{cite book}}: CS1 maint: 날짜 및 연도(링크)

[5] Anderson, E; Bai, Z; Bischof, C; Blackford, S; Demmel, J; Dongarra, J; Du Croz, J; Greenbaum, A; Hammarling, S; McKenny, A; Sorensen, D (1995). LAPACK Users guide. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0-89871-447-8.

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