노달 분석

키르히호프의 현행 법칙은 노드 분석의 기초이다.

전기회로해석, 노드해석, 노드전압해석 또는 분기전류방법은 전기회로의 노드(소자 또는 분기가 접속하는 지점)간의 전압(전위차)을 분기전류로 결정하는 방법이다.

키르히호프의 회로 법칙을 이용한 회로 해석은 키르히호프의 전류 법칙(KCL)을 이용한 노드 해석과 키르히호프의 전압 법칙(KVL)을 이용한 메시 해석 중 하나를 할 수 있다.노드 분석은 각 전기 노드에 방정식을 작성하여 노드에서 발생하는 분기 전류를 0으로 합해야 합니다.분기 전류는 회로 노드 전압으로 표시됩니다.따라서 각 분기 구성 관계는 전압의 함수로서 전류를 제공해야 한다. 즉 어드미턴스 표현이다.예를 들어 저항기의 경우 I_branch = V_branch * G입니다. 여기서 G(=1/R)는 저항기의 어드미턴스(전송도)입니다.

노달 분석은 모든 회로 소자의 분기 구성 관계가 어드미턴스 표현일 때 가능하다.노달 해석은 네트워크에 대한 콤팩트한 방정식 세트를 생성하는데, 작은 경우에는 손으로 풀 수도 있고 컴퓨터로 선형 대수를 사용하여 빠르게 풀 수도 있습니다.방정식의 콤팩트한 시스템 때문에 많은 회로 시뮬레이션 프로그램(예: SPICE)은 노달 분석을 기본으로 사용합니다.요소에 어드미턴스 표현이 없는 경우 노드 분석의 보다 일반적인 확장인 수정 노드 분석을 사용할 수 있습니다.

절차.

회로에 접속되어 있는 모든 와이어 세그먼트에 주의해 주세요.이것들은 결절 분석의 노드입니다.
접지 참조로 노드를 1개 선택합니다.선택은 소자 전압에 영향을 주지 않으며(단, 노드 전압에 영향을 미칩니다) 관례에 따라 달라집니다.연결이 가장 많은 노드를 선택하면 분석을 단순화할 수 있습니다.N개의 노드가 있는 회로의 경우 노드 방정식의 수는 N-1입니다.
전압을 알 수 없는 각 노드에 변수를 할당합니다.전압이 이미 알려진 경우 변수를 할당할 필요가 없습니다.
알 수 없는 각 전압에 대해 Kirchhoff의 전류 법칙에 따라 방정식을 작성합니다(즉, 노드에서 나가는 모든 전류를 합산하여 합계를 0으로 표시).두 노드 간의 전류는 전류가 나가는 노드의 전압에서 전류가 노드에 들어가는 노드의 전압을 뺀 값입니다. 두 노드 간의 저항으로 나눈 값입니다.
알 수 없는 두 전압 사이에 전압원이 있는 경우 두 노드를 슈퍼노드로 결합합니다.두 노드의 전류가 단일 방정식으로 결합되어 전압에 대한 새로운 방정식이 형성됩니다.
알 수 없는 각 전압에 대한 연립 방정식의 시스템을 해결합니다.

예

기본 케이스

알 수 없는 전압 V가₁ 하나 있는 기본 회로 예.

이 회로에서 알 수 없는 유일한 전압은 V $({$ 입니다.이 노드에는 3개의 접속이 있으며, 그 결과 고려해야 할 전류는 3개입니다.계산 시 전류의 방향은 노드에서 멀리 떨어져 있도록 선택됩니다.

$R_{1}$ R $({$ $(V_{1}-V_{S})/R_{1}$ ( $(V_{1}-V_{S})/R_{1}$ 1 - $(V_{1}-V_{S})/R_{1}$ ) / $(V_{1}-V_{S})/R_{1}$ $({$ / $R_{1$ }
$R_{2}$ $({$ $V_{1}/R_{2}$ 1/ $({$ 를 통한 전류
$I_{S}$ I $({$ $-I_{S}$ - $-I_{S}$ S $({$ - $I_{S})$

Kirchhoff의 현행 법칙을 통해 얻을 수 있는 것은 다음과 같습니다.

{V_{1}-V_{S}}{R_{1}+{\frac {V_{1}}{R_{2}}-I_{S}=0

이 방정식은 V와 관련하여₁ 해결할 수 있습니다.

V_{1}=frac {V_{S}}{R_{1}}+I_{S}\right}{\left({\frac {1}{R_{1}}+{\frac {1}{R_{2}}\right)}}

마지막으로 심볼에 수치를 대입함으로써 미지의 전압을 해결할 수 있다.회로의 모든 전압을 알고 나면 알 수 없는 전류를 쉽게 계산할 수 있습니다.

V_{1}=frac {5gctext{V}}{100,\Omega }}+20gctext{mA}}\right}{\left({\frac {1}{100,\Omega }}}+{\frac {1}{200,\Omega }}}}}}}\right}}}=paramfrac {14}{3}}{\text{V}}

슈퍼노드

이 회로에서 V는_A 알 수 없는 두 전압 사이에 있으므로 슈퍼노드입니다.

이 회로에는 처음에는₂ V와 V라는 알 수 없는 전압이 두 개 있습니다₁.전압 소스의 다른 단자가 접지 전위에 있기 때문에 V에서의₃ 전압은 이미 V로_B 알려져 있습니다.

전압원_A V를 통과하는 전류는 직접 계산할 수 없습니다.따라서 V나 V에 대해₂ 전류₁ 방정식을 쓸 수 없습니다.단₂, 노드 V에서 나오는 동일한 전류는 노드₁ V로 들어가야 합니다.노드를 개별적으로 해결할 수는 없지만, 이 두 노드의 결합 전류는 0임을 알 수 있습니다.이 2개의 노드의 조합을 슈퍼노드 기술이라고 하며, 다음 1개의 추가 방정식이 필요합니다.V₁ = V₂ + V_A.

이 회로의 전체 방정식은 다음과 같습니다.

{\displaystyle\begin{case}{\frac{V_{1}-V_{\text{\text}B}} {R_{1}} + {\frac {V_{2}-V_{\text{\text}B}}{R_{2}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}=0\V_{1}=V_{2}+V_{\text{\text}A}}\\end{case}}

대체하여

({displaystyle V_{2}=black {(R_{1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{}A}}}{(R_{1}+R_{2})R_{3}+R_{1}R_{2}}}}

노드 전압 방정식을 위한 행렬 형식

일반적으로N개의 $노드$ 가 $N$ $있는$ 회로에 대해서는 다음과 같이 노드해석을 통해 얻을 수 있는 노드전압방정식을 매트릭스 형태로 쓸 수 있다.임의의 $노드$ k(\ $displaystyle$ k $k$ 에 대해 KCL은 ${\textstyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=0}$ j ${\textstyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=0}$ ${\textstyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=0}$ ${\textstyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=0}$ k ( ${\textstyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=0}$ - ${\textstyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=0}$ j ) ${\textstyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=0}$ { $textstyle$ \ $sum _ {$ j \ sum _ { j \ $neq$ k } G_{ jk } ( $v _$ { k ${\textstyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=0}$ } - { j ) $G_{kj}=G_{jk}$ $0$ $G_{kj}=G_{jk}$ G $G_{kj}=G_{jk}$ = { $K$ } { $J$ } { J } { J 。 $v_{k}$ v $({$ k})는 $v_{k}$ $노드$ k({ $displaystyle$ k $k$ 의 전압입니다. ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ 는 0 ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ j ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ k ( ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ - ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ) ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ j ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ k ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ k - ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ k ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ j ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ k ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ - ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ k ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ k ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ j ( $textstyle$ 0 = \ $sum _$ j \ $neq$ } $k$ - { k - { k } { k - { k } { k - { k } { k } { k - { k } } } 를 의미합니다. $G_{kk}$ {\ $displaystyle$ $G_$ ${$ kk $G_{kk}$ $k$ 는 $k$ 에 연결된 컨덕션의 합계입니다.첫 번째 $G_{kk}$ 은 노드 $G_{kk}$ 에 G $G_{kk}$ k(\ $displaystyle$ $G_{kkk$ 를 통해 $k$ 에 $k$ 선형으로 기여하고 두 번째 항은 $노드$ k에 연결된 각 $노드$ j $(\displaystyle$ j $)$ 에 $j$ 선형으로 기여합니다 $.$ (* $displaystyle$ k는 $k$ $(*$ 에서 $G_{jk}$ 빼기 기호 포함 $).$ 독립된 전류원/ $i_{k}$ $i_{k}$ {\ $displaystyle i_{k}$ 가 $i_{k}$ $노드$ k {\ $displaystyle$ k $k$ 에도 연결되어 있는 경우 위의 식은 ${\textstyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ k $= G$ ${\textstyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ${\textstyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ k - ${\textstyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ${\textstyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ${\textstyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ${\textstyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ \ $textstyle i_{k}-\sum$ _ ${k} k_nek}$ 로 ${\textstyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ 있습니다. $N개(\style$ N $)$ 노드에 $N$ 대한 전압 방정식 및 다음 매트릭스 형식으로 적습니다.

{begin {pmatrix}G_{12}&\cdots &\cdots &\vdots &\dots &\vdots &\{1}&G_{22}&G_{22}&\cdots &\vdots &\{N}N}\end{pmatrix}

또는

{\textstyle \mathbf {Gv} =\mathbf {i} .}

{\textstyle \mathbf {Gv} =\mathbf {i} .}

v

{\textstyle \mathbf {Gv} =\mathbf {i} .}

. {

textstyle \mathbf {Gv

} = \

mathbf {i}

.}

방정식 왼쪽에 있는 $\mathbf {G}$ G $(\$ 는 ${\mathbf G}$ $\mathbf {G1} =0$ 1 $\mathbf {G1} =0$ (\ $displaystyle \mathbf {G1} = 0$ )을 $\mathbf {G1} =0$ $1\times N$ 만족하므로 특이합니다. $\mathbf {1}$ 서 1 $(\$ $displaystyle \mathbf$ ${1$ } $1\times N$ $}$ 은 ${\mathbf 1}$ $1\times N$ 1 × $1\times N$ 열 $1\times N$ 입니다.이는 현재 보존의 사실, 즉 ${\textstyle \sum _{k}i_{k}=0}$ k ${\textstyle \sum _{k}i_{k}=0}$ ${\textstyle \sum _{k}i_{k}=0}$ $=$ 0 \ $textstyle \sum$ _ ${k}i_{k$ }= $0$ 과(와) 기준 노드(그라운드)를 선택할 수 있는 자유도에 해당한다.실제로 기준 노드인 전압은 0으로 간주됩니다.마지막 노드 $v_{N}=0$ $v_{N}=0$ $=$ $v_{N}=0$ { $displaystyle v_{N$ }= $0$ 이라고 간주합니다.이 경우 다른 $N-1$ - $(\displaystyle N-1)$ 노드에 $N-1$ 대한 결과 방정식이 동일한지 확인하는 것은 간단합니다.따라서 행렬 방정식의 마지막 열과 마지막 줄을 간단히 폐기할 수 있습니다.이 절차에서는 모든 요소의 정의가 변경되지 않은 $(N-1)\times (N-1)$ 에서 $(N-1)\times (N-1)$ ( $(N-1)\times (N-1)$ - $(N-1)\times (N-1)$ ) $(N-1)\times (N-1)$ × ( $(N-1)\times (N-1)$ N - $(N-1)\times (N-1)$ ) \ $displaystyle$ ( $N$ - 1 ) \ times ( $N$ - 1 )차원 $(N-1)\times (N-1)$ 비단수 행렬 방정식이 생성됩니다.

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P. Dimo Nodal 전력 시스템 분석Abacus Press Kent 1975

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