아인슈타인 텐서

Einstein tensor

미분 기하학에서 아인슈타인 텐서(Albert Einstein의 이름을 따서 명명됨, Trace-reversed Ricci 텐서라고도 함)는 의사-리만 다양체의 곡률을 표현하기 위해 사용된다.일반 상대성 이론에서, 그것은 에너지와 운동량의 보존과 일치하는 방식으로 시공간 곡률을 설명하는 중력장대한 아인슈타인방정식에서 발생합니다.

정의.

아인슈타인 G(\ 의사 리만 다양체에 정의된 2차 텐서이다.인덱스 프리 표기법에서는 다음과 같이 정의된다.

R(\\ Ricci 텐서g(\displaystyle \mathbf 메트릭 R(\R)은 스칼라 곡률이며, R(\ R은 Rdisplaystyle {\nu }) ) ) μr μr μr μr μr μr로 계산된다. 컴포넌트 형식에서 앞의 방정식은 다음과 같이 읽힌다.

아인슈타인 텐서는 대칭이다.

또한 on 쉘 스트레스-에너지 텐서와 마찬가지로 발산도 0이다.

명시적 형식

리치 텐서는 미터법 텐서에만 의존하므로 아인슈타인 텐서는 미터법 텐서만으로 직접 정의할 수 있습니다.그러나 이 표현은 복잡하고 교과서에서 거의 인용되지 않는다.이 식의 복잡성은 크리스토펠 기호와 관련하여 리치 텐서의 공식을 사용하여 나타낼 수 있다.

여기서 α _}}는 크로네커 텐서이며 크리스토펠 기호 β δ {\}}}는 다음과 같이 정의된다.

, _}} 형식의 항은 μ-방향의 부분 도함수를 나타낸다.

취소 전 이 공식은 2× ( + + ) \2 \ ( + + + 9 ) }개의 개별 됩니다.취소하면 이 숫자는 다소 낮아집니다.

점 근처의 국소 관성 기준 프레임의 특수한 경우, 미터법 텐서의 첫 번째 도함수는 사라지고 아인슈타인 텐서의 성분 형태는 상당히 단순화된다.

여기서 대괄호는 일반적으로 대괄호로 묶인 지수에 대한 대칭을 의미한다.

추적하다

아인슈타인 텐서의 궤적은 정의의 방정식을 메트릭 {\ g 축소하여 계산할 수 있다. \ n( 임의 시그니처의 경우):

따라서 n = 4차원특별한 경우, G - {\G\=- 즉 아인슈타인 텐서의 궤적은 리치 텐서의 궤적의 음수이다.따라서 아인슈타인 텐서의 또 다른 이름은 추적 반전 리치 텐서이다. n (\ n사례는 일반 상대성 이론과 특히 관련이 있다.

일반 상대성 이론에서 사용

아인슈타인 텐서는 아인슈타인 장 방정식을 간결한 형태로 작성할 수 있도록 합니다.

여기서(\ 우주 상수이고(\ 아인슈타인 중력 상수입니다.

아인슈타인 텐서의 명시적 형태에서, 아인슈타인 텐서는 메트릭 텐서의 비선형 함수이지만 메트릭의 두 번째 부분 도함수에서는 선형이다.대칭 차수 2 텐서로서 아인슈타인 텐서는 4차원 공간에 10개의 독립 성분을 가지고 있다.따라서 아인슈타인 장 방정식은 메트릭 텐서에 대한 10개의 준선형 2차 편미분 방정식의 집합이다.

축약된 비앙키 항등식은 아인슈타인 텐서의 도움을 받아 쉽게 표현될 수 있다.

(수축된) Biancchi 정체성은 곡선 공간에서의 응력-에너지 텐서의 공변량 보존을 자동으로 보장한다.

아인슈타인 텐서의 물리적 의미는 이 정체성에 의해 강조된다.킬링 벡터 {\^{\에서 수축된 고밀도 응력 텐서의 관점에서 일반 보존 법칙은 다음과 같다.

고유성

David Lovelock은 4차원 미분 다양체에서 아인슈타인 텐서는 μ {\}}의 유일한 텐서이자 발산 없는 함수이며, 기껏해야 첫 번째와 두 번째 부분 [1][2][3][4][5]도함수임을 보여주었다.

그러나 아인슈타인 장 방정식이 다음 세 [6]가지 조건을 만족시키는 유일한 방정식은 아닙니다.

  1. 뉴턴-포아송 중력 방정식과 유사하지만 일반화한다.
  2. 모든 좌표계에 적용합니다.
  3. 미터법 텐서에 대한 에너지-모멘텀의 국소 공변량 보존을 보장한다.

아인슈타인-카르탄 이론과 같이 위의 조건들을 충족시키는 많은 대안 이론들이 제안되었다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ Lovelock, D. (1971). "The Einstein Tensor and Its Generalizations". Journal of Mathematical Physics. 12 (3): 498–502. Bibcode:1971JMP....12..498L. doi:10.1063/1.1665613. Archived from the original on 2013-02-24.
  2. ^ Lovelock, D. (1972). "The Four‐Dimensionality of Space and the Einstein Tensor". Journal of Mathematical Physics. 13 (6): 874–876. Bibcode:1972JMP....13..874L. doi:10.1063/1.1666069.
  3. ^ Lovelock, D. (1969). "The uniqueness of the Einstein field equations in a four-dimensional space". Archive for Rational Mechanics and Analysis. 33 (1): 54–70. Bibcode:1969ArRMA..33...54L. doi:10.1007/BF00248156.
  4. ^ Farhoudi, M. (2009). "Lovelock Tensor as Generalized Einstein Tensor". General Relativity and Gravitation. 41 (1): 17–29. arXiv:gr-qc/9510060. Bibcode:2009GReGr..41..117F. doi:10.1007/s10714-008-0658-9.
  5. ^ Rindler, Wolfgang (2001). Relativity: Special, General, and Cosmological. Oxford University Press. p. 299. ISBN 978-0-19-850836-6.
  6. ^ Schutz, Bernard (May 31, 2009). A First Course in General Relativity (2 ed.). Cambridge University Press. p. 185. ISBN 978-0-521-88705-2.

레퍼런스