바이벡터

수학에서 바이벡터 또는 2벡터(bibector)는 외형대수나 기하대수에서 스칼라와 벡터의 사상을 확장하는 수량이다. 만약 스칼라를 0도 양으로 간주하고 벡터를 1도 양으로 본다면, 바이벡터는 2도라고 생각할 수 있다. 생체 공학자들은 수학과 물리학의 많은 분야에 응용을 한다. 그것들은 2차원의 복잡한 숫자와 관련이 있고, 3차원의 유사 원자와 쿼터니언 둘 다와 관련이 있다. 그것들은 임의의 수치의 회전을 생성하는 데 사용될 수 있으며, 그러한 회전을 분류하는 데 유용한 도구다. 그것들은 또한 물리학에 사용되어, 다른 많은 관련 없는 양들을 묶는다.

벡터에 있는 외부 제품에 의해 바이브레이터가 생성된다. 벡터 a와 b가 2개인 경우, 외부 제품 a ∧ b는 바이브레이터로, 모든 바이브레이터의 합이다. 모든 바이브레이터가 하나의 외부 제품으로 생성될 수 있는 것은 아니다. 더 정확히 말하면, 외부 제품으로 표현할 수 있는 바이벡터를 단순이라고 부른다. 최대 3차원에서는 모든 바이벡터가 단순하지만, 더 높은 차원에서는 그렇지 않다.^[1] 벡터 2개의 외부 제품은 교대로 이루어지므로 b a a는 bivector a b b의 부정이며, producing a는 0 bibector이다.

기하학적으로 벡터를 지시선 세그먼트로 생각할 수 있는 만큼 단순한 이벡터를 지향적인 평면 세그먼트로 해석할 수 있다.^[3] bivector a ∧ b는 가장자리 a와 b가 있는 평행사변형 면적과 동일한 크기를 가지며, a와 b가 가로지르는 평면의 자세를 가지며, a와 b를 정렬하는 회전 감각으로 방향성을 가진다.^[3][4]

비전문적인 측면에서 어떤 표면도 동일한 면적, 동일한 방향을 가지며 동일한 평면에 평행한 경우 동일한 바이브레이터가 된다(그림 참조).

역사

바이벡터는 1844년 독일의 수학자 헤르만 그라스만(Hermann Grassmann)이 두 벡터의 외부 제품의 결과로 외부 대수학에서 처음 정의했다. 바로 그 전 해에 아일랜드에서 윌리엄 로완 해밀턴은 쿼터니온을 발견했다. 1888년 영국의 수학자 윌리엄 킹던 클리퍼드가 해밀턴과 그라스만의 사상을 모두 통합하여 그라스만의 대수학에 기하학적 산물을 첨가하고 클리포드 대수학을 창시하고 나서야 오늘날 알려진 바이벡터가 충분히 이해되었다.

이 무렵 요시야 윌러드 깁스와 올리버 허비사이드에서는 벡터 미적분학을 개발했는데, 여기에는 쿼터니온 곱셈에서 파생된 교차 제품과 도트 제품이 각각 포함되어 있었다.^[5][6][7] 벡터 미적분학의 성공, 그리고 깁스와 윌슨의 '벡터 분석'이라는 책은 20세기 많은 수학·물리학이 벡터 용어로 공식화되었기 때문에 해밀턴과 클리포드의 통찰이 오랫동안 간과되는 효과를 가져왔다. 깁스는 벡터를 사용하여 3차원에서 이벡터의 역할을 채웠고, 관련 없는 수량을 설명하기 위해 "이벡터"를 사용했는데, 이는 때때로 복사된 용법이다.^[8][9][10] 오늘날 바이브레이터는 2차 형태를 가진 실제 또는 복잡한 벡터 공간 위에 클리포드 대수인 기하학적 대수학에서 주제로서 크게 연구되고 있다. 그것의 부활은 다른 것들과 함께 물리학의 새로운 적용 범위에 기하학적 대수학을 적용했던 David Hestenes에 의해 주도되었다.^[11]

파생

이 글의 경우 바이벡터는 실제 기하학적 알헤브라스에서만 고려될 것이다. 모든 유용한 어플리케이션은 그러한 알헤브라스로부터 추출되기 때문에, 실제로 이것은 큰 제약이 아니다. 또한 달리 명시되지 않는 한, 모든 예는 유클리드 메트릭과 따라서 양립할 수 없는 2차 형태를 가진다.

기하대수와 기하학적 산물

이벡터는 벡터 공간에 걸친 기하학적 생산물의 정의에서 비롯된다. 벡터 a, b, c의 경우 벡터의 기하학적 산출물은 다음과 같이 정의된다.

연관성

${\displaystyle(\mathbf {ab} )\mathbf {c} =\mathbf {a}(\mathbf {bc} )}$

좌우분산율

${\displaystyle {\mathbf {b} +\mathbf {c}(\mathbf {ab} +\mathbf {ac} \(\mathbf {b} +\mathbf {c})\mathbf {a} &=\mathbf {ca}{ca}{ca}}}} \mathbineed}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 정렬됨$

수축

${\displaystyle {\mathbf {a}^{2}=Q(\mathbf {a} )=\epsilon _{\mathbf {a}{}{\왼쪽 \mathbf {a} \오른쪽 }^{2}}$

여기서 Q는 2차 형태, a는 a의 크기, ϵ은_a 미터법 서명이다. 유클리드 미터법 ϵ이_a 1인 공간의 경우 생략할 수 있으며 수축 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathbf {a}^{2}={\\왼쪽 \mathbf {a} \오른쪽 }^{2}}:$

인테리어 제품

연상성으로부터 a(ab) = ab², 스칼라는 b를 곱한다. b가 a의 스칼라 배수와 평행하지 않고 따라서 a의 스칼라 배수가 아닌 경우, ab는 스칼라가 될 수 없다. 그렇지만

${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}(\mathbf {ab} +\mathbf {ba} )={\frac {1}{1}{2}}\좌(\mathbf {a} +\mathbf {b} )^{2}-\mathbf {b}{b}{2}\오른쪽)}$

스칼라의 합이다. 그래서 스칼라의 합이다. 벡터에 의해 형성된 삼각형의 코사인 법칙에서 그 값은 b cos θ이며 여기서 θ은 벡터 사이의 각이다. 따라서 두 벡터 사이의 내부 제품과 동일하며, 동일한 방법으로 작성된다.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{1}2}}(\mathbf {ab} +\mathbf {ba}).}$

대칭이며 스칼라 값이 매겨져 있으며, 특히 a와 b가 직교하는 경우 제품이 0인 경우 두 벡터 사이의 각도를 결정하는 데 사용할 수 있다.

외부 제품

내부 제품이 다른 양의 기하학적 제품의 대칭 부분으로서 공식화될 수 있듯이, 외부 제품(때로는 "웨지" 또는 "진행형" 제품이라고도 함)은 비대칭 부분으로서 공식화될 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ={\frac {1}{1}2}}(\mathbf {ab} -\mathbf {ba} )}$

a와 b에서 비대칭이다.

${\displaystyle \mathbf {b} \mathbf {a} ={\frac {1}{1}:{2}}(\mathbf {ba} -\mathbf {ab} )=-{{1}{1}{{1}(\mathbf {bf} -\ba} )=-\\mathbf {b} \mathbf {bf {b} \a} \a} \mathbf {b}}}} \mathb}}}}}}}}}}} \mathb$

그리고 추가로:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {ab} +\mathbf {ba} )+{\frac {1}{2}}(\mathbf {ab} -\mathbf {ba} )=\mathbf {ab} }$

즉, 기하학적 제품은 대칭 내부 제품과 대칭 외부 제품의 합이다.

∧ b의 성질을 조사하려면 공식을 고려한다.

${\displaystyle(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}-(\mathbf {a})^{2}=\mathbf {a}^{2}\mathbf {b} ^{2}, {b} ^{2},}}}},}$

피타고라스 삼각계 정격을 사용하여 (a ∧ b)²의 값을 제공한다.

${\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}-\mathbf {a} ^{2}\mathbf {b} ^{2}=\left \mathbf {a} \right ^{2}\left \mathbf {b} \right ^{2}(\cos ^{2}\theta -1)=-\left \mathbf {a} \right ^{2}\left \mathbf {b} \right ^{2}\sin ^{2}\theta }$

음의 사각형으로는 스칼라나 벡터 수량이 될 수 없기 때문에 새로운 종류의 물체, 즉 바이벡터다. 그것은 b sin θ의 크기를 가지고 있는데 여기서 θ은 벡터들 사이의 각도이며, 따라서 병렬 벡터의 경우 0이다.

벡터와 구별하기 위해 다음과 같이 굵은 대문자로 양변기를 쓴다.

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =-\mathbf {b} \wedge \mathbf {a} \,}$

비록 다른 규칙들이 사용되지만, 특히 벡터와 이벡터들은 기하학적 대수학의 두 요소들이다.

특성.

공간 ⋀²Rⁿ

기하학적 산물에 의해 생성되는 대수학은 벡터 공간 위의 기하학적 대수다. 유클리드 벡터 공간의 경우 $G{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 또는$$ Cl_n(R)으로 표기되며, 여기서 n은 벡터 공간의 치수다ⁿ. Cl_n(R)은 벡터 공간과 대수 둘 다이며, R의ⁿ 벡터 사이에 있는 모든 제품에 의해 생성되므로 모든 벡터와 바이버터를 포함한다. 벡터 공간으로서 보다 정확하게는 서브알지브라는 아니지만 선형 서브스페이스로서 벡터와 이벡터를 포함하고 있다(두 벡터의 기하학적 산물이 일반적으로 다른 벡터는 아니기 때문이다). 모든 이벡터의 공간은 ⋀²R로ⁿ 표기되어 있다.^[12]

짝수 지브라

이브렉터에 의해 생성되는 아발지브라(Subalgebra)는 Cl⁺
_n(R)라고 쓰여진 기하학 대수학의 짝수 아발지브라다. 이 대수학은 기하학적 산물에 의해 생성되는 스칼라와 이벡터의 모든 산물을 고려하는 데서 비롯된다. 그것은,와 치수 .mw-parser-output는 선형 부분 공간 .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{로 ⋀2Rn가 들어 있치수 2n−1다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆬ1(n− 1)(삼각형 번호). 2차원과 3차원에서 짝수 지압기는 오직 스칼라와 이벡터만을 포함하고 있으며, 각각은 특히 관심이 많다. 2차원에서는 짝수 서브골라가 복합수인 C에 이형성인 반면, 3차원에서는 쿼터니온에 이형성인 반면, H. 보다 일반적으로 짝수 서브골라가 어떤 차원에서도 회전을 일으키는데 사용될 수 있고, 대수학에서는 이형성에 의해 생성될 수 있다.

규모

앞의 절에서 언급한 바와 같이, 단순 바이벡터의 크기는, 즉 두 벡터 a와 b의 외부 제품인 bsin θ이며, 여기서 θ은 벡터 사이의 각이다. B라고 쓰여 있는데, 여기서 B는 바이벡터다.

일반 이벡터의 경우 공간 ⋀²R에서ⁿ 벡터로 간주되는 이벡터의 규범을 취하여 크기를 계산할 수 있다. 만약 크기가 0이면, 모든 바이벡터의 성분은 0이고, 바이벡터는 기하 대수학의 요소로서 스칼라 0과 같은 제로 바이벡터다.

단위 이벡터

단위 바이벡터는 단위 크기를 가진 것이다. 그것은 0이 아닌 어떤 바이벡터로부터도 그 크기, 즉 그 크기로 나누어 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\mathbf {B}{\\왼쪽 \mathbf {B} \오른쪽 }}.}$

특히 관심이 있는 것은 표준 기준의 제품에서 형성된 단위 생체 측정기다. e와_i e가_j 구별되는 기본 벡터라면 e_i ∧ e 제품은_j 바이벡터다. 벡터가 직교하기 때문에 이것은 단지_ij ee, 쓰여진_ij e, 벡터가 단위 벡터인 것처럼 단위 크기를 가지고 있다. 그러한 모든 이벡터들의 집합은 ⋀²R의ⁿ 기초를 형성한다. 예를 들어 4차원에서 ²⋀R의⁴ 기본은 (e₁₂, e₁₃, e₁₄, e₂₃, e, ee₂₄) 또는₃₄ (e₁₂₁₃, e, e₁₄, e₂₃, e, e₂₄₃₄)이다.^[13]

심플 이벡터

벡터 2개의 외부 제품은 바이벡터지만 모든 바이벡터가 2개의 벡터의 외부 제품은 아니다. 예를 들어, 4차원에서 이벡터는

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}}$

두 벡터의 외부 제품으로 쓸 수 없다. 벡터 2개의 외관 제품으로 쓸 수 있는 바이벡터는 간단하다. 2차원 및 3차원에서는 모든 이벡터가 단순하지만 4차원 이상에서는 그렇지 않다; 4차원에서는 모든 이벡터가 최대 2개의 외부 제품을 합한 것이다. 바이벡터는 단순한 경우에만 실제 정사각형을 가지며, 단지 단순한 이벡터만이 지향적인 평면 영역에 의해 기하학적으로 표현될 수 있다.^[1]

두 개의 이벡터 제품

A와 B라는 두 이벡터의 기하학적 산물은

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {B}}}$

수량 A b B는 스칼라 가치 인테리어 제품이고, A ∧ B는 4차원 이상 발생하는 4등급 외장 제품이다. A × B 수량은 bibector 값 commutator 제품이며, 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {A} \time \mathbf {B} ={\frac {1}{1}:{2}}(\mathbf {AB} -\mathbf {BA}),}$^[14]

바이벡터 ⋀²R의ⁿ 공간은 R에 대한 Lie 대수이며, 정류자 제품은 Lie Bracket으로 한다. 이벡터의 완전한 기하학적 산물은 짝수형 아발지브라를 생성한다.

특히 관심이 있는 것은 자기 자신을 가진 바이벡터의 산물이다. 정류자 제품이 대칭성이기 때문에 제품은 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}}$

바이브레이터가 단순하면 마지막 항은 0이고 제품은 A valued A로 평가되는 스칼라로, 단순성 확인으로 사용할 수 있다. 특히 2차원의 외부 제품은 4차원 이상만 존재하기 때문에 2차원과 3차원의 모든 2차원은 단순하다.^[1]

2차원

기하 대수에서 좌표로 작업할 때, 여기서 사용될 기본 벡터를 (e₁₂, e, ...)로 쓰는 것이 보통이다.

실제 2차원 공간 R의² 벡터는 a = ae₁₁ + ae라고₂₂ 쓸 수 있으며, 여기서₁ a와₂ a는 실제 숫자, e와₁ e는₂ 정형 기초 벡터다. 그러한 두 벡터의 기하학적 산물은

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{를}\mathbf{b}&=(a_{1}\mathbf{e}_{1}+a_{2}\mathbf{e}_{2})(b_{1}\mathbf{e}_{1}+b_{2}\mathbf{e}_{2})\\&, =a_{1}b_{1}\mathbf{e}_{1}\mathbf{e}_{1}+a_{1}b_{2}\mathbf{e}_{1}\mathbf{e}_{2}+a_{2}b_{1}\mathbf{e}_{2}\mathbf{e}_{1}+a_{2}b_{2}\mathbf{e}_{2}\mathbf{e}_{2}\\&, =a_{1}b_{1}+a._{2}b_{2}+ 것_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.\end{정렬}}}$

이 제품은 대칭, 스칼라, 내부 제품과 대칭, 이벡터 등 외부 제품으로 나눌 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2},\\\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} &=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}.\end{정렬}}}$

2차원의 모든 이벡터는 벡터보다는 이벡터라는 것을 강조하기 위해 쓰여진₁₂ 이벡터 ee의₁₂ 배수인 이 형태의 것이다. e의₁₂ 크기는 1이며,

${\displaystyle \mathbf {e} _{12}^{2}=-1,}$

그래서 그것은 유닛 바이벡터라고 불린다. 단위 바이벡터라는 용어는 다른 차원에서도 사용할 수 있지만 2차원에서는 (표지판까지) 고유하게 정의되어 있을 뿐이며 모든 바이벡터는 e의₁₂ 배수다. 대수 e의₁₂ 가장 높은 등급 원소로서 기호 i가 주어지는 가성분 또한 된다.

콤플렉스

음의 제곱과 단위 크기의 특성으로 단위 바이벡터는 복잡한 숫자의 가상 단위로 식별할 수 있다. 이벡터와 스칼라는 함께 복잡한 숫자 C에 이형화된 기하 대수학에서 짝수 아등분자를 형성한다. 짝수 하위게브라에는 기초(1, e₁₂), 전체 대수에는 기초(1, e, e₁₂, e₁₂)가 있다.

복잡한 숫자들은 대개 좌표 축과 2차원 벡터로 식별되는데, 이는 이들을 기하학 대수학의 벡터 원소와 연관시키는 것을 의미한다. 축을 실제 축으로 식별해야 하는 일반적인 벡터에서 복잡한 숫자로 전환하기 위해서는 이에 모순이 없다고 e는₁ 말한다. 이것은 모든 벡터를 곱하여 짝수 지브라 원소를 생성한다.

복잡한 숫자의 모든 성질은 이벡터로부터 파생될 수 있지만, 두 가지는 특히 흥미롭다. 첫 번째는 바이브레이터의 복잡한 숫자의 제품과 마찬가지로 짝수 하위 지브라는 상쇄적이다. 이는 2차원에서만 해당되므로, 공통성에 의존하는 2차원에서의 바이벡터의 성질은 일반적으로 더 높은 차원으로 일반화되지 않는다.

둘째, 일반 바이브레이터는 쓸 수 있다.

${\displaystyle \theta \mathbf {e} _{12}=i\theta ,}$

여기서 θ은 진짜 숫자다. 이것을 지수 지도를 위해 테일러 시리즈에 넣고 속성₁₂² e = -1을 사용하면 오일러 공식의 바이벡터 버전이 생성된다.

${\displaystyle e^{\theta \mathbf {e} _{12}=e^{i\theta }=\coses {\theta }+i\sin {\theta}}}}$

어떤 벡터에 곱하면 원점에 대한 각도 θ을 통해 벡터가 회전한다.

${\displaystyle (x'\mathbf {e} _{1}+y'\mathbf {e}_{2}=(x\mathbf {e} _{1}+y_mathbf {e} _{2}}e^{i\ta}}}}}$

2차원의 이벡터를 가진 벡터의 생산물은 반공작용이기 때문에 다음의 생산물은 모두 같은 회전을 발생시킨다.

${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {v} e^{i\theta}=e^{-i\theta}=e^{\frac {-i\theta}{2}}\mathbf {v} e^{\frac {i\ta}{}}}.}$

이 중 마지막 제품은 더 높은 차원으로 일반화되는 제품이다. 필요한 양을 로터라고 하며 기호 R이 주어지기 때문에 2차원에서는 각도 θ을 통해 회전하는 로터를 쓸 수 있다.

${\displaystyle R=e^{\frac {-i\theta }{2}}=e^{\frac {-\\theta \mathbf{e} _{12}}}$

그리고^[15] 그것이 생성하는 회전은

${\displaystyle \mathbf {v} '=R\mathbf {v} R^{-1}\,}$

삼차원

3차원에서는 두 벡터의 기하학적 산출물이

${\displaystyle {\regated}\mathbf {ab} &=(a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}}\mathbf {e} _{3})(b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+b_{3}}\mathbf {e} _{3})\\&=a_{1}b_{1}{\mathbf {e} _{1}}^{2}+a_{2}b_{2}{\mathbf {e} _{2}}^{2}+a_{3}b_{3}{\mathbf {e} _{3}}^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.\end{정렬}}}$

이를 대칭, 스칼라, 내부 제품과 대칭, 이벡터, 외부 제품으로 나눌 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\\\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} &=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{23}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {e} _{31}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}.\end{정렬}}}$

3차원에서는 모든 이벡터가 단순해서 외부제품의 결과물이다. 단위 바이벡터 e₂₃, e₃₁, e는₁₂ 그 자체로 3차원 선형 공간인 바이벡터 ⋀²R의³ 공간에 대한 기초를 형성한다. 따라서 일반 바이브레이터가 다음과 같은 경우:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{23}\mathbf {e} _{23}+A_{31}\mathbf {e} _{31}+A_{12}\mathbf {e} _{12}}}}$

벡터처럼 추가할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =(A_{23}+B_{23})\mathbf {e} _{23}+(A_{31}+B_{31})\mathbf {e} _{31}}\mathbf {e}.$

곱하면 다음과 같은 결과를 낳는다.

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =-A_{23}B_{23}-A_{31}B_{31}-A_{12}B_{12}+(A_{12}B_{31}-A_{31}B_{12})\mathbf {e} _{23}+(A_{23}B_{12}-A_{12}B_{23})\mathbf {e} _{31}+(A_{31}B_{23}-A_{23}B_{31})\mathbf {e} _{12}}$

다음과 같이 대칭 스칼라와 대칭 바이벡터 부분으로 분할할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} &=-A_{12}B_{12}-A_{31}B_{31}-A_{23}B_{23}\\\mathbf {A} \times \mathbf {B} &=(A_{23}B_{31}-A_{31}B_{23})\mathbf {e} _{12}+(A_{12}B_{23}-A_{23}B_{12})\mathbf {e} _{13}+(A_{31}B_{12}-A_{12}B_{31})\mathbf {e} _{23}.\end{정렬}}}$

3차원의 2개의 이벡터 외관제품은 0이다.

바이벡터 B는 그 크기의 산물로서 단위 바이벡터로서 쓸 수 있으므로, B에 대해서는 β를 쓰고 지수 지도에 대해서는 Taylor 시리즈를 사용한다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle e^{\mathbf{B}}=e^{\beta {b}}}{\beta}}=\cos {\beta}+{\beta}{\mathbf {B}}{\beta}}}}}}$

이것은 오일러의 공식의 또 다른 버전이지만, 3차원의 일반 바이벡터를 가지고 있다. 2차원에서와 달리 2차원에서와 달리, 2차원에서의 이벡터는 서로 상통하지 않기 때문에 상통성에 의존하는 성질은 3차원에서 적용되지 않는다. 예를 들어 일반적으로 e e^A+B e는^AB 3(또는 그 이상) 치수로 표시된다.

3차원의 완전한 기하학 대수학인 Cl₃(R)은 기초 (1₁, e, e₂, e₃₂₃, e, e_3112123)를 가지고 있다. 원소 e는₁₂₃ 기하학에 대한 3각형 및 유사형이다. 3차원의 이벡터는 아래에서 논의한 바와 같이 서로 관련이 있는 유사벡터로^[16] 식별되는 경우가 있다.

쿼터니온스

이벡터는 기하학적 산물 밑에 닫히지 않고, 짝수 서브골라가 있다. 3차원에서는 기하대수의 모든 스칼라 원소와 이벡터 원소로 구성되므로, 일반적인 원소는 예를 들어 a + A를 쓸 수 있는데, 여기서 a는 스칼라 부분이고 A는 이벡터 부분이다. Cl이라고⁺
₃ 쓰여 있고, 근거 (1, e₂₃, e₃₁, e₁₂)가 있다. 짝수 하위골격의 두 가지 일반적인 요소의 산물은

${\displaystyle(a+\mathbf {A})=ab+\mathbf {B} +b\mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \time \mathbf {B}.}}$

스칼라와 이벡터로 구성된 대수학인 짝수 지브라는 쿼터니온 H와 이형성이다. 이는 바이벡터 내부 제품 A ⋅ B의 음극 제품과 관련된 기호의 변경을 제외하고, quaternion 제품과 동일한 quaternion basis 또는 위의 제품에서 quaternion basis를 비교함으로써 알 수 있다. 다른 쿼터니온 속성은 기하학적 대수학과 유사하게 관련될 수 있다.

이것은 보통 쿼터니온을 스칼라와 벡터 부품으로 분할하는 것이 스칼라와 이벡터 부품으로 분할하는 것으로 더 잘 표현될 것임을 시사한다; 만약 이것이 이루어진다면 쿼터니온 제품은 단지 기하학적 제품일 뿐이다. 그것은 또한 3차원의 쿼터니온을 2차원의 복잡한 숫자와 연관시킨다. 각 쿼터는 더 높은 차원으로 일반화하는 관계인 치수에 대해 짝수 서브골라와 이형성이기 때문이다.

회전 벡터

회전 벡터는 회전의 축-각 표현에서 나오는 회전 벡터는 3차원으로 회전을 나타내는 콤팩트한 방법이다. 그것의 가장 컴팩트한 형태에서, 전체 회전 벡터 Ω의 크기가 (서명된) 회전각 θ과 (서명되지 않은) 회전각과 같도록 회전축인 단위 벡터 Ω의 크기는 (서명되지 않은) 회전각과 같다.

회전과 관련된 쿼터는

${\displaystyle q=\left(\cos \lefts\frac {}{2}}\오른쪽)\오메가 \sin \leftfr\fract\}$

기하 대수학에서 회전은 이벡터로 표현된다. 이것은 쿼터니언에 대한 그것의 관계에서 볼 수 있다. Ω을 회전면의 단위 바이벡터가 되게 하고, Ω을 회전각으로 한다. 그러면 회전 바이브레이터는 Ωθ이다. 쿼터니온은 바이벡터 Ωθ의 절반의 지수화에 근접하게 대응한다. 즉, 쿼터니온의 성분은 다음 식의 스칼라와 이벡터 부분에 해당한다.

지수란 파워 시리즈로 정의할 수 있으며, Ω 제곱이 -1이라는 사실을 이용하여 쉽게 평가할 수 있다.

그래서 회전은 이벡터로 표현될 수 있다. 쿼터니온이 기하 대수학의 요소인 것처럼, 그것들은 그 대수에서 기하학적 지도에 의해 연관되어 있다.

로터스

바이벡터 Ωθ은 지수 지도를 통해 회전을 생성한다. 생성되는 짝수 원소는 일반 벡터를 3차원으로 쿼터니온과 동일한 방식으로 회전시킨다.

2차원처럼, 수량 e를^-Ωθ/2 로터라고 하고 R이라고 쓴다. 수량 e는^Ωθ/2 R이고⁻¹, 그들은 다음과 같이 회전을 발생시킨다.

이것은 2차원과 동일하지만, 여기 회전자는 쿼터니온에 이형화된 4차원 물체를 제외한다. 이것은 모든 차원으로 일반화할 수 있으며, 단위 크기를 가진 짝수 서브골라의 원소가 바이브레이터의 지수 지도에 의해 생성된다. 회전 그룹 위에 이중 커버를 형성하므로 회전 장치 R과 -R은 동일한 회전을 나타낸다.

행렬

이벡터는 스큐 대칭 행렬에 대해 이형성이며, 일반 이벡터 Be₂₃₂₃ + Be₃₁₃₁ + Be₁₂₁₂ 매트릭스에 매핑된다.

${\displaystyle M_{B}={\begin{pmatrix}0&B_{12}&-B_{31}\\-B_{12}&B_{23}\B_{31}&B_{23}&B_{23}&0\end{pmatrix}}}.}$

양쪽에 벡터를 곱한 이 벡터는 벡터와 바이벡터의 산물에서 외부 산물을 뺀 것과 동일한 벡터를 제공한다. 예를 들면 각속도 텐서(각속도 텐서)가 있다.

스큐 대칭 행렬은 지수 지도를 통해 결정 인자 1로 직교 행렬을 생성한다. 특히 회전과 관련된 이벡터의 지수는 회전 행렬인데, 이는 위의 스큐 대칭 행렬이 주는 회전 행렬 M이다_R.

${\displaystyle M_{R}=e^{M_{B}}.}$

M에서_R 설명한 회전은 로터 R에서 설명한 회전과 동일하다.

${\displaystyle R=e^{\frac {B}{2}},}$

또한 매트릭스_R M은 로터 R에서 직접 계산할 수 있다.

${\displaystyle M_{R}(R\mathbf{e}_{1}R^{-1})\cdot\mathbf{e}_{1}&,(R\mathbf{e}_{2}R^{-1})\cdot\mathbf{e}_{1}&,(R\mathbf{e}_{3}R^{-1})\cdot\mathbf{e}_ᆵ\\(R\mathbf{e}_{1}R^{-1})\cdot\mathbf{e}_{2}&,(R\mathbf{e}_{2}R^{-1})\cdot\mathbf{e}_{2}&,(R\mathbf{e}_{3}R^{-1})\cdot\mathbf{e}_{2}\\(R\math.bf{e}_{1}R^{)}}\cdot \mathbf {e} _{3}&(R\mathbf {e} _{2}R^{-1}\cdot \mathbf {e} _{3}R^{-1}}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{pmatrix}}.}$

이벡터는 회전 행렬의 고유값과 관련이 있다. 회전 행렬 M이 주어진 경우 고유값은 해당 행렬 0 = det(M - λI)에 대한 특성 방정식을 풀어서 계산할 수 있다. 대수학의 근본적인 정리에 의해 이것은 3개의 뿌리를 가지고 있다(이 중 오직 1개의 고유벡터, 즉 회전의 축이 하나밖에 없기 때문에 그 중 오직 하나의 뿌리가 실재한다). 다른 뿌리는 복잡한 결합 쌍임에 틀림없다. 그들은 회전각인 회전과 관련된 바이벡터의 크기와 동일한 순전히 가상의 로그인 단위 크기를 가지고 있다. 복합 고유값과 연관된 고유 벡터는 바이브레이터의 평면에 있으므로, 두 개의 비병렬 고유 벡터의 외부 제품은 바이브레이터(또는 그 배수)를 초래한다.

축 벡터

회전 벡터는 축 벡터의 예다. 축 벡터 또는 유사 벡터는 그들의 좌표가 원점, 평면에서의 반사 또는 기타 방향 반전 선형 변환을 통해 반전되는 일반적인 벡터("극 벡터"라고도 함)에 상대적인 신호 변화를 겪는 특수 기능을 가진 벡터다.^[17] 예를 들어 토크, 각도 운동량 및 벡터 자기장과 같은 양이 포함된다. 벡터 대수에서 축 벡터를 사용할 수 있는 수량은 기하 대수에서 이벡터로 적절하게 표현된다.^[18] 보다 정확히 말하면, 기초 방향을 선택하면 축 벡터가 통상적인 벡터로 자연적으로 식별된다; Hodge 이중은 축 벡터와 이형체 사이의 이형성을 제공하므로, 각 축 벡터는 양형체와 연관되어 있고 그 반대의 경우도 마찬가지다.

${\displaystyle \mathbf {A} =*\mathbf {a} \...\mathbf {a} \mathbf {A}}$

여기서 ∗은 Hodge 듀얼을 나타낸다. 원점을 통한 역전에 의해 기저 방향의 역방향으로 되어 있는 경우, 일반적인 벡터와의 축 벡터 식별과 Hodge 이중 변경 부호가 모두 있지만, 양방향 벡터는 꿈쩍도 하지 않는다는 점에 유의한다. 또는 Cl₃(R)의 pseudoscalar 단위를 사용하여 i = eee가₁₂₃ 부여한다.

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {a} i\hr\quad \mathbf {a} =-\mathbf {A} i.}$

이것은 제품이 단지 기하학적 제품이기 때문에 사용하기 더 쉽다. 그러나 (2차원에서와 같이) 단위 유사체 i는 -1로 제곱하기 때문에 하나의 제품에서 음이 필요하기 때문에 대칭성이 없다.

이러한 관계는 결정요인으로 기록될 때 동일한 방식으로 계산되는 벡터 평가 교차 제품 및 바이벡터 평가 외부 제품과 같은 작동으로 확장된다.

${\displaystyle \mathbf{}\times, b_{3}\end{vmatrix}}\,,\quad\mathbf{를}, b_\mathbf{b}={\begin{vmatrix}\mathbf{e}_{23}&,\mathbf{e}_{31일}&,\mathbf{e}_{12}\\a_{1}&, a_{2}&, a_{3}\\b_{1}& \wedge{2{b}={\begin{vmatrix}\mathbf{e}_{1}&,\mathbf{e}_{2}&,\mathbf{e}_{3}\\a_{1}&, a_{2}&, a_{3}\\b_{1}&, b_{2}& \mathbf.}&b_{3}\end{vmatrix}}년,}$

Hodge 듀얼에 의해 관련된다.

${\displaystyle {*(\mathbf {a} \mathbf {b}}=\mathbf {a\mathbf {b}=\mathbf {b}}\mathbf {a}=\mathbf {b}}}}}$

이벡터는 축 벡터보다 많은 장점이 있다. 그들은 축 벡터와 극 벡터를 구별하는 것이 좋으며, 그것은 그들이 나타내는 수량이므로, 어떤 연산이 허용되고 어떤 결과가 허용되는지 더 명확하다. 예를 들어, 3중 곱에서 교차 곱에서 발생하는 극 벡터와 축 벡터의 내부 곱은 유사하게 나타나야 하며, 그 결과는 계산이 벡터와 이벡터의 외부 곱으로 틀에 박혀 있으면 더욱 명백하다. 그것들은 다른 차원에 일반화된다; 특히 이벡터를 사용하여 토크와 각운동량과 같은 양을 2차원뿐만 아니라 3차원에서도 설명할 수 있다. 또한 다음 절에서 보듯이 여러 가지 면에서 기하학적 직관과 밀접하게 일치한다.^[19]

기하학적 해석

그들의 이름과 대수학에서 제시된 바와 같이, 이벡터의 매력 중 하나는 그들이 자연적인 기하학적 해석을 가지고 있다는 것이다. 이것은 어떤 차원에서도 설명할 수 있지만, 더 높은 차원에 적용되기 전에 더 친숙한 물체로 평행선을 그릴 수 있는 세 가지 측면에서 가장 잘 수행된다. 2차원에서는 공간은 2차원적이어서 평면이 하나뿐이고, 모든 이벡터는 스케일 팩터에 의해서만 달라지기 때문에 기하학적 해석은 사소한 것이다.

모든 이벡터는 평면으로 해석될 수 있으며, 또는 더 정확히 지시된 평면 세그먼트로 해석할 수 있다. 3차원에서는 기하학적으로 해석할 수 있는 이벡터의 세 가지 특성이 있다.

• 공간에서의 평면 배치, 정확히 평면의 자세(또는 평면의 회전, 기하학적 방향 또는 기울기)는 이벡터 구성요소의 비율과 관련이 있다. 특히, 3개의 기본 바이브레이터, e₂₃, e₃₁ 및 e₁₂ 또는 이들의 스칼라 배수는 각각 yz-plane, zx-plane 및 xy-plane과 연관되어 있다.
• 이벡터의 크기는 평면 세그먼트의 영역과 연관된다. 그 부위는 특별한 형태가 없기 때문에 어떤 형태든 사용할 수 있다. 그것은 심지어 각도 측정과 같은 다른 방법으로도 표현될 수 있다. 그러나 벡터가 길이로 해석되는 경우, 이벡터는 일반적으로 다음과 같이 동일한 단위를 가진 영역으로 해석된다.
• 벡터의 방향과 마찬가지로, 이벡터와 연관된 평면은 평면 내에 방향, 순환 또는 회전 감각을 가지고 있는데, 평면에서는 볼 수 없는 관점으로 볼 때 시계 방향과 시계 반대 방향으로 보이는 두 개의 값을 취한다. 이는 바이벡터의 기호 변경, 즉 방향이 뒤바뀐 경우 바이벡터가 부정되는 것과 관련이 있다. 또는 두 이벡터가 같은 태도와 크기를 가지고 있지만 반대 방향이라면 한 방향은 다른 방향의 음이다.
• 벡터의 원점이 0인 평행사변형으로 상상되는 경우, 서명된 영역은 벡터의 데카르트 좌표(b_{xyx y} - ba)의 결정 요인이다.^[20]

3차원에서는 벡터 2개의 외부 제품에 의해 모든 이벡터가 생성될 수 있다. 이벡터 B가 ∆ b이면 B의 크기는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {B} \오른쪽 =\왼쪽 \mathbf {a} \오른쪽 \mathbf {b} \오른쪽 \sin {\theta}}}$

여기서 θ은 벡터 사이의 각도다. 이것은 도표에 나타난 바와 같이 가장자리 a와 b가 있는 평행사변형의 영역이다. 한 가지 해석은 이 지역이 a를 따라 이동하면서 b에 의해 휩쓸려 나간다는 것이다. 외부 제품은 대칭성이기 때문에 a와 b의 순서를 거꾸로 하여 b를 따라 이동하면 반대 방향인 1의 음의 바이벡터가 된다. bivector a b b의 평면은 a와 b를 모두 포함하므로 둘 다 평면에 평행하다.

바이브렉터와 축 벡터는 Hodge dual에 의해 연관되어 있다. 실제 벡터 공간에서 Hodge 이중은 직교 보완물과 하위 공간을 연관시키므로, 만약 이벡터가 평면으로 표현된다면, 그것과 연관된 축 벡터는 단순히 평면의 표면 정상이다. 평면은 양쪽에 각각 하나씩 두 개의 정규식을 가지고 있으며, 평면과 이벡터에 대해 두 개의 가능한 방향을 제시한다.

이것은 교차 제품을 외부 제품과 연관시킨다. 또한 토크와 각도 운동량과 같은 물리적 양을 나타내기 위해 사용될 수 있다. 벡터 대수학에서 그것들은 보통 벡터로 표현되며, 힘의 평면에 수직이고, 그들이 계산된 선형 운동량 또는 변위에 의해 표현된다. 그러나 만약 이벡터를 대신 사용한다면, 평면은 이벡터의 평면이기 때문에, 양과 그들이 행동하는 방식을 나타내는 더 자연스러운 방법이다. 또한 벡터 표현과는 달리 다른 차원으로 일반화된다.

두 개의 이벡터의 산물은 기하학적 해석을 가지고 있다. 0이 아닌 이벡터 A와 B의 경우 다음과 같이 제품을 대칭 부분과 대칭 부분들로 나눌 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \mathbf {B} .}$

벡터와 마찬가지로 이들은 크기 A ⋅ B = A B cos θ과 A × B = A sin θ을 가지고 있다. 여기서 θ은 평면 사이의 각도다. 3차원에서는 평면에 이중인 정상 벡터 사이의 각도와 동일하며, 높은 차원에서는 어느 정도 일반화된다.

바이브레이터는 영역으로 함께 추가될 수 있다. 두 개의 0이 아닌 B와 C를 3차원에서 볼 때, 항상 두 가지 모두에 포함된 벡터를 찾을 수 있으므로, a, 즉, 이 두 벡터는 a와 관련된 외부 제품으로 기록될 수 있다.

${\displaystyle {\begin}\mathbf {B} &=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \\mathbf {C} &=\mathbf {a} \wedge \mathbf {c} \mathbf {c} \ligned}}}}}}}}}}}}}}}}$

이것은 도표에서 보는 것처럼 기하학적으로 해석될 수 있다: 두 영역은 합쳐서 3을 주고, 세 영역은 a, b, c, b + c를 가장자리로서 프리즘의 면을 형성한다. 이는 외부 제품의 분포도를 사용하여 면적을 계산하는 두 가지 방법에 해당한다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\mathbf {B} +\mathbf {C} &=\mathbf {a} \wedge \mathbf {c}\&=\mathbf {a} \mathbf {c} \mathbf {c} \mathbf {c} \c} \c} \mathbf {c} \c} \wedge.\end{정렬}}}$

이것은 두 개의 이벡터에 평행한 벡터가 존재해야 하는 유일한 차원이기 때문에 3차원에서만 작동한다. 더 높은 차원에서는 일반적으로 이벡터가 단일 평면과 연관되지 않거나, (단순 이벡터)인 경우, 두 이벡터가 공통적으로 벡터가 없을 수 있으며, 따라서 비단순 이벡터에 대한 합이 될 수 있다.

4차원

4차원에서 이벡터의 공간 ⋀²R에⁴ 대한 기본 요소는 (e₁₂₁₃, e₁₄, e, e₂₃₂₄₃₄)이므로 일반적인 이벡터는 형식이다.

${\displaystyle \mathbf {A} =a_{12}\mathbf {e} _{12}+a_{13}\mathbf {e} _{13}+a_{14}\mathbf {e} _{14}+a_{23}\mathbf {e} _{23}+a_{24}\mathbf {e} _{24}+a_{34}\mathbf {e} _{34}.}$

직교성

4차원에서 이벡터의 호지 듀얼은 바이벡터, 공간 ⋀²R은⁴ 그 자체로 이중이다. 일반 벡터는 고유하지 않으며, 대신 모든 평면이 Hodge 이중 공간의 모든 벡터와 직교한다. 이것은 다음과 같은 방법으로 이뇌전자를 두 개의 '할브'로 분할하는데 사용될 수 있다. 우리는 세 쌍의 직교 이형사를 가지고 있다: (e₁₂, e₃₄), (e₁₃₂₄, e) 그리고 (e₁₄, e₂₃) 처음 두 쌍에서 각각 한 쌍의 바이벡터를 고르는 네 가지 뚜렷한 방법이 있으며, 일단 이 두 쌍을 고르면 다른 쌍으로부터 세 번째 바이벡터를 산출한다. 예: (e₁₂, e₁₃, e₁₄) 및 (e₂₃, e₂₄, e₃₄)

4D의 간단한 이벡터

4차원에서는⁴ R에서 벡터의 외부 제품에 의해 이벡터가 생성되지만 R과³ R과의² 중요한 차이점이 하나 있다. 4차원에서는 모든 이벡터가 단순하지는 않다. 두 벡터의 외부 제품으로는 생성할 수 없는 e₁₂+e와₃₄ 같은 이벡터가 있다. 이것은 또한 그들이 진짜, 즉 스칼라, 사각형을 가지고 있지 않다는 것을 의미한다. 이 경우

${\displaystyle (\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34})^{2}=\mathbf {e} _{12}\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{12}\mathbf {e} _{34}+\mathbf {e} _{34}\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}\mathbf {e} _{34}=-2+2\mathbf {e} _{1234}.}$

원소₁₂₃₄ e는 클에₄ 있는 가성체로서 스칼라와 구별되므로 사각형은 비성형이다.

4차원의 모든 이벡터는 최대 2개의 외부 제품과 4개의 벡터를 사용하여 생성할 수 있다. 위의 바이브레이터는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}.}$

마찬가지로, 모든 이벡터는 두 개의 단순한 이벡터의 합으로 쓰여질 수 있다. 이를 위해 직교 이비경을 두 개 선택하는 것이 유용하며, 이것은 항상 가능하다. 더욱이 일반 바이브레이터의 경우 단순 바이브레이터의 선택은 고유하다. 즉, 직교 바이브레이터로 분해하는 방법은 단 하나뿐이다. 유일한 예외는 두 직교 바이브레이터의 크기가 같은 경우(위의 예와 같이): 이 경우 분해는 고유하지 않다.^[1] 직교 부분 중 하나가 0이라는 보너스를 더하여 단순 이형사의 경우 분해는 항상 고유하다.

회전수(R⁴)

4차원의 3차원 이벡터는 지수 지도를 통해 회전을 발생시키며, 모든 회전을 이러한 방식으로 발생시킬 수 있다. B가 바이브레이터인 경우 3차원처럼 로터 R은 e이고^B/2 회전은 동일한 방식으로 발생한다.

${\displaystyle v'=RvR^{-1}\,}$

그러나 생성된 회전은 더 복잡하다. 다음과 같이 분류할 수 있다.

단순 회전은 평면을 4D로 고정하고 이 평면에 대해 "약" 각도로 회전하는 회전이다.

이중 회전은 원점인 하나의 고정된 점만을 가지고 있으며, 두 개의 직교 평면에 대하여 두 각도를 통하여 회전한다. 일반적으로 각도가 다르고 평면이 고유하게 지정된다.

등각 회전은 회전 각도가 동일한 이중 회전이다. 이 경우 회전이 발생하는 평면은 고유하지 않다.

이것들은 이브렉터에 의해 직접 생성된다. 단순 회전은 단순 이벡터에 의해 생성되며, 고정 평면으로 이벡터의 평면에 직교 또는 이중 평면으로 생성된다. 회전은 바이벡터의 평면에서 그 평면에 대해 일어난다고 말할 수 있다. 다른 모든 이벡터들은 이중 회전을 생성하며, 회전의 두 각도는 비단순 이벡터들이 구성하는 두 개의 단순한 이벡터들의 크기와 동일하다. 등심 회전은 이러한 크기가 동일할 때 발생하며, 이 경우 두 개의 단순한 이벡터로 분해되는 것이 고유하지 않다.^[21]

일반적으로 바이브레이터는 통근하지 않지만, 한 가지 예외는 직교 바이브레이터와 그 지수다. 따라서 B와₁ B가₂ 직교 단순 바이벡터인 B = B₁ + B를₂ 사용하여 회전을 생성하면 다음과 같이 통근하는 두 개의 간단한 회전으로 분해된다.

${\displaystyle R=e^{\frac {\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2}}{2}}=e^{\frac {\mathbf {B} _{1}}{2}}e^{\frac {\mathbf {B} _{2}}{2}}=e^{\frac {\mathbf {B} _{2}}{2}}e^{\frac {\mathbf {B} _{1}}{2}}}$

모든 이형사는 직교 이형체의 합으로 표현될 수 있기 때문에 항상 이것을 할 수 있다.

스페이스타임 회전

스페이스타임은 특수상대성이론에서 사용되는 우리 우주를 위한 수학 모델이다. 3개의 공간 치수와 1개의 시간 치수가 하나의 4차원 공간으로 결합되어 있다. 그것은 자연스럽게 기하학적 대수학 및 이브렉터를 사용하여 설명되며, 유클리드 측정법은 민코프스키 측정법으로 대체된다. 그 대수학은 서명이 바뀐 것을 제외하고는 유클리드 공간의 그것과 동일하므로

${\displaystyle {\mathbf {e} _{i}^{2}={\reas}1,&i=1,2,3\-1,&i=4\end{case}}}}}$

(위의 순서와 지수는 범용적이지 않다는 점에 유의하십시오. 여기서₄ e는 시간과 같은 차원입니다.) 기하대수는 Cl_3,1(R)이고, 이벡터의 하위공간은 ²rR이다^3,1.

단순 이벡터는 두 가지 유형으로 되어 있다. 단순 이벡터 e₂₃, e 및₃₁ e는₁₂ 음의 사각형을 가지며 유클리드 공간 R에³ 해당하는 3차원 아공간 이벡터에 걸쳐 있다. 이러한 이변기는 R에서³ 통상적인 회전을 발생시킨다.

심플한 이벡터 e₁₄, e₂₄ 및 e는₃₄ 양의 정사각형을 가지며 평면이 공간 차원 및 시간 차원에 걸쳐 있을 때 사용된다. 이것들도 지수 지도를 통해 회전을 발생시키지만 삼각함수 대신 쌍곡함수가 필요하며, 로터는 다음과 같이 생성된다.

${\displaystyle e^{\frac {{\boldsymbol {\Oomega}}}{2}}=\cosh \left({\frac {\theta}}{2}}\오른쪽)+{\boldsymbol {\\comega}\{\frac}}}}}$

여기서 Ω은 R의^3,1 비대칭 선형 변환으로 측정계를 통해 식별되는 바이벡터(e₁₄ 등)이다. 이것들은 로렌츠 부스트로서, R과³ R에서와⁴ 같은 종류의 대수학을 사용하여 특별히 콤팩트하게 표현된다.

일반적으로 모든 스페이스타임 회전은 지수 지도를 통해 바이벡터로부터 생성된다. 즉, 바이벡터 A에 의해 생성된 일반 로터는 형식이다.

${\displaystyle R=e^{\frac {\mathbf {A}{2}.}$

스페이스타임의 모든 회전 집합은 로렌츠 그룹을 형성하며, 그들로부터 특수 상대성 결과의 대부분을 추론할 수 있다. 보다 일반적으로 이것은 유클리드 공간과 스페이스타임에서의 변형이 어떻게 같은 종류의 대수학을 사용하여 설명될 수 있는지를 보여준다.

맥스웰 방정식

(참고: 이 절에서 전통적인 3-벡터는 기호 위에 선으로 표시되며, 굵은 기호로 스페이스 벡터와 이벡터를 표시하며, 벡터 J와 A는 예외적으로 대문자로 표시됨)

맥스웰의 방정식은 전기장과 자기장의 관계를 설명하기 위해 물리학에 사용된다. 일반적으로 4개의 미분 방정식으로 주어지며, 이 방정식은 필드가 ⋀²R의^3,1 스페이스타임 바이브레이터로 표현될 때 특히 콤팩트한 형태를 가진다. R의³ 전기장과 자기장이 E와 B일 경우 전자기 바이벡터는

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{c}{\overline {E}\mathbf {e} _{4}+{\overline {B}\mathbf {e} _{123}}}}$

여기서 e는₄ 다시 시간과 같은 차원에 대한 기본 벡터이고 c는 빛의 속도다. Be₁₂₃ 제품은 위에서 설명한 바와 같이 B에 Hodge 이중인 바이벡터를 3차원으로 산출하며 Ee는₄ 직교 벡터 제품으로서도 바이벡터 값을 받는다. 전체적으로 그것은 바이벡터로서 더욱 압축적으로 표현되는 전자기 텐서로서, 다음과 같이 사용된다. 첫째로, 그것은 4-전류 J, 즉 다음과 같은 벡터 수량은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {J} ={\overline {j}+c\rho \mathbf {e} _{4}}$

여기서 j는 전류 밀도, ρ은 전하 밀도다. 그것들은 다음과 같은 미분 연산자 by에 의해 연관되어 있다.

${\displaystyle \csla -\mathbf {e} _{4}{\frac {1}{c}{\frac {\fract }{\frac }{\fract }{\reason t}}}.}$

연산자 ∇은 기하 대수에서 미분 연산자로, 공간 치수에 작용하며 andM = ∇⋅M + ∇∧M이 부여한다. 벡터 ∇⋅M에 적용했을 때, ∇∧M은 curl이지만 벡터 결과보다는 bivector가 있는 것으로, curl에 대해 3차원으로 이중화된다. 일반적 수량 M의 경우 등급 하향 조정 및 상승 차등 연산자 역할을 한다. 특히 M이 스칼라라면 이 연산자는 구배일 뿐 기하학적 대수 델 연산자로 생각할 수 있다.

이 둘을 함께 사용하면 출처를 포함한 맥스웰 방정식에 대해 특히 컴팩트한 형태를 제공할 수 있다.

${\displaystyle \partial \mathbf {F} =\mathbf {J} .}$

이 방정식은 기하학적 대수학에 따라 분해할 때, 등급 상승 효과와 등급 하강 효과가 모두 있는 기하학적 제품을 사용하여 맥스웰의 4개 방정식과 동등하다. 또한 전자기 4전위, 즉 에 의해 주어지는 벡터 A와도 관련이 있다.

${\displaystyle \mathbf{A} ={\overline {A}+{\frac {1}{c}V\mathbf {e} _{4}}}$

여기서 A는 벡터 자기 전위, V는 전기 전위다. 다음과 같이 전자기 바이브레이터와 관련된다.

${\displaystyle \partial \mathbf {A} =-\mathbf {F},}$

동일한 미분 연산자 ∂^[22] 사용.

상위 치수

이전 절에서 제시된 바와 같이 기하학적 대수학의 많은 부분이 더 높은 차원으로 잘 일반화된다. 실제 공간 R의ⁿ 기하학적 대수학은 Cl_n(R)이고, 이벡터의 하위공간은 ⋀²R이다ⁿ.

일반 바이벡터를 형성하는 데 필요한 단순 바이벡터의 수는 치수와 함께 상승하기 때문에 n 홀수의 경우 n / 2인 경우에도 n / 2이다. 따라서 4와 5차원의 경우 단순 바이벡터는 2개만 필요하지만 6과 7차원의 경우 3개만 필요하다. 예를 들어, 표준 기준의 6차원₁(e₂₃, e, e₄, e₅, e₆) 바이벡터

${\displaystyle \mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}+\mathbf {e} _{56}}}}$

세 개의 간단한 이벡터의 합이지만 그 이하가 아니다. 4차원에서와 마찬가지로 이 합에 대한 직교 단순 이변자를 항상 찾을 수 있다.

더 높은 차원의 회전

3차원 및 4차원 로터는 지수지도에 의해 생성되므로

${\displaystyle e^{\frac {\mathbf {B}{2}}}$

로터가 바이벡터 B에 의해 생성된다. 치수의 고정 블레이드(n - 2)를 중심으로 회전하는 평면에서 발생하는 단순 회전은 단순한 이벡터에 의해 발생하는 반면, 다른 이벡터들은 보다 복잡한 회전을 생성하는데, 이는 각각 회전 평면에 관련된 단순 이벡터의 관점에서 설명될 수 있다. 모든 이벡터는 직교와 교감 단순 이벡터의 합으로 표현될 수 있으므로 회전은 항상 이 이 이벡터와 연관된 평면에 대한 교감 회전 집합으로 분해될 수 있다. n차원의 로터 그룹은 스핀 그룹, 스핀(n)이다.

단순한 이벡터와 회전 평면의 수와 관련된 한 가지 주목할 만한 특징은 홀수 치수의 모든 회전이 고정된 축을 가지고 있다는 것이다 – 더 높은 치수 회전이 그것과 직교하는 여러 평면에서 일어나고 있기 때문에 그것을 회전 축이라고 부르는 것은 오해의 소지가 있다. 홀수 치수의 이벡터가 아래 짝수 치수와 같은 수의 이벡터로 분해되기 때문에 평면의 수는 같지만 한 개의 추가 치수는 있다. 각 평면은 홀수 치수의 2차원에서 회전을 생성하므로 회전하지 않는 축인 하나의 치수가 있어야 한다.^[23]

이벡터들은 또한 n차원의 회전 행렬과 관련이 있다. 3차원처럼 행렬의 특성 방정식을 풀어서 고유값을 찾을 수 있다. 홀수 차원에서는 이것은 하나의 진짜 뿌리를 가지고 있고, 고유 벡터는 고정된 축을 가지고 있고, 짝수 차원에서는 진짜 뿌리를 가지고 있지 않기 때문에, 뿌리 중 하나를 제외한 모든 것이 복잡한 결합 쌍이다. 각 쌍은 회전과 관련된 바이벡터의 단순한 구성 요소와 연관되어 있다. 특히 각 쌍의 로그는 ± 크기인 반면, 뿌리에서 생성된 고유 벡터는 평행하므로 바이벡터를 생성하는데 사용할 수 있다. 일반적으로 고유값과 바이브렉터는 고유하며, 고유값의 집합은 완전한 분해를 단순 바이브랙터로 부여한다. 만약 뿌리가 반복된다면 바이브렉터를 단순 바이브랙터로 분해하는 것은 고유하지 않다.

투영 기하학

기하 대수학은 투영적인 기하학에 직접 적용할 수 있다. 사용되는 기하대수는 실제 벡터 공간 R의ⁿ 대수인 Cl_n(R), n ≥ 3이다. 이것은 실제 투영 공간 RP의ⁿ⁻¹ 물체를 묘사하는 데 사용된다. Cl_n(R) 또는 R의ⁿ 0이 아닌 벡터는 투사 공간의 포인트와 연관되어 있기 때문에 스케일 팩터에 의해서만 달라지는 벡터는 외부 제품이 0이 되어 동일한 포인트로 매핑된다. ⋀²R에서ⁿ 0이 아닌 단순 바이벡터는 RP의ⁿ⁻¹ 선을 나타내며, 바이벡터는 동일한 선을 나타내는 (양 또는 음) 척도 인자에 의해서만 차이가 난다.

투영 기하학의 설명은 기본 연산을 이용하여 기하 대수학에서 구성할 수 있다. 예를 들어 벡터 a와 b로 대표되는 RP에서ⁿ⁻¹ 두 개의 구별되는 점을 볼 때, 이를 포함하는 선은 ∧ b(또는 b ∧ a)로 주어진다. 두 선은 A 0 B = 0이면 한 점에서 교차한다. 이 점은 벡터에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {A} \lor \mathbf {B} =(\mathbf {A}) \times \mathbf {B}J^{-1}.}$

연산 "∨"는 모임으로, 비제로 A ∧ B에 대한 조인 J = A ∧ B의^{[clarification needed]} 관점에서 위와 같이 정의될 수 있다. 이 연산들을 사용하는 투영 기하학은 기하학적 대수학의 관점에서 공식화될 수 있다. 예를 들어, 세 번째 (제로가 아닌) 바이벡터 C가 주어진 점 p는 C가 제공한 선에 위치한다.

${\displaystyle \mathbf {p} \land \mathbf {C} =0.}$

따라서 A, B, C가 제시한 선들이 일직선으로 되어 있는 조건은

${\displaystyle(\mathbf {A} \lor \mathbf {B})\land \mathbf {C} =0,}$

Cl₃(R) 및 RP에서² 다음 항목으로 단순화

${\displaystyle \langle \mathbf {ABC} \rangele =0,}$

여기서 각 괄호는 기하학적 제품의 스칼라 부분을 나타낸다. 같은 방법으로 모든 투영 공간 연산은 투영 공간에서 일반 선을 나타내는 이벡터를 가지고 기하 대수적으로 쓸 수 있으므로 전체 기하학을 기하 대수학으로 개발할 수 있다.^[14]

텐서 및 행렬

위에서 언급한 것처럼, 이벡터는 스큐 대칭 행렬로 쓸 수 있는데, 지수 지도를 통해 로터와 동일한 회전을 설명하는 회전 행렬을 생성하며, 지수 지도에 의해서도 발생하지만 벡터에 적용된다. 그러나 각속도 텐서, 전자기 텐서 등의 다른 이브 벡터에도 각각 3×3과 4×4 스큐 대칭 행렬 또는 텐서에도 사용된다.

⋀²R의ⁿ 실제 이형계는 이형에서 n×n 스큐 대칭 행렬까지, 또는 R의ⁿ 2도 대칭 텐서 대칭 텐서들에 번갈아 나타난다. 이형사는 3차원에서 벡터에 이형성이지만(듀얼을 통해) 어떤 차원에서도 스큐 대칭 행렬로 표현될 수 있다. 이것은 행렬에 의해 기술된 문제와 이벡터를 연관시키는 데 유용하므로, 이벡터들은 기하학적 해석에 따라 이벡터 관점에서 재캐스팅될 수 있으며, 그 후 종종 다른 이벡터 문제와 더 쉽게 또는 기하학적으로 관련될 수 있다.^[24]

보다 일반적으로 모든 실제 기하학적 대수학은 행렬 대수학과는 이형성이다. 이러한 것들은 종종 특별히 유용하지는 않지만 하위 공간으로 이형사를 포함한다. 이러한 행렬은 주로 클리포드 알헤브라를 분류하는 한 가지 방법으로 흥미가 있다.^[25]

참고 항목

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• 멀티벡터
• 다중선 대수

메모들

일반참조

• Leo Dorst; Daniel Fontijne; Stephen Mann (2009). "§ 2.3.3 Visualizing bivectors". Geometric Algebra for Computer Science: An Object-Oriented Approach to Geometry (2nd ed.). Morgan Kaufmann. p. 31 ff. ISBN 978-0-12-374942-0.
• Whitney, Hassler (1957). Geometric Integration Theory. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-486-44583-0.

• Lounesto, Pertti (2001). Clifford algebras and spinors. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00551-7.

• Chris Doran & Anthony Lasenby (2003). "§ 1.6 The outer product". Geometric Algebra for Physicists. Cambridge: Cambridge University Press. p. 11 et seq. ISBN 978-0-521-71595-9.