파울리 행렬

수학 물리학과 수학에서 파울리 행렬은 에르미트 행렬, 인벌리 행렬, 유니터리 ^[1]행렬의 집합이다.보통 그리스 문자 시그마(θ)로 나타내며, 아이소스핀 대칭과 함께 사용할 경우 타우(θ)로 나타내기도 한다.

이 행렬들은 물리학자 볼프강 파울리의 이름을 따서 명명되었다.양자역학에서, 그것들은 입자의 스핀과 외부 전자기장의 상호작용을 고려하는 파울리 방정식에서 발생합니다.또한 수평/수직 편파, 45도 편파(오른쪽/왼쪽) 및 원형 편파(오른쪽/왼쪽)에 대한 두 편파 필터의 상호 작용 상태를 나타냅니다.

각 파울리 행렬은 에르미트 행렬이며, 항등 행렬 I(때로는 0번째 파울리 행렬로₀ 간주됨)와 함께, 파울리 행렬은 2 × 2 에르미트 행렬의 실제 벡터 공간의 기초를 형성한다.즉, 모든 2 × 2 에르미트 행렬은 파울리 행렬의 선형 조합으로 독특한 방식으로 작성될 수 있으며, 모든 계수는 실수입니다.

에르미트 연산자는 양자역학에서 관측가능성을 나타내므로 파울리 행렬은 복잡한 2차원 힐베르트 공간의 관측가능성을 포괄한다.Pauli의 연구에서 θ는_k 3차원 유클리드 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$k번째 좌표 축을 따라 회전하는 관측 가능량을 나타낸다$.$ \$style \mathbb {R} ^{$$3$}$}$

파울리 행렬(i에 의한 반헤르미트 행렬)은 또한 리 대수의 의미에서의 변환을 생성한다: 행렬 i₁$,,$ i,, i₃ form는₂ 특수 유니터리 군 SU(2)^[a]를 지수화하는$$실제 리 $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ $($의$기초$를 형성한다.세 행렬 θ₁, θ에₂₃ 의해 생성되는 대수는 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $3의$클리포드 대수와 동형이며, iθ₁, iθ에₂₃ 의해 생성되는 (단순 연관) 대수는 4원소수(${\displaystyle \mathbb{}}$\$displaystyle \mathbb {H})$^{[citation needed]}의 대수와 실질적으로 동일하다.

대수적 성질

세 개의 Pauli 행렬을 모두 하나의 식으로 압축할 수 있습니다.

$\displaystyle _{j}=pmatrix_{j3}&\display_{j1}-i,\display_{j2}+i,\display_{j2}&\display_{j3}\end{pmatrix}}$

여기서, i = -1에 대한² 해는 "원단위"이고, θ는_jk 크로네커 델타이며, j = k이면 +1이고 그렇지 않으면 0이다.이 식은 j = 1, 2, 3의 값을 대입함으로써 숫자적으로 행렬 중 하나를 "수정"하는데 유용하며, 행렬 중 하나가 대수적 조작에 사용될 때 유용하다.

행렬은 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle _{1}^{2}=\display_{2}^=\display_{3}^2}=-i,\display_{1}\display_{2}=display_{3}=display_pmatrix}1&0&1\end{pmatrix}=나$

여기서 I는 아이덴티티 매트릭스입니다.

파울리 행렬의 행렬식 및 트레이스는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {j}\det _{j}&=,-1,\\operatorname {tr}\displaystyle _{j}&~=~~\;0~.\end { aligned}}$

이를 통해 각 행렬 θ의_jk 고유값이 +1과 -1임을 추론할 수 있다.

정체성 매트릭스의 포함으로, 저는(가끔 표시된 σ0)는 파울리 행렬}}, 모든 복잡한 2×2matrice의 힐베르트 공간 2×2헤르미 이트 매트릭스, H2{\displaystyle{{H\mathcal}}_{2}의 힐베르트 공간의 직교 기준(Hilbert–Schmidt의 의미에서)에 R{\displaystyle \mathbb{R}을 형성한다.s, ${\displaystyle {M2}_{\mathrm{},}}$ ${\displaystyle 2_{}}$(${\displaystyle C\mathbb{}}$)({style ${M}}_{2,2}(\mathbb {C$ $표시$).

고유 벡터 및 고유값

각 (헤르미트) Pauli 행렬에는 +1과 -1의 두 가지 고유값이 있습니다.대응하는 정규화 고유 벡터는 다음과 같습니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\psi _{x+}&.\와 같이 ={\frac{1}{\sqrt{2\,}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}};,&, \psi _{X좌표}&, ={\frac{1}{\sqrt{2\,}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\;,\\\psi _{y+}&, ={\frac{1}{\sqrt{2\,}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}\;,&, \psi _{y-}&, ={\frac{1}{\sqrt{2\,}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}.\;,\\\psi _{z+}&^{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\;,&\psi_{z-}&=caper{bmatrix}0\1\end{bmatrix}}~\end { aligned}}$

파울리 벡터

파울리 벡터는 다음과 같이 정의된다^[b].

$여기$서 x$$^ $({displaystyle {x$}$_{1$$\}),$ $x{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ $({$ $및{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ x${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ $({$은 $보다{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 친숙한 x$^$ {\$displaystyle$ {$x},$ y$$^ {$displaystyle}$및 $^$ {\$displaystyle$}의 표기법입니다.$yle${hat ${z$ 첨자 $표기{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$^ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$,${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$x${\displaystyle {}_{}}$^ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$, ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^$$ {$displaystyle$ {$x} {x}${\hat} {$x2},$ {\$hat$ {$x}$ {\hat}} {{\hat}}}은(는$)$ $이전$의${\displaystyle \stackrel{}{}}x{\displaystyle \stackrel{}{}^,y\stackrel{,}{}}$ $^$ {\$displaystyle$ {$x},$ {$x},$ {\$haty}$ {\hat} {\hat}} {\hat} {\hat} $형식$보다 콤팩트합니다.

파울리 벡터는 다음과 같이 벡터 베이스에서 파울리 매트릭스^[2] 베이스로의 매핑 메커니즘을 제공한다.

아인슈타인의 합계 규칙을 사용해서요.

좀 더 형식적으로 R $(\$^{3$})$에서 $트레이스$ 없는 $에르미트{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ×$(\displaystyle$ 2$\times$2) 행렬의$$ 벡터 공간까지의 지도를 정의합니다.이 맵은 $R3의 구조를$$$ 함수를 통해 노름 벡터 공간 및 $Lie$대수$($교차곱을 Lie 괄호로 함)로 인코딩하여 Lie 대수의 동형사상으로 만든다.이것은 표현 이론의 관점에서 파울리 행렬을 상호 윈터로 만든다.

Pauli 벡터를 2${\displaystyle }$×$$ (\$displaystyle$ 2$\times$2) $에르미트$ 트레이스리스 매트릭스 값의 ${\displaystyle {\text{듀얼}}_{}}$ 벡터, 즉 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$2 ×${\displaystyle {}_{}{2}_{}}$ ($C$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (}$ ( R${\displaystyle {}^{}{}^{}}$3 ) ${\$ \ $display style$ {$Mat} _${ 2 \$times 2$ （ $mathbbb${ C } ） \ times { 3 $^3}$ 。$플레이$스타일입니다$.$

완전성 관계

$→$$$각 구성 요소는 매트릭스에서 복구할 수 있습니다($아래$ 완전성 관계 참조$).$

$이$는 지도 a ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ a ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\displaystyle \mapsto }$ a → ${\displaystyle \sigma \stackrel{}{}}$ a $→$ $display$ → {$displaystyle$ { a$$} \ mapstyle { a } \ $cdot$ { $vec }$\ cdot { $vec }$과(와) 반비례하여 맵이 바이젝션임을 나타냅니다.

행렬식

노름은 행렬식(마이너스 부호까지)에 의해 주어집니다.

${\displaystyle \text{그럼}\mathrm{SU}}$의 활용 액션을 고려해보죠. ( 2${\displaystyle }$)$${ $displaystyle }$ { $text$ }$SU}}(2)$ $매트릭스$ U$(이$ 매트릭스 공간에서의 표시 $스타일$ U$$$)$

$displaystyle$$cdot$$=U\;{\vec {a}}\cdot {vec}\;$$U^{-1$

${\displaystyle det}$( ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \to }$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle det}$ ( ${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \to }$ { \ $displaystyle \$det ( $U$* { \ $vec${$a }$ } ) = \ det \ $vec { a$} =$cdot${$$a }$$${\displaystyle \backslash }stylestylestylestylestyle{\displaystyle }$ $→$ $display$ ${\displaystyle style\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ det ( U westylestylestylestylestylestylestylestylestylestylestyle \ \ \ \ \ \ )$$u we we we we we we we we we we we u u we we we \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$detdetdet$ \ \ \그런 다음 U ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\displaystyle \to }$ a → → a ${\displaystyle {\to }^{}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ → $σ$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}${\ =${\vec {a}\cdot {\vec$ {a$$$}}\cdot {\vec${$a}}$을 정의하는 것이 $타당$합니다. 여기서 a$$${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ $cdisplay$$style$ {$a}$은 표준과 같습니다.$$ 3차원 공간의 회전입니다.실제로 U$\displaystyle$U에$$ 대한 $특별$한 제한은 회전 방향이 유지되고 있음을 시사하는 것으로 나타났습니다.$이$를 통해 R${\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{SU}}$ ${\displaystyle (}$ 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \text{SO}}$(${\displaystyle 3}$ )$${ $displaystyle$ R : { \ $text$}의 맵을 정의할 수 있습니다.$SU}} (2)\오른쪽 화살표 {text}$$SO}}(3)$에 의해 주어짐

${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\to }}^{}{=}^{}=}$ (${\displaystyle R}$ (${\displaystyle U\stackrel{}{}}$ ) ${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ ) ${\displaystyle \to }$ → {\${\displaystyle display\stackrel{}{}}$ $→$ { $displaystyle$ U$*{\vec {a}}\cdot {cdvec {a}}$→ cdot {a}'\$cdvec$ {a} → rec {cdevec {$a}$→$rec$→ rec →$rec$ → $rec$ }

$여기$서 R ${\displaystyle (U}$ ${\displaystyle )\in }$ ${\displaystyle \text{SO}}$( ${\displaystyle 3}$ $)\$ $displaystyle$R ( U$)\ text {$$SO}}(3$ 이 지도는${\displaystyle \mathrm{SO}}$의 ${\displaystyle \text{이중}}$ 커버를 구체적으로 구현한 것입니다(3$).\displaystyle${\$text}$$SO}}(3)$ ${\displaystyle \text{SU<img alt="{displaystyle {text{SO}}(3)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/76ea569dfd0b7e75a686925ff43ea07e50e79526" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.072ex; height:2.843ex;">}}$ $)\displaystyle\text{$$SU}}(2$는 SU${\displaystyle (2)}$가 회전${\displaystyle (}$3$)하는$ ${\displaystyle \text{것}}$을 $나타냅니다$.\ displaystyle {$$text${\displaystyle }$}$SU}}$ ($2)\cong {text {Spin}}(3$R ${\displaystyle (U}$) { $displaystyle$ R$(U)}$의 구성요소는 위의 추적 프로세스를 사용하여 복구할 수 있습니다.

$({displaystyle R(U)_{ij}=black {1}{2}}{\text{tr}}\left(\text_{i}U\sigma_{j}U^{-1}\right)})$

크로스 프로덕트

교차곱은 매트릭스 정류자에 의해 주어집니다(최대 $(\displaystyle$2i$)).$

사실 노름의 존재는 $(\$이 리 대수라는 사실에서 비롯된다: 킬링 형식을 참조하라.

이 교차곱은 위 지도의 방향 보존 특성을 증명하는 데 사용할 수 있습니다.

고유값 및 고유벡터

a ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\displaystyle \cdot \sigma \stackrel{}{}}$ $→$ {\$displaystyle {a}\cdot${\$vec }$의 고유값은 ± ${\displaystyle a\stackrel{}{}}{\displaystyle \to }$ {\$displaystyle \pm {a$입니다. 이는 트레이스 없이 결정 요인을 명시적으로 계산합니다.

보다 추상적으로, 파울리 행렬의 명시적 특성이 필요한 행렬식을 계산하지 않고, 이는 (${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ ⋅ ${\displaystyle \to {}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $({\vec {a}}$ \$cdot${cdoc$}$ {{$vec$ {a}} → 0$2}-$ {{$cdec {a}$ ${\displaystyle \to }$ $0$$\}$으로 분해될 수 있기 때문이다.${\displaystyle )}$ ( ${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \to }$ + ${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ { $displaystyle${ \ $vec${ $a$} \ $cdot${ $vec${ $a }$ } - { \ $vec${ a } $） （$ \ $vec { a$ } + { $vec$ { a } $→$ 0$$） 。다항식에서의 선형 대수의 표준 결과는 선형 방정식을 만족하는 선형이다.$→$ ${\displaystyle$ {a$}\cdot$ {$vec$$}$은(는) 대각선이며 가능한${\displaystyle 고유값\stackrel{}{}}$ ±${\displaystyle \stackrel{}{}}$a${\displaystyle \stackrel{}{}\stackrel{}{\to }}$ ${\$${\displaystyle displaystyle\stackrel{}{}}$ {$pm$ {$a}}$$→$ ${\displaystyle$ {a}} → ${\displaystyle$} $cdot$ {$vec$}}의 $트레이스{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 없음은 각 고유값을 정확히 1개씩 가지고 있음을 의미합니다${\displaystyle \stackrel{}{.}}$

정규화된 고유 벡터는 다음과 같습니다.

파울리 4벡터

스피너 이론에서 사용되는 Pauli 4 벡터는 ${\displaystyle {\mu }^{}}${\$displaystyle \sigma ^{\mu$}} 성분으로$$ 표기되어 있습니다.

${\displaystyle ^{\mu }=(I,{\vec {\vec }})}$

${\displaystyle {}^{}}$은 R${\displaystyle {}^{}}$1, $(\$displaystyle $\mathbb {R}^{1,3})$에서 에르미트 행렬의 벡터 공간까지의 맵을 정의합니다.

$\displaystyle x_{\mu}\mapsto x_{\mu}\mapsto ^{\mu}$

또한 Minkowski 메트릭(대부분 마이너스 표기법)을 행렬식으로 부호화한다.

$\displaystyle \det(x_{\mu }\display^{\mu })=\eta(x,x).}$

이 4-벡터도 완전성 관계가 있습니다.두 번째 Pauli 4-벡터를 정의하는 것이 편리합니다.

$(*displaystyle {\bar }^{\mu }=(I,-{\vec {\vec })}$

민코프스키 메트릭 텐서를 사용하여 올리고 내릴 수 있다.그런 다음 관계를 기록할 수 있습니다.

Pauli 3 벡터의 경우와 마찬가지로 R${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$, $(\$에서 $등각선$으로 동작하는 매트릭스 그룹을 찾을 수 있습니다.이 경우 매트릭스 그룹은${\displaystyle }$SL (${\displaystyle 2\mathbb{},}$C$)\displaystyle {text}$입니다.$SL$$}}(2,\mathbb {C$ ${\displaystyle \text{SL}}$(${\displaystyle 2}$,${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle )\cong \mathrm{Spin}}$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$3 $).\displaystyle${\text${$$SL}}(2,\mathbb {C})\cong {text{Spin}}(1,$$3)$$}$ 위와$$ 마찬가지로 S${\displaystyle \text{sl}}$ ${\displaystyle \mathrm{SL}}$( ${\displaystyle 2\mathbb{}}$, $C$)\$displaystyle S\in$\$text{\displaystyle }$ {SL$}}(2,\mathbb {C})$ 컴포넌트$$ $포함$

${\displaystyle \Lambda (S)^{\mu }_{\nu }= scfrac {1}{2}}{\text{tr}\left\bar {\nu }}S\sigma ^{\dagger }\right.}$

실제로 결정식 속성은 $(\$의 트레이스 속성에서 추상적으로 나타납니다${\displaystyle .}$2 × ${\displaystyle 2}$(\$displaystyle$ 2$\times$2) 행렬의$$ $경우{\displaystyle \mathrm{}}$ 다음 ID가 유지됩니다.

$\displaystyle \det(A+B)=\det(A)+\det(B)+{\text{tr}}(A){\text{tr}}(AB)-{\text{tr}}(AB)}$

즉, '교차 용어'를 트레이스로 쓸 수 있습니다.A${\displaystyle ,}$ $({displaystyle$ A$,B})$가 다른 $({$ $\}\})$로 선택되면 $크로스{\displaystyle }$ 용어는 사라집니다.이어서 명시적으로 합계를 $나타냅니다$.det $(\underset{}{}{}_{}$ $x_{}$ μ ${\mu }^{}$μ ) $=\underset{}{}\mu$det ( $x_{}$ μ ${\mu }^{}\mu {}_{}$ ) . {$textstyle \det \left$( \ $sum$ _ { \ $mu }x$ _ { \ $mu$} \ $right$ ) = \ $sum$ _ { \ $mu }$ \ $det$ \$left$ \ { \ $mu }$} $행렬$은${\displaystyle 2}$× $2$이므로$$${\mu }_{}^{}$ ${\mathrm{}}_{}^{}\mu$ $\det$ (${}^{}{\mu }^{}$) =$μ$ ($$x$$, $x$) . {$textstyle$\sum _ { \$mu$}$$x$$_ { \ mu$}^{2}$ \ $det$ ( \ det ( \ $display$$^$ { \ $mu$ } ) = \$eta$( $x$, x ,$$x )$$。$}$

(반)환산관계

Pauli 행렬은 다음과 같은 변환 관계를 따릅니다.

$\displaystyle [\displaystyle _{i},\displaystyle _{j}=2i\varepsilon _{ijk},\displaystyle _{k}~,}$

여기서 구조 상수 θ는_ijk Levi-Civita 기호이며 아인슈타인 합산 표기법을 사용한다.

이러한 변환 관계에 의해 파울리 행렬은 리 대수$({\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3,${\displaystyle }$× )${\displaystyle }$ation ${\displaystyle \mathfrak{s}}$u (${\displaystyle 2}$ )${\displaystyle \mathfrak{o}}$ s${\displaystyle \mathrm{o}}$ (${\displaystyle }$3 )$$. \ $displaystyle$( \ $mathbb${ $R$} ^ {3} , \ $times$) \ $cong${$mathfrak { so$} ($2$ ) \ $cong$\$mathfrak${ so } ($$$3$ ) 。$}$

또한 다음과 같은 반소환 관계도 충족합니다.

${\displaystyle_{j},\display_{k}\}=2\display_{jk},I~,}$

여기서 θ는_jk 크로네커 델타이고, I는 2 × 2 항등 행렬이며, 합산 규칙이 사용됩니다.

이러한 반변환 관계에 의해 Pauli 행렬은 ${\displaystyle {}_{}}$3${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle \mathbb {R} ^{3$에 $대한{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 클리포드 대수 표현 생성자가 됩니다$.$ Cl 3 $displaystyle \text{Cl}}_{3$} (\$mathbb {R})$$}$

Clifford${\displaystyle }$대수를 사용한 ${\displaystyle \mathrm{일반적}}$인 $생성기{}_{}$ $\frac{1}{}$ i $j_{}{}_{}$ $1_{}$ $4$[ $j_{}$ i , ${}_{}$ j$]{ textstyle$ \ $sparam _$ { i } = ${\displaystyle \mathfrak{sparam}}$ $frac$ {$1 }{$4$}$ [ \ $display style$ \ $mathfrak${ $so }$ } } }$of$ of,,,,,,, s s s s s s s s the s s s the the the the the s s the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the

아래에 몇 가지 명시적 정류자 및 반 정류자를 예로 제시합니다.

정류자	반교합자
${\displaystyle {displaystyle _{1},\display _{2}\right]&=2i\display _{2}\left[\display _ {3}\right]&=2i\display _{1}\left [\displaystyle _ {3},\display _{1}\right }$	${\displaystyle\left\{\closed_{1},\closed_{1}\right\}&=2I\\left\{{1},\sigma _{2}\right\}&=0\left\{1},\sigma _{3}\right\}&=0\\left\{2}\right\}&=2I.\end { aligned}}$

도트 및 교차곱과의 관계

Pauli 벡터는 이러한 정류 및 반소환 관계를 대응하는 벡터 곱에 우아하게 매핑합니다.정류자를 안티커뮤테이터에 추가하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있습니다.

$(\displaystyle {displaystyle _ {j} \ right [\display_{j} \ displaystyle _ {j} \ display_ { k} \ right ] + (\ display_ { j} \ display_ { k} \ right } + \ { j } ) _ { right } )I&=2\sigma_{j}\sigma_{k}\end{aligned}}$

하도록,

방정식의 각 측면을 각 행렬 δ 및 벡터_q 성분_p a(및 b와 마찬가지로_q)에 대해 두 개의 3차원_p a와_q b의 성분(즉, aθ_pq = δa_qp)으로 수축시키면 산출된다.

$\displaystyle ~~{\display{j}b_{k}\display_{\ell}\display_{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon_{jk}),\display_{\ell}+\display_{jk}저는\right(오른쪽)\\a_{j}\caps_{k}\caps_{k}&=i\varepsilon_{jk},a_{j}b_{k}\caps_{\ell}+a_{j}b_{k}\capsups_{jk}I\end {aligned}}~~}$

마지막으로, 도트 곱과 교차곱의 지수 표기법을 번역하면 다음과 같은 결과가 됩니다.

${\displaystyle ~~{\Bigl (\vec {a}}\cdot {b}}{\vec {b}}\cdot {b}=cdBigl (}{\vec {a}}}\cd {b}}{\bigr}{\vec}{\c}{\c}{\cd}{\bigl}{\c}{\cd},$

(1)

pseudoscalar 「」로_xyz i가 식별되면, 우측은 ${\displaystyle 「b}$ ${\displaystyle +}$ $(\displaystyle$ a$\cdot$ b$+a\wedge$ b$)$가 $됩니다{\displaystyle }$.이것은 기하학적 대수에서 2개의 벡터의 곱에 대한 정의이기도 합니다.

만약 우리가 J은 회전 연산자.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .d을 정의한다.En{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}ħ/2σ, J시 교환 관계:.

또는 동등하게 파울리 벡터는 다음을 만족한다.

일부 추적 관계

다음 트레이스는 정류 및 반소환 관계를 사용하여 도출할 수 있습니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{tr}\left(\sigma_{j}\right)&,=0\\\operatorname{tr}\left(\sigma_{j}\sigma_{k}\right)&, =2\delta _{jk}\\\operatorname{tr}\left(\sigma_{j}\sigma_{k}\sigma_{\ell}\right)&, =2i\varepsilon _{jk\ell}\\\operatorname{tr}\left(\sigma_{j}\sigma_{k}\sigma_{\ell}\sigma_{m}\right)&, =2\lef.t(\delta _{jk}\delta _{\ell m}-\control _{j\ell}\control _{km}+\control _{jm}\control _{k\ell}\right}\end {aligned}}}$

행렬 θ₀ = I도 고려한다면, 이러한 관계는

${\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{tr}\left(\sigma_{\alpha}\right)&, =2\delta _{0\alpha}\\\operatorname{tr}\left(\sigma_{\alpha}\sigma_{\beta}\right)&, =2\delta _{\alpha \beta}\\\operatorname{tr}\left(\sigma_{\alpha}\sigma_{\beta}\sigma_{\gamma}\right)&,=2\sum _{(\alpha \beta \gamma)}\delta _{\alpha \beta}\del.있을 거_{0\gamma}-4\delta _{0\alpha}\delta _{0\beta}\delta _{0\gamma}+2i\varepsilon _{0\alpha\beta \gamma}\\\operatorname{tr}\left(\sigma_{\alpha}\sigma_{\beta}\sigma_{\gamma}\sigma_{\mu}\right)&, =2\left(\delta_{\alpha \beta}\delta_{\gamma \mu}-\delta_{\alpha \gamma}\delta_{\beta \mu}+\delta_{\alpha \mu}\delta_{\beta \gamma}\right)+4\.left(\cape _{\alpha \alpha }\cape _{0\alpha }+\cape _{0\alpha }\cape _{0\alpha }\right)-8\cape _{0\alpha }\capeamply _{0\cape }\cape }\cape _{0\cape }\cape } } } }$

여기서 그리스 지수 α, β, δ 및 μ는 {0, x, y, z}의 값을 가정하며, 포함된 지수의 주기적 치환에 대한 합계를 나타내기 위해 $\underset{}{\mathrm{표기법}}$β ($α ...$ ) \$sum _{(\alpha$ \ldots $)}$를 사용한다.

파울리 벡터의 지수

위해서

$(\displaystyle\vec {a}}=ahat {n}},\hat {n}=1,})$

1은 짝수의 거듭제곱에 대해 2p, p = 0, 1, 2, 3, ...이다.

${\displaystyle({\hat {n}}\cdot {vec}^2p}=나$

p = 1의 경우 반소환 관계를 사용하여 먼저 나타낼 수 있습니다.편의상, 관례상 대소문자 p = 0은 I로 간주된다.

홀수 거듭제곱의 경우 2q + 1, q = 0, 1, 2, 3, ...

${\displaystyle\lefthat {n}\cdot {vec}{2q+1}=cdot {n}\cdot {n},}$

행렬을 지수화하고 사인 및 코사인 Taylor 시리즈를 사용하여

$1$$}&=\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {i^{k}\left[a\lefthc\hat {n}}\cdot {vec}\$$right}$$^{k}}{k!$$}}\&=\sum _{p=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{p}(ahat {n}}\cdot {vec {bec }^2p}{(2p)!$$}}+i\sum _{q=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{q}(a\frac {n}}\cdot {{vec}{2q+1}}{(2q+$$1)}!$$}}\&=I\sum _{p=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{p}a^{2p}{(2p)!$$}+ihat {n}\cdot {vec {n}\sum _{q=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{2q+1}}{(2q+$$1)}{!$$}}\\end{$aligned

마지막 줄에서 첫 번째 합은 코사인이고 두 번째 합은 사인입니다. 따라서 마지막으로,

${\displaystyle ~~e^{ia\lefthat {n}}\cdot {vec}\right}=I\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {vec {sigma}}\sin {a}~}$

(2)

이것은 오일러의 공식과 유사하며 4분의 1까지 확장된다.

주의:

${\displaystyle det}$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a\stackrel{}{}}$( n${\displaystyle \stackrel{}{}}$^${\displaystyle }$^ ${\displaystyle \sigma \sigma \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ )${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {a\mathrm{}}^{}}$2 \ $displaystyle$\$det[ia det$ \ hat ${n}$ \ $cdot${ $vec$} =$a^$ {$2$ ,

반면 지수 자체의 행렬식은 1에 불과하며, 이는 SU(2)의 일반 그룹 요소로 만든다.

일반 2 × 2 행렬에 대한 보다 추상적인 공식 (2)의 버전은 행렬 지수에 대한 기사에서 찾을 수 있다.해석(a 및 -a) 함수에 대한 (2)의 일반 버전은 실베스터 공식의 ^[3]적용을 통해 제공된다.

${\displaystyle f(a displaystyle {n}}}\cdot {vec } =I {\frac {f(a)+f(-a)}{2}}+{\hat {n}\cdot {vec {sigma}}{\frac {f(a)-f(-a)}}{2}}~}$

SU(2)의 군구성법칙

식 (2)의 간단한 적용은 군 SU(2)^[c]의 구성법칙의 파라미터화를 제공한다.의 c에 대해 직접 해결할 수 있습니다.

$(*displaystyle\displaystyle\left hat {n}\cdot {bec}\left hat {m}\cdot {bec}\cdot {bec}\left hat {m}\right}&=난 왼쪽(cos a cos b-{hat {n}} cdot + i-left hat {n} ) cos b+{\hat {m} \ sin b-{\hat {n} \ cos a-{\hat {n} \ sin a-{\hat {n} \ cdcdcdot cd cdc 。I\cos {c}+i\left hat {k}\cdot {vec }\sin c^{ic } left hat {k}\cdot {vec },\end {aligned}$

일반적인 그룹의 곱셈을 지정합니다.여기서, 명백하게,

${\displaystyle\cos c=\cos a-{\hat {n}\cdot {m}\sin a\sin b~,}$

코사인 구면 법칙c가 주어지면,

${\displaystyle {hat {k}}=sinfrac {1}{\sin c}\lefthat {n}\sin b+{\hat {m}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {hat {m}}\sin a\sin b\right}~}.$

따라서 이 그룹 요소(이 경우 각 BCH 확장의 닫힌 형태)의 복합 회전 매개변수는 단순히 다음과^[4] 같다.

(물론 n$^$ {$displaystyle$ {$n$$}}$이${\displaystyle \stackrel{}{(}}$가)$$m ^$$${displaystyle${m$\}$과) 평행한 $경우{\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle \stackrel{}{}}$k$^$ {$displaystyle$ {$k$ 및 c = a + b도 $마찬가지$입니다.)

인접 액션

마찬가지로 Pauli 벡터에 대한 인접 작용, 즉 $임의$의 축을 따라 $임의$의 각도$$$$n$^\${n$\}:$

${\displaystyle R_{n}(-a)~{\vec }~R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\lefthat {n}}\cdot {cdec }\right}}~{\vec }~e^{-i-frac {a}{2}}\lefthat {n}\cdot {vec}\right=csvec {cos(a)}+{hat {n}\times {vec }~{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {n}~(1-\cos(a)~}).$

위의 공식으로 단위 벡터의 도트곱을 취하면 임의의 회전 하에서 임의의 단일 큐비트 연산자의 식이 생성됩니다.$예$를 들어 R${}_{}{y}_{}$( - $\frac{2}{}$ 2$$)${\sigma }_{}$ $x{}_{}{}_{}$ $R_{}$y ( $\frac{2}{}$ 2)$=$ $x\stackrel{}{}$^ $^$（ $y\stackrel{}{}$× $\sigma \stackrel{}{}$ $\to$ ） $=$ $z$z { \ $textstyle$ R _ { $y$} { \ $mathord${ \$frac${ $pi$} { $2$} } } } 、 \ $right$ _ $right$ _ x {$x$ , r } { r } { r } { $mathord$} } { r } { y } } { } } { } } } } } } {\ {\ 。$}}=cdot$ {$x}\cdot$\left $hat {y}\times {vec$} =$\cdot _{z$ $。$

완전성 관계

파울리 행렬에 일반적으로 사용되는 대체 표기법은 벡터 지수 k를 윗첨자로 쓰고 행렬 지수를 첨자로 쓰는 것이다. 따라서 k번째 파울리 행렬의 행 α와 열 β의 요소는 θ가 된다.

이 표기법에서, 파울리 행렬에 대한 완전성 관계를 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\vec }_{\alpha \cdot }_{\vec \sum }{k=1}^{3}\cdot _{\alpha }=2,\cdot _{\alpha \cdisplay }_{\cdisplaystypa }_{\cd}_{\cd}{\cdot }$

상기와 같이 2 × 2 단위행렬을 θ로₀ 나타내는 것이 일반적이므로 θ⁰_αβ = θ로_αβ 나타낸다.완전성 관계는 대체적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

어떤 에르미트 복소수 2 × 2 행렬도 항등 행렬과 파울리 행렬의 관점에서 표현될 수 있다는 사실은 또한 2 × 2 혼합 상태의 밀도 행렬인 (단위 추적을 가진 양의 반정의 2 × 2 행렬)의 블로흐 구 표현으로 이어진다.이것은 우선 임의의 에르미트 행렬을 위와 같이 {θ₀, θ₁, θ₂, θ₃}의 실제 선형 조합으로 표현한 후, 양의-반무한 및 트레이스 1 조건을 적용함으로써 볼 수 있다.

순수한 상태의 극좌표에서는

등가 밀도 행렬

는 상태고유 (cos ( ) e + i sin( ( 2)\ $displaystyle${ displaystyle { $pmatrix$}\$cos \ left frac${ , \ $theta$\ $phi },$\ $right$)&$e^$ { +$i$ \ $frac$ { \ sin \ thi }, \ $thatrix }{$ \ } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } }

치환 연산자와의 관계

P를 텐서 곱 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$_k ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ c C2 c C2$${ { $displaystyle \mathbb {C}$^{$2} \otimes$ \$mathbb {C}$^{2}$$^{2$}}$의 두 스핀 사이의_j 전위(일명 치환)라고 하자_jk.

$\displaystyle P_{jk}\left \langle _{j}\langle =\left \langle _{k}\langle ~}$

이 연산자는 더 명시적으로 Dirac의 스핀 교환 연산자로 쓸 수도 있습니다.

$({displaystyle P_{jk}=paramfrac {1}{2}},\leftfaram\vec{j}\cdot{vec}_{k}+1\right)~})$

따라서 고유값은 1 또는 -1입니다^[d].따라서 대칭 고유 상태와 반대칭 고유 상태의 에너지 고유 값을 분할하여 해밀턴에서 상호작용 항으로 사용할 수 있습니다.

SU(2)

군 SU(2)는 단위 행렬식을 갖는 단위 2 × 2 행렬의 Lie 군이다. 그 Lie 대수는 추적 0을 갖는 모든 2 × 2 반헤르미트 행렬의 집합이다.위와 같이 직접 계산하면 라이 대수 $s{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle u_{\mathrm{}}}$ 2$({$는 집합 {iσ_k}에 걸쳐 있는 3차원 실수 대수임을 알 수 있습니다.콤팩트 표기법에서는

${\displaystyle {mathfrak {su}(2)=\operatorname {span} \{\;i,\operatorname {span} \{1},\;i,\param _{2},\;i,\param _{3}\;\}~.}$

그 결과, 각 iθ는_j SU(2)의 극소량 발생기로 볼 수 있다.SU(2)의 원소는 이들 3개의 생성기의 선형 조합의 지수이며, 파울리 벡터를 논할 때 위에서 설명한 것과 같이 곱한다.이것은 SU(2)를 생성하는 데 충분하지만 Pauli 고유값은 관례에 따르지 않고 스케일링되므로 SU(2)의 적절한 표현은 아니다.일반적인 정규화는 θ = 1/2이므로,

${\displaystyle {mathfrak {su} (2)=\operatorname {span} \left\{\frac {,i,\frac _{1},}{2},{\frac {,i,\frac _{2},{2},{,\frac {,i,\frak _3},{2},{2}},{,{,{,i},{,},{,},{,},{,},{,{,},},},{,},{,{,},},{},$

SU(2)는 콤팩트 그룹이기 때문에 카르탄 분해는 간단하다.

SO(3)

라이 $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{s}}$u($2)$ {style {mathfrak {su$}}(2)$는 라이 대수${\displaystyle \mathrm{s}}$ o(3$)$ {displaystyle {$mathfrak {so}(3$와 동형입니다.이는 3차원 공간에서의 회전군인 라이 군 SO(3)에 해당합니다.즉, iθ는_j 3차원 공간에서의 극소 회전의 실현이라고 말할 수 있다.단, $)$ {$displaystyle$ {$mathfrak {su}}($$2)$ $및$ $)$는 Lie 대수와 동형이지만 SU(2)와 SO(3)는 Lie 군과 동형이 아닙니다.SU(2)는 실제로 SO(3)의 이중 덮개이며, 이는 SU(2)에서 SO(3)까지 2대 1 그룹 동형성이 있음을 의미한다. SO(3)와 SU(2)의 관계를 참조한다.

쿼터니온스

{I, i₁, i₂, i₃}의 실선형 스팬은 기저${\displaystyle }$벡터 {${\displaystyle 1,}$ i${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle j,}$ ${\displaystyle k\mathbf{}\}}$의 스팬으로 표현되는 4분의 1의 실대수 $H(\backslash$$displaystyle \mathbb$${$1$},\mathbb$ {$f})$와 동형이다$.$$$ H$${\$displaystyle \mathbb {H}}$에서 이 집합으로의 동형사상은 다음 맵에 의해 제시된다(Pauli 행렬의 역부호에 주의).

$\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\mapsto - {2} \mapsto _{1} \mapsto _{3} \mapsto _{3} \mapstyle _{1} \mathbf {i, \mapsto _{2}-i} \mapsto {i} \mapsto} \mathbf {i}}$

또는 파울리 행렬을 역순으로 ^[5]사용하는 지도에 의해 동형성을 달성할 수 있다.

$\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i,\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto i,\sigma _{2},\quad \mapsto i,\sigmatbf {1}~}.$

한 쌍의 버서 U $h{\displaystyle \mathbb{}}$ H$(\$는 SU(2)와 동형군을 형성하므로 U는 SU(2)를 기술하는 또 다른 방법을 제공한다.SU(2)에서 SO(3)까지의 2대 1 동형은 이 공식에서 파울리 행렬의 관점에서 주어질 수 있다.

물리

고전 역학

고전 역학에서 파울리 행렬은 케일리-클레인 ^[6]매개변수의 맥락에서 유용합니다.공간상의 점의 $위치{\displaystyle \stackrel{}{}}$ x $→$ {\$displaystyle {x}}$에 대응하는 행렬 P는 위의 Pauli 벡터 행렬로 정의된다.

${\displaystyle P=vec {x}\cdot {vec}=x,\cdot _{x}+y,\cdlock _{y}+z,\cdlock _{z}~.}$

이것에 의해 각도θ를 매개로 한 x축의 회전용 변환행렬_θ Q를 Pauli행렬 및 단위행렬로^[6] 다음과 같이 쓸 수 있다.

${displaystyle Q_{\theta}={1},\cos {frac {theta } {2}+i,\cisco _{x}\sin {frac {theta } {2}}~}$

위에서 상술한 바와 같이 일반적인 Pauli 벡터 회전에도 유사한 표현이 뒤따른다.

양자역학

양자역학에서, 각 파울리 행렬은 3개의 공간 방향 각각에서 스핀 1⁄2 입자의 스핀을 기술하는 관측치에 해당하는 각운동량 연산자와 관련된다.상기 카르탄 분해의 직접적인 결과로서 iθ는_j 스핀 1⁄2를 갖는 비상대론적 입자에 작용하는 회전군 SO(3)의 투영 표현(스핀 표현)의 발생자이다.입자의 상태는 2성분 스피너로 표현됩니다.마찬가지로 Pauli 행렬은 아이소스핀 연산자와 관련이 있습니다.

스핀 1⁄2 입자의 흥미로운 특성은 원래 구성으로 돌아가기 위해서는 4µ의 각도로 회전해야 한다는 것입니다.이는 위에서 언급한 SU(2)와 SO(3)의 2대 1 대응과 2구² S의 북극/남극으로 스핀 업/다운을 시각화하지만 실제로는 2차원 복소수 힐버트 공간에서 직교 벡터로 표현되기 때문이다.

스핀 1⁄2 입자의 경우, 스핀 연산자는 SU(2)의 기본 표현인 J = δ/2µ로 주어진다.이 표현의 크로네커 곱을 반복적으로 취함으로써, 모든 더 높은 축소 불가능한 표현을 구성할 수 있다.즉, 3개의 공간 차원, 임의의 큰 j에 대한 높은 스핀 시스템의 결과 스핀 연산자는 이 스핀 연산자와 래더 연산자를 사용하여 계산할 수 있습니다.이들은 회전 그룹 SO(3) a 리 대수에 대한 주기에서 찾을 수 있다.스핀 행렬의 관점에서 군 요소인 파울리 행렬에 대한 오일러 공식의 위의 일반화 아날로그 공식은 다루기 쉽지만 덜 ^[7]단순하다.

또한 다중입자 시스템의 양자역학에서 유용한 일반 파울리 군_n G는 파울리 행렬의 모든 n배 텐서 곱으로 구성되도록 정의된다.

상대론적 양자역학

상대론적 양자역학에서 4차원의 스피너는 4×1(또는 1×4) 행렬이다.따라서 파울리 행렬 또는 이러한 스피너에서 동작하는 시그마 행렬은 4 × 4 행렬이어야 합니다.이들은 2 × 2 파울리 행렬의 관점에서 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathsf } _ {k} = {pmatrix} {\mathsf } _ {k} & 0 & {\mathsf } _ {k} \ end {pmatrix} }}$

$이$ 정의에 따라 δ_k${\displaystyle {}_{}}$k 행렬은 δ 행렬과 동일한 대수적 특성을 $갖는다.$

그러나 상대론적 각운동량은 3벡터가 아니라 2차 4텐서이다.따라서 ${\displaystyle {\delta }_{}}$ k$(\$는 스피너의 로렌츠 변환 생성기인 δ로_μν 대체해야 합니다.각운동량의 반대칭에 의해 δ도_μν 반대칭이다.따라서 독립적인 행렬은 6개뿐입니다.

첫 번째 3개는 ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ j ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ≡ ${\displaystyle {}_{}{\mathsf{}}_{}}$. { $displaystyle$\ ; \ $Sigma$_ { $jk$} \ $equiv$\ $epsilon$_ { $jk$\$ell$} { \ $mathsf${ $Sigma }$} _ { $j$} ~} 입니다.$$ $나머지$ 3개${\displaystyle }$- i ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ k${\displaystyle {}_{}{\alpha \alpha }_{}{}_{}}$k$$, \ $displaystyle$ \ ;-i$$, \ $Sigma$_ { $0k$} \ $equiv$\ $mathsf$\$$} \ { $k$} \ ; 。여기서 Dirac_k α 행렬은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle {\mathsf {\alpha } _ {k} = pmatrix {\mathsf } _ {k} \ {\mathsf } _ {k} & 0 \ end {pmatrix} ~ .}$

상대론적 스핀 행렬 δ는_μν 감마 행렬의 정류자의 관점에서 다음과 같이 콤팩트하게 작성된다.

$\displaystyle \Sigma _{\mu \nu } = spec frac {i} {2}} \left [ \ spec _ { \ mu } , \ spec _ { \ nu } \ right ] ~ . }$

양자 정보

양자 정보에서 단일 비트 양자 게이트는 2 × 2 단위 행렬입니다.Pauli 매트릭스는 가장 중요한 단일 큐비트 연산 중 하나입니다.이러한 맥락에서 위에 주어진 카르탄 분해는 "단일 비트 게이트의 Z-Y 분해"라고 불립니다.다른 카르탄 쌍을 선택하면 유사한 "단일 큐비트 게이트의 X-Y 분해"를 얻을 수 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 3차원 스피너
• 감마 행렬
  • § Dirac 기준
• 각운동량
• 겔-만 행렬
• 푸앵카레 군
• 파울리 행렬의 일반화
• 블로치 구
• 오일러의 사방정식
• Pauli 행렬의 높은 스핀 일반화 방법은 스핀(물리학) » 높은 스핀을 참조하십시오.
• 교환 행렬(첫 번째 Pauli 행렬은 순서 2의 교환 행렬)

언급

메모들

레퍼런스

• Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
• Schiff, Leonard I. (1968). Quantum Mechanics. McGraw-Hill. ISBN 978-0070552876.
• Leonhardt, Ulf (2010). Essential Quantum Optics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-14505-3.