아인슈타인 텐서
Einstein tensor일반상대성이론 |
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미분 기하학에서 아인슈타인 텐서(Albert Einstein의 이름을 따서 명명됨, Trace-reversed Ricci 텐서라고도 함)는 의사-리만 다양체의 곡률을 표현하기 위해 사용된다.일반 상대성 이론에서, 그것은 에너지와 운동량의 보존과 일치하는 방식으로 시공간 곡률을 설명하는 중력장에 대한 아인슈타인 장 방정식에서 발생합니다.
정의.
아인슈타인 G(\는 의사 리만 다양체에 정의된 2차 텐서이다.인덱스 프리 표기법에서는 다음과 같이 정의된다.
서R(\\은 Ricci 텐서g(\displaystyle \mathbf 는 메트릭 R(\R)은 스칼라 곡률이며, R(\ R은 Rdisplaystyle {\nu }) ) ) μr μr μr μr μr μr로 계산된다. 컴포넌트 형식에서 앞의 방정식은 다음과 같이 읽힌다.
아인슈타인 텐서는 대칭이다.
또한 on 쉘 스트레스-에너지 텐서와 마찬가지로 발산도 0이다.
명시적 형식
리치 텐서는 미터법 텐서에만 의존하므로 아인슈타인 텐서는 미터법 텐서만으로 직접 정의할 수 있습니다.그러나 이 표현은 복잡하고 교과서에서 거의 인용되지 않는다.이 식의 복잡성은 크리스토펠 기호와 관련하여 리치 텐서의 공식을 사용하여 나타낼 수 있다.
여기서 α _}}는 크로네커 텐서이며 크리스토펠 기호 β δ {\}}}는 다음과 같이 정의된다.
, _}} 형식의 항은 μ-방향의 부분 도함수를 나타낸다.
취소 전 이 공식은 2× ( + + ) \2 \ ( + + + 9 ) }개의 개별 됩니다.취소하면 이 숫자는 다소 낮아집니다.
점 근처의 국소 관성 기준 프레임의 특수한 경우, 미터법 텐서의 첫 번째 도함수는 사라지고 아인슈타인 텐서의 성분 형태는 상당히 단순화된다.
여기서 대괄호는 일반적으로 대괄호로 묶인 지수에 대한 대칭을 의미한다.
추적하다
아인슈타인 텐서의 궤적은 정의의 방정식을 메트릭 {\ g로 축소하여 계산할 수 있다. \ n( 임의 시그니처의 경우):
따라서 n = 4차원의 특별한 경우, G - {\G\=- 즉 아인슈타인 텐서의 궤적은 리치 텐서의 궤적의 음수이다.따라서 아인슈타인 텐서의 또 다른 이름은 추적 반전 리치 텐서이다. n (\ n사례는 일반 상대성 이론과 특히 관련이 있다.
일반 상대성 이론에서 사용
아인슈타인 텐서는 아인슈타인 장 방정식을 간결한 형태로 작성할 수 있도록 합니다.
아인슈타인 텐서의 명시적 형태에서, 아인슈타인 텐서는 메트릭 텐서의 비선형 함수이지만 메트릭의 두 번째 부분 도함수에서는 선형이다.대칭 차수 2 텐서로서 아인슈타인 텐서는 4차원 공간에 10개의 독립 성분을 가지고 있다.따라서 아인슈타인 장 방정식은 메트릭 텐서에 대한 10개의 준선형 2차 편미분 방정식의 집합이다.
축약된 비앙키 항등식은 아인슈타인 텐서의 도움을 받아 쉽게 표현될 수 있다.
(수축된) Biancchi 정체성은 곡선 공간에서의 응력-에너지 텐서의 공변량 보존을 자동으로 보장한다.
아인슈타인 텐서의 물리적 의미는 이 정체성에 의해 강조된다.킬링 벡터 {\^{\에서 수축된 고밀도 응력 텐서의 관점에서 일반 보존 법칙은 다음과 같다.
고유성
David Lovelock은 4차원 미분 다양체에서 아인슈타인 텐서는 μ {\}}의 유일한 텐서이자 발산 없는 함수이며, 기껏해야 첫 번째와 두 번째 부분 [1][2][3][4][5]도함수임을 보여주었다.
그러나 아인슈타인 장 방정식이 다음 세 [6]가지 조건을 만족시키는 유일한 방정식은 아닙니다.
아인슈타인-카르탄 이론과 같이 위의 조건들을 충족시키는 많은 대안 이론들이 제안되었다.
「 」를 참조해 주세요.
메모들
- ^ Lovelock, D. (1971). "The Einstein Tensor and Its Generalizations". Journal of Mathematical Physics. 12 (3): 498–502. Bibcode:1971JMP....12..498L. doi:10.1063/1.1665613. Archived from the original on 2013-02-24.
- ^ Lovelock, D. (1972). "The Four‐Dimensionality of Space and the Einstein Tensor". Journal of Mathematical Physics. 13 (6): 874–876. Bibcode:1972JMP....13..874L. doi:10.1063/1.1666069.
- ^ Lovelock, D. (1969). "The uniqueness of the Einstein field equations in a four-dimensional space". Archive for Rational Mechanics and Analysis. 33 (1): 54–70. Bibcode:1969ArRMA..33...54L. doi:10.1007/BF00248156.
- ^ Farhoudi, M. (2009). "Lovelock Tensor as Generalized Einstein Tensor". General Relativity and Gravitation. 41 (1): 17–29. arXiv:gr-qc/9510060. Bibcode:2009GReGr..41..117F. doi:10.1007/s10714-008-0658-9.
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레퍼런스
- Ohanian, Hans C.; Remo Ruffini (1994). Gravitation and Spacetime (Second ed.). W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-96501-8.
- Martin, John Legat (1995). General Relativity: A First Course for Physicists. Prentice Hall International Series in Physics and Applied Physics (Revised ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-291196-2.